专题04-2 直线与圆的位置关系（知识&考点&公式&14高频&3易错&4重难&3模型，期中知识清单）九年级数学上学期新教材人教版五四制

专题04-2 直线和圆的位置关系 目 录 识记类 思维导图 知识清单(6类) 考点清单(6类) 公式清单(8类) 辨析清单(10类) 题型类 高频题型清单(14类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(4类) 答题类 解题模型清单(3类) 答题技巧清单 知识点01 直线和圆的三种位置关系 1.直线和圆的三种位置关系：直线与圆有两个公共点（相交，直线叫割线）；有唯一公共点（相切，直线叫切线，公共点叫切点）；没有公共点（相离）． 2.设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，则：直线与圆相交⟺ d＜r；相切⟺d＝r； 相离⟺d＞r． 知识点02 切线的判定定理 1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 2.判定切线常用的两种方法：①利用判定定理（已知直线过圆上某点，连接该点与圆心，证垂直）；②作圆心到直线的垂线段，证垂线段长等于半径． 3.当直线与圆的公共点已知时，连半径、证垂直；当公共点未知时，作垂线、证d＝r． 知识点03 切线的性质定理 1.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 2.推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 3.推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 4.常用辅助线：过切点作半径（或连接圆心与切点），得到垂直关系． 知识点04 切线长定理 1.切线长：从圆外一点引圆的切线，这点和切点之间的线段长，叫做这点到圆的切线长． 2.切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 知识点05 三角形的内切圆 1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，它是三角形三条角平分线的交点． 2.内心到三角形各边的距离相等（都等于内切圆半径r）． 3.若三角形面积为S，半周长为p，则内切圆半径r＝ （S＝r p）． 4.直角三角形的内切圆半径r＝ （a、b为直角边，c为斜边）． 知识点06 正多边形和圆（外切正多边形） 1.正多边形与圆：正多边形都有外接圆和内切圆，且这两个圆是同心圆． 2.正多边形的中心：正多边形外接圆（或内切圆）的圆心；中心到任意一边的距离叫边心距（即内切圆半径）． 3.中心角：正n边形的中心角＝ ． 4.圆的外切正多边形：各边都与该圆相切的正多边形，称为这个圆的外切正多边形． 考点01 直线和圆的位置关系的判定 考点内容：相离、相切、相交三种位置关系；由d与r的大小关系判定． 常见考法： ①由d与r判断直线和圆的位置关系； ②由位置关系确定参数（圆心到直线距离、半径等）的取值范围； ③结合图形识别割线、切线、切点． 考点02 切线的判定 考点内容：切线的判定定理；已知公共点连半径证垂直，未知公共点作垂线证d＝r． 常见考法： ①证明一条直线是圆的切线； ②由条件判定切线并求相关量； ③切线判定与其他几何知识的综合． 考点03 切线的性质 考点内容：切线的性质定理；推论；过切点连半径． 常见考法： ①利用切线垂直于过切点的半径求角或线段； ②由切线条件构造直角三角形解题； ③切线性质与圆周角、垂径定理综合． 考点04 切线长定理 考点内容：切线长概念；切线长定理（两条切线长相等，圆心连线平分夹角）． 常见考法： ①利用切线长相等求线段长度； ②由切线长定理求角或证明； ③切线长与周长、面积结合． 考点05 三角形的内切圆 考点内容：内切圆、内心；内心是角平分线交点；内切圆半径的求法． 常见考法： ①求三角形的内切圆半径； ②利用内心性质求角或线段； ③内切圆与三角形面积、周长的关系． 考点06 正多边形和圆（外切正多边形） 考点内容：正多边形的外接圆、内切圆；中心角、边心距；圆的外切正多边形． 常见考法： ①求正多边形的中心角、边心距； ②判断或识别圆的外切正多边形； ③正多边形与圆的综合应用． 1 位置关系与切线 序号 名称 结论（几何语言） 说明 1 三种位置关系 相离、相切、相交 按公共点个数分（0、1、2个） 2 位置判定 d＜r相交，d＝r相切， d＞r相离 d为圆心到直线的距离 3 切线判定定理 经过半径外端且垂直于半径的直线是切线 两条件缺一不可 4 切线性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径 连切点与圆心得垂直 5 切线长定理 从圆外一点引两条切线，切线长相等 圆心连线平分两切线的夹角 6 三角形内切圆 内切圆与三边相切，内心是角平分线交点 内心到三边距离等于半径 2 内切圆半径与正多边形和圆 序号 名称 结论（几何语言） 说明 7 内切圆半径 一般r＝ ；直角三角形r＝ 面积法与直角三角形公式 8 正多边形中心角 中心角＝ ，边心距垂直平分边 外切正多边形的各边与圆相切 辨析01 三种位置关系由公共点个数或d与r决定 直线与圆的位置关系可由公共点的个数（0、1、2）判定，也可由圆心到直线的距离d与半径r的关系（d＞r、d＝r、d＜r）判定，两者对应：相离、相切、相交． 辨析02 相切只有唯一公共点 直线与圆相切时，直线与圆有且只有一个公共点，这个点叫切点．不要把“相切”误认为有两个公共点，也不要与“相交”（两个公共点）混淆． 辨析03 切线判定需两个条件 切线的判定定理是“经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”，两个条件（过半径外端、垂直该半径）必须同时满足，缺一不可． 辨析04 过圆上一点只有一条切线 经过圆上的一点（切点）可以作圆的唯一一条切线；经过圆外一点可以作圆的两条切线．不要混淆圆上一点与圆外一点作切线的条数． 辨析05 切线垂直于过切点的半径 圆的切线垂直于过切点的半径．解题时常连接圆心与切点，利用垂直关系构造直角三角形，再结合勾股定理、三角函数等求解． 辨析06 过圆外一点引两条切线，切线长相等 从圆外一点可以引圆的两条切线，两条切线长相等，且该点与圆心的连线平分这两条切线的夹角．切线长是指“点到切点”的线段长，不是切线本身的长（切线是直线，无长度）． 辨析07 内心是角平分线的交点 三角形的内切圆圆心（内心）是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等（等于内切圆半径）．外心则是三边垂直平分线的交点，二者不要混淆． 辨析08 内切圆半径用面积法 设三角形面积为S、半周长为p，则内切圆半径r＝ （S＝r p）． 这个面积法适用于任意三角形，比单纯几何法更通用，常用于求内切圆半径． 辨析09 直角三角形内切圆半径公式 直角三角形的内切圆半径r＝ ，其中a、b为直角边，c为斜边．这个公式只在直角三角形中成立，一般三角形要用面积法r＝S/p． 辨析10 圆的外切正多边形 各边都与同一个圆相切的正多边形，叫做这个圆的外切正多边形．正多边形都有外接圆和内切圆且二者同心，内切圆的半径就是正多边形的边心距，中心角为360°/n，边心距垂直平分边． 【题型一】 直线和圆的位置关系 【例1】（26-27九年级上·北京·课后作业）圆的半径为，圆心与直线上某一点距离为，则直线与圆的位置关系不可能是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据直线与圆的位置关系，结合垂线段最短，即可作出判断． 【详解】解：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为，圆心与直线上某一点的距离为， 又∵垂线段最短， 圆心到直线的距离， ∴ ∴直线与圆相切或相交，不可能相离． 【变式1-1】（25-26九年级下·上海长宁·期中）已知及其所在平面内的直线l，P为直线l上的一点，如果半径为3，且，那么下列对直线l的表述不正确的是（   ） A．直线l可能经过圆心O B．直线l可能与相交 C．直线l可能与相切 D．直线l可能与相离 【答案】D 【分析】根据垂线段最短得到圆心到直线的距离范围，再结合直线与圆位置关系的判定即可得出结论 【详解】解：设的半径为，圆心到直线的距离为， 由题意得，为上一点，， ∵点到直线的距离，垂线段最短， ∴，即， ∵直线与圆相离的判定条件为， ∴不可能大于， ∴直线不可能与相离． 【变式1-2】（2026九年级上·四川南充·专题练习）已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【分析】设的半径为，圆心到直线的距离为，直线与圆的位置关系：①当时，直线与相交；②当时，直线与相切；③当时，直线与相离；据此解答即可． 【详解】解：∵的半径为，圆心到直线的距离为，且， ∴直线与的位置关系是相交． 【题型二】 由直线和圆的位置关系确定公共点个数 【例2】已知⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离为2cm，则l与⊙O的交点个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】由2cm＜3cm，可知圆心O到直线l的距离小于⊙O的半径，所以直线l与⊙O相交，则直线l与⊙O有两个交点，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离为2cm，且2cm＜3cm， ∴圆心O到直线l的距离小于⊙O的半径， ∴直线l与⊙O相交， ∴直线l与⊙O有两个交点， 故选：C． 【点睛】此题重点考查直线与圆的位置关系，根据圆心O到直线l的距离小于⊙O的半径证明直线l与⊙O相交是解题的关键． 【变式2-1】已知，中，，斜边上的高为，以点为圆心，为半径的圆与该直线的交点个数为（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行判断．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离． 【详解】解：∵5cm＞4.8cm， ∴d> r. ∴圆与该直线AB的位置关系是相离，交点个数为0， 故选A． 【点睛】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系，关键是掌握d与r的大小关系所决定的直线与圆的位置关系． 【变式2-2】在，，，，以A为圆心，长度为半径的圆与直线的公共点的个数为 个． 【答案】1 【分析】根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行判断，若，则直线与圆相交，若，则直线于圆相切，若，则直线与圆相离． 【详解】解：，，， ， 斜边上的高为：， ， 圆与该直线的位置关系是相切，交点个数为1． 故答案为：1． 【点睛】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系，难度一般，关键是掌握与的大小关系所决定的直线与圆的位置关系． 【题型三】由直线和圆的位置关系确定取值范围 【例3】（26-27九年级上·北京·课前预习）如图，，P为边上的一点，且，若以P为圆心，r为半径的圆与射线只有一个公共点，则半径r的取值范围是（     ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分两种情况考虑即可． 【详解】解：如图，过点P作于点C，则， 即当时，此时与射线只有一个公共点； 如图，当时，则与射线只有一个公共点，此时; 综上，当或时，与射线只有一个公共点． 【变式3-1】52．（25-26九年级下·上海杨浦·期中）在平面直角坐标系中，已知点，以M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y轴相离，那么r可以取的值是（    ） A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】B 【分析】先求出圆心M到x轴和y轴的距离，再根据直线与圆相交相离的位置关系确定半径r的取值范围，最后匹配选项即可． 【详解】解：∵点M的坐标为， ∴圆心M到轴的距离，到轴的距离， ∵圆与轴相交，与轴相离， ∴且，即， 观察选项，只有满足该范围，因此选B． 【变式3-2】以坐标原点O为圆心，作半径为4的圆，若直线与⊙O相交，则b的取值范围 是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当直线与圆相切，且函数经过一、二、四象限时，如图： 在中，令时，，则与y轴的交点是， 当时，，则与x轴的交点是， 则，即是等腰直角三角形， 在中，， 连接圆心O和切点C，则， ， ∴， 则； 同理，当直线与圆相切，且函数经过二、三、四象限时，； 则若直线与⊙O相交，则b的取值范围是． 【题型四】 切线判定的多结论问题 【例4-1】如图所示，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于E，连接AD，则下列结论：①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OAAC；④DE是⊙O的切线，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由直径所对的圆周角是直角，即可判断出选项①正确；由O为AB中点，得到AO为AB的一半，故AO为AC的一半，选项③正确；由OD为三角形ABC的中位线，根据三角形的中位线定理得到OD与AC平行，由AC与DE垂直得到OD与DE垂直，即∠ODE为90°，故DE为圆O的切线，选项④正确． 【详解】解：∵AB是⊙O直径， ∴∠ADB＝90°， ∴AD⊥BC，选项①正确； 连接OD，如图， ∵D为BC中点，O为AB中点， ∴DO为△ABC的中位线， ∴OD∥AC， 又DE⊥AC，∴∠DEA＝90°， ∴∠ODE＝90°， ∴DE为圆O的切线，选项④正确； 又OB＝OD， ∴∠ODB＝∠B， ∵AB为圆O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠EDA+∠ADO＝90°，∠BDO+∠ADO＝90°， ∴∠EDA＝∠BDO， ∴∠EDA＝∠B，选项②正确； 由D为BC中点，且AD⊥BC， ∴AD垂直平分BC， ∴AC＝AB，又OAAB， ∴OAAC，选项③正确； 则正确结论的个数为4个． 故选：D． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定，及三角形的中位线定理．证明切线时连接OD是解这类题经常连接的辅助线． 【变式4-1】如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的圆O与边AB、CD分别交于点E、点F，给出下列说法：（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；（2）AF与DE的交点是圆O的圆心；（3）BC与圆O相切，其中正确说法的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，先确定AG＝DG，则GH垂直平分AD，则可判断点O在HG上，再根据HG⊥BC可判定BC与圆O相切；接着利用OG＝OD可判断圆心O不是AC与BD的交点；然后根据四边形AEFD为⊙O的内接矩形可判断AF与DE的交点是圆O的圆心． 【详解】解：连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图， ∵G是BC的中点， ∴AG＝DG， ∴GH垂直平分AD， ∴点O在HG上， ∵AD∥BC， ∴HG⊥BC， ∴BC与圆O相切； ∵OG＝OD， ∴点O不是HG的中点， ∴圆心O不是AC与BD的交点； ∵∠ADF＝∠DAE＝90°， ∴∠AEF＝90°， ∴四边形AEFD为⊙O的内接矩形， ∴AF与DE的交点是圆O的圆心； ∴（1）错误，（2）（3）正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了矩形的性质和三角形外心． 【变式4-2】如图，点A是⊙O上一定点，点B是⊙O上一动点、连接OA、OB、AB、分别将线段AO、AB绕点A顺时针旋转60°到AA'，AB'，连接OA'，BB'，A'B'，OEB'，下列结论正确的有（　　） ①点A'在⊙O上；②△OAB≌△A'AB'；③∠BB′A′∠BOA′；④当OB′＝2OA时，AB′与⊙O相切． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】可证得△AOA′和△ABB′是等边三角形，可推出OA′＝OA，从而得出①正确；根据“边角边”可证得②；根据②可推出A′B′＝OB＝AA′，进一步得出③正确；作OC⊥B′B，可推出∠OB′B＝30°，进而得出OB′＝2OC，结合OB′＝2OB可推出点C和点B重合，进而得出④正确，从而得出结果． 【详解】解：∵OA＝AA′，∠OAA′＝60°， ∴△AOA′是等边三角形， 同理可得， △ABB′是等边三角形， ①∵△AOA′是等边三角形， ∴OA′＝OA， ∴点A′在⊙O上， 故①正确， ∵∠OAA′＝∠BAB′＝60°， ∴∠OAB＝∠A′AB′， ∵OA＝AA′，AB＝AB′， ∴△OAB≌△A′AB′， 故②正确， ③由②知， △OAB≌△A′AB′， ∴A′B′＝OB， ∵OB＝OA＝AA′， ∴AA′＝A′B′， ∴∠A′AB′＝∠A′B′A， ∵△ABB′是等边三角形， ∴∠BAB′＝∠AB′B＝60°， ∴∠A′B′B＝∠BAA′， ∵∠BOA′＝2∠BAA′， ∴∠BB′A′∠BOA′， 故③正确， ④如图， 过点O作OC⊥BB′于C， ∵△ABB′是等边三角形， ∴∠AB′B＝60°， ∵OA＝OB，B′A＝B′B， ∴B′O垂直平分AB， ∴∠OB30°， ∴OB′＝2OC， ∵OB′＝2OA＝2OB， ∴OC和OB重合， ∴OB⊥B′B， ∴BB′是⊙O的切线， 故④正确， 综上所述：①②③④均正确， 故选A． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 【题型五】切线的性质的应用 【例5】如图，是的直径，，是的弦，是的切线，为切点，与交于点．若点为的中点，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图：连接，根据切线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，由点为的中点可得,最后等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：如图：连接，    ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴, 故选：C． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 【变式5-1】如图，BC与⊙O相切于点C，线段BO交⊙O于点A，过点A作⊙O的切线交BC于点D．若CD＝3，AB＝4，则⊙O的半径等于（　　） A．4 B．5 C．6 D．12 【答案】C． 【分析】根据切线的性质得到AD＝CD＝3，∠BCO＝∠BAD＝90°，根据勾股定理得到BD5，求得BC＝8，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵DA，CD是⊙O的切线， ∴AD＝CD＝3，∠BCO＝∠BAD＝90°， ∵AB＝4， ∴BD5， ∴BC＝8， ∵OC2+BC2＝OB2， ∴OA2+82＝（OA+4）2， 解得OA＝6， ∴⊙O的半径等于6， 故选：C． 【点睛】本题考查的是切线的性质、切线长定理、勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 【变式5-2】如图，AB是半圆O的直径，点P为BA延长线上一点，PC是⊙O的切线，切点为C，过点B作BD⊥PC交PC的延长线于点D，连接BC．若CD＝2，BD＝4，则⊙O的半径为（　　） A．3 B．2 C．2.5 D．2 【答案】C． 【分析】连接OC，作OI⊥BD于点I，由PC与⊙O相切于点C，得PC⊥OC，而BD⊥PC交PC的延长线于点D，则∠OCD＝∠CDI＝∠OID＝90°，所以四边形OCDI是矩形，则OE＝CD＝2，ID＝OC＝OB，由BI2+OI2＝OB2，BI＝4﹣ID＝4﹣OB，得（4﹣OB）2+22＝OB2，求得OB＝2.5，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵连接OC，作OI⊥BD于点I， ∵PC与⊙O相切于点C， ∴PC⊥OC， ∵BD⊥PC交PC的延长线于点D， ∴∠OCD＝∠CDI＝∠OID＝90°， ∴四边形OCDI是矩形， ∴OE＝CD＝2，ID＝OC＝OB， ∵∠OIB＝90°，BD＝4， ∴BI2+OI2＝OB2，BI＝4﹣ID＝4﹣OB， ∴（4﹣OB）2+22＝OB2， 解得OB＝2.5， ∴⊙O的半径为2.5， 故选：C． 【点睛】此题重点考查切线的性质、矩形的性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线并且根据勾股定理列方程是解题的关键． 【题型六】 切线长定理求角度 【例6】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，，是的切线，，为切点，连接，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．据此解答即可． 【详解】解：∵，是的切线，，为切点，连接，， ∴平分， ∴． 【变式6-1】如图，、是的切线，其中A、B为切点，点C在上，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和，连接、，利用切线的性质得到，进而得到，利用圆周角定理得到，进而即可得到． 【详解】解：连接、，如图， 、是的切线， ，， ， ， ， ． 故选：B． 【变式6-2】如图，，是的切线，点，是切点，点是上一点，连结和．若，则的度数为（    ） A．50° B．65° C．75° D．130° 【答案】B 【分析】直接利用切线的性质得出∠ABO＝∠ACO＝90°，进而利用四边形内角和定理得出∠BOC＝130°，再利用圆周角定理得出答案． 【详解】解：连接BO，CO， ∵AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C， ∴∠ABO＝∠ACO＝90°， ∵∠BAC＝50°， ∴∠BOC＝130°， ∴∠BDC＝65°． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理以及四边形内角和定理，得出∠BOC的度数是解题关键． 【题型七】 切线长定理求线段长 【例7】（26-27九年级上·北京·课后作业）如图所示，P是外一点，分别和切于两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交于．若的周长为12，则的长为（     ） A．12 B．6 C．8 D．4 【答案】B 【分析】根据切线长定理得到，，再根据的周长为12得到，即可求出的长． 【详解】解；∵分别和切于两点， ∴， ∵过C作的切线分别交于． ∴， ∴， ∴的周长为12， ∴， ∴ 【变式7-1】（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，，是的切线，，为切点，连结，长为，，则的半径为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由切线的性质可得，，进而可证明，则，使用三角函数计算出的值即可． 【详解】解：∵，是的切线， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，． 【变式7-2】如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB＝6cm，OC＝8cm，则BE+CG的长等于（　　） A．13 B．12 C．11 D．10 【答案】D 【分析】根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明∠BOC＝90°，再根据勾股定理即可求得BC的长，再结合切线长定理即可求解． 【详解】解：∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∵CD、BC，AB分别与⊙O相切于G、F、E， ∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠BCD，BE＝BF，CG＝CF， ∴∠OBC+∠OCB＝90°， ∴∠BOC＝90°， ∴BC10， ∴BE+CG＝10（cm）． 故选：D． 【点睛】此题主要是考查了切线长定理．从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，且圆心和这点的连线平分两条切线的夹角． 【题型八】切线长定理求周长或面积 【例8】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知以为直径的半圆O与四边形的另外三边都相切，切点分别为D，C，E，若半圆O的半径为2，长为5，则四边形的周长为（   ） A．9 B．10 C．12 D．14 【答案】D 【分析】由切线长定理可知：，因此四边形的周长，已知了和圆的半径，由此可求出四边形的周长． 【详解】解：∵半圆O与四边形的边相切，切点分别为D，E，C， ∴， ∴， ∵， ∴四边形的周长． 【变式8-1】（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，正方形的边长为．以正方形的一边为直径，在正方形内作半圆O，再过点A作半圆O的切线，与半圆O相切于点F，与相交于点E，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据切线长定理有，；设．则，，然后在三角形中由勾股定理可以列出关于的方程，解方程即可求出，然后就可以求出的面积． 【详解】解：与圆切于点， 显然根据切线长定理有，， 设， 则，， 在三角形中由勾股定理得： ， ， ， ， ． 【变式8-2】（2026·辽宁抚顺·模拟预测）如图，圆 O是的内切圆，，交于点D，交于点E，且是O的切线．若的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与O相切于点M，N，F，与圆O相切于点G．利用切线长定理得出，结合三角形周长及等量代换求解即可 【详解】解：设与O相切于点M，N，F，与圆O相切于点G． ∴． ∴． ∵的周长是， ∴． ∴． ∴的周长为 【题型九】三角形内切圆求角度 【例9】（2026·山东青岛·一模）如图，是的内切圆，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理可得，再由三角形内切圆的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的内切圆， ∴平分， ∴， ∴， ∴． 【变式9-1】如图所示，已知⊙I是△ABC的内切圆，D、E、F是切点，∠C＝60°，∠DIF＝140°，则∠B为（　　） A．40° B．50° C．60° D．80° 【答案】D 【分析】先利用切线的性质得∠IDA＝∠IFA＝90°，则根据四边形的内角和得到∠A+∠DIF＝180°，然后利用三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】解：∵圆I是△ABC的内切圆， ∴ID⊥AB，IF⊥AC， ∴∠IDA＝∠IFA＝90°， ∴∠A+∠DIF＝180°， ∵∠DIF＝140°， ∴∠A＝180°﹣140°＝40°， ∵∠C＝60°， ∴∠B＝180°﹣40°﹣60°＝80°． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，解决本题的关键是掌握内心定义． 【变式9-2】如图，是等边的内切圆，分别切于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是（　 　）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先连接，再根据切线的性质得，然后根据等边三角形的性质得，接下来根据四边形内角和定理求出，最后根据圆周角定理得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的内切圆， ∴， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 【题型十】 三角形内切圆求长度 【例10】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，的内切圆与，，相切于点，，，已知，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，，，，，．根据题意可知，且，，，再根据求出，设，根据切线长定理得出，，，求出，再根据勾股定理求出，结合，可知是的垂直平分线，然后根据求出，进而得出答案． 【详解】解：连接，，，，，． ∵的内切圆与、、相切于点、、， ∴，且，，， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴， 设，则，，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， 即， 解得， ∴． 【变式10-1】（25-26九年级上·云南昆明·阶段检测）如图，的内切圆与，，分别相切于点D、E、F，且，，，则的长为______． 【答案】8 【分析】本题考查了切线长定理的应用，根据切线长定理列出方程组是解题的关键． 根据切线长定理可知，，，由线段的数量关系列出方程组，即可求解． 【详解】解：∵的内切圆与，，分别相切于点D、E、F， ∴，，， 设，，， ∵，，， ∴， 解得，则． 故答案为：8． 【变式10-2】（24-25九年级上·广东汕头·期中）如图，矩形中，，，连接，和分别是和的内切圆，则的长是___________． 【答案】 【分析】利用矩形的性质得到，全等的两个三角形内切圆的半径相等；利用勾股定理求出的长度，再计算出内切圆的半径；构造直角三角形求解． 【详解】解：四边形是矩形 ，， 又， ， 和的半径相等， 在中，，， ， 的半径 ； 连接P、Q，过点Q作，过点P作交于点E，则，如下图所示： 在 中， ， ， ． 【点睛】掌握“直角三角形内切圆的半径两条直角边的和减去斜边．”是解题的关键． 【题型十一】 三角形内切圆求面积 【例11】等边三角形的边长为4，则它的内切圆面积等于　 　． 【答案】． 【分析】根据题意画出等边三角形ABC与内切圆O．首先根据三角形面积计算公式求出S△ABC，再观察发现三角形ABC的内切圆半径，恰好是三角形ABC内三个三角形的高，因而可以通过面积S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC来计算半径，根据面积公式计算即可． 【详解】解：设⊙O与△ABC相切于D，E，F，连接CD， ∵三角形ABC是等边三角形， ∴CD过点O，CD⊥AB， ∴CDAB＝2， ∴S△ABCAB•CD＝4， 设内切圆半径为r， ∴S△ABC（AB+BC+AC）r＝4， ∴r， ∴内切圆面积＝π×（）2π． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆和内心，等边三角形的性质，三角形的面积，正确的画出图形是解题的关键． 【变式11-1】（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，半径为1的与的边分别相切于点D、E、F，若，，，则面积为______ 【答案】9 【分析】本题考查切线长定理，三角形内切圆，掌握知识点是解题的关键． 连接， 推导出，，再根据，代入计算即可． 【详解】解：连接，如图， ∵半径为1的与的边分别相切于点D、E、F，若，，， ∴ ， ， ∴， ∴ ． 故答案为：9． 【变式11-2】如图，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD．若∠ABD＝∠ACD＝30°，AD＝1，则△ABC的内切圆面积　 （结果保留π）． 【答案】． 【分析】根据AB＝CB，AD＝CD，得出BD为AC的垂直平分线；利用等腰三角形的三线合一可得∠ABC＝60°，进而得出△ABC为等边三角形；利用∠ACD＝30°，得出△BCD为直角三角形，解直角三角形，求得等边三角形ABC的边长，再利用内心的性质求出圆的半径，圆的面积可求． 【详解】解：如图，设AC与BD交于点F，△ABC的内心为O，连接OA． ∵AB＝CB，AD＝CD， ∴BD是线段AC的垂直平分线． ∴AC⊥BD，AF＝FC． ∵AB＝BC，BF⊥AC， ∴∠ABF＝∠CBF＝30°． ∴∠ABC＝60°． ∴△ABC为等边三角形． ∴∠BAC＝∠ACB＝60°． ∵∠ACD＝30°， ∴∠BCD＝∠ACD+∠ACB＝30°+60°＝90°． ∵CD＝AD＝1， ∴BC． ∴AB＝BC＝AC． ∵AB＝BC，BF⊥AC， ∴AFAC． ∵O为，△ABC的内心， ∴∠OAF∠BAC＝30°． ∴OF＝． ∴△ABC的内切圆面积为π•． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆及内心的性质，利用内心为三个内角平分线的交点得出角平分线是解题的关键． 【题型十二】 直角三角形的内切圆的有关计算 【例12】（25-26九年级上·江西南昌·期末）如图，在Rt中，，是的内切圆，三个切点分别为，，，若，，则的半径是（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【答案】C 【分析】本题考查切线长定理、三角形的内切圆及勾股定理，解题的关键是理解切线长定理、三角形的内切圆的性质． 根据切线长定理得到，，，代入求解即可得到答案． 【详解】解：连接，， 设的半径为， 在四边形中，， 四边形为矩形， 又， 四边形为正方形， 则， 由切线长定理得：，， ，， 在中，， ， 解得：或（负值舍去）， 故选：C． 【变式12-1】（25-26九年级上·河北沧州·期中）《九章算术》中有题为：如图，在中，，步，步，是的内切圆，则的直径为（   ） A．4步 B．5步 C．6步 D．7步 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理、三角形的内切圆、等面积法等知识点，灵活运用等面积法求线段的长是解题的关键． 先根据勾股定理求得步，如图：过O作，则半径为，再运用等面积法求得，进而求得的直径． 【详解】解：∵在中，，步，步， ∴步， 如图：过O作，则半径为，连接， ∵， ∴， 解得：， ∴的直径为步． 故选：A． 【变式12-2】（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，为的内切圆，与三边的切点分别为D、E、F，则的面积为__________（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内切圆，切线的性质，勾股定理等知识，根据面积法求出半径r是解题的关键． 连接，，，，，，设，先由勾股定理求出的长，然后由面积法可求出半径r，从而根据圆的面积公式可计算出圆的面积． 【详解】解：如图，连接，，，，，． 设， 由勾股定理得． ， ， 解得， 的面积为． 故答案为：． 【题型十三】 正多边形相关的概念 【例13】下列命题正确的是（　　） A．各边相等的多边形是正多边形 B．正多边形一定是中心对称图形 C．各角相等的圆内接多边形是正多边形 D．正多边形外接圆的半径是正多边形的半径 【答案】D． 【分析】根据正多边的定义对A进行判断；根据正多边的性质对B进行判断；利用矩形对C进行判断；根据正多边形的半径对D进行判断． 【详解】解：A、各边相等，各内角相等的多边形是正多边形，所以A选项错误； B、当正多边形的边数为偶数时，它一定是中心对称，所以B选项错误； C、各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形，若圆的内接矩形，所以C选项错误； D、正多边形外接圆的半径是正多边形的半径，所以D选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理． 【变式13-1】下列说法中，错误的是（　　） A．正多边形的外接圆的圆心，就是它的中心 B．正多边形的外接圆的半径，就是它的半径 C．正多边形的内切圆的半径，就是它的边心距 D．正多边形的外接圆的圆心角，就是它的中心角 【答案】D． 【分析】根据正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念进行判断即可． 【详解】解：A、正多边形的外接圆的圆心，就是它的中心，说法正确，不合题意； B、正多边形的外接圆的半径，就是它的半径，说法正确，不合题意； C、正多边形的内切圆的半径，就是它的边心距，说法正确，不合题意； D、正多边形的外接圆的圆心角，就是它的中心角，说法错误，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心、半径、边心距、中心角的概念是解题的关键． 【变式13-2】下列关于正多边形的叙述，正确的是（　　） A．正九边形既是轴对称图形又是中心对称图形 B．存在一个正多边形，它的外角和为720° C．任何正多边形都有一个外接圆 D．不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形 【答案】C． 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义可判断选项A，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴； 根据多边形的内角和公式可判断选项B，多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数）； 根据正多边形与圆的关系可判断选项C； 根据多边形的内角与外角可判断选项D． 【详解】解：A．正九边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．任意多边形的外角和为360°，故本选项不合题意； C．任何正多边形都有且只有一个外接圆，故本选项符合题意； D．正三角形的每个外角都是对应每个内角两倍，故本选项不合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形，轴对称图形以及多边形内角与外角，熟记相关定义是解答本题的关键． 【题型十四】 正多边形相关的计算 【例14】（2026·江苏连云港·二模）如图，正六边形内接于，点P是上的任意一点，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，根据正六边形的性质求出圆心角的度数，再利用圆周角定理即可求出的大小 【详解】解：连接、，如图所示： 六边形是正六边形， ， 点是上的任意一点，是所对的圆周角， ． 【变式14-1】（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，正六边形内接于，的半径为3，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据正多边形的中心角公式，得出，进而判定是等边三角形即可求解． 【详解】解：正六边形内接于，的半径为3， ，， 是等边三角形， ． 【变式14-2】（26-27九年级上·山东德州·开学考试）如图，点是正五边形的中心，，连接，则的度数为__________． 【答案】36 【分析】根据正五边形的性质求出中心角的度数及，由两组对边分别平行判定四边形为平行四边形，结合邻边相等判定为菱形，利用菱形的对角线平分对角的性质，即可求解． 【详解】解：∵点是正五边形的中心， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，平分， ∴． 【变式14-3】（25-26九年级上·河南安阳·期末）如图，正六边形内接于为上一点，连接． (1)求的度数； (2)当点为的中点时，是的内接正边形的一边，求的值． 【答案】(1) (2)12 【分析】本题主要考查了正多边形和圆以及圆周角定理、正六边形的性质，解题的关键是熟练掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半． （1）连接，先根据正六边形的性质求出圆心角的度数，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，进行求解即可； （2）连接，，，求出圆心角的度数，再根据度数关系求边数即可． 【详解】（1）解：如图1，连接， 正六边形内接于， ． ； （2）解：如图2，连接，，， 正六边形内接于， ． 点为的中点， ， ． 【题型一】切线判定条件不全 【例1】下列四个选项中的表述，一定正确的是（    ） A．经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 B．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 D．经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线 【答案】C 【分析】根据切线的判定对各个选项进行分析，从而得到答案． 【详解】由切线的判定定理可知：经过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线， 故A，B，D选项不正确，C选项正确， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了圆中切线的判定，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键． 易错警示 判断或证明直线是切线，必须同时满足“经过半径外端”和“垂直于半径”两个条件；已知公共点要“连半径证垂直”，未知公共点要“作垂线证d＝r”，不要只凭一个条件下结论． 【变式1-1】如图，已知、分别为的直径和弦，为 的中点，垂直于的延长线于，连接，若，，下列结论一定错误的是(     ) A．DE是⊙O的切线 B．直径AB长为20cm C．弦AC长为16cm D．C为 的中点 【答案】D 【分析】AB是圆的直径，则∠ACB=90°，根据DE垂直于AC的延长线于E，可以证得ED∥BC，则DE⊥OD，即可证得DE是圆的切线，根据切割线定理即可求得AC的长，连接OD，交BC与点F，则四边形DECF是矩形，根据垂径定理即可求得半径． 【详解】解：连接OD，OC． ∵D是弧BC的中点，则OD⊥BC， ∴DE是圆的切线．故A正确； ∴DE2=CE?AE 即：36=2AE ∴AE=18，则AC=AE-CE=18-2=16cm．故C正确； ∵AB是圆的直径． ∴∠ACB=90°， ∵DE垂直于AC的延长线于E． D是弧BC的中点，则OD⊥BC， ∴四边形CFDE是矩形． ∴CF=DE=6cm．BC=2CF=12cm． 在直角△ABC中，根据勾股定理可得：AB=．故B正确； 在直角△ABC中，AC=16，AB=20， 则∠ABC≠30°， 而D是弧BC的中点． ∴弧AC≠弧CD． 故D错误． 故选D． 【变式1-2】在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是 ．（写一个条件即可） 【答案】∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一） 【分析】根据切线的判定条件，只需要得到∠BAT=90°即可求解，因此只需要添加条件：∠ABT=∠ATB=45°即可． 【详解】解：添加条件：∠ABT=∠ATB=45°， ∵∠ABT=∠ATB=45°， ∴∠BAT=90°， 又∵AB是圆O的直径， ∴AT是圆O的切线， 故答案为：∠ABT=∠ATB=45°（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，三角形内角和定理，熟知圆切线的判定条件是解题的关键． 【题型二】切线性质运用不当 【例2】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是的直径，C为上一点，过点C作的切线，此切线与的延长线相交于点D，，垂足为E．求证：平分． 【答案】证明：如下图，连接， 是的切线，是半径， ，即， ， ， ， ， ， ， ， 平分． 【分析】根据切线的性质求出，根据直角三角形的性质求出，根据等边对等角求出，得到，即可得答案． 【详解】证明：略． 易错警示 圆的切线垂直于过切点的半径，辅助线一般是连接圆心与切点．不要误以为切线垂直于任意一条半径，只有“过切点的半径”才与切线垂直；也不要忘记过圆心作切线的垂线也过切点． 【变式2-1】如图：P是的直径的延长线上一点，是的切线，A为切点，，则 ． 【答案】 【分析】如图，连接，由是的切线，可得，则，由圆周角定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， 由圆周角定理得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质及圆周角定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【变式2-2】（25-26九年级上·河南信阳·期末）如图，四边形内接于，是的直径，过点A作的切线，交的延长线于点E，且． (1)求证：平分； (2)已知，的半径为，求的长． 【答案】(1) 证明：连接， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； (2) 【分析】（1）连接，利用等腰三角形的性质，平行线的判定和性质证明即可； （2）过点O作，垂足为点F，根据矩形的判定和性质，垂径定理，勾股定理解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：过点O作，垂足为点F， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵，的半径为． 在中，， ， 即． 【题型三】忽视点的位置导致漏解 【例3】（24-25九年级上·全国·期末）如图，在中，，，，是它的内切圆，用剪刀沿切线剪一个，则的周长为（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，解决本题的关键是掌握切线的性质．设的内切圆切三边于点，连接，由切线长定理可知，根据是的切线，可得，，根据勾股定理可得，得四边形是正方形，再求出内切圆的半径为，进而可得的周长． 【详解】解：如图，设的内切圆切三边于点、、，连接、、，    由切线长定理可知，，， ∵是的切线， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 则四边形是正方形， ∵是的内切圆， ∴内切圆的半径， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为：． 故选：B． 易错警示 一般三角形用面积法r＝S/p（S＝rp）；直角三角形才可用r＝（a＋b－c）/2。不要把两者混用，也不要误把半周长p写成周长，求内切圆半径时要先判断三角形类型再选公式． 【变式3-1】（25-26九年级上·全国·课后作业）已知的三边长a，b，c满足，则的内切圆半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】因为一个数的平方、算术平方根、绝对值是非负数，所以可求、、的值，由勾股定理的逆定理可证是直角三角形，用面积法可求内切圆半径． 【详解】解：， ，，． ， ， 是直角三角形． 设内切圆的半径为． 根据题意，得，即， 解得 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理的逆定理，利用三角形的面积公式求内切圆半径是解答本题的关键． 【变式3-2】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，是的内切圆，半径为，则图中阴影部分的面积是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线长定理、勾股定理，首先过点作，设，利用切线长定理可得：，从而解出，利用勾股定理可得关于的方程，解方程求出的值，可得三角形另外两边的长，再根据计算即可． 【详解】解：如下图所示， 过点作， 又∵， ∴四边形是矩形 ， ∵是的内切圆，半径为， ∴ ， 设， 则有， ∵， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ， 解得：， ， ， ∴． 故选：B． 【题型一】切线的判定（有交点） 【例1】（24-25九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）已知是的直径， C是圆外一点，直线交于点， ， 不重合， 平分交于点E，过E作，垂足为F． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，的直径为，求． 【答案】(1)解：与相切，理由如下： 如图所示，连接， ， ， 平分交于点E， ， ， ， ， ， ， 为半径， 与相切； (2) 【分析】（1）连接，由角平分线的定义及等腰三角形的性质得到，再由平行线的性质得到为，从而得到与相切； （2）过点作于点，结合上一问可得四边形为矩形，设，，由勾股定理列方程可求出的长，再由垂径定理即可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：过点作于点， ， 四边形为矩形， ，， ， ， 设，，， ， ， 解得（舍去）， ， ， ． 【变式1-1】（2026·广东梅州·二模）如图， 是 的直径，是 的弦，点D是的中点．过点D作交的延长线于点E．四边形内接于 ，是 的直径，连接． (1)若，求的度数； (2)求证：是的切线． 【答案】(1) (2)证明：如图，连接． ∵点D是的中点， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∵ 是 的半径， ∴是 的切线． 【分析】（1）证明 是等腰直角三角形，即可求解； （2）利用垂径定理求得，推出，即可得到，据此即可证明是 的切线； 【详解】（1）解：如图，连接． ∵ 是 的直径， ∴ ． ∵， ∴， 则 是等腰直角三角形． ∴； （2）略 【变式1-2】如图，为的直径，点、在上，且点是的中点，过点作的垂线交直线于点． (1)求证：是的切线． (2)若，的半径为，求的长． 【答案】(1)证明：连接，如图， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； (2) 【分析】（1）连接，证明即可； （2）连接，由圆周角定理求出，由弧长公式即可求解． 【详解】（1）证明：略； （2）解：连接，如图， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型二】 切线的判定（无交点） 【例2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3． （1）求证：AC是⊙D的切线； （2）求线段AC的长． 【答案】（1）见详解；（2）8． 【分析】（1）过点D作DF⊥AC于F，求出BD＝DF等于半径，得出AC是⊙D的切线． （2）先证明△BDE≌△DCF（HL），根据全等三角形对应边相等及切线的性质的AB＝AF，得出AB+EB＝AC． 【详解】证明：（1）过点D作DF⊥AC于F； ∵AB为⊙D的切线， ∴∠B＝90° ∴AB⊥BC ∵AD平分∠BAC，DF⊥AC ∴BD＝DF ∴AC与⊙D相切； （2）在△BDE和△DCF中； ∵BD＝DF，DE＝DC， ∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL）， ∴EB＝FC． ∵AB＝AF， ∴AB+EB＝AF+FC， 即AB+EB＝AC， ∴AC＝5+3＝8． 【变式2-1】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，CB＝CD，连接BD，以点B为圆心，BA长为半径作⊙B，交BD于点E． （1）试判断CD与⊙B的位置关系，并说明理由． （2）若AB＝6，∠BDC＝60°，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）相切，理由见解析；（2） 【分析】(1)过点B作BF⊥CD，证明△ABD≌△FBD，得到BF= BA，即可证明CD与圆B相切； (2)先证明△BCD是等边三角形，根据三线合得到∠ABD= 30°，求出AD，再利用阴影部分的面积= S△ABD－S扇形ABE求出阴影部分面积． 【详解】解：(1) 过点B作BF⊥CD，垂足为F， ∴∠BFD=90°， ∵ADBC，∠ABC＝90°， ∴∠ABC＝90°， ∴∠BAD=90°， ∴∠BAD=∠BFD， ∵ADBC， ∴∠ADB= ∠CBD， ∴CB= CD， ∴∠CBD= ∠CDB， ∴∠ADB = ∠CDB， 在△ABD和△FBD中 ， ， ∴△ABD≌△FBD (AAS)， ∴BF= BA，则点F在圆B上， ∴CD与⊙B相切； (2) ∵∠BCD= 60°，CB= CD， ∴△BCD是等边三角形， ∴∠CBD = 60°， ∵ BF⊥CD， ∴∠ABD= ∠DBF= ∠CBF= 30 °， ∴∠ABF= 60 °， ∵ AB= BF= 6， ∴AD= DF° = 2， ∴阴影部分的面积= S△ABD－S扇形ABE = = ． 【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积，三角函数的定义，题目的综合性较强，解题的关键是正确作出辅助线． 【变式2-2】如图，在中，，于点，于点，以点为圆心，为半径作圆交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，在边上是否存在一点使有最小值，如果存在，请求出的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）过点作，利用等腰三角形的三线合一的性质和角平分线的性质证明线段半径，根据切线的定义即可得出结论； （2）延长交于点，连接交于点，利用轴对称的性质中的将军饮马模型可得点为所求的点；连接，过点作于点H，利用等边三角形的判定定理可得为等边三角形，利用等腰三角形的性质与直角三角形的边角关系定理可求与的长，再利用勾股定理即可求得结论． 【详解】（1）证明：过点作与点，如图， ∵，， ∴平分． ∵，， ∴． ∵是圆的半径， ∴是圆的半径． 即：经过半径OD的外端，且垂直于半径， ∴是的切线； （2）解：在边上存在一点使有最小值． 延长交于点，连接交于点，连接，则此时最小． 连接，过点作于点，如图， ∵，， ∴为等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴在中，． ∴在中，． ∵，， ∴． ∴． ∴在边上存在一点P使有最小值．的最小值为． 【题型三】切线的判定与性质的综合应用 【例3】如图，已知四边形是菱形，，点是对角线上的一点，与相切于点，交于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若菱形的边长为5，点是的中点，求的长． 【答案】(1) 证明：如图所示，过点O作于H，连接， ∵与相切于点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴平分， ∵，， ∴， ∴点H在上，即是的半径， ∴是的切线； (2) 【分析】本题主要考查了切线的性质与判定，菱形的性质，解直角三角形，角平分线的性质，熟知菱形的性质和切线的性质与判定定理是解题的关键； （1）过点O作于H，连接，由切线的性质得到，由菱形的性质得到平分，则由角平分线的性质得到，据此可证明是的半径，则是的切线； （2）连接，则，点F即为的交点，由切线的性质得到，解得到，，则可得到，解得到，进而得到；则点E为的中点，即可得到 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形，点F为的中点， ∴，点F为的交点， ∵与相切于点， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； ∴，即点E为的中点， ∴ 【变式3-1】如图，为的直径，为上一点，，交于点，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)为上一点，连接，若，，，求的半径． 【答案】(1) 证明：如图，连， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为的半径， 为的切线； (2)． 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，切线的性质和判定，平行线的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连，证明，可得，证明，可得，则，结论得证； （2）延长交于点，由（1）知，求出，可求出，设半径为，则，解方程即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，延长交于点，由（1）知， ， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理得：， 设半径为，则， ， ． 的半径为． 【变式3-2】（25-26九年级下·广东中山·阶段检测）如图，四边形是平行四边形，以O为圆心，为半径的圆交于D，延长交于E，连接，，若是的切线． (1)求证：是的切线； (2)若，则的面积＝______． 【答案】(1) 证明：连接，如图所示： 四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， 是的切线， ，即， ，即， 是的半径， 是的切线． (2) 【分析】（1）首先连接．根据平行四边形的性质，可知，从而得到内错角相等，即，．又因为和都是圆的半径，所以，根据等边对等角，得到．通过等量代换，可得．然后利用“边角边”证明和全等．根据全等三角形对应角相等的性质，得到．因为是的切线，所以，即．因此，，即．最后根据切线的判定定理，得出是的切线． （2）首先过点作于点．在中，已知斜边，直角边，根据勾股定理求出另一直角边的长度，即圆的半径．因为也是半径，所以．然后利用三角形面积公式，通过面积相等法（）求出高的长度．接着在中，利用勾股定理求出的长度．根据垂径定理，，得 ．然后计算出的长度，．最后利用三角形面积公式计算的面积． 【详解】（1）略 （2）解：过点作于点，连接，如图所示： 在中，，， 根据勾股定理，得， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 解得， 在中，根据勾股定理，得， ， ， ， ． 【题型四】 切线长定理的综合应用 【例4】如图，⊙O是梯形ABCD的内切圆，AB∥DC，E、M、F、N分别是边AB、BC、CD、DA上的切点． （1）求证：AB+CD=AD+BC （2）求∠AOD的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）90°. 【分析】（1）根据切线长定理可证得AE=AN，BE=BM，DF=DN，CF=CM，进而证明AB+DC=AD+BC； （2）连OE、ON、OM、OF，通过证明△OAE≌△OAN，得到∠OAE=∠OAN．同理：∠ODN=∠ODE，再利用平行线的性质：同旁内角互补即可求出∠AOD的度数． 【详解】（1）证明：∵⊙O切梯形ABCD于E、M、F、N，由切线长定理：AE=AN，BE=BM，DF=DN，CF=CM， ∴AE+BE+DF+CF=AN+BM+DN+CM， ∴AB+DC=AD+BC （2）连OE、ON、OM、OF， ∵OE=ON，AE=AN，OA=OA， ∴△OAE≌△OAN， ∴∠OAE=∠OAN． 同理，∠ODN=∠ODF． ∴∠OAN+∠ODN=∠OAE+∠ODE． 又∵AB∥DC，∠EAN+∠CDN=180°， ∴∠OAN+∠ODN=×180°=90°， ∴∠AOD=180°﹣90°=90°． 【点睛】本题考查了切线长定理和全等三角形的判定、全等三角形的性质以及平行线的性质：同旁内角互补，解题的关键是构造全等三角形． 【变式4-1】如图，Rt中，，为上一点，以为圆心，长为半径的圆恰好与相切于点，交于点，连接，并延长交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径及的长． 【答案】(1) 证明：如图，连接DE， ∵， ∴AB与相切， ∵AD与相切， ∴∠BAO=∠DAO，∠PDC=90°， ∴∠BAO=∠BAD， ∵∠BAD=90°-∠C，∠C=90°-∠COD， ∴∠BAO= =∠F； (2)的半径为1.5， 【分析】（1）连接DE，根据切线长定理可得∠BAO=∠DAO，∠PDC=90°，从而得到∠BAO=∠BAD，从而得到∠BAO= =∠F，即可求证； （2）根据切线长定理可得AB=AD=3，再由勾股定理可得BC=4，设的半径为x，则OD=x，OC=4-x，在中，由勾股定理可得的半径为1.5，由（1）可得，在中，由勾股定理，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵AB与相切，AD与相切， ∴AB=AD=3， ∵CD=2， ∴AC=5， ∴BC=4， 设的半径为x，则OD=x，OC=4-x， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得：x=1.5， ∴的半径为1.5，即OB=1.5， ∵DF为直径，DF=3， ∴∠DEF=90°， ∵， ∴， ∴EF=2DE， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得：或（舍去）． 【点睛】本题主要考查了切线长定理，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握切线长定理，圆周角定理是解题的关键． 【变式4-2】如图，AB、CB、CD分别与⊙O切于E，F，G，且AB∥CD．连接OB、OC，延长CO交⊙O于点M，过点M作MN∥OB交CD于N． （1）当OB＝6cm，OC＝8cm时，求⊙O的半径； （2）求证：MN＝NG． 【答案】（1）⊙O的半径为4.8；（2）见解析. 【分析】（1）根据切线的性质得到OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC，再根据平行线的性质得∠GCF+∠EBF=180°，则有∠OBC+∠OCB=90°，即∠BOC=90°；连接OF，则OF⊥BC，根据勾股定理就可以求出BC的长，然后根据△BOC的面积就可以求出⊙O的半径； （2）根据切线的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）∵AB、BC、CD分别与⊙O切于E、F、G， ∴OB平分∠EBF，OC平分∠GCF，OF⊥BC， ∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB=∠DCB， 又∵AB∥CD， ∴∠GCF+∠EBF=180°， ∴∠OBC+∠OCB=90°， ∴∠BOC=90°；， 连接OF，则OF⊥BC， 由（1）知，△BOC是直角三角形， ∴BC==10， ∵S△BOC=•OB•OC=•BC•OF， ∴6×8=10×OF， ∴OF=4.8， ∴⊙O的半径为4.8； （2）证明：∵AB、BC、CD分别与⊙O切于点E、F、G， ∴∠OBC=∠ABC，∠DCB=2∠DCM， ∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠DCB=180°， ∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠DCB）=×180°=90°， ∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-90°=90°， ∵MN∥OB， ∴∠NMC=∠BOC=90°， 即MN⊥MC 且MO是⊙O的半径， ∴MN是⊙O的切线， ∴MN=NG． 【点睛】此题考查切线的判定与性质定理，勾股定理，解题关键在于掌握过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线；圆的切线垂直于过切点的半径；过圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心与这点的连线平分两切线的夹角． 【题型一】三角形内切圆求最值 【例1】如图，在矩形中，，M是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到．当射线交线段于点P时，连接，则的面积为 ；的最大值为 ．    【答案】 【分析】（1）根据等底等高的三角形和矩形面积关系分析求解； （2）结合勾股定理分析可得，当最大时，即最大，通过分析点N的运动轨迹，结合勾股定理确定的最值，从而求得的最大值． 【详解】解：由题意可得的面积等于矩形的一半， ∴的面积为， 在中，， ∴当最大时，即最大， 由题意可得点N是在以D为圆心4为半径的圆上运动，当射线与圆相切时，最大，此时C、N、M三点共线，如图：    由题意可得：，， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握矩形和折叠的性质，分析点的运动轨迹，证明三角形全等是解决问题的关键． 【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，点A（－1，0），点B（1，0），点M（3，4），以M为圆心，2为半径作⊙M．若点P是⊙M上一个动点，则PA2＋PB2的最大值为 【答案】100 【分析】设点P（x，y），表示出PA2＋PB2的值，从而转化为求OP的最值，画出图形后可直观得出OP的最值，代入求解即可． 【详解】解：设P（x，y）， ∵PA2＝（x＋1）2＋y2，PB2＝（x−1）2＋y2， ∴PA2＋PB2＝2x2＋2y2＋2＝2（x2＋y2）＋2， ∵OP2＝x2＋y2， ∴PA2＋PB2＝2OP2＋2， 当点P处于OM与圆的交点P处时，OP取得最大值，如图， ∴OP的最大值为OP＝OM＋PM＝＋2＝7， ∴PA2＋PB2最大值为2×72＋2＝100． 故答案为：100． 【点睛】本题考查了圆的综合，解答本题的关键是设出点P坐标，将所求代数式的值转化为求解OP的最大值，难度较大． 【变式1-2】如图，在中，，，，的半径为．在内平移（可以沿边界移动），则点到上的点的距离最大值 ． 【答案】 【分析】当与和都相切时，连接并延长交于点D，则为点到上的点的距离最大值． 【详解】解：如图，设与和的切点分别为F，E，连接，，连接并延长交于点D， 则，， 在中，，，， ，， ，，， ， 的半径为， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查切线的定义，角平分线性质定理的逆定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等，解题的关键是确定点到上的点的距离取最大值时的位置． 【题型二】 三角形的内切圆的综合问题 【例2】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，是的内切圆，与分别相切于点D、E、F，，． (1)求的三个内角的大小： (2)设的半径为1，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题主要考查多边形内角和定理，切线长定理等知识，掌握切线长定理是关键． （1）根据相切的性质得到，再根据四边形内角和，三角形内角和定理的计算即可求解； （2）根据题意得到四边形是正方形，由切线长定理得到，设，则，结合含30度角的三角形的性质得到，由此即可得到，则得到的值，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵相切， ∴， 在四边形中，， ∴， 同理，， 在中，， ∴； （2）解：∵， ∴四边形是正方形， ∴， 设，则， 在中，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴． 【变式2-1】已知，如图，AB为⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，BC＞AC，点P是△ABC的内心，延长CP交⊙O于点D，连接BP． （1）求证：BD＝PD； （2）已知⊙O的半径是3，CD＝8，求BC的长． 【答案】（1）见详解；（2）4±2． 【分析】（1）由圆周角定理得出∠ACB＝90°，由内心得出∠ACD＝∠BCP＝45°，∠CBP＝∠EBP，∠ABD＝∠ACD＝45°，由三角形的外角性质得出∠DPB＝∠DBP，即可得出结论； （2）连接AD，由圆周角定理得出∠ABD＝45°，证出△ABD是等腰直角三角形，得出BDAB＝6，由勾股定理可求BH的长，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°， ∵点P是△ABC的内心， ∴∠ACD＝∠BCP＝45°，∠CBP＝∠EBP， ∴∠ABD＝∠ACD＝45°， ∵∠DPB＝∠BCP+∠CBP＝45°+∠CBP，∠DBP＝∠ABD+∠EBP＝45°+∠EBP， ∴∠DPB＝∠DBP， ∴BD＝DP； （2）解：连接AD，过点B作BH⊥CD于H，如图所示： ∵AB是直径，∠ABD＝45°， ∴AB＝6，△ABD是等腰直角三角形， ∴BDAB66， ∵∠BCD＝45°，BH⊥CD， ∴∠BCH＝∠CBH＝45°， ∴BH＝CH， ∴BCBH， ∵BD2＝DH2+BH2， ∴36＝（8﹣BH）2+BH2， ∴BH＝4±， ∴BC＝4±2． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心、圆周角定理、三角形的外角性质、等腰三角形的判定、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大． 【变式2-2】已知：如图1，在中，，，，与边、相切于点、．求： （1）当的半径为2时，求弧的长， （2）当与边相切时，求的半径。 （3）如图2，当的半径为时，与交于、两点，求的长， 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）连结、，求出，即可利用弧长公式求解； （2）为的内切圆，利用等面积法求的半径； （3）连结、、、，作于点，先求出,再间接求出, ,利用勾股定理求出所求边长的一半乘即可． 【详解】（1）如图，连结、， ∵圆与、相切于点、，， 又∵，∴， ∴弧． （2）解：当与边相切时，为的内切圆； ， ， 解得：． （3）如图，连结、、、，作于点， ∵，，， ∴，∴， 在中，， ∵，∴， ∴． 【点睛】本题考查了直角三角形的边与圆相切、直角三角形的内切圆问题、特殊角的三角函数值勾股定理，解题的关键是：要利用直线和圆相切的性质，构建直角三角形，利用勾股定理来求解． 【题型三】圆中的压轴题 【例3】（25-26九年级上·河北沧州·期末）为的一条弦，将弦绕点顺时针旋转得到，连接． (1)如图1，若与相切，判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，以为边作等边三角形，点落在上，连接，． ①求证：； ②若，求的最大值及此时的长． 【答案】(1)解：相切，理由如下： 连接， ∵与相切， ∴， ∴， ∵弦绕点顺时针旋转得到， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与相切． (2)① 证明：∵和都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴． ②4； 【分析】（1）连接，根据切线的性质和判定证明即可； （2）①先证明，然后证明即可； ②根据两点间线段最短，弧长公式计算即可． 本题考查了等边三角形的性质，切线的性质和判定，圆的性质，弧长公式，熟练掌握判定和性质，公式是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）① 略 ②解：∵ ∴， 连接， 当、、三点共线时，的值最大 此时， ∴， ． 【变式3-1】（24-25九年级上·云南楚雄·期中）已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，．    (1)求的度数； (2)求证：直线是的切线； (3)若，垂足为点M，的半径为4，求的长． 【答案】(1) (2) 证明：连接，    ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵点A在上，即是的半径， ∴直线是的切线． (3) 【分析】（1）根据直径所对圆周角等于求解即可 ； （2））先求出，进而求出，即可求出，从而求得，即可得出结论； （3）先求出，再用垂径定理得到，．从而得出，则，然后由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴． （2）略 （3）解：∵， ∴． ∵于点M， ∴，． ∴ ∴， 在中，，， ∴． ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理及其推论，垂径定理，切线的判定，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关定理的运用是解题的关键． 【变式3-2】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，是的直径，弦于点，点为上一点，，连接并延长交于点，过点作，分别交，的延长线于点，连接交于点H，连接，，． (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：如图，连接， 是的直径， ， ， 于点， ， ， ， ， ， 四边形内接于， ． ， ， ； (2) 证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ． ， ， ∴， 为的半径， ∴是的切线； (3) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，圆内接四边形等知识即可得到结论； （2）连接，由，得，由，得，进而得，继而可证明，，即可证明是的切线； （3）连接，，设，则，，，， ．．由，可求，进而可得，．设的半径为，由勾股定理可求，进而得，设，则，， 由勾股定理，得，解方程可得答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，连接，， ， 设，则，， ，，． ． ， ， 解得， ，． 设的半径为，则． 在中，， ， 解得， ， ， ， ， ， ． 设，则，， 在和中， 由勾股定理，得， ， 解得， ． 【点睛】本题主要涉及圆的相关性质：直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补、切线的判定等，勾股定理等，熟知相关性质定理，正确的做出辅助线是解题的关键． 技巧 一句话要点 判断位置关系——“比d与r” d＜r相交，d＝r相切，d＞r相离，先求圆心到直线距离d。 已知公共点判切线——“连半径证垂直” 连接公共点与圆心，证明半径垂直于直线。 未知公共点判切线——“作垂线证d＝r” 过圆心作直线的垂线段，证明垂线段长等于半径。 用切线性质——“连切点与圆心” 圆的切线垂直于过切点的半径，连半径构造垂直。 求切线长——“切线长相等” 从圆外一点引的两条切线长相等，可列等量关系。 证角相等——“圆心连线平分夹角” 圆外一点与圆心的连线平分两条切线的夹角。 求内切圆半径——“面积法S＝rp” 一般三角形内切圆半径r＝S/p。 求直角三角形内切圆半径——“套公式” r＝（a＋b－c）/2（a、b为直角边，c为斜边）。 解综合题——“分类讨论” 点或直线位置不确定时，要分多种情形讨论，不漏解。 构造直角三角形——“切点半径＋勾股” 利用切线垂直关系构造直角三角形，用勾股定理求线段。 找内心——“角平分线交点” 内心是三条角平分线的交点，到三边距离相等。 求正多边形中心角——“360°除以边数” 正n边形中心角＝360°/n，边心距即内切圆半径。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04-2 直线和圆的位置关系 目 录 识记类 思维导图 知识清单(6类) 考点清单(6类) 公式清单(8类) 辨析清单(10类) 题型类 高频题型清单(14类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(4类) 答题类 解题模型清单(3类) 答题技巧清单 知识点01 直线和圆的三种位置关系 1.直线和圆的三种位置关系：直线与圆有 公共点（相交，直线叫割线）；有 公共点（相切，直线叫切线，公共点叫切点）； 公共点（相离）． 2.设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，则：直线与圆相交⟺ ； 相切⟺ ；相离⟺ ． 知识点02 切线的判定定理 1.切线的判定定理：经过 的外端并且 这条半径的直线是圆的切线． 2.判定切线常用的两种方法：①利用判定定理（已知直线过圆上某点，连接该点与圆心，证垂直）；②作圆心到直线的垂线段，证垂线段长等于 ． 3.当直线与圆的公共点已知时，连半径、证垂直；当公共点未知时，作垂线、证d＝r． 知识点03 切线的性质定理 1.切线的性质定理：圆的切线 过切点的半径． 2.推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过 ． 3.推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过 ． 4.常用辅助线：过切点作半径（或连接圆心与切点），得到垂直关系． 知识点04 切线长定理 1.切线长：从圆外一点引圆的切线，这点和切点之间的线段长，叫做这点到圆的 ． 2.切线长定理：从圆外一点可以引圆的 切线，它们的切线长 ，这一点和圆心的连线平分两条切线的 ． 知识点05 三角形的内切圆 1.与三角形各边都 的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的 ，它是三角形三条 的交点． 2.内心到三角形各边的距离 （都等于内切圆半径r）． 3.若三角形面积为S，半周长为p，则内切圆半径r＝ （S＝r p）． 4.直角三角形的内切圆半径r＝ （a、b为直角边，c为斜边）． 知识点06 正多边形和圆（外切正多边形） 1.正多边形与圆：正多边形都有 和 ，且这两个圆是 ． 2.正多边形的中心：正多边形外接圆（或内切圆）的 ；中心到任意一边的距离 叫 （即内切圆半径）． 3.中心角：正n边形的中心角＝ ． 4.圆的外切正多边形：各边都与该圆 的正多边形，称为这个圆的外切正多边形． 考点01 直线和圆的位置关系的判定 考点内容：相离、相切、相交三种位置关系；由d与r的大小关系判定． ①由d与r判断直线和圆的位置关系； ②由位置关系确定参数（圆心到直线距离、半径等）的取值范围； ③结合图形识别割线、切线、切点． 考点02 切线的判定 考点内容：切线的判定定理；已知公共点连半径证垂直，未知公共点作垂线证d＝r． ①证明一条直线是圆的切线； ②由条件判定切线并求相关量； ③切线判定与其他几何知识的综合． 考点03 切线的性质 考点内容：切线的性质定理；推论；过切点连半径． ①利用切线垂直于过切点的半径求角或线段； ②由切线条件构造直角三角形解题； ③切线性质与圆周角、垂径定理综合． 考点04 切线长定理 考点内容：切线长概念；切线长定理（两条切线长相等，圆心连线平分夹角）． ①利用切线长相等求线段长度； ②由切线长定理求角或证明； ③切线长与周长、面积结合． 考点05 三角形的内切圆 考点内容：内切圆、内心；内心是角平分线交点；内切圆半径的求法． ①求三角形的内切圆半径； ②利用内心性质求角或线段； ③内切圆与三角形面积、周长的关系． 考点06 正多边形和圆（外切正多边形） 考点内容：正多边形的外接圆、内切圆；中心角、边心距；圆的外切正多边形． ①求正多边形的中心角、边心距； ②判断或识别圆的外切正多边形； ③正多边形与圆的综合应用． 1 位置关系与切线 序号 名称 结论（几何语言） 说明 1 三种位置关系 相离、相切、相交 按公共点个数分（0、1、2个） 2 位置判定 d＜r相交，d＝r相切， d＞r相离 d为圆心到直线的距离 3 切线判定定理 经过半径外端且垂直于半径的直线是切线 两条件缺一不可 4 切线性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径 连切点与圆心得垂直 5 切线长定理 从圆外一点引两条切线，切线长相等 圆心连线平分两切线的夹角 6 三角形内切圆 内切圆与三边相切，内心是角平分线交点 内心到三边距离等于半径 2 内切圆半径与正多边形和圆 序号 名称 结论（几何语言） 说明 7 内切圆半径 一般r＝ ；直角三角形r＝ 面积法与直角三角形公式 8 正多边形中心角 中心角＝ ，边心距垂直平分边 外切正多边形的各边与圆相切 辨析01 三种位置关系由公共点个数或d与r决定 直线与圆的位置关系可由公共点的个数（0、1、2）判定，也可由圆心到直线的距离d与半径r的关系（d＞r、d＝r、d＜r）判定，两者对应：相离、相切、相交． 辨析02 相切只有唯一公共点 直线与圆相切时，直线与圆有且只有一个公共点，这个点叫切点．不要把“相切”误认为有两个公共点，也不要与“相交”（两个公共点）混淆． 辨析03 切线判定需两个条件 切线的判定定理是“经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”，两个条件（过半径外端、垂直该半径）必须同时满足，缺一不可． 辨析04 过圆上一点只有一条切线 经过圆上的一点（切点）可以作圆的唯一一条切线；经过圆外一点可以作圆的两条切线．不要混淆圆上一点与圆外一点作切线的条数． 辨析05 切线垂直于过切点的半径 圆的切线垂直于过切点的半径．解题时常连接圆心与切点，利用垂直关系构造直角三角形，再结合勾股定理、三角函数等求解． 辨析06 过圆外一点引两条切线，切线长相等 从圆外一点可以引圆的两条切线，两条切线长相等，且该点与圆心的连线平分这两条切线的夹角．切线长是指“点到切点”的线段长，不是切线本身的长（切线是直线，无长度）． 辨析07 内心是角平分线的交点 三角形的内切圆圆心（内心）是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等（等于内切圆半径）．外心则是三边垂直平分线的交点，二者不要混淆． 辨析08 内切圆半径用面积法 设三角形面积为S、半周长为p，则内切圆半径r＝ （S＝r p）． 这个面积法适用于任意三角形，比单纯几何法更通用，常用于求内切圆半径． 辨析09 直角三角形内切圆半径公式 直角三角形的内切圆半径r＝ ，其中a、b为直角边，c为斜边．这个公式只在直角三角形中成立，一般三角形要用面积法r＝S/p． 辨析10 圆的外切正多边形 各边都与同一个圆相切的正多边形，叫做这个圆的外切正多边形．正多边形都有外接圆和内切圆且二者同心，内切圆的半径就是正多边形的边心距，中心角为360°/n，边心距垂直平分边． 【题型一】 直线和圆的位置关系 【例1】（26-27九年级上·北京·课后作业）圆的半径为，圆心与直线上某一点距离为，则直线与圆的位置关系不可能是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【变式1-1】（25-26九年级下·上海长宁·期中）已知及其所在平面内的直线l，P为直线l上的一点，如果半径为3，且，那么下列对直线l的表述不正确的是（   ） A．直线l可能经过圆心O B．直线l可能与相交 C．直线l可能与相切 D．直线l可能与相离 【变式1-2】（2026九年级上·四川南充·专题练习）已知的半径为，圆心到直线的距离为，则直线与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【题型二】 由直线和圆的位置关系确定公共点个数 【例2】已知⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离为2cm，则l与⊙O的交点个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2-1】已知，中，，斜边上的高为，以点为圆心，为半径的圆与该直线的交点个数为（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式2-2】在，，，，以A为圆心，长度为半径的圆与直线的公共点的个数为 个． 【题型三】由直线和圆的位置关系确定取值范围 【例3】（26-27九年级上·北京·课前预习）如图，，P为边上的一点，且，若以P为圆心，r为半径的圆与射线只有一个公共点，则半径r的取值范围是（     ） A． B． C． D．或 【变式3-1】52．（25-26九年级下·上海杨浦·期中）在平面直角坐标系中，已知点，以M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y轴相离，那么r可以取的值是（    ） A．6 B．7 C．8 D．10 【变式3-2】以坐标原点O为圆心，作半径为4的圆，若直线与⊙O相交，则b的取值范围 是（     ） A． B． C． D． 【题型四】 切线判定的多结论问题 【例4-1】如图所示，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于E，连接AD，则下列结论：①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OAAC；④DE是⊙O的切线，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-1】如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的圆O与边AB、CD分别交于点E、点F，给出下列说法：（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；（2）AF与DE的交点是圆O的圆心；（3）BC与圆O相切，其中正确说法的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式4-2】如图，点A是⊙O上一定点，点B是⊙O上一动点、连接OA、OB、AB、分别将线段AO、AB绕点A顺时针旋转60°到AA'，AB'，连接OA'，BB'，A'B'，OEB'，下列结论正确的有（　　） ①点A'在⊙O上；②△OAB≌△A'AB'；③∠BB′A′∠BOA′；④当OB′＝2OA时，AB′与⊙O相切． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【题型五】切线的性质的应用 【例5】如图，是的直径，，是的弦，是的切线，为切点，与交于点．若点为的中点，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【变式5-1】如图，BC与⊙O相切于点C，线段BO交⊙O于点A，过点A作⊙O的切线交BC于点D．若CD＝3，AB＝4，则⊙O的半径等于（　　） A．4 B．5 C．6 D．12 【变式5-2】如图，AB是半圆O的直径，点P为BA延长线上一点，PC是⊙O的切线，切点为C，过点B作BD⊥PC交PC的延长线于点D，连接BC．若CD＝2，BD＝4，则⊙O的半径为（　　） A．3 B．2 C．2.5 D．2 【题型六】 切线长定理求角度 【例6】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，，是的切线，，为切点，连接，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，、是的切线，其中A、B为切点，点C在上，，则等于（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，，是的切线，点，是切点，点是上一点，连结和．若，则的度数为（    ） A．50° B．65° C．75° D．130° 【题型七】 切线长定理求线段长 【例7】（26-27九年级上·北京·课后作业）如图所示，P是外一点，分别和切于两点，C是上任意一点，过C作的切线分别交于．若的周长为12，则的长为（     ） A．12 B．6 C．8 D．4 【变式7-1】（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，，是的切线，，为切点，连结，长为，，则的半径为（   ）． A． B． C． D． 【变式7-2】如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB＝6cm，OC＝8cm，则BE+CG的长等于（　　） A．13 B．12 C．11 D．10 【题型八】切线长定理求周长或面积 【例8】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知以为直径的半圆O与四边形的另外三边都相切，切点分别为D，C，E，若半圆O的半径为2，长为5，则四边形的周长为（   ） A．9 B．10 C．12 D．14 【变式8-1】（25-26九年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，正方形的边长为．以正方形的一边为直径，在正方形内作半圆O，再过点A作半圆O的切线，与半圆O相切于点F，与相交于点E，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2026·辽宁抚顺·模拟预测）如图，圆 O是的内切圆，，交于点D，交于点E，且是O的切线．若的周长为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【题型九】三角形内切圆求角度 【例9】（2026·山东青岛·一模）如图，是的内切圆，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】如图所示，已知⊙I是△ABC的内切圆，D、E、F是切点，∠C＝60°，∠DIF＝140°，则∠B为（　　） A．40° B．50° C．60° D．80° 【变式9-2】如图，是等边的内切圆，分别切于点E，F，D，P是上一点，则∠EPF的度数是（　 　）      A． B． C． D． 【题型十】 三角形内切圆求长度 【例10】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，的内切圆与，，相切于点，，，已知，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（25-26九年级上·云南昆明·阶段检测）如图，的内切圆与，，分别相切于点D、E、F，且，，，则的长为______． 【变式10-2】（24-25九年级上·广东汕头·期中）如图，矩形中，，，连接，和分别是和的内切圆，则的长是___________． 【题型十一】 三角形内切圆求面积 【例11】等边三角形的边长为4，则它的内切圆面积等于　 　． 【变式11-1】（25-26九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，半径为1的与的边分别相切于点D、E、F，若，，，则面积为______ 【变式11-2】如图，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD．若∠ABD＝∠ACD＝30°，AD＝1，则△ABC的内切圆面积　 （结果保留π）． 【题型十二】 直角三角形的内切圆的有关计算 【例12】（25-26九年级上·江西南昌·期末）如图，在Rt中，，是的内切圆，三个切点分别为，，，若，，则的半径是（    ） A．1 B．1.5 C．2 D．2.5 【变式12-1】（25-26九年级上·河北沧州·期中）《九章算术》中有题为：如图，在中，，步，步，是的内切圆，则的直径为（   ） A．4步 B．5步 C．6步 D．7步 【变式12-2】（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，为的内切圆，与三边的切点分别为D、E、F，则的面积为__________（结果保留） 【题型十三】 正多边形相关的概念 【例13】下列命题正确的是（　　） A．各边相等的多边形是正多边形 B．正多边形一定是中心对称图形 C．各角相等的圆内接多边形是正多边形 D．正多边形外接圆的半径是正多边形的半径 【变式13-1】下列说法中，错误的是（　　） A．正多边形的外接圆的圆心，就是它的中心 B．正多边形的外接圆的半径，就是它的半径 C．正多边形的内切圆的半径，就是它的边心距 D．正多边形的外接圆的圆心角，就是它的中心角 【变式13-2】下列关于正多边形的叙述，正确的是（　　） A．正九边形既是轴对称图形又是中心对称图形 B．存在一个正多边形，它的外角和为720° C．任何正多边形都有一个外接圆 D．不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形 【题型十四】 正多边形相关的计算 【例14】（2026·江苏连云港·二模）如图，正六边形内接于，点P是上的任意一点，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【变式14-1】（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图，正六边形内接于，的半径为3，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【变式14-2】（26-27九年级上·山东德州·开学考试）如图，点是正五边形的中心，，连接，则的度数为__________． 【变式14-3】（25-26九年级上·河南安阳·期末）如图，正六边形内接于为上一点，连接． (1)求的度数； (2)当点为的中点时，是的内接正边形的一边，求的值． 【题型一】切线判定条件不全 【例1】下列四个选项中的表述，一定正确的是（    ） A．经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 B．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 C．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 D．经过一条弦的外端且垂直于这条弦的直线是圆的切线 易错警示 判断或证明直线是切线，必须同时满足“经过半径外端”和“垂直于半径”两个条件；已知公共点要“连半径证垂直”，未知公共点要“作垂线证d＝r”，不要只凭一个条件下结论． 【变式1-1】如图，已知、分别为的直径和弦，为 的中点，垂直于的延长线于，连接，若，，下列结论一定错误的是(     ) A．DE是⊙O的切线 B．直径AB长为20cm C．弦AC长为16cm D．C为 的中点 【变式1-2】在下图中，是的直径，要使得直线是的切线，需要添加的一个条件是 ．（写一个条件即可） 【题型二】切线性质运用不当 【例2】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，是的直径，C为上一点，过点C作的切线，此切线与的延长线相交于点D，，垂足为E．求证：平分． 易错警示 圆的切线垂直于过切点的半径，辅助线一般是连接圆心与切点．不要误以为切线垂直于任意一条半径，只有“过切点的半径”才与切线垂直；也不要忘记过圆心作切线的垂线也过切点． 【变式2-1】如图：P是的直径的延长线上一点，是的切线，A为切点，，则 ． 【变式2-2】（25-26九年级上·河南信阳·期末）如图，四边形内接于，是的直径，过点A作的切线，交的延长线于点E，且． (1)求证：平分； (2)已知，的半径为，求的长． 【题型三】忽视点的位置导致漏解 【例3】（24-25九年级上·全国·期末）如图，在中，，，，是它的内切圆，用剪刀沿切线剪一个，则的周长为（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 易错警示 一般三角形用面积法r＝S/p（S＝rp）；直角三角形才可用r＝（a＋b－c）/2。不要把两者混用，也不要误把半周长p写成周长，求内切圆半径时要先判断三角形类型再选公式． 【变式3-1】（25-26九年级上·全国·课后作业）已知的三边长a，b，c满足，则的内切圆半径为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-2】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，是的内切圆，半径为，则图中阴影部分的面积是（    ）． A． B． C． D． 【题型一】切线的判定（有交点） 【例1】（24-25九年级上·内蒙古赤峰·阶段检测）已知是的直径， C是圆外一点，直线交于点， ， 不重合， 平分交于点E，过E作，垂足为F． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，的直径为，求． 【变式1-1】（2026·广东梅州·二模）如图， 是 的直径，是 的弦，点D是的中点．过点D作交的延长线于点E．四边形内接于 ，是 的直径，连接． (1)若，求的度数； (2)求证：是的切线． 【变式1-2】如图，为的直径，点、在上，且点是的中点，过点作的垂线交直线于点． (1)求证：是的切线． (2)若，的半径为，求的长． 【题型二】 切线的判定（无交点） 【例2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3． （1）求证：AC是⊙D的切线； （2）求线段AC的长． 【变式2-1】如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，CB＝CD，连接BD，以点B为圆心，BA长为半径作⊙B，交BD于点E． （1）试判断CD与⊙B的位置关系，并说明理由． （2）若AB＝6，∠BDC＝60°，求图中阴影部分的面积． 【变式2-2】如图，在中，，于点，于点，以点为圆心，为半径作圆交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，在边上是否存在一点使有最小值，如果存在，请求出的最小值． 【题型三】切线的判定与性质的综合应用 【例3】如图，已知四边形是菱形，，点是对角线上的一点，与相切于点，交于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若菱形的边长为5，点是的中点，求的长． 【变式3-1】如图，为的直径，为上一点，，交于点，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)为上一点，连接，若，，，求的半径． 【变式3-2】（25-26九年级下·广东中山·阶段检测）如图，四边形是平行四边形，以O为圆心，为半径的圆交于D，延长交于E，连接，，若是的切线． (1)求证：是的切线； (2)若，则的面积＝______． 【题型四】 切线长定理的综合应用 【例4】如图，⊙O是梯形ABCD的内切圆，AB∥DC，E、M、F、N分别是边AB、BC、CD、DA上的切点． （1）求证：AB+CD=AD+BC （2）求∠AOD的度数． 【变式4-1】如图，Rt中，，为上一点，以为圆心，长为半径的圆恰好与相切于点，交于点，连接，并延长交于点． (1)求证：； (2)若，，求的半径及的长． 【变式4-2】如图，AB、CB、CD分别与⊙O切于E，F，G，且AB∥CD．连接OB、OC，延长CO交⊙O于点M，过点M作MN∥OB交CD于N． （1）当OB＝6cm，OC＝8cm时，求⊙O的半径； （2）求证：MN＝NG． 【题型一】三角形内切圆求最值 【例1】如图，在矩形中，，M是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到．当射线交线段于点P时，连接，则的面积为 ；的最大值为 ．    【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，点A（－1，0），点B（1，0），点M（3，4），以M为圆心，2为半径作⊙M．若点P是⊙M上一个动点，则PA2＋PB2的最大值为 【变式1-2】如图，在中，，，，的半径为．在内平移（可以沿边界移动），则点到上的点的距离最大值 ． 【题型二】 三角形的内切圆的综合问题 【例2】（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，是的内切圆，与分别相切于点D、E、F，，． (1)求的三个内角的大小： (2)设的半径为1，求的值． 【变式2-1】已知，如图，AB为⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，BC＞AC，点P是△ABC的内心，延长CP交⊙O于点D，连接BP． （1）求证：BD＝PD； （2）已知⊙O的半径是3，CD＝8，求BC的长． 【变式2-2】已知：如图1，在中，，，，与边、相切于点、．求： （1）当的半径为2时，求弧的长， （2）当与边相切时，求的半径。 （3）如图2，当的半径为时，与交于、两点，求的长， 【题型三】圆中的压轴题 【例3】（25-26九年级上·河北沧州·期末）为的一条弦，将弦绕点顺时针旋转得到，连接． (1)如图1，若与相切，判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，以为边作等边三角形，点落在上，连接，． ①求证：； ②若，求的最大值及此时的长． 【变式3-1】（24-25九年级上·云南楚雄·期中）已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，．    (1)求的度数； (2)求证：直线是的切线； (3)若，垂足为点M，的半径为4，求的长． 【变式3-2】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，是的直径，弦于点，点为上一点，，连接并延长交于点，过点作，分别交，的延长线于点，连接交于点H，连接，，． (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)若，，求的长． 技巧 一句话要点 判断位置关系——“比d与r” d＜r相交，d＝r相切，d＞r相离，先求圆心到直线距离d。 已知公共点判切线——“连半径证垂直” 连接公共点与圆心，证明半径垂直于直线。 未知公共点判切线——“作垂线证d＝r” 过圆心作直线的垂线段，证明垂线段长等于半径。 用切线性质——“连切点与圆心” 圆的切线垂直于过切点的半径，连半径构造垂直。 求切线长——“切线长相等” 从圆外一点引的两条切线长相等，可列等量关系。 证角相等——“圆心连线平分夹角” 圆外一点与圆心的连线平分两条切线的夹角。 求内切圆半径——“面积法S＝rp” 一般三角形内切圆半径r＝S/p。 求直角三角形内切圆半径——“套公式” r＝（a＋b－c）/2（a、b为直角边，c为斜边）。 解综合题——“分类讨论” 点或直线位置不确定时，要分多种情形讨论，不漏解。 构造直角三角形——“切点半径＋勾股” 利用切线垂直关系构造直角三角形，用勾股定理求线段。 找内心——“角平分线交点” 内心是三条角平分线的交点，到三边距离相等。 求正多边形中心角——“360°除以边数” 正n边形中心角＝360°/n，边心距即内切圆半径。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $