30.2 三角形的内切圆-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(人教版·新教材)

CF2=AF2,AB2-BF2=AF2,..AC2-CF2=AB2- BF,即(23)2-(2R-1)2-(2R)2-1,解得R,=之， 3 R=一1（不合题意，舍去）.⊙0的半径为号 30.2三角形的内切圆 1.A如图，设DE,AB,AC,BC与⊙O相切于点F,G, H,I.AB,AC,BC,DE都和⊙O相切，.BI=BG, CI=CH,DG=DF,EF=EH..BG+CH=BI+CI= BC=9.△ABC的周长为25，.AB+AC+BC=25. .△ADE的周长为AD十AE+DE=AD+AE+DF+ EF=AD+DG+EH+AE=AG+AH=(AB-BG)+ (AC-CH)=AB+AC-BC=(AB+AC+BC)-2BC= 25-2×9=7. H 0 B (第1题) 2.C连接OB,OC.O是△ABC的内心，.BO平分 ∠ABC.,D平分∠ACR..∠OBC=2∠ABC,∠0CB= 3∠AcB.·∠B0C=180-∠0BC-∠0CB=180°- 2(∠ABC+∠ACB)=180-7180-∠BAC)=90+ ∠BAC=90+7×70°=125：点0是△BCP的外 1 心∠BPC-2∠B0C-2×125=62.5. 3.14连接OA.点I为△ABC的内心，∴.CI平分 ∠BCA.∴.∠BCA=2∠BCI=76°.：点O为△ABC外 接圆的圆心，∴.∠BOA=2∠BCA=152°.OA=OB, ·∠0BA=∠0AB=180°-∠B04_180',152°-14 2 2 4.125°∠CDE=70°，.∠ADC=180°-∠CDE= 180°一70°=110°.：四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴.∠B+∠ADC=180°∴.∠B=180°-∠ADC=70°. ∴.∠BAC+∠BCA=180°-∠B=110°.：点I是△ABC 的内心，∴.AI和CI是△ABC的角平分线.∴.∠IAC+ ∠ICA=2∠BAC+2∠BCA=(∠BAC+∠CA)- 3×10=5∠A1C=18-(∠Ac+∠1CA)= 180°-55°=125 5.(1):'AB是⊙O的直径，∴.∠ACB=90°.：'∠ABC= 25°，∴.∠CAB=90°-∠ABC=65°.·四边形ABEC是 ⊙O内接四边形，∴.∠CEB十∠CAB=180°..∴.∠CEB= 180°-∠CAB=115°.(2)连接AL.点I为△ABC的 内心，.AI平分∠BAC,CI平分∠ACB..∠CAI= ∠BAI,∠ACI=∠BCI=2∠ACB=45..AD=BD. ∴.∠DAB=∠DCB=∠ACI,AD=BD.I∠DAI= ∠DAB+∠BAI,∠DIA=∠ACI+∠CAI,,∴.∠DAI= ∠DIA.∴.DI=DA 6.CAB为⊙O的直径，∴.∠C=∠D=90°. ∴.∠BAC+∠ABC=90°.：点E为△ABC的内心， .AD平分∠BAC,BE平分∠ABC.∴.∠DAB= Z∠BAC,∠ABE=号∠AC.:∠DEB=∠DAB+ ∠ABE=(∠BAC+∠ABC)=45.∴∠DBE=90°- ∠DEB=45°...∠DEB=∠DBE..DE=DB..BE= √DE+DB=√2DB=√/I0,.DB=5..AD= √AB2-DB=√52-(W5)2=2/5. 7.B如图，设△GCH的内切圆的圆心为点O,⊙O与 CH,CG,GH分别相切于点P,Q,R,连接OP,OQ.:四 边形ABCD是正方形，∴.AB=BC=CD=AD,∠C= ∠A=90°.设AB=BC=CD=AD=m+n,AF=BG= CH=DE=m,BF=CG=DH=AE=m+n-m=n, ∴.GH=EF=√m十n2=17.由切线长定理，得CQ= CP,GQ=GR,HP HR,.'GQ+HP =GR+HR= GH=17.CH,CG与⊙O相切，∴.CH⊥OP,CG⊥OQ. ∴.∠OPC=∠OQC=∠C=90°.∴.四边形OPCQ是矩 形.OP=OQ=3,∴.四边形OPCQ是正方形.∴.CQ= CP=OQ=3...CG+CH=CQ+GQ+HP+CP=3+ 17+3=23...AB=BC=CG+BG=CG+CH=23. D R H (第7题) 8.6如图，设△ABC的内切圆与AB,BC,AC分别相切 于点F,H,G,与DE相切于点M,连接OF,OH,OG,则易 得四边形OHCG是正方形，AF=AG,BF=BH.,'DE 是⊙O的切线，∴.DM=DF,EM=EG.在Rt△ABC中， ,∠ACB=90°，BC=3cm,AC=4cm,∴.由勾股定理，得 AB=√AC+BC=5cm.:⊙O是△ABC的内切圆， CH+CG=AC+BC-BH-AG=AC+BC-BF-AF= AC+BC-(BF+AF)=AC+BC-AB,∴.内切圆的半径 为2(AC+BC-AB)=1cm.·.CG=1cm·AG= AC-CG=3cm.∴.△ADE的周长为AD+AE+DE= AD+AE+DM+EM=AD+DF+AE+EG=AF+ AG=2AG=6 cm. 0--G B (第8题) 9.(1):'点E是△ABC的内心，∴.CD平分∠ACB,AE 平分∠CAB.∴.∠ACD=∠BCD,∠CAE=∠BAE. .AD=BD.∴.∠ACD=∠BAD.∴.∠ACD+∠CAE= ∠BAD+∠BAE..·∠AED=∠ACD+∠CAE,∠EAD= ∠BAD+∠BAE,..∠AED=∠EAD..∴.AD=ED. (2)如图，作△ABC的内切圆⊙E,与AB,BC分别相切于 点F,I,连接EF,EI.AB是⊙O的直径，.∠ACB= 902.∠PC1=∠ACD=3∠ACB=45:∠A0E= 135°，∴.∠EOF=180°-∠AOE=45°.∴.∠ECI= ∠EOF.AB,BC与⊙E相切，∴.BC⊥EI,AB⊥EF. ∴.∠EIC=∠EFO=90°.EI=EF,∴.△ECI≌ AEOF..CI=OF.BI=BF,.CI+BI=OF+BF, 即BC=OB.∴.BC= D (第9题) 10.(1)120 17 在△ABC中，：∠BAC=90°，AB=15, AC=8,.由勾股定理，得BC=√AB2十AC= √15+8=17.∠BAC=90°，AD⊥BC,.S△Ax= 3AB·AC=号·AD.AD=AR AC-15X8- BC 17 120 17· (2)可以.三角形内最大的圆是三角形的内切 圆，∴所求圆的圆心是△ABC的内心.如图，作∠ABC和 ∠ACB的平分线BE,CF,则BE,CF的交点O就是裁出 的最大圆形部件的圆心O的位置，过点O作OH⊥BC于 点H,OP⊥AC于点P,OQ LAB于点Q,以点O为圆心， OH为半径画⊙O,则⊙O过点P,Q,连接OA,过点A作 AM⊥BC于点M.设BM=xcm,⊙O的半径为Rcm BC=160cm,∴.CM=(160-x)cm.在Rt△ABM中， 由勾股定理，得AMP=AB2一BMP,在Rt△ACM中，由勾 股定理，得AMP=AC2-CMP,∴.AB2-BMP=AC2 CMP,即100-x2=1402-(160-x)2,解得x=50. ∴.BM=50cm..AM=√AB2-BM=503cm ÷5e=2Bc·AM=7×160X50w5=400,5(am). :点O为△ABC的内心，∴.OH=OP=OQ=Rcm :S0C+S6eA+S△0aB=S△Ax,.2BC·OH+ 3AC·0p+号AB·0Q=4005,即(10+160+ 140)R=80005.∴.R=203.∴.⊙0的半径为20√5cm. MH C (第10题) 30.3正多边形与圆 1.D连接OM,ON.,'⊙O分别与AB,CD相切于点 M,N,∴.OM⊥AB,ON⊥CD.∴.∠OMB=∠ONC=90. 五边形ABCDE是正五边形，.∠B=∠C= 5-2)×180=108°..∠M0N=(5-2)×180°- 5 ∠OMB-∠ONC-∠B-∠C=144°..∴.∠MPN= 3∠oN-7 2.B如图，连接OA,OF,AF与y轴的交点为G.·'六边 形ABCDEF是正六边形，∴.∠AOB=∠AOF=360°： 6=60°.∴.∠AOG=90°-∠AOB=30°.∴.∠FOG= ∠AOF-∠AOG=30.:'OA=OF,∴.△AOF为等边三 角形，∠0GF=0.1GF=0F=号×4=2.在第三十章直线与圆的位置关系 30.2 三角形的内切圆 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.如图，⊙O是△ABC的内切圆，D,E分别为边AB,AC上的点，且DE为⊙O的切线.若△ABC 的周长为25，BC的长为9，则△ADE的周长为 () A.7 B.8 C.9 D.16 (第1题) (第2题) (第3题) (第4题) 2.如图，点O是△ABC的内心，∠BAC=70°，P为平面内一点，点O恰好又是△BCP的外心，则 ∠BPC的度数为 () A.50° B.559 C.62.5 D.65 3.如图，点O为△ABC外接圆的圆心，点I为△ABC的内心，连接BO,CI.若∠BCI=38°，则 ∠OBA的度数为 4.如图，四边形ABCD内接于⊙O,点I是△ABC的内心，∠CDE=70°，点E在AD的延长线上， 则∠AIC的度数为 5.如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O,点I为△ABC的内心，连接CI并延长，交⊙O于 点D,E是BC上任意一点，连接AD,BD,BE,CE. (1)若∠ABC=25°，求∠CEB的度数. (2)求证：DI=DA. (第5题) 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能 6.如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，AE 的延长线交⊙O于点D,连接BE,BD.若AB=5,BE=√/10，则AD的长为( A.√5 B.√10 C.25 D.2√/10 (第6题) 109 拔尖特训·数学（人教版）九年级上 7.如图，E,F,G,H四点分别在正方形ABCD的四条边上，AF=BG=CH=DE,连接EF,FG, GH,HE.若EF=17,△GCH的内切圆半径为3，则AB的长为 () A.22 B.23 C.24 D.25 0 B (第7题) (第8题) 8.如图，在一张直角三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，BC=3cm,AC=4cm,⊙O是它的内切圆. 小明用剪刀沿着⊙O的切线DE剪下一块△ADE,则△ADE的周长为 cm. 9.如图，AB是⊙O的直径，点E是△ABC的内心，CE的延长线交⊙O于点D,连接AD,AE. (1)求证：AD=ED. (②连接0E,若∠A0E=135,水%的值 D (第9题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维 10.(1)如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC,垂足为D.若AB=15,AC=8,则AD的长 为 (2)如图②，某工厂剩余一块三角形板材ABC,其中AB=100cm,BC=160cm,AC=140cm. 为了充分利用材料，工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆形部件，你认为可以吗？若 可以，请在图中确定可裁出的最大圆形部件的圆心O的位置，并求出⊙O的半径；若不可以，请 说明理由. ① (第10题) 110 >“答案与解析”见P70