第二十九章 圆 知识清单 2026-2027学年人教版数学九年级上册

第二十九章　圆　知识清单 依据人教版《义务教育教科书·数学》九年级上册（2024年版新教材）编写，供复习备考使用。 一、章知识概览 【学习内容】本章共三节：29.1圆的有关概念；29.2圆的有关性质（垂径定理、圆心角、圆周角）；29.3弧长和扇形面积。本章系统研究圆的概念、性质及相关计算。 【考点地位】垂径定理、圆周角定理、弧长与扇形面积计算、圆内接四边形性质是中考几何的核心与必考内容，常作为解答题或综合题的重要部分。 【学习目标】①理解圆的有关概念及点与圆的位置关系；②掌握垂径定理、圆心角与弧弦关系、圆周角定理及其推论；③掌握弧长、扇形面积公式并能计算；④了解圆锥侧面积。 【知识结构图】一图速查本章全貌，下表按“章→节→核心知识点”三层呈现。 第二十九章　圆 29.1　圆的有关概念 圆是到定点距离等于定长的点的集合；点与圆位置关系：d>r在圆外、d=r在圆上、d<r在圆内 弦、直径、弧（优弧、劣弧、半圆）、等圆、等弧 不在同一直线上的三点确定一个圆；外接圆、外心；反证法 29.2　圆的有关性质 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦及其所对的两条弧 同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的相等关系 圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半 推论：同弧等弧圆周角相等；直径所对圆周角是直角；圆内接四边形对角互补 29.3　弧长和扇形面积 弧长 l=；扇形面积 S==lR 圆锥侧面积 S侧=πrl（r底面半径，l母线） 二、核心公式定理 【速查表】本章核心概念、定理、公式集中列表如下，逐条对照教材，复习时以表代翻书。 名称 公式·定理·性质内容 说明与易错提示 点与圆的位置关系 d>r在圆外；d=r在圆上；d<r在圆内（d为点到圆心距离） 由 d 与 r 的大小判断 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 常配合勾股定理求弦长、半径 圆心角定理 同圆或等圆中，相等的圆心角所对弧相等、所对弦相等 三组量（圆心角、弧、弦）知一推二 圆周角定理 注意是同一条弧所对 直径的推论 半圆（直径）所对圆周角是直角；90°圆周角所对弦是直径 见直径常连出直角 圆内接四边形 对角互补（∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°） 外角等于它的内对角 弧长公式 n 为圆心角度数 扇形面积 两个公式都要会用 圆锥侧面积 S侧=πrl（r底面半径，l母线） 侧面展开图是扇形 三、考点知识梳理 （一）29.1　圆的有关概念 【圆的定义】在一个平面内，线段 OP 绕它固定的端点 O 旋转一周，另一个端点 P 所形成的图形叫作圆。圆心为 O、半径为 r 的圆可以看成平面内所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合。 圆 【点与圆的位置关系】设⊙O 的半径为 r，点 P 到圆心的距离 OP=d，则：点 P 在圆外⇔d>r；点 P 在圆上⇔d=r；点 P 在圆内⇔d<r。 【有关概念】连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径；圆上任意两点间的部分叫弧，大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧；能够重合的两个圆叫等圆，同圆或等圆中能够互相重合的弧叫等弧。 弦、直径与弧 【确定圆的条件】不在同一条直线上的三个点确定一个圆。经过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆，其圆心（三边垂直平分线的交点）叫三角形的外心。 （二）29.2　圆的有关性质 【垂径定理】垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 垂径定理 【圆心角、弧、弦的关系】在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦也相等；反过来，两组量中只要有一组相等，其余各组也分别相等。 圆心角、弧、弦的关系 【圆周角定理】一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。推论：同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 圆周角定理 【圆内接四边形】圆内接四边形的对角互补，即∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°。 （三）29.3　弧长和扇形面积 【弧长公式】在半径为 R 的圆中，n°的圆心角所对的弧长。 【扇形面积】由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫扇形。半径为 R、圆心角为 n° 的扇形面积；又可用弧长表示为。 【圆锥的侧面积】圆锥的侧面展开图是一个扇形。设圆锥母线长为 l、底面圆半径为 r，则圆锥侧面积S侧=πrl，全面积 S全=πr(r+l)。 四、重点知识记忆方法 【记忆口诀】垂径定理：直径垂直弦，平分弦和弦两弧。圆周角：圆周角，圆心角的一半；直径对直角，直角对直径。弧长扇形：弧长nπR比180，扇形nπR²比360，也能二分之一弧长乘半径。圆内接四边形：对角互补。 【对比记忆】圆心角与圆周角对比如下表。 对比项 圆心角 圆周角 顶点位置 顶点在圆心 顶点在圆上，两边都与圆相交 与同弧关系 等于它所对弧的度数 等于所对圆心角的一半 同弧个数 唯一 有无数个，彼此相等 五、解题方法总结 题型1　垂径定理的应用 【解题方法】①作垂直于弦的直径（或过圆心作弦的垂线），得垂足为弦中点；②连接半径构造直角三角形；③用勾股定理：半径²=弦一半²+圆心到弦距离²，求弦长、半径或弦心距。 【数学思想】方程思想（设未知量列勾股方程）、数形结合思想。 题型2　圆周角定理及推论的应用 【解题方法】①见直径，连接出90°的圆周角；②找同弧所对的圆周角进行等角代换；③利用“圆周角=圆心角一半”进行角度换算；④圆内接四边形用对角互补求角。 【数学思想】转化思想（角的转化）。 题型3　弧长与扇形面积计算 【解题方法】①分清所求为弧长还是扇形面积；②套对应公式 l=、S=；③已知弧长和半径求扇形面积时用 S=lR 更方便。 【数学思想】公式化（模型）思想。 题型4　不规则图形面积（阴影面积） 【解题方法】①把阴影部分割补成规则图形（扇形、三角形、弓形）；②用规则图形面积的和或差求；③弓形面积=扇形面积±三角形面积。 【数学思想】转化（割补）思想、数形结合思想。 六、易错点清单 【清单】逐条对照教材与常见易错情形，复习时先自查再对照下表。 常见易错点 正确做法 认为长度相等的弧是等弧 等弧必须能互相重合，不仅长度相等，还须在同圆或等圆中 垂径定理中漏记“弦不是直径”的限制 推论中被平分的弦不能是直径，否则不唯一确定 圆周角定理用错弧 圆周角必须与圆心角对着同一条弧，不能张冠李戴 求扇形面积时公式用混 弧长 l=，扇形 S= 或 S=½lR，注意分母不同 圆锥侧面展开扇形的半径误用 展开图扇形半径=圆锥母线 l，弧长=底面周长 2πr 圆内接四边形对角互补记成邻角 是对角（相对的两个角）互补，不是邻角 七、高频考点速记 ①点与圆位置关系：d>r外、d=r上、d<r内。 ②垂径定理：垂直于弦的直径平分弦及所对两条弧。 ③圆周角等于同弧所对圆心角的一半；直径所对圆周角是直角。 ④圆内接四边形对角互补。 ⑤弧长l=，扇形面积S==lR。 ⑥圆锥侧面积S侧=πrl。 八、学情自测 （一）选择题（每题2分，共5题） 1．如图，点A，B，C在上．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．如图，A，B，C，D是上的四个点，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 3．如图，为直径，弦于E，，则长为（     ） A．1 B． C．2 D． 4．某文创团队用环保材料制作圆锥形灯罩．若该圆锥的母线长，侧面展开图是圆心角为的扇形，则这个圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 5．“拧拉”是一种常用的乒乓球接发球技术．拧拉时，手肘保持不动，手腕绕手肘旋转划出一段圆弧．小明手腕到手肘的距离为，某次拧拉时手腕绕手肘旋转的角度为，小明手腕的运动路线长为（     ） A． B． C． D． （二）填空题（每空2分，共5题） 1．如图，点，，在上，若，则______度． 2．苏州园林中的月洞门（如图①），形如满月，通过“框景”手法将自然月华与人文意境交融，核心寓意是“圆满”、“圆融”与“天人合一”．某月洞门示意图如图②所示，其内廓由，线段，，四部分构成，，分别垂直于地面．经测量，该月洞门的最高点到地面的距离为分米，分米，分米，则所在圆的半径为_________分米． 3．如图，用一张半径为的扇形纸板做一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），若做成的圆锥形帽子的底面半径为，则该扇形纸板的面积为__________． 4．如图，车轮的半径，车轮边缘上一点绕点转过的角，则劣弧的长为__________（结果保留）． 5 （三）解答题（每题8分，共2题） 1. 如图，在⊙O 中，弦 AB=8，圆心 O 到弦 AB 的距离为3。求⊙O 的半径。 2. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于 E，已知 CD=8，BE=2。求⊙O 的半径。 九、参考答案 【选择题】 1．【答案】D 解题步骤： ① ∵与是同弧所对的圆周角与圆心角，． ② ∵， ③∴． 【知识点睛】圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。见圆周角与圆心角对应同一弧，直接用∠圆心=2∠圆周角换算。 2．【答案】B 解题步骤： ①∵⌒BC=⌒DC，∴∠BAC=∠DAC（等弧所对的圆周角相等）； ②∵∠BAD=25°，由圆周角定理及等弧关系，∠D=40°； ③故选B。 【知识点睛】圆周角与弧：同弧（或等弧）所对圆周角相等。由已知圆心角与圆周角关系（圆周角=圆心角的一半）求角。 3．【答案】B 解题步骤： ①为直径，，， ②， ③在中，． 【知识点睛】垂径定理：垂直于弦的直径平分弦。由半径、弦心距与半弦长构成直角三角形，用勾股定理求弦长。 4．【答案】A 解题步骤： ① 圆锥侧面展开图是扇形，扇形半径等于母线长30cm，扇形圆心角n=180°； ② 圆锥侧面积即该扇形面积，等于圆心角占周角的比例×πR²，即S=½×π×30²； ③ 计算得S=½×900π=450π cm²，选A。 【知识点睛】圆锥侧面积=侧面展开扇形面积：扇形半径=母线，圆心角已知时直接用S=(圆心角÷360)×πR²计算。 5．【答案】B 解题步骤： ① 根据题意可知，手腕的运动路线是一段圆弧， ②半径，圆心角， ③手腕的运动路线长：． 【知识点睛】弧长公式l=：n为圆心角度数，r为半径。代入手腕距离（半径）与旋转角度直接计算。 【填空题】 1．【答案】56 解题步骤： ①∵∠A是圆周角，∠O是同弧所对的圆心角； ②由圆周角定理，∠O=2∠A； ③∵∠A=28°，∴∠O=2×28°=56°。 【知识点睛】圆周角定理：同弧所对圆周角等于圆心角的一半；同弧（等弧）所对圆周角相等．做题先找弧与角的关系，直径所对圆周角是直角． 2．【答案】10 解题步骤： ①如图，AE⊥l，CD⊥l，AE=CD=3，DE=12。过圆心O作OF⊥AC于F，则AF=FC=6（垂径定理），弓高=21−3=18； ②设半径为R，则OF=R−18。在Rt△OAF中：R²=6²+(R−18)²，展开R²=36+R²−36R+324，解得36R=360，R=10。 【知识点睛】圆的实际应用（月洞门）：把实际圆弧问题抽象为圆的弦、半径关系，用垂径定理+勾股定理求解。 3．【答案】300π 解题步骤： ① 圆锥形帽子底面半径为10cm，底面圆周长=2π×10=20π，它等于侧面展开扇形的弧长； ② 扇形半径等于圆锥母线长，即扇形半径=30cm； ③ 扇形面积=½×弧长×半径=½×20π×30=300π cm²。 【知识点睛】扇形做圆锥：扇形弧长=圆锥底面周长，扇形半径=圆锥母线；扇形面积=½×弧长×半径（即πrl）。 4．【答案】 cm 解题步骤： ①由题意可知，车轮半径，圆心角 ． ②∴劣弧的长． ③． 【知识点睛】弧长公式：弧长l=（n为圆心角度数）。代入半径与圆心角直接计算。 5．【答案】90° ①设圆锥侧面展开图的圆心角为n°； ②圆锥底面周长=2πr=2π×1=2π； ③侧面展开图扇形的弧长=； ④由扇形弧长等于圆锥底面周长，得=2π； ⑤解得n=90； ⑥∴它的侧面展开图的圆心角为90°． 【知识点睛】圆锥侧面展开图是扇形：扇形半径=母线长，扇形弧长=底面圆周长=2πr。由弧长公式l=（l为母线长）建立方程求圆心角n，即n=360°×。 【解答题】 1. 解：过 O 作 OC⊥AB 于 C，则 AC=½AB=4。在 Rt△OAC 中，OA²=OC²+AC²=3²+4²=25，故 OA=5，即⊙O 的半径为5。 2. 解：设⊙O 半径为 R，连接 OC。由垂径定理 CE=½CD=4，OE=OB-BE=R-2。在 Rt△OCE 中： OC²=OE²+CE²，即 R²=(R-2)²+4²，展开 R²=R²-4R+4+16，解得 4R=20，R=5。答：⊙O 的半径为5。 学科网（北京）股份有限公司 $