30.1.2 第2课时　切线长定理 导学案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦“切线长定理”，引导学生从切线长定义及定理的探索入手，通过对点小练巩固基础，再以典例研析和举一反三深化应用，构建从概念理解到综合运用的学习支架，衔接圆的切线性质与几何计算。 资料以“基础落实—重点突破—素养提升”分层设计，典例源于教材再开发，技法点拨提炼基本图形及关系，综合题融合方程思想，助力学生发展几何直观、推理能力和运算能力，适合自主学习与课堂教学评估。

第2课时　切线长定理 【课时目标】 　探索并证明切线长定理并能利用其进行有关的计算和证明.(几何直观、运算能力、推理能力) 基础　主干落实　筑牢根基 　 新知要点 对点小练 1.切线长定义 经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间线段的长. 2.切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 　 如图,AB,AC是☉O的切线,P,Q为切点,如果AP=8,则AQ的长为　8　.  重点　典例研析　启思凝智　 重点1　利用切线长定理进行计算(推理能力、几何直观) 【典例1】(教材再开发·P153例3拓展)已知PA,PB分别切☉O于A,B,E为上一点,过E点的切线交PA于C,交PB于D. (1)若PA=6,求△PCD的周长. (2)若∠P=50°,求∠DOC. 【自主解答】(1)连接OE, ∵PA,PB与圆O相切, ∴PA=PB=6, 同理可得:AC=CE,BD=DE, △PCD的周长为PC+PD+CD=PC+PD+CE+DE=PA+PB=12; (2)∵PA,PB与圆O相切, ∴∠OAP=∠OBP=90°,∠P=50°, ∴∠AOB=360°-90°-90°-50°=130°, 在Rt△AOC和Rt△EOC中,, ∴Rt△AOC≌Rt△EOC(HL), ∴∠AOC=∠COE, 同理:∠DOE=∠BOD, ∴∠COD=∠AOB=65°. 举一反三 1.如图,AB,AC,BD是☉O的切线,P,C,D为切点,如果AB=7,AC=4,则BD的长为(A) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.3 B.2 C.2.5 D.1.5 2.如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,AC是☉O的直径,若∠P=54°,则∠BAC的度数为　27°　.  技法点拨 切线长定理中的基本图形 如图,PA,PB为☉O的切线,此图形中含有: (1)两个等腰三角形(△PAB,△OAB). (2)一条特殊的角平分线(OP平分∠APB和∠AOB). (3)三个垂直关系(OA⊥PA,OB⊥PB,OP⊥AB). 重点2　与切线长定理有关的综合题(运算能力、推理能力) 【典例2】如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,连接OA,OB,过点O作OC∥PA交PB于点C,过点C作CD⊥AP,垂足为D. (1)求证:OC=AD. (2)若☉O的半径是3,PA=9,求OC的长. 【自主解答】(1)∵PA,PB是☉O的切线,OA,OB是☉O的半径, ∴OA⊥PA,OB⊥PB. ∵OC∥PA,CD⊥AP, ∴CD⊥OC, ∴∠OAD=∠CDA=∠OCD=90°, ∴四边形OADC是矩形, ∴OC=AD. (2)设OC=AD=x, ∵四边形OADC是矩形,☉O的半径是3,PA=9, ∴OA=OB=CD=3,PD=PA-AD=9-x. ∵OC∥PA, ∴∠OCB=∠P. ∵OB⊥PB,CD⊥AP, ∴∠OBC=∠CDP=90°. 在△OCB和△CPD中, , ∴△OCB≌△CPD(AAS), ∴BC=PD=9-x, 在Rt△OCB中,由勾股定理得OC2=OB2+BC2, ∴x2=32+(9-x)2, 解得x=5,∴OC=5. 举一反三 　如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点O在边AC上,以点O为圆心,OC长为半径的半圆与斜边AB相切于点D,交OA于点E,连接OB. (1)求证:BD=BC. (2)已知OC=1,∠A=30°,求AB的长. 【解析】(1)如图,连接OD, ∵半圆O与AB相切于点D, ∴OD⊥AB. ∵∠ACB=90°, ∴∠ODB=∠OCB=90°. ∵OD=OC,OB=OB, ∴Rt△ODB≌Rt△OCB(HL). ∴BD=BC. (2)∵∠A=30°,∠ACB=90°, ∴∠ABC=60°. ∵Rt△ODB≌Rt△OCB, ∴∠CBO=∠DBO=∠ABC=30°. ∵OC=1, ∴在Rt△BCO中,OB=2,BC=. ∴在Rt△ABC中,AB=2BC=2. 素养　思维提升　入境深探　 　如图,AB为☉O的直径,且AB=12 cm,AM和BN是☉O的两条切线,DC切☉O于点E,交AM于D,交BN于点C,设AD=x cm,BC=y cm. (1)求证:∠DOC=90°; (2)求y与x的函数关系式; (3)若x,y是方程t2-13t+m=0的两个根,求x,y的值. 　【解析】(1)∵DA,DE是☉O的两条切线, ∴∠ADO=∠EDO, 同理可得,∠BCO=∠ECO. ∵AB为☉O的直径,AM和BN是☉O的两条切线, ∴AM⊥AO,BN⊥OB, ∴AM∥BN, ∴∠ADC+∠BCD=180°, ∴∠ODC+∠OCD=90°, ∴∠DOC=180°-90°=90°. (2)过点D作DF⊥BC,垂足为F, 则四边形ABFD为矩形, ∴DF=AB=12 cm,BF=AD=x cm, ∵☉O分别切AM,BN,CD于A,B,E, ∴DE=AD=x cm,CE=CB=y cm, ∴CF=(y-x)cm,CD=(x+y)cm, 在Rt△DCF中,DC2=CF2+DF2, 即(x+y)2=(y-x)2+122, ∴xy=36, ∴y=. (3)∵x,y是方程t2-13t+m=0的两个根, ∴x+y=13,即x+=13, 整理得,x2-13x+36=0, 解得,x1=4,x2=9, 则y1=9,y2=4, ∴x=4,y=9或x=9,y=4. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　切线长定理 【课时目标】 　探索并证明切线长定理并能利用其进行有关的计算和证明.(几何直观、运算能力、推理能力) 基础　主干落实　筑牢根基 　 新知要点 对点小练 1.切线长定义 经过圆外一点的圆的 上,这点和切点之间 的长. 2.切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长 ,这一点和圆心的连线 两条切线的夹角. 　 如图,AB,AC是☉O的切线,P,Q为切点,如果AP=8,则AQ的长为 .  重点　典例研析　启思凝智　 重点1　利用切线长定理进行计算(推理能力、几何直观) 【典例1】(教材再开发·P153例3拓展)已知PA,PB分别切☉O于A,B,E为上一点,过E点的切线交PA于C,交PB于D. (1)若PA=6,求△PCD的周长. (2)若∠P=50°,求∠DOC. 举一反三 1.如图,AB,AC,BD是☉O的切线,P,C,D为切点,如果AB=7,AC=4,则BD的长为( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.3 B.2 C.2.5 D.1.5 2.如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,AC是☉O的直径,若∠P=54°,则∠BAC的度数为 .  技法点拨 切线长定理中的基本图形 如图,PA,PB为☉O的切线,此图形中含有: (1)两个等腰三角形(△PAB,△OAB). (2)一条特殊的角平分线(OP平分∠APB和∠AOB). (3)三个垂直关系(OA⊥PA,OB⊥PB,OP⊥AB). 重点2　与切线长定理有关的综合题(运算能力、推理能力) 【典例2】如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,连接OA,OB,过点O作OC∥PA交PB于点C,过点C作CD⊥AP,垂足为D. (1)求证:OC=AD. (2)若☉O的半径是3,PA=9,求OC的长. 举一反三 　如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点O在边AC上,以点O为圆心,OC长为半径的半圆与斜边AB相切于点D,交OA于点E,连接OB. (1)求证:BD=BC. (2)已知OC=1,∠A=30°,求AB的长. 素养　思维提升　入境深探　 　如图,AB为☉O的直径,且AB=12 cm,AM和BN是☉O的两条切线,DC切☉O于点E,交AM于D,交BN于点C,设AD=x cm,BC=y cm. (1)求证:∠DOC=90°; (2)求y与x的函数关系式; (3)若x,y是方程t2-13t+m=0的两个根,求x,y的值. 学科网（北京）股份有限公司 $