第二十八章 旋转 知识清单 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第二十八章　旋转　知识清单 依据人教版《义务教育教科书·数学》九年级上册（2024年版新教材）编写，供复习备考使用。 一、章知识概览 【学习内容】本章共两节：28.1图形的旋转；28.2中心对称（含中心对称的性质、中心对称图形、关于原点对称的点的坐标）。本章类比平移、轴对称研究旋转这一基本图形变换。 【考点地位】旋转的性质、旋转作图、中心对称与中心对称图形的识别、关于原点对称的点的坐标是中考图形变换的常考内容，常与全等三角形、坐标系综合命题。 【学习目标】①理解旋转的概念及旋转中心、旋转角、对应点；②掌握旋转的基本性质；③理解中心对称、中心对称图形的概念与性质；④掌握关于原点对称的点的坐标规律，能作旋转后的图形。 【知识结构图】一图速查本章全貌，下表按“章→节→核心知识点”三层呈现。 第二十八章　旋转 28.1　图形的旋转 把一个图形绕某一点 O 转动一个角度；O为旋转中心，转动的角为旋转角 性质：对应点到旋转中心距离相等；对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转角 旋转前后图形全等；旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角 28.2　中心对称 中心对称：一个图形绕某点转180°后与另一图形重合 性质：对称点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分 中心对称图形：绕某点转180°后与自身重合（线段、平行四边形、圆等） 关于原点对称的点：P(x,y) 的对称点为 P′(-x,-y) 二、核心公式定理 【速查表】本章核心概念、性质集中列表如下，逐条对照教材，复习时以表代翻书。 名称 内容 说明与易错提示 旋转 把一个平面图形绕平面内某一点 O 转动一个角度 三要素：旋转中心、方向、旋转角 旋转的性质 对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角 这两个性质是计算角度、线段长的依据 旋转与全等 旋转前后的图形全等 对应边相等、对应角相等 中心对称 一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合 它是特殊的旋转（旋转角为180°） 中心对称性质 成中心对称的两个图形，对称点所连线段经过对称中心，且被它平分 对称中心是对称点连线的中点 关于原点对称 点 P(x,y) 关于原点的对称点为 P′(-x,-y) 横、纵坐标都变号 三、考点知识梳理 （一）28.1　图形的旋转 【知识定位】旋转的概念与性质是本节核心，是几何计算与作图的基础。 【旋转的概念】把一个平面图形绕着平面内某一点 O 转动一个角度，叫作图形的旋转。点 O 叫作旋转中心，转动的角叫作旋转角。图形上的点 P 经过旋转后变为点 P′，这两个点叫作这个旋转的对应点。 旋转 【旋转的性质】①旋转前后图形的形状、大小不变，即旋转前后的图形全等；②对应点到旋转中心的距离相等；③对应点与旋转中心所连线段的夹角相等，都等于旋转角。 旋转的性质 （二）28.2　中心对称 【中心对称】把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与另一个图形重合，就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作对称中心。 【中心对称的性质】成中心对称的两个图形中，对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分。它除具有旋转的一般性质外，还有这一特殊性质。 中心对称 【中心对称图形】把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心。线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆都是中心对称图形。 中心对称图形 【关于原点对称的点的坐标】两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点 P(x，y) 关于原点的对称点为P′(-x，-y)。 关于原点对称的点的坐标 四、重点知识记忆方法 【记忆口诀】旋转性质：对应点等距，夹角等转角；旋转不改变形状和大小。中心对称：对称点连线过中心，中心平分连线段。原点对称：横纵坐标都变号。对称图形辨别：转180°能与自身重合的是中心对称图形。 【对比记忆】轴对称与中心对称对比如下表。 对比项 轴对称 中心对称 对称方式 沿一条直线翻折180° 绕一点旋转180° 对称要素 对称轴（直线） 对称中心（点） 对应点连线 被对称轴垂直平分 经过对称中心且被它平分 五、解题方法总结 题型1　利用旋转性质求角度与线段长 【解题方法】①找旋转中心、旋转角、对应点；②由“对应点到旋转中心距离相等”得到相等线段；③由“对应点与旋转中心连线夹角=旋转角”得到相等的角；④结合全等三角形计算。 【数学思想】转化思想、数形结合思想：把分散的线段、角通过旋转集中到一个三角形中。 题型2　旋转作图 【解题方法】①确定关键点（多边形的顶点）；②连接关键点与旋转中心；③按指定方向和角度作出对应点（使夹角等于旋转角、距离相等）；④顺次连接对应点。 【数学思想】图形变换思想。 题型3　中心对称与中心对称图形的识别 【解题方法】①区分“两个图形成中心对称”与“一个图形是中心对称图形”；②判断一个图形是否为中心对称图形，看它绕某点转180°后能否与自身重合；③注意轴对称图形与中心对称图形不要混淆。 【数学思想】分类讨论思想。 题型4　坐标系中的中心对称 【解题方法】①关于原点对称：坐标都变号 P(x,y)→P′(-x,-y)；②先求各顶点对称点坐标，再描点连线；③注意与关于 x 轴、y 轴对称的坐标变化区分。 【数学思想】数形结合思想。 六、易错点清单 【清单】逐条对照教材与常见易错情形，复习时先自查再对照下表。 常见易错点 正确做法 把旋转角当成图形上某条边转过的夹角的补角 旋转角是“对应点与旋转中心连线”的夹角，不是任意两边的夹角 混淆中心对称与轴对称 中心对称是绕点转180°，对称中心是点；轴对称是沿直线翻折，对称轴是直线 混淆“中心对称”与“中心对称图形” 前者指两个图形的位置关系，后者指一个图形自身的特性 关于原点对称坐标记错 P(x,y)→P′(-x,-y)，横、纵坐标都变号；关于x轴对称纵坐标变号 作旋转图时旋转方向或角度画错 先定旋转中心和关键点，方向、角度按题目要求，对应点到中心距离相等 误认为旋转会改变图形大小 旋转只改变位置，不改变形状和大小，旋转前后图形全等 七、高频考点速记 ①旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角。 ②对应点到旋转中心距离相等，对应点与旋转中心连线夹角等于旋转角。 ③旋转前后图形全等。 ④中心对称是旋转角为180°的特殊旋转；对称点连线被对称中心平分。 ⑤点 P(x,y) 关于原点对称的点是P′(-x,-y)。 八、学情自测 （一）选择题（每题2分，共5题） 1．下列标志中，是中心对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（     ） A．正六边形 B．矩形 C．正方形 D．等边三角形 3．如图，将绕点逆时针旋转，得到，若，则（     ） A． B． C． D． 4．如图，将绕点顺时针旋转一定的角度得到，若，，则旋转角的度数是（     ） A． B． C． D． 5．已知三个顶点的坐标分别为，，．将平移，使点的对应点恰好与点关于原点成中心对称，则平移后点的对应点的坐标是（     ） A． B． C． D． （二）填空题（每空2分，共5题） 1．旋转不改变图形的形状和大小，只改变图形的_____。 2．线段 AB 绕它的中点旋转180°后与自身重合，所以线段是________图形。 3．成中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过_______，且被它平分。 4．点关于原点的对称点坐标是_______． 5．已知在平面直角坐标系中，，，将绕点逆时针旋转得到，连接交于点，将点向左平移2个单位长度得到点，则点的坐标为_____． （三）解答题（每题8分，共2题） 1. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，把△ABC 绕点 C 逆时针旋转得到△A′B′C，使点 B 的对应点 B′ 落在 AB 上。若∠A=45°，求旋转角∠BCB′ 的度数。 2. 在平面直角坐标系中，△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(1，1)、B(3，1)、C(2，3)。画出△ABC 关于原点 O 对称的△A′B′C′，并写出 A′、B′、C′ 的坐标。 九、参考答案 【选择题】 1．【答案】C 解题步骤： ①A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； ②B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； ③C、是中心对称图形，故本选项符合题意，选C。 【知识点睛】中心对称图形识别：绕某点旋转180°后能与自身重合；常见中心对称图形有平行四边形、圆、正方形等，注意与轴对称图形区分（轴对称是翻折重合）。 2．【答案】D 解题步骤： ①A、正六边形既是轴对称图形又是中心对称图形，不符合题意； ②B、矩形既是轴对称图形又是中心对称图形，不符合题意； ③C、正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，不符合题意；D、等边三角形是轴对称图形但不是中心对称图形，符合题意，选D。 【知识点睛】中心对称与轴对称图形：轴对称图形沿直线对折重合，中心对称图形绕点旋转180°重合。逐一判断选项图形的对称性。 3．【答案】B 解题步骤： ①由旋转的性质，旋转角∠BAB′=∠CAC′=23°，且旋转前后对应角大小不变； ②由图中各射线位置，∠BAC=∠BAC′−∠CAC′=100°−23°=77°； ③故∠B′AC=∠BAC−∠BAB′=77°−23°=54°，选B。 【知识点睛】旋转前后对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角；求角时先由旋转角建立对应角关系，再用和差计算。 4．【答案】D 解题步骤： ①由旋转的性质，旋转角等于对应点与旋转中心连线的夹角，即∠BAB′=∠CAC′； ②由图中射线位置，∠B′AC=∠BAB′+∠BAC； ③代入已知∠BAC=30°、∠B′AC=110°，得旋转角∠BAB′=110°−30°=80°，选D。 【知识点睛】旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角；从图中分解所求角与已知角、旋转角之间的和差关系即可求出。 5．【答案】A 解题步骤： ①点C(−2,−2)关于原点O对称的点为(2,2)，故平移后点A′=(2,2)； ②平移向量=A′−A=(2−(−3), 2−4)=(5,−2)，即向右平移5个单位、向下平移2个单位； ③故点B′=B+(5,−2)=(2+5, −1−2)=(7,−3)，选A。 【知识点睛】关于原点对称的点横、纵坐标都取相反数；平移时点的坐标按平移量加减（右加左减、上加下减）。 【填空题】 1．【答案】位置。 解题步骤： ①旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小。 【知识点睛】旋转的性质：旋转前后的图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，只改变图形的位置。 2．【答案】中心对称。 解题步骤： ①线段绕它的中点旋转180°后能与自身重合，所以线段是中心对称图形。 【知识点睛】中心对称图形：绕某一点旋转180°后能与原来的图形重合，线段、平行四边形、圆都是中心对称图形。 3．【答案】对称中心。 解题步骤： ①成中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，且被对称中心平分。 【知识点睛】中心对称的性质：对称点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分。 4．【答案】(3,-2) 解题步骤： ① 根据关于原点对称的点的坐标特点，可知两个点关于原点对称时，横纵坐标符号相反， ②因此点关于原点的对称点的坐标为． 【知识点睛】关于原点对称的点坐标：横、纵坐标都变为相反数。直接把(x,y)写成(-x,-y)。 5．【答案】(, ) 解题步骤： ①∵A(2,0)绕原点O逆时针旋转90°得到点C，由旋转坐标规律(x,y)→(-y,x)，∴C(0,2)； ②设直线CA的解析式为y=kx+b，将C(0,2)、A(2,0)代入，得k=-1，b=2，即CA：y=-x+2； ③直线OB过原点与B(4,2)，故OB：y=x； ④联立y=-x+2与y=x，得-x+2=x，解得x=，y=，即E(, )； ⑤将点E向左平移2个单位长度，得E′(-2, )，即E′(-, )。 【知识点睛】旋转90°的坐标规律：点(x,y)绕原点逆时针旋转90°后变为(−y,x)．求两直线交点用联立方程组；点的平移：左移a个单位长度，横坐标减a．本题先由旋转得点C，求直线CA与OB的交点E，再将E向左平移2个单位得到E′． 【解答题】 1. 解：∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠B=∠A=45°。点 B 旋转到 B′，则 CB=CB′，△CBB′ 为等腰三角形，∠B=∠CB′B=45°。 ∴∠BCB′=180°-45°-45°=90°，即旋转角为90°。 2. 解：关于原点对称，各点坐标都变号：A′(-1，-1)、B′(-3，-1)、C′(-2，-3)。依次连接 A′B′、B′C′、C′A′，即得所求三角形。 学科网（北京）股份有限公司 $