精品解析：山东济南市章丘区第二中学2026-2027学年八年级上学期数学10月学情自测试题

数学学业水平摸底 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 满足下列条件的，不是直角三角形的为（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算结果正确的是　　 A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点M（－3，1）在（　　）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 在下列各数中是无理数的有（　　　） 、、、0、、、3.1415、、2.010101…（相邻两个1之间有1个0）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 点在第二象限，它到x轴的距离是4，到y轴距离是3，则有（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，数轴上点A、B分别对应数1、2，过点B作，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点C，以原点O为圆心，长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知点，动点在轴上，且的面积为，则的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 无法确定 10. 如图，在中，，，点为的中点，，垂足为点，则等于（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 的算术平方根是________. 12. 如图，有一圆柱，其高为12cm，它的底面半径为3cm，在圆柱下底面A处有一只蚂蚁，它想得到上面B处的食物，则蚂蚁经过的最短路程为________ cm.（π取3） 13. 在平面直角坐标系中，若点在轴上，则____． 14. 如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点，则CD的长为_____________________． 15. 计算：（+2）2014（﹣2）2015＝______． 三、解答题（共90分） 16. 计算． （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 已知在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 19. 已知，如图在平面直角坐标系中，，,求三个顶点的坐标． 20. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为，． （1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系． （2）请作出关于y轴对称的． （3）求的面积． 21. 已知：的立方根是的算术平方根3． （1）求的值； （2）求的平方根． 22. 如图，将长．宽的长方形纸片折叠使点与重合，折痕为，则长是多少? 23. 已知，点． （1）若点P在y轴上，求点P的坐标； （2）若点P的纵坐标比横坐标大9，试判断点P在第几象限，并说明理由； （3）若点P，Q都在过点且与x轴平行的直线上，，求点P与点Q的坐标． 24. 明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地垂直高一尺尺），将它水平向前推进两步尺），此时踏板垂直升高离地五尺尺），求秋千绳索或的长度． 25. （一）问题提出 （1）平面直角坐标系中，如果、是轴上的点，他们对应的横坐标分别是，，、是轴上的两点，它们对应的纵坐标分别是，，那么、两点间的距离，、两点间的距离分别是多少？ （2）平面直角坐标系中任意一点到原点的距离是多少？ （3）已知平面上的两点，，，，如何求，的距离． （二）问题探究 （1）求平面直角坐标系中轴上的两点、之间的距离，可以借助绝对值表示，对于轴上两点，、之间的距离． 结论：在平面直角坐标系中，如果、是轴上两点，它们对应的横坐标分别是，，则、两点间的距离　　；、是轴上的两点，它们对应的纵坐标分别是，，那么、两点间的距离　　． （2）如图1：平面直角坐标系中任意一点，过向轴上作垂线，垂足为，由勾股定理得　　；结论：平面直角坐标系中任意一点到原点的距离　　； （3）如图2，要求或的长度，可以转化为求或的斜边长，例如：从坐标系中发现：，所以，，所以由勾股定理得：．在图2中请用上面的方法求线段的长：　　；在图3中：设，，，，试用，，，表示：　　． （三）拓展应用 试用以上所得结论解决如下问题：已知，． （1）直线与轴交于点，求线段的长． （2）为坐标轴上的点，且使得是以为底边的等腰三角形，则的坐标为 　　（不必写出解答过程，直接写出即可）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学学业水平摸底 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 满足下列条件的，不是直角三角形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理、勾股定理的逆定理，逐一判断各选项，找出不是直角三角形的选项即可． 【详解】解：A：∵， ， ， 则是直角三角形，不符合题意； B：设，，，则， 解得， ， 则是直角三角形，不符合题意； C：∵， ， 由勾股定理逆定理可知是直角三角形，不符合题意； D：设，，，， ，， 由于不满足勾股定理逆定理，则不是直角三角形，符合题意． 2. 下列计算结果正确的是　　 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的化简以及求立方根进行计算即可． 【详解】解：A、=6，此选项错误； B、=3.6，此选项错误； C、3=，此选项错误； D、此选项正确． 故选D． 【点睛】本题考查了实数的运算．解题的关键是掌握二次根式的化简以及立方根的计算． 3. 在平面直角坐标系中，点M（－3，1）在（　　）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据点的横纵坐标的符号可得所在象限． 【详解】解：∵-3＜0，1＞0， ∴点M（-3，1）所在的象限是第二象限， 故选B． 【点睛】本题考了查点的坐标的相关知识；掌握各个象限内点的符号特点是解题的关键． 4. 在下列各数中是无理数的有（　　　） 、、、0、、、3.1415、、2.010101…（相邻两个1之间有1个0）． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据无理数的意义，可得答案． 【详解】解：＝5、＝6、0是整数，3.1415和2.010101…属于有理数；是分数，是有理数． 无理数有：−π、、共3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数． 5. 点在第二象限，它到x轴的距离是4，到y轴距离是3，则有（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据各个象限内点的坐标的符号特点，点到坐标轴的距离求解即可． 【详解】∵点在第二象限， ∴，， ∵点到x轴的距离是4，到y轴距离是3， ∴，， ∴，． 故选：B． 【点睛】本题考查各个象限内点的坐标的符号特点，点到坐标轴的距离，熟练掌握各个象限内点的坐标的符号特点与点到坐标轴的距离是解题的关键． 6. 在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标特征是横坐标变为相反数，纵坐标不变，据此解题． 【详解】在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是， 故选：B． 【点睛】本题考查象限与点坐标特征等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：由，得 ， 解得． 2xy=2×2.5×（-3）=-15， 故选：A． 8. 如图，数轴上点A、B分别对应数1、2，过点B作，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点C，以原点O为圆心，长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由作法得：，再由勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：∵数轴上点A、B分别对应数1、2， ∴， 由作法得：， ∵， ∴， ∴， ∴点M对应的数是． 故选：B 9. 如图，已知点，动点在轴上，且的面积为，则的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得，再将动点分成在左侧和右侧时，两种情况分别讨论即可求解． 【详解】解：∵，的面积为， ∴，即， 解得：， 当点在左侧时，， 当点在右侧时，， ∵动点在轴上， ∴， 综上可得点坐标为或， 故选：C． 10. 如图，在中，，，点为的中点，，垂足为点，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】可用面积相等求出DE的长，知道三边的长，可求出BC边上的高，连接AD，△ABC的面积是△ABD面积的2倍． 解：连接AD， ∵AB=AC，D是BC的中点， ∴AD⊥BC，BD=CD=×10=5 ∴AD==12． ∵△ABC的面积是△ABD面积的2倍． ∴2•AB•DE=•BC•AD， DE==． 故选C． 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 的算术平方根是________. 【答案】 【解析】 【详解】试题解析： 的算式平方根是 故答案为 12. 如图，有一圆柱，其高为12cm，它的底面半径为3cm，在圆柱下底面A处有一只蚂蚁，它想得到上面B处的食物，则蚂蚁经过的最短路程为________ cm.（π取3） 【答案】15 【解析】 【分析】本题应先把圆柱展开即得其平面展开图，则A，B所在的长方形的长为圆柱的高12cm，宽为底面圆周长的一半为πr，蚂蚁经过的最短距离为连接A，B的线段长，由勾股定理求得AB的长． 【详解】解：如图所示， 圆柱展开图为长方形， 则A，B所在的长方形的长为圆柱的高12cm，宽为底面圆周长的一半为πrcm， 蚂蚁经过的最短距离为连接A，B的线段长， 由勾股定理得AB===15cm． 故蚂蚁经过的最短距离为15cm．（π取3） 【点睛】本题考查了平面展开图－最短路径问题，解答本题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形长和宽的值，然后用勾股定理计算即可． 13. 在平面直角坐标系中，若点在轴上，则____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了轴上点的坐标特点，根据在轴上则纵坐标为，求出即可，正确理解平面直角坐标系中坐标特点是解题的关键． 【详解】∵点在轴上， ∴， 解得：， 故答案为：． 14. 如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点，则CD的长为_____________________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线， ∴CD=AD， ∴AB=BD+AD=BD+CD， 设CD=x，则BD=4-x， 在Rt△BCD中，，即， 解得x=． 故答案为：． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，勾股定理．掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关键． 15. 计算：（+2）2014（﹣2）2015＝______． 【答案】## 【解析】 【分析】由平方差公式、以及积的乘方性质进行化简，即可求出答案． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式乘法的运算法则，解题的关键是掌握平方差公式、以及积的乘方性质进行化简． 三、解答题（共90分） 16. 计算． （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ． 【小问4详解】 解： ． 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） 或 （2） 【解析】 【分析】（1）用直接开平方法解方程； （2）用直接开立方法解方程． 【小问1详解】 解：， 两边同时开平方得：， 可得：或， 解得：或； 【小问2详解】 解：， 两边同时开立方得：， 解得：． 18. 已知在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理可以求出，根据勾股定理的逆定理可以证明是直角三角形，，根据三角形的面积公式求出结果即可． 【详解】解：如下图所示，连接， ，，， ， ，， ， 是直角三角形，， 四边形的面积为． 19. 已知，如图在平面直角坐标系中，，,求三个顶点的坐标． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，三角形面积，熟知三角形面积公式是解题的关键； 首先根据面积求得、OB的长，最后求得的长．然后写出坐标即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵点O为原点， ∴，，． 20. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为，． （1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系． （2）请作出关于y轴对称的． （3）求的面积． 【答案】（1）如图所示 （2）如图所示： （3）4 【解析】 【分析】（1）根据坐标的正负确定原点的位置，以水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向，在网格中作出平面直角坐标系即可． （2）根据关于轴对称的点的坐标特征：点关于轴对称的点的坐标为，先确定点的坐标，再根据此特征求出、、的坐标，最后在网格中描出这三个点连接起来，即可得到． （3）使用割补法，通过观察图形，可以得到所在的矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，就可以得到的面积． 【小问1详解】 详解见答案． 【小问2详解】 详解见答案． 【小问3详解】 ． 21. 已知：的立方根是的算术平方根3． （1）求的值； （2）求的平方根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查立方根与平方根的运用，涉及立方根和平方根的定义、算术平方根定义、立方根与平方根的运算、解方程和代数式求值等知识，熟记立方根与平方根的运算是解决问题的关键． （1）根据立方根与算术平方根运算列方程求解即可得到答案； （2）将的值代入代数式求值，再由平方根运算求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：的立方根是的算术平方根3， ，解得； 【小问2详解】 解：将代入得到， 的平方根是， 的平方根． 22. 如图，将长．宽的长方形纸片折叠使点与重合，折痕为，则长是多少? 【答案】AE的长为3.4cm 【解析】 【分析】由折叠的性质得到CE＝AE，设AE＝x，表示出EB，在直角三角形BCE中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：设AE的长为xcm，则BE=（5－x）cm， 在Rt△EBC中有：x2=32＋（5－x）2 解得：x=3.4 即AE的长为3.4cm． 【点睛】此题考查了翻折变换（折叠问题），以及矩形的性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键． 23. 已知，点． （1）若点P在y轴上，求点P的坐标； （2）若点P的纵坐标比横坐标大9，试判断点P在第几象限，并说明理由； （3）若点P，Q都在过点且与x轴平行的直线上，，求点P与点Q的坐标． 【答案】（1） （2） 第二象限； 理由：∵点P的纵坐标比横坐标大9， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为， ∴点P在第二象限； （3）；或 【解析】 【分析】（1）根据y轴上的点横坐标为0，列出等式算出m的值，即可； （2）由点P的纵坐标比横坐标大9，可知，解得：，则点P的坐标为，则点P在第二象限； （3）由点、Q都在过点且与x轴平行的直线上，可知P、Q两点的纵坐标都是3，可得，解得，从而点P的坐标是，则，则点Q的横坐标为或，即为6或，由此可得点Q的坐标为或． 【小问1详解】 解：∵点P在y轴上， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵点、Q都在过点且与x轴平行的直线上， ∴P、Q两点的纵坐标都是3，即：， ∴，从而点P的坐标是， 又∵， ∴点Q的横坐标为或，即为6或， ∴点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，平面直角坐标系中的点的特点，熟练掌握平面直角坐标系中坐标轴上点的特点，与坐标轴平行的直线上点的特点是解决问题的关键． 24. 明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地垂直高一尺尺），将它水平向前推进两步尺），此时踏板垂直升高离地五尺尺），求秋千绳索或的长度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 设，根据题意易得到，在中，根据勾股定理得到，据此列方程，解方程即可． 【详解】解：设， 、 在中，由勾股定理得 解得 因此，秋千绳索的长度为尺． 25. （一）问题提出 （1）平面直角坐标系中，如果、是轴上的点，他们对应的横坐标分别是，，、是轴上的两点，它们对应的纵坐标分别是，，那么、两点间的距离，、两点间的距离分别是多少？ （2）平面直角坐标系中任意一点到原点的距离是多少？ （3）已知平面上的两点，，，，如何求，的距离． （二）问题探究 （1）求平面直角坐标系中轴上的两点、之间的距离，可以借助绝对值表示，对于轴上两点，、之间的距离． 结论：在平面直角坐标系中，如果、是轴上两点，它们对应的横坐标分别是，，则、两点间的距离　　；、是轴上的两点，它们对应的纵坐标分别是，，那么、两点间的距离　　． （2）如图1：平面直角坐标系中任意一点，过向轴上作垂线，垂足为，由勾股定理得　　；结论：平面直角坐标系中任意一点到原点的距离　　； （3）如图2，要求或的长度，可以转化为求或的斜边长，例如：从坐标系中发现：，所以，，所以由勾股定理得：．在图2中请用上面的方法求线段的长：　　；在图3中：设，，，，试用，，，表示：　　． （三）拓展应用 试用以上所得结论解决如下问题：已知，． （1）直线与轴交于点，求线段的长． （2）为坐标轴上的点，且使得是以为底边的等腰三角形，则的坐标为 　　（不必写出解答过程，直接写出即可）． 【答案】（一）问题提出：（1），；（2）；（3）构造直角三角形，利用勾股定理求解 （二）问题探究：（1），；（2）5，；（3）5，； （三）拓展应用：（1）；（2）或 【解析】 【分析】（一）问题提出： （1）根据两点间距离的定义，利用两点的坐标差的绝对值表示即可； （2）构造直角三角形，利用勾股定理求解即可； （3）构造直角三角形，利用勾股定理求解即可； （二）探究问题： （1）根据两点间距离的定义，利用两点的坐标差的绝对值表示即可； （2）构造直角三角形，利用勾股定理即可解决问题； （3）构造直角三角形，利用勾股定理即可解决问题； （三）应用拓展： （1）利用图像法求出点坐标，利用前面问题中的结论即可解决问题； （2）作线段的垂直平分线交轴于，交轴于．，是等腰三角形 【详解】解：（一）问题提出： （1）平面直角坐标系中，如果、是轴上的点，他们对应的横坐标分别是，，、是轴上的两点，它们对应的纵坐标分别是，，那么、两点间的距离为，、两点间的距离为； （2）平面直角坐标系中任意一点到原点的距离是； （3）已知平面上的两点，，，，构造直角三角形，如图所示： 利用勾股定理即可求，的距离； （二）探究问题： （1）根据题中定义即可得到，， 故答案为：，； （2）平面直角坐标系中任意一点，过向轴上作垂线，垂足为，，，由勾股定理得；结论：平面直角坐标系中任意一点到原点的距离， 故答案为：5，； （3），， ，， ； 在图3中，设，，，，试用，，，表示：，，， 故答案为：5，； （三）应用拓展： （1）如图2中， 观察图像可知， ， ； （2）作线段的垂直平分线交轴于，交轴于，，是等腰三角形．观察图像可知，； 故答案为：或． 【点睛】本题考查三角形综合题、两点间距离公式、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，数形结合求解，属于综合创新题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $