精品解析：广东省梅州市兴宁市第一中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

兴宁一中九年级上期第一次综合训练（数学） 考试时间120分钟，满分120分 一、选择题（共10小题） 1. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角相等 2. 如图，在菱形中，、是对角线，．若，则的长是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 10 3. 若方程可以直接用开平方法解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 参加足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛90场，设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（     ） A. B. C. D. 5. 下列方程中，是关于的一元二次方程的为（　　） A. B. C. D. 6. 根据下面表格中的对应值： x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2＋bx＋c －0.06 －0.02 0.03 0.09 判断方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ） A. 3＜x＜3.23 B. 3.23＜x＜3.24 C. 3.24＜x＜3.25 D. 3.25＜x＜3.26 7. 已知，则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形中，对角线、相交于点，为边中点，菱形的周长为，则的长等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5．P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为（ ） A. B. C. D. 10. 对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则 ⑤若，，，由根与系数的关系可得，， 其中正确的是（ ） A. ①②③④⑤ B. ①②③ C. ①②④ D. ④⑤ 二、填空题（共5小题） 11. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则________________． 12. 已知一元二次方程的两根为、，则_____． 13. 已知关于的方程有一个根为，则的值为___________． 14. 若，则k＝_____． 15. 如图，在边长为2的正方形中，E是的中点，P、Q分别是边、上的动点，且交于点F，则的最小值为_____________． 三、解答题（一） 16. 选择适当的方法解方程 （1） （2）． 17. 如图，是的角平分线，过点分别作、的平行线，交于点，交于点．求证：四边形是菱形． 18. 如图，在中，∠，动点P、Q分别从点A、B同时开始移动，点P的速度为/秒，点Q的速度为/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．运动多少时间时，能使的面积为？ 四、解答题（二） 19. 如图1，将一张矩形纸片沿着对角线向上折叠，顶点落到点处，交于点． （1）求证：是等腰三角形． （2）如图2，过点作，交于点，连接交于点．若，，求的长． 20. 某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元时，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销． （1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求每次下降的百分率； （2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件. 每天要想获得504元的利润，每件应降价多少元？ 21. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． （1）通过计算，判断是否是“倍根方程”； （2）若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值． 22. 如图， 中，点为边上的一个动点，过点作直线，设交的外角平分线于点，交 内角平分线于． （1）试说明 ； （2）当点运动到何处时，四边形是矩形并证明你的结论； （3）在（2）的条件下猜想满足什么条件能使四边形是正方形．（直接写出具体条件，不需要证明） 23. 【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置．如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点旋转． 【问题发现】 （1）①线段，之间的数量关系是________． ②在①的基础上，连接，则线段，，之间的数量关系是________． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交点，与边相交于点，连接，延长交于点，连接，，矩形可绕点旋转．判断线段，，之间的数量关系并证明． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕点旋转．当时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兴宁一中九年级上期第一次综合训练（数学） 考试时间120分钟，满分120分 一、选择题（共10小题） 1. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形和菱形都是特殊的平行四边形，所以平行四边形所具有的性质，矩形和菱形都具有，故可得出答案． 【详解】解：矩形和菱形是平行四边形， C、D是二者都具有的性质，A是菱形具有的性质， 对角线相等是矩形具有而菱形不一定具有的性质． 故选B． 【点睛】本题主要考查矩形和菱形的性质，掌握矩形和菱形的区别是解题的关键，注意从边、角、对角线这三个方面来区别． 2. 如图，在菱形中，、是对角线，．若，则的长是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是菱形的性质，含角的直角三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握菱形的性质． 根据菱形的性质可得， ，根据含角的直角三角形的性质即可求得的长，从而得到结果． 【详解】解：如图， ∵四边形是菱形， ∴， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 3. 若方程可以直接用开平方法解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】若方程可以直接用开平方法解，则． 【详解】由题意知，． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程－直接开平方法，形如的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 4. 参加足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛90场，设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵ 每两队之间只赛1场，个队中每队需与其余个队各赛1场，且每场比赛被重复计算1次， ∴ 总比赛场数为. ∵ 总比赛场数为90， ∴ . 5. 下列方程中，是关于的一元二次方程的为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查识别一元二次方程，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据只有一个未知数且未知数的最高次数为的整式方程为一元二次方程逐一判断即可． 【详解】A、，这里没有说明，如果时，方程不是一元二次方程，该选项不符合题意； B、经整理后为，化简后未知数的最高次数是，是一元一次方程，不是一元二次方程，该选项不符合题意； C、，经整理后为，该方程只含有一个未知数，且未知数的最高次数是，同时它也是整式方程，所以它是一元二次方程，该选项符合题意； D、，方程中含有分式 和，它是分式方程，不是整式方程，因此也不是一元二次方程，该选项不符合题意； 故选：C． 6. 根据下面表格中的对应值： x 3.23 3.24 3.25 3.26 ax2＋bx＋c －0.06 －0.02 0.03 0.09 判断方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ） A. 3＜x＜3.23 B. 3.23＜x＜3.24 C. 3.24＜x＜3.25 D. 3.25＜x＜3.26 【答案】C 【解析】 【分析】根据表中数据得到x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.03，则x取3.24到3.25之间的某一个数时，使ax2+bx+c＝0，于是可判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25． 【详解】解：∵x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.03， ∴关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25． 故选：C． 【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根． 7. 已知，则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，解决问题的关键是掌握：内项之积等于外项之积．依据比例的性质，将各选项变形即可得到正确结论． 【详解】解：A．由可得，，不合题意； B．由可得，，符合题意； C．由可得，，不合题意； D．由可得，，不合题意； 故选：B． 8. 如图，菱形中，对角线、相交于点，为边中点，菱形的周长为，则的长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线的定义和性质．根据菱形的四条边都相等和对角线互相平分得出，，根据连接三角形任意两边中点的连线叫中位线，三角形的中位线等于第三边的一半即可求解． 【详解】解：∵菱形的周长为， ∴，， ∵为边中点，为的中点， ∴， 故选：D． 9. 如图，在ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5．P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，先证四边形是矩形，则，当时，最小，然后利用三角形面积解答即可． 【详解】解：连接，如图： ，， ， ， 四边形是矩形， ， 当最小时，也最小， ，，， ， 当时，最小， 此时，， 线段长的最小值为， 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的判定与性质，求出的最小值． 10. 对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则 ⑤若，，，由根与系数的关系可得，， 其中正确的是（ ） A. ①②③④⑤ B. ①②③ C. ①②④ D. ④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】①中根据等式系数特征，代入验证方程的根；其余说法结合根的定义、判别式、根与系数关系的适用条件判断． 【详解】解：①将代入方程，得 ． ， 是方程的实数根， ，故①正确． ②方程有两个不相等的实数根， ． 对于方程，其判别式， ， ， 方程必有两个不相等的实根，故②正确． ③将代入方程，得， 整理得． 当时，等式成立，但不一定为0，故③错误； ④是方程的根， ， 两边同乘得， 移项得， 两边加得， 即，故④正确． ⑤当，，时，方程为， 其判别式， 方程无实数根，不能用根与系数的关系求两根之和与两根之积，故⑤错误； 综上，正确的是①②④． 二、填空题（共5小题） 11. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，结合一元二次方程根的判别式求解参数的值． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ． 方程有两个相等的实数根， ， 变形得， 解得或， 又， ． 12. 已知一元二次方程的两根为、，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）得到方程两根之和、两根之积的值，再代入算式化简计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为、， ∴， ∴ = = = =． 13. 已知关于的方程有一个根为，则的值为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】方程的根满足原方程的等式关系，将已知根代入原方程即可计算出的值. 【详解】解：∵是方程的根， ∴将代入原方程得， 整理得，即， 解得. 14. 若，则k＝_____． 【答案】或﹣1． 【解析】 【分析】根据a+b+c的值是否为0分类讨论：a+b+c＝0时，根据等式的基本性质可得a＝﹣（b+c）,代入即可求出k；当a+b+c≠0时，根据等比性质即可求出k． 【详解】解：当a+b+c＝0时，a＝﹣（b+c），则k＝＝＝﹣1； 当a+b+c≠0时，根据等比性质可以得到：k＝＝＝． 则k＝或﹣1． 【点睛】此题考查的是比例的基本性质，掌握等比性质和分类讨论的数学思想是解决此题的关键. 15. 如图，在边长为2的正方形中，E是的中点，P、Q分别是边、上的动点，且交于点F，则的最小值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过点P作于点M，证明四边形是矩形，，得到，证明，得到，求出，将正方形沿翻折得到正方形，连接，过点Q作交于点N，连接，证明，得到，然后由得到当点N，Q，E三点共线时，取得最小值，即的长度，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点P作于点M， ∵四边形是正方形 ∴， ∵ ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵E是的中点 ∴ 将正方形沿翻折得到正方形，连接，过点Q作交于点N，连接 ∴，， 又∵ ∴ ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形 ∴， ∴ ∴当点N，Q，E三点共线时，取得最小值，即的长度 ∴ ∵， ∴ ∴的最小值为． 三、解答题（一） 16. 选择适当的方法解方程 （1） （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ∵， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解： ∴或 ，． 17. 如图，是的角平分线，过点分别作、的平行线，交于点，交于点．求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵是的角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识，熟练掌握菱形的判定是解题关键．先根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，再根据等腰三角形的判定可得 是等腰三角形，从而，然后根据菱形的判定即可得． 【详解】略 18. 如图，在中，∠，动点P、Q分别从点A、B同时开始移动，点P的速度为/秒，点Q的速度为/秒，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动．运动多少时间时，能使的面积为？ 【答案】运动秒时，能使的面积为． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设运动时间为t秒，则，由三角形的面积公式结合的面积为，即可得出关于t的一元二次方程，解之取合适的值即可． 【详解】解：设运动时间为t秒，则， 依题意，得：， 解得：， ∵， ∴， ∴． 答：运动秒时，能使的面积为． 四、解答题（二） 19. 如图1，将一张矩形纸片沿着对角线向上折叠，顶点落到点处，交于点． （1）求证：是等腰三角形． （2）如图2，过点作，交于点，连接交于点．若，，求的长． 【答案】（1）证明过程见详解 （2）的长为 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质，折叠的性质可证，根据全等三角形的性质，等腰三角形的判定方法即可求证； （2）根据矩形的性质，等腰三角形的性质可证四边形是菱形，由（1）中的三角形的全等的性质，设，可求出的长，在中，可求出的长，根据菱形的性质可得，根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：将一张矩形纸片沿着对角线向上折叠，顶点落到点处，交于点， ∴，， 在中， ， ∴， ∴，， ∴是等腰三角形． 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， 由（1）可知，， ∴平行四边形是菱形， 由折叠可知，，设，则， 在中，，，， ∴，即，解得，， ∴，则， 在中，， ∵四边形是菱形， ∴，即，，， ∴在中，， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题主要考查矩形的折叠，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，特殊四边形的判定和性质，勾股定理等知识的综合，掌握以上知识的灵活运用是解题的关键． 20. 某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元时，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销． （1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求每次下降的百分率； （2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件. 每天要想获得504元的利润，每件应降价多少元？ 【答案】（1） （2） 每件应降价元 【解析】 【分析】（1）设每次下降百分率，根据连续两次降价后的售价列一元二次方程求解； （2）设降价金额，利用总利润=单件利润×销售量列方程，结合尽快减少库存的条件选取合适的解. 【小问1详解】 解： 设每次下降的百分率为， ∵ 原售价为每件元，连续两次下调相同百分率后售价为元， ∴ ， ∴ ， 解得 ，（不符合题意，舍去） 答：两次下降的百分率为； 【小问2详解】 解：设每件商品应降价元， 由题意，得， 解得：，， ∵有利于减少库存， ∴ 答：要使商场每天销售这种商品的利润达到504元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价3元． 21. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． （1）通过计算，判断是否是“倍根方程”； （2）若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值． 【答案】（1）方程是“倍根方程” （2）代数式的值为或 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法求出一元二次方程的根，和新定义进行比较即可； （2）表示出一元二次方程的根，然后根据新定义，分两种情况求出的值，最后代入多项式求值． 【小问1详解】 解： 或， ∴，， ∵， ∴方程是“倍根方程”； 【小问2详解】 解： 或 ，， ∵方程是“倍根方程”， ∴当时，即， 解得， ∴； 当时，即， ∴； 综上，代数式的值为或． 22. 如图， 中，点为边上的一个动点，过点作直线，设交的外角平分线于点，交 内角平分线于． （1）试说明 ； （2）当点运动到何处时，四边形是矩形并证明你的结论； （3）在（2）的条件下猜想满足什么条件能使四边形是正方形．（直接写出具体条件，不需要证明） 【答案】（1）证明：平分， ， ， ， ， ， 同理可证：， ． （2）当点运动到中点处时，四边形是矩形． 证明：，， 四边形为平行四边形， 平分， ， 同理，， ， 四边形是矩形． （3）当是直角三角形且时，四边形是正方形． 【解析】 【分析】（1）根据平分，，找到相等的角，即，再根据等边对等角得，同理，可得． （2）利用矩形的判定解答，即“有一个内角是直角的平行四边形是矩形”． （3）利用正方形判定“有一组邻边相等的矩形是正方形”即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当是直角三角形且时，四边形是正方形． 证明：， ∴， 平分， ， ， ， 同理可得：， ∴， ∴， 四边形是矩形， 四边形是正方形． 23. 【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置．如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点旋转． 【问题发现】 （1）①线段，之间的数量关系是________． ②在①的基础上，连接，则线段，，之间的数量关系是________． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交点，与边相交于点，连接，延长交于点，连接，，矩形可绕点旋转．判断线段，，之间的数量关系并证明． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕点旋转．当时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）①， ② （2）三线段间的数量关系为：； 证明如下： ∵四边形、四边形均为矩形，矩形的中心为O， ∴，，， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴； 在中，由勾股定理得：， ∴； （3）或． 【解析】 【分析】（1）①证明，由全等三角形的性质即可得到，从而可得；②由①的结论及勾股定理即可得到三线段间的数量关系； （2）由矩形的性质可证明，则有；再由矩形的性质及线段垂直平分线的性质可得；在中，由勾股定理及等量代换可得 ； （3）分两种情况：点E在边上；点E在延长线上；由（2）的结论及勾股定理即可解决． 【详解】（1）解：①∵四边形、四边形均为正方形， ∴，，， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ②在中，， 而，， ∴； （2）略 （3）解：①当点E在边上时； 由（2）的结论知：； 另一方面，在中，由勾股定理得：， 即； 设，则，而， ∴， 解得：， 即； ②当点E在延长线上时，如图； 把补成矩形，延长交延长线于点P，连接， 与（2）证法相同，同样有， 另一方面，在中，由勾股定理得：， 即； 设，则，而， ∴， 解得：， 即； 综上，的长为或． 【点睛】本题是四边形的综合，考查了矩形、正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，旋转的性质等知识，证明三角形全等是问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $