精品解析：广东省梅州市兴宁市宋声学校2025-2026学年九年级上学期月考数学试卷（12月份）

宋声学校2025－2026学年九年级（上）月考数学试卷 一．选择题（每小题3分，满分30分） 1. 如图，该三棱柱的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 已知中，，，则的形状（　　） A. 一定是锐角三角形 B. 一定是直角三角形 C. 一定是钝角三角形 D. 无法确定 3. 若关于x的方程． 有两个不相等的实数根，则下列选项中，满足条件的实数a，c的值可以是（ ） A. B. C. D. 4. 在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，大小关系为（　　） A. B. C. D. 6. 已知抛物线，下列说法不正确的是（ ） A. 对称轴为直线 B. 时，随的增大而增大 C. 顶点坐标为 D. 的最小值是1 7. 如图，拦水坝的横断面为梯形，，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比，斜面坡度是指与的比．根据图中数据，求出斜坡的长为（ ） A. 13 B. C. D. 11 8. 在一个不透明的袋子中装有两个红球和两个黄球，它们除颜色不同外其余都相同，现随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，摇匀后再摸，则两次都摸到红球的概率是（） A. B. C. D. 9. 某超市销售一种饮料，每瓶进价为4元，经市场调查表明：每瓶售价每增加1元，日均销售量减少80瓶；当售价为每瓶7元时，日均销售量为400瓶，若要日均毛利润最大，每瓶饮料的售价应是（ ） A. 6元 B. 7元 C. 8元 D. 9元 10. 如图所示，在正方形中，E，F分别为，上的点，G为上一点，连接交于点H，满足，连接，N为上一点，满足，连接，M为中点，连接，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 二．填空题（每题3分，满分15分） 11. 在一个不透明的口袋中装有个红球和若干个黑球，这些球除颜色外其他都相同，将袋中的球搅匀，从中任意摸出一个球，是黑球的概率是，则袋中有黑球______个． 12. 如图，四边形四边形．若，，，则的度数为______． 13. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻为时，电流是________A． 14. 人字梯为家庭常用的工具，某电商售卖的甲、乙两款人字梯如图所示，根据图中数据可知，___________款人字梯比较陡．（填“甲”或“乙”） 15. 在平面直角坐标系中，二次函数（是常数）的图象经过点，，，若时，，则__________；若，，都有，则的取值范围是__________． 三．解答题（满分21分，每小题7分） 16. 解方程：． 17. 如图，在中，点D，E，G分别在边上，，线段相交于点F，且．求证：平分． 18. 如图，转盘的红色扇形和蓝色扇形的圆心角分别为和，转盘可以自由转动． （1）转动一次转盘，求指针落在红色扇形内的概率； （2）转动两次转盘，利用树状图或者列表法分析指针两次都落在蓝色扇形内的概率． 四．解答题（满分27分，每小题9分） 19. 如图，在矩形中，平分交于点，连接． （1）用尺规作图：过点F作的垂线，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）问所作的图形中，求证：． 20. 如图，在中，，轴，垂足为A．反比例函数的图象经过点C，交于点D．已知，． （1）若，求的值； （2）连接，若，求的长． 21. 如图，是起钉器在起钉时的截面示意图，起钉盒可看作矩形，点落在底座上（底座厚度忽略不计），起钉时．已知，，，且三点共线． （1）求起钉时的大小； （2）求起钉时点到底座的距离．（结果保留到小数点后一位，参考数据：取，取） 五．解答题（共2小题，满分27分） 22. 如图，某养羊户想用29米长的围栏设计一个矩形的养羊圈，其中羊圈一边靠墙，另外三边用围栏围住，在边开个门（宽度为1米），的长度为，为了让围成的羊圈（矩形）面积达到，请你帮忙计算一下此时羊圈的长与宽分别是多少？当羊圈的长与宽分别为多少时，羊圈的面积达到最大？最大面积是多少？ 23. 已知二次函数，其中． （1）当该函数的图像经过原点，求此时函数图像的顶点A的坐标； （2）求证：二次函数的顶点在第三象限； （3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线上运动，平移后所得函数的图像与y轴的负半轴的交点为B，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宋声学校2025－2026学年九年级（上）月考数学试卷 一．选择题（每小题3分，满分30分） 1. 如图，该三棱柱的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查几何体的三视图，熟练掌握三视图的定义是解题关键 【详解】解：该三棱柱的主视图是一个长方形内部有一条虚线， 故选：A 2. 已知中，，，则的形状（　　） A. 一定是锐角三角形 B. 一定是直角三角形 C. 一定是钝角三角形 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由三角函数值求锐角、三角形的内角和，根据特殊角的三角函数值得、，再利用三角形的内角和即可求解，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：由，得， ，得， ， 故是钝角三角形， 故选：C． 3. 若关于x的方程． 有两个不相等的实数根，则下列选项中，满足条件的实数a，c的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，利用根的判别式的意义得到，然后对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， A、若，，不符合题意； B、若，，不符合题意； C、若，，符合题意； D、若，，不符合题意． 故选：C． 4. 在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关系，则位似中心的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意确定直线的解析式为：，由位似图形的性质得出所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，即可求解． 【详解】解：由图得：， 设直线的解析式为：，将点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为：， 所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心， ∴当时，， ∴位似中心的坐标为， 故选：A． 【点睛】题目主要考查位似图形的性质，求一次函数的解析式，理解题意，掌握位似图形的特点是解题关键． 5. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，大小关系为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟记反比例函数的增减性是解题的关键．先判断出反比例函数图象在第一、三象限，再根据反比例函数的性质，在每一个象限内，随的增大而减小判断． 【详解】解：， 反比例函数的图象位于第一、三象限， ， ， ， ， ． 故选：A． 6. 已知抛物线，下列说法不正确的是（ ） A. 对称轴为直线 B. 时，随的增大而增大 C. 顶点坐标为 D. 的最小值是1 【答案】C 【解析】 【分析】通过对比抛物线的顶点形式，确定顶点坐标、对称轴、增减性和最值，从而判断各选项的正误． 本题考查了二次函数的性质，掌握顶点式是解题关键． 【详解】解：∵ 抛物线为 ， ∴,， 对于选项A：对称轴为，该选项正确; 对于选项B：∵ ，∴ 当 时， 随 增大而增大，该选项正确; 对于选项C：顶点坐标为 ，该选项错误; 对于选项D：∵ ，∴ 的最小值为，该选项正确． 故选：C． 7. 如图，拦水坝的横断面为梯形，，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比，斜面坡度是指与的比．根据图中数据，求出斜坡的长为（ ） A. 13 B. C. D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理．根据题意求出，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意得， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 8. 在一个不透明的袋子中装有两个红球和两个黄球，它们除颜色不同外其余都相同，现随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，摇匀后再摸，则两次都摸到红球的概率是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查画树状图或列表法求概率．先画树状图或列表求出所有等可能的结果数，再找出符合要求的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：列表为： 红 红 黄 黄 红 （红，红） （红，红） （红，黄） （红，黄） 红 （红，红） （红，红） （红，黄） （红，黄） 黄 （黄，红） （黄，红） （黄，黄） （黄，黄） 黄 （黄，红） （黄，红） （黄，黄） （黄，黄） 由表可得，共有16种等可能的情况，其中两次都摸到红球的有4种情况，其概率为． 故选：B． 9. 某超市销售一种饮料，每瓶进价为4元，经市场调查表明：每瓶售价每增加1元，日均销售量减少80瓶；当售价为每瓶7元时，日均销售量为400瓶，若要日均毛利润最大，每瓶饮料的售价应是（ ） A. 6元 B. 7元 C. 8元 D. 9元 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意得出对应的函数关系式是解题的关键．设每瓶的售价为元，日均利润为元，根据列出y关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设每瓶的售价为元，日均利润为元，由题意得； ； ； ∵； ∴当时，y有最大值； 故选：C． 10. 如图所示，在正方形中，E，F分别为，上的点，G为上一点，连接交于点H，满足，连接，N为上一点，满足，连接，M为中点，连接，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，中位线的性质等知识，构造全等三角形是解题的关键．过F作于点K，交于点R，过H作，使得，连接，，，延长至点Q，使得，连接，先证，得到，再证，得，最后证明，得到，从而得到． 【详解】解：如图，过F作于点K，交于点R，过H作，使得，连接，，，延长至点Q，使得，连接， ∵， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在与中， ∵ ∴， ∴， ∵，， ∵，， ∴，即，即， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 设，， ∵， 又∵， ∴， ∴， 在中， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵正方形， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵M为中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，中位线的性质，勾股定理，三角形内角和定理等知识，构造全等三角形是解题的关键． 二．填空题（每题3分，满分15分） 11. 在一个不透明的口袋中装有个红球和若干个黑球，这些球除颜色外其他都相同，将袋中的球搅匀，从中任意摸出一个球，是黑球的概率是，则袋中有黑球______个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，设袋中有黑球个，根据概率公式列出方程求解即可，掌握概率公式是解题的关键． 【详解】解：设袋中有黑球个，则总球数为个， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴袋中有黑球个， 故答案为：． 12. 如图，四边形四边形．若，，，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质．根据“相似多边形的对应角相等”，即可求解． 【详解】解：∵四边形四边形．若， ， ∴， ， ∴， 故答案为：． 13. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻为时，电流是________A． 【答案】12 【解析】 【分析】设该反比例函数解析式为，根据当时，，可得该反比例函数解析式为，再把代入，即可求出电流I． 【详解】解：设该反比例函数解析式为， 由题意可知，当时，， ， 解得：， 设该反比例函数解析式为， 当时，， 即电流为， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题关键． 14. 人字梯为家庭常用的工具，某电商售卖的甲、乙两款人字梯如图所示，根据图中数据可知，___________款人字梯比较陡．（填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点A作，垂足为M，过点D作，垂足为N，先利用等腰三角形的三线合一性质求出的长，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的值，比较即可解答． 【详解】解：如图：过点A作，垂足为M，过点D作，垂足为N， ∵， ∴ 在中， ∴， ∵， ∴ 在中， ∴， ∵， ∴ ∴甲款人字梯比较陡， 故答案为：甲． 15. 在平面直角坐标系中，二次函数（是常数）的图象经过点，，，若时，，则__________；若，，都有，则的取值范围是__________． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，若时，，利用抛物线的对称性即可求得；根据题意判断出离对称轴更近的点，从而得出，的中点在对称轴左侧，再根据对称性求解即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴图象与x轴的交点为，， ∴对称轴为直线， 二次函数（m是常数）的图象经过点，，， ①若时，， ∴对称轴为直线， ∴； ②∵对称轴为直线， ∵，， ∴，， ∵，， ∴离对称轴更近， ∴，的中点在对称轴左侧， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2，． 三．解答题（满分21分，每小题7分） 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法． 利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：原方程可化为：， ∵ ，． 17. 如图，在中，点D，E，G分别在边上，，线段相交于点F，且．求证：平分． 【答案】 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即平分． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，角平分线的判定等知识．先利用两角分别对应相等即可证明，得出，再根据两边对应成比例及夹角相等证明，即可求证． 【详解】略 18. 如图，转盘的红色扇形和蓝色扇形的圆心角分别为和，转盘可以自由转动． （1）转动一次转盘，求指针落在红色扇形内的概率； （2）转动两次转盘，利用树状图或者列表法分析指针两次都落在蓝色扇形内的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将作为1份，可知红色扇形占1份，蓝色扇形占2份，利用概率公式计算即可； （2）依据题意画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出概率可得． 【小问1详解】 解：将作为1份，可知蓝色扇形占2份，红色扇形占1份，它们发生的可能性相同，让转盘自由转动一次，共三种可能，指针落在红色扇形有1种，所以指针落在红色扇形内的概率是； 【小问2详解】 设蓝色扇形两块和红色扇形的一块分别为1，2，3， 画树状图得： 由树状图知共有9种等可能结果，其中指针两次都落在蓝色扇形内有4种结果，所以指针落在蓝色扇形内的概率为． 【点睛】本题主要考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 四．解答题（满分27分，每小题9分） 19. 如图，在矩形中，平分交于点，连接． （1）用尺规作图：过点F作的垂线，交于点；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）问所作的图形中，求证：． 【答案】（1）如图， （2）证明：四边形是矩形， ，，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据尺规作图作垂线的步骤作图即可； （2）由矩形的性质结合角平分线可知，，，再根据，结合直角三角形两锐角互余可证，进而证明，即可证得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，在中，，轴，垂足为A．反比例函数的图象经过点C，交于点D．已知，． （1）若，求的值； （2）连接，若，求的长． 【答案】（1）12 （2） 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形的性质得出，的长，再利用勾股定理得出的长，得出点坐标即可得出答案； （2）首先表示出，点坐标，进而利用反比例函数图象的性质求出点坐标，然后利用勾股定理即可求得的长 此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理和反比例函数图象的性质，正确得出方程，解一元一次方程是解题关键． 【小问1详解】 解：作，垂足为E， ∵， ∴． 在中，，， ∴, ∵， ∴C点的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴， 故答案为：12． 【小问2详解】 解：设A点的坐标为， ∵，， ∴， ∴D，C两点的坐标分别为：，． ∵点C，D都在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴C点的坐标为：， ∴． 故答案为：． 21. 如图，是起钉器在起钉时的截面示意图，起钉盒可看作矩形，点落在底座上（底座厚度忽略不计），起钉时．已知，，，且三点共线． （1）求起钉时的大小； （2）求起钉时点到底座的距离．（结果保留到小数点后一位，参考数据：取，取） 【答案】（1）75° （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，理解题意构造直角三角形是解题的关键． （1）由矩形的性质得，则，由此即可求解； （2）过点作于点，过点分别作于点，于点，在中，由余弦函数可求得的长；易得四边形为矩形，，在中，由正弦函数求得，由即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形为矩形， ∴， ∴． ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，过点分别作于点，于点， ∴． ∵三点共线，， ∴， ∴在中，． ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， 答：起钉时点到底座的距离约为． 五．解答题（共2小题，满分27分） 22. 如图，某养羊户想用29米长的围栏设计一个矩形的养羊圈，其中羊圈一边靠墙，另外三边用围栏围住，在边开个门（宽度为1米），的长度为，为了让围成的羊圈（矩形）面积达到，请你帮忙计算一下此时羊圈的长与宽分别是多少？当羊圈的长与宽分别为多少时，羊圈的面积达到最大？最大面积是多少？ 【答案】当羊圈的长为，宽为时，羊圈面积达到；羊圈的长为，宽为时，羊圈的面积最大，最大值为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用以及二次函数的最值问题，准确理解题意是解题关键．设羊圈的宽，则长为，由矩形面积公式表示出羊圈的面积，并建立方程及相关二次函数关系式解答即可． 【详解】解：设羊圈的宽，则长为， ∵的长度为， ∴， ∴， ∴矩形的面积， 解（不合题意，舍去），， ∴， 答：当羊圈的长为，宽为时，羊圈面积达到． 由， ∵， ∴时，矩形的面积最大， 此时，， 答：羊圈的长为，宽为时，羊圈的面积最大，最大值为． 23. 已知二次函数，其中． （1）当该函数的图像经过原点，求此时函数图像的顶点A的坐标； （2）求证：二次函数的顶点在第三象限； （3）如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线上运动，平移后所得函数的图像与y轴的负半轴的交点为B，求面积的最大值． 【答案】（1）； （2） 二次函数， 顶点的横坐标为：， 当时， ， ， ， ，， 即：二次函数的顶点在第三象限； （3）． 【解析】 【分析】（1）将代入函数解析式求出函数解析式，接可求出顶点坐标； （2）结合函数解析式求出顶点横坐标，代入解析式即可求得顶点纵坐标，即可求得顶点坐标，结合分析，即可证明； （3）如图，过作轴于，由题意设平移后的函数解析式为，则其顶点坐标横为，代入直线解析式即可求得，由于B在y轴的负半轴故，再由可得，最后根据二次函数的最值即可求解． 【小问1详解】 解：将代入函数解析式得： ， 解得：或， ， ， 故函数解析式为：， 函数顶点横坐标为：， 当时，， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，过作轴于， 设平移后的函数解析式为： ， 其顶点坐标横为：， 当时，， 则的顶点坐标为：， 在直线上， ， 解得：， ， B在y轴的负半轴， ， ， ， ， ， 当时，， 此时有最大值，最大值为． 【点睛】此题考查了求二次函数解析式及顶点坐标，平移的性质，函数图象上点的特征，二次函数的图象和性质；解题的关键是熟练掌握以上知识，综合求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $