精品解析：广东梅州市梅县区华侨中学2026-2027学年九年级上学期数学定时作业（一）（10月）

华侨中学九年级上数学定时作业（一） （满分120分 考试用时120分钟） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程需同时满足三个条件，只含有一个未知数，未知数的最高次数为，是整式方程，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：选项A中，未知数最高次数为，不满足条件，∴A错误； 选项B中，含有两个未知数，不满足条件，∴B错误； 选项C中，只含1个未知数，未知数最高次数为，且为整式方程，满足所有条件，∴C正确； 选项D中，分母含有未知数，不是整式方程，不满足条件，∴D错误． 2. 一元二次方程，配方的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的配方法，按照配方法步骤，先移常数项到等号右侧，再在等号两边加上一次项系数一半的平方，即可得到配方结果． 【详解】解：原方程为， 移项得， 一次项系数为，一半的平方为，等式两边同时加得， ， 整理得． 3. 下列命题中，真命题是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C. 四条边相等的四边形是菱形 D. 一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题根据矩形、正方形、菱形、平行四边形的判定定理，逐一判断各命题即可得到结果. 【详解】解： A、对角线相等的平行四边形才是矩形，对角线相等的四边形不一定是矩形，如等腰梯形对角线相等但不是矩形，故A是假命题； B、对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形，仅对角线互相垂直且相等的四边形不是正方形，故B是假命题； C、根据菱形的判定定理，四条边相等的四边形是菱形，故C是真命题； D、一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，故D是假命题． 4. 如图，在四边形中，对角线相交于点O，下列条件能够判定四边形是菱形的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形及特殊平行四边形的判定定理逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A. ，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，不能够判定四边形是菱形； B. ，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，不能够判定四边形是菱形； C. ，由四条边都相等的四边形才是菱形，不能够判定四边形是菱形； D. ，由对角线先垂直平分的四边形是菱形，能够判定四边形是菱形； 故选D． 【点睛】本题考查平行四边形及特殊平行四边形的判定定理，熟记平行四边形及特殊平行四边形的判定定理是解决问题的关键． 5. 如图，顺次连接长方形四边中点，得四边形，则这个四边形是（ ） A. 一般四边形 B. 正方形 C. 菱形 D. 长方形 【答案】C 【解析】 【分析】连接，，根据矩形的性质可得，然后根据三角形的中位线定理可得，，，，从而证明，最后根据菱形的判定方法即可解答． 【详解】解：在中，、分别是、的中点， 故可得：，同理，，， 在矩形中，， ， 四边形是菱形． 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，中点四边形，熟练掌握三角形的中位线定理，以及菱形的判定是解题的关键． 6. 一元二次方程根的情况为（ ）． A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】运用一元二次方程根的判别式判断根的情况即可求解． 【详解】解：∵，则，，， ∴， ∴该一元二次方程没有实数根． 7. 为了促进教育事业的发展，某县加强了对教育经费的投入，年共计投入亿元，预计年投入亿元，设教育经费的年平均增长率为， 下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设教育经费的年平均增长率为，根据题意列出一元二次方程即可，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】设教育经费的年平均增长率为， 依题意得：， 故选：． 8. 如图，在直角坐标系中，菱形的顶点的坐标为，的坐标为，点在轴上，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合菱形的性质可得，轴，再由勾股定理可得的长，即可求解． 【详解】解：∵点的坐标为，的坐标为， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，轴， ∵， ∴， ∴点的坐标为． 9. 在长为，宽为的长方形田地中开辟三条宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为，求道路的宽度．设道路的宽度为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据余田的面积为468列出方程即可． 【详解】解：设入口的宽度为x m，由题意得： （30-2x）（20-x）=468． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程． 10. 把一张矩形纸片按照如图所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图或所示的正方形．若矩形纸片的长为，宽为，四边形的面积等于四边形面积的倍，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先表示出四边形的面积和四边形面积，然后根据四边形的面积等于四边形面积的倍列方程求解即可． 【详解】解：根据题意得，四边形的面积， 四边形面积， 四边形的面积等于四边形面积的倍， ， 整理得 设， ， 解得或（舍去）， ． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 一元二次方程的解是____． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ， 或， ． 12. 如图，在中，点是斜边的中点，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形的斜边中线定理可得，，推出，即可求解． 【详解】解：在中，点是斜边的中点， ，， ， ． 13. 关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根；根据一元二次方程有实数根的条件，需判别式且二次项系数不为零，据此列式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴且， 故答案为：且． 14. 若是一元二次方程的两个根，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，根据分式的加减化简代数式，进而即可求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴， ∴. 15. 如图，四边形是菱形，，，于点E，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质及勾股定理，熟练掌握菱形的性质及勾股定理是解题的关键；由题意易得，，则有，然后根据等积法可进行求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴， ∵， ∴； 故答案为． 三、解答题 16. 解方程 （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ， 或， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ． 17. 如图，在矩形中，点在边上，，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】先根据矩形的性质得，再证明与全等，由此可证． 【详解】证明：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 18. 如图，中，． （1）尺规作图：作边上的中线，交于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）若，求的长． 【答案】（1） 如图，线段即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、中线的作法、含的直角三角形的性质以及直角三角形斜边上中线的性质，解题的关键是掌握中线的作法，并熟练运用相关知识解决问题． （1）直接利用线段垂直平分线的尺规作图方法作出直线交于点即可得解； （2）利用含的直角三角形的性质求出，再利用直角三角形斜边上中线的性质得到的长； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， 由（1）作图可知，为边上的中线． ∴． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）若方程的一个实数根是，求另一个实数根和的值． 【答案】（1）证明：在一元二次方程中，，，， ， ∵无论取何值，，即，∴无论取何值，方程总有实数根； （2）的值为，方程的另一个实数根为． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）将代入求出的值，再利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程的一个实数根是， ∴， 解得：， ∴一元二次方程， ∴， 解得：，， ∴方程的另一个实数根为． 20. 如图，在矩形中，点是对角线的中点，点 是边上的点，连接并延长交于点，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若 ，，求四边形的周长． 【答案】（1） 证明：∵是中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵点是对角线的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴四边形是菱形； （2）． 【解析】 【分析】（）由矩形性质可得，则，然后证明，则，故有四边形是平行四边形，又点 是对角线  的中点，则垂直平分，所以，从而可证明四边形 是菱形； （）设，则，，由勾股定理得，即有，然后解出即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：设，则，， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴四边形的周长为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，菱形的判定与性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 21. “山西是时间的朋友，这片土地处处散发着时光的奇迹……”董宇辉在直播电商平台的山西专场中现场讲解山西的美食产品，深度介绍山西的文化古迹，传播三晋文化，其中山西老陈醋以色、香、醇、浓、酸五大特征，引得广大网友争相购买品尝．某商家抓住商机，以70元/盒的进价购入了一批礼盒装的保健醋口服液，在销售过程中发现，当售价为110元盒时，一天可售出20盒，且该礼盒的单价每降低1元，其销量可增加2盒． （1）若该礼盒的售价为x元/盒，则其日销量可表示为______盒； （2）在（1）的条件下，若商家销售该礼盒每天想要获利1200元，则为尽快减少库存，该礼盒的售价应定为多少？ 【答案】（1） （2）90元/盒 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据销售利润单个的利率销售量列出方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：该礼盒的售价为x元/盒，则其日销量可表示为： 盒； 【小问2详解】 解：根据题意，得：， 整理，得：， 解得：，， 要尽快减少库存， 取， 答：该礼盒的售价应定为90元/盒． 22. 阅读材料并解答相关问题． 材料1：规定：如果实数a，b，c满足，那么称一元二次方程为“和差”二次方程． 材料2：韦达定理：若一元二次方程的两根分别为，则 （1）【概念辨析】问题1：下列方程是“和差”二次方程的有__________（填写序号） ①；②；③；④． （2）【特例感知】①问题2：分别求出“问题1”中所有“和差”二次方程的根． ②问题3：若“和差”二次方程的一个根5，求这个方程的另一个根． （3）【结论归纳】问题4：设m，n是“和差”二次方程的两个根，请写出你发现的关于两根m，n的结论，并说明理由． 【答案】（1）②③ （2）①方程②的根为， ；方程③的根为 ；② （3） 或， 理由： 是“和差”二次方程的两个根， ， 又， ， ， ， ， 或， 或． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的新定义，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，理解“和差”二次方程的定义是解此题的关键． （1）根据“和差”的二次方程的定义判断即可； （2）①利用公式法和因式分解法求解即可； ②设方程的另一根是，利用韦达定理求解即可； （3）根据韦达定理以及“和差”的二次方程的定义列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：①中，不是“和差”的二次方程； ②中，是“和差”的二次方程； ③中，是“和差”的二次方程； ④中，不是“和差”的二次方程； 故答案为：②③； 【小问2详解】 解：①解方程， ， ， ， ； 解方程， ， ； ②设方程的另一根是， 由韦达定理可得，． ， ， 即， 解得：； 【小问3详解】 略 23. 综合探究 （1）如图1，已知正方形和正方形中，点，，在同一直线上，连接，，则和的数量关系为__________，位置关系为__________； （2）如图2，将图1中的正方形绕点按顺时针方向旋转一定角度，旋转角为，和交于点．试判断和的数量和位置关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若，，，则长为__________． 【答案】（1）， （2）解：，，理由如下： ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，设和交于点， 由对顶角相等得：， ∴，即， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）先证出，则，，再延长，交于点，得出，由此即可得； （2）先证出，则，，再设和交于点，得出，由此即可得； （3）先求出的长，，再得出点在上，点与点重合，则，在中，利用勾股定理可得的长，进而可得的长，然后根据即可得． 【小问1详解】 解：∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，延长，交于点， 由对顶角相等得：， ∴，即， ∴， ∴和的数量关系为，位置关系为． 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：如图，连接，交于点， ∵四边形和四边形都是正方形，，， ∴，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴如图，点在上，此时点与点重合， ∴， ∴在中，， ∴， 同理可得：， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华侨中学九年级上数学定时作业（一） （满分120分 考试用时120分钟） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程，配方的结果是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中，真命题是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C. 四条边相等的四边形是菱形 D. 一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 4. 如图，在四边形中，对角线相交于点O，下列条件能够判定四边形是菱形的是（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，顺次连接长方形四边中点，得四边形，则这个四边形是（ ） A. 一般四边形 B. 正方形 C. 菱形 D. 长方形 6. 一元二次方程根的情况为（ ）． A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根 7. 为了促进教育事业的发展，某县加强了对教育经费的投入，年共计投入亿元，预计年投入亿元，设教育经费的年平均增长率为， 下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在直角坐标系中，菱形的顶点的坐标为，的坐标为，点在轴上，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 在长为，宽为的长方形田地中开辟三条宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为，求道路的宽度．设道路的宽度为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 10. 把一张矩形纸片按照如图所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图或所示的正方形．若矩形纸片的长为，宽为，四边形的面积等于四边形面积的倍，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 一元二次方程的解是____． 12. 如图，在中，点是斜边的中点，，则________． 13. 关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是_______． 14. 若是一元二次方程的两个根，则的值为_____． 15. 如图，四边形是菱形，，，于点E，则的长是______． 三、解答题 16. 解方程 （1）； （2）； 17. 如图，在矩形中，点在边上，，求证：． 18. 如图，中，． （1）尺规作图：作边上的中线，交于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）若，求的长． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）若方程的一个实数根是，求另一个实数根和的值． 20. 如图，在矩形中，点是对角线的中点，点 是边上的点，连接并延长交于点，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若 ，，求四边形的周长． 21. “山西是时间的朋友，这片土地处处散发着时光的奇迹……”董宇辉在直播电商平台的山西专场中现场讲解山西的美食产品，深度介绍山西的文化古迹，传播三晋文化，其中山西老陈醋以色、香、醇、浓、酸五大特征，引得广大网友争相购买品尝．某商家抓住商机，以70元/盒的进价购入了一批礼盒装的保健醋口服液，在销售过程中发现，当售价为110元盒时，一天可售出20盒，且该礼盒的单价每降低1元，其销量可增加2盒． （1）若该礼盒的售价为x元/盒，则其日销量可表示为______盒； （2）在（1）的条件下，若商家销售该礼盒每天想要获利1200元，则为尽快减少库存，该礼盒的售价应定为多少？ 22. 阅读材料并解答相关问题． 材料1：规定：如果实数a，b，c满足，那么称一元二次方程为“和差”二次方程． 材料2：韦达定理：若一元二次方程的两根分别为，则 （1）【概念辨析】问题1：下列方程是“和差”二次方程的有__________（填写序号） ①；②；③；④． （2）【特例感知】①问题2：分别求出“问题1”中所有“和差”二次方程的根． ②问题3：若“和差”二次方程的一个根5，求这个方程的另一个根． （3）【结论归纳】问题4：设m，n是“和差”二次方程的两个根，请写出你发现的关于两根m，n的结论，并说明理由． 23. 综合探究 （1）如图1，已知正方形和正方形中，点，，在同一直线上，连接，，则和的数量关系为__________，位置关系为__________； （2）如图2，将图1中的正方形绕点按顺时针方向旋转一定角度，旋转角为，和交于点．试判断和的数量和位置关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若，，，则长为__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $