3.1 圆的相关概念-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(苏科版·新教材)

第3章圆 3.1圆的相关概念 第1课时圆的定义 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1,舒青境生活实际井盖平面轮廓采用圆形的一个原因是圆形井盖怎么放都不会掉到井里，并且能 恰好盖住井口.这是运用了圆特征中的 () A圆心确定圆的位置 B.半径决定圆的大小 C.同一圆内所有直径都相等 D.圆是曲边图形 2.已知P为平面内一点，若点P到⊙O上的点的最长距离为5，最短距离为1，则⊙O的半径为 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能 3.易错题如图，在平面直角坐标系中，C(0,4),A(3,0),⊙A的半径为2，P为⊙A上任意一点，E 是PC的中点，则OE长的最小值是 () A.1 B.1.5 C.2 D.√2 0 B x 0 A (第3题) (第4题) (第5题) 4.如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为(3,4)，P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB,且PA,PB 与x轴分别交于A,B两点.若点A,B关于原点对称（点A在点B的左侧），则当线段AB最短 时，点A的坐标为 5.如图，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为(6,0)，(0,8)，C为平面内一点，BC=1,M为 AC的中点，连接OM,则OM长的最大值为 6.如图，D为等边三角形ABC的边BC的中点，AB=2,动点M满足AM⊥CM. (1)求证：A,D,C,M四点在同一个圆上 (2)连接BM,求线段BM长的最大值与最小值 B D (第6题) ●“答案与解析”见P25 45 拔尖特训· 数学（苏科版）九年级上 第2课时弦、弧和圆心角 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.给出下列说法：①直径是弦：②半圆是弧；③半径相等的两个圆是等圆；④长度相等的两条弧 是等弧；⑤在同圆中任意两条直径都互相平分.其中，正确的有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图，点A,D,G,M在半圆O上，四边形ABOC,DEOF,HMNO均为矩形.设BC=a,EF=b, NH=c,则下列各式中正确的是 () A.a>b>c B.a=b=c C.c>a>b D.b>c>a 0.λN N O F M (第2题) (第3题) (第4题) 3.如图，延长⊙O的弦AB、半径C,两者交于点D,BD=OA.若∠AC=120°，则∠D的度数是 4.如图，AB是半径为2的⊙O的弦，C是⊙O上的一个动点.若M,N分别是AB,BC的中点，则 MN长的最大值是 5.如图，A,B,C是⊙O上的三点，∠AOB=50°，∠OBC=40°，求∠OAC的度数. B (第5题) 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 6如图.AB是O0的弦.CLAB,垂足为C,0DAB.OC-0D.则∠ABD的度数为() A.90° B.95 C.100° D.105° 0 B O C (第6题) (第7题) (第8题) 7.易错题将两个正方形按图示方式放置（点B,C,E共线，点D,C,G共线）.若AB=3,EF=2,点O 在线段BC上，以OF为半径作半圆O,点A,F都在半圆O上，则OD的长是 () A.4 B.√/10 C.√/13 D.√26 8.如图，P是⊙O外一点，Q是⊙O上的动点，线段PQ的中点为M,连接OP,OM.若⊙O的半径 为4，OP=8,则OM长的最小值是 46 第3章圆 9.如图，过D,A,C三点的圆的圆心为点E,过B,E,F三点的圆的圆心为点D.如果∠BAC=54°， 那么∠ABC= D O C (第9题) (第10题) 10.如图，四边形ABCD、四边形EFCG均为正方形，两个正方形彼此相邻且在半圆O内.若正方形 EFCG的面积为16cm2,则半圆O的半径为 11.如图，P为⊙O外一点，PO及其延长线分别交⊙O于点A,B,过点P作一条直线交⊙O于点 M,N(异于点A,B).求证： (1)AB>MN. (2)PB>PN. (3)PA<PM. (第11题)》 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 12.如图，E是边长为4的正方形ABCD的边CD上的一个动点，F是以BC为直A 径的半圆O上的一个动点，连接AE,EF,则AE+EF的最小值是 13.如图，直线l经过⊙O的圆心，且与⊙O交于A,B两点，点C在⊙O上，且 ∠AOC=30°，P是直线l上的一个动点（不与圆心O重合），直线CP与⊙O相 B 0 交于另一点Q,连接QO. (第12题) (1)当点P在半径OA上时，若QP=QO,求∠OCP的度数， (2)当点P在直线l上的其他位置时，是否还存在QP=QO?若存在，请求出此时∠OCP的度 数；若不存在，请说明理由. 备用图 (第13题) ●“答案与解析”见P25 47第3章 圆 3.1圆的相关概念 5号 C为平面内一点，BC=1,∴.点C在以点B为 第1课时圆的定义 圆心、1为半径的圆上.点A,B的坐标分别为(6,0)， (0,8),∴.OA=6,OB=8.在x轴的负半轴上取点D,使 1.C井盖平面轮廓采用圆形的一个原因是圆形井盖怎么 OD=OA=6,连接CD.M为AC的中点，∴.AM= 放都不会掉到井里，并且能恰好盖住井口，这是运用了圆 特征中的同一圆内所有直径都相等， CMOM是△ACD的中位线.OM-号CD.当OM 2.2或3当点P在圆内时，直径=5+1=6，∴.半径是3； 的长最大时，CD的长也最大.易得此时D,B,C三，点共线， 当点P在圆外时，直径=5-1=4，∴.半径是2.∴.⊙0的 且点C在DB的延长线上.OB=8,OD=6,∠BOD= 半径为2或3. 90°，.BD=√OB2+OD=10.∴.CD=BD+BC=11. 3.B如图，连接AC,AP,取AC的中点H,连接EH, OH.∴.CH=AH.E是PC的中点，∴.CE=EP. :0M=合CD号即OM长的录大值为号 6.(1)如图，连接AD,取AC的中点O,连接OD,OM. EH=PA=1.心点E的运动轨迹是以点H为圆心， △ABC是等边三角形，D是BC的中点，∴.AD⊥BC. 1为半径的圆.C(0,4),A(3,0),.H(1.5,2). .AM⊥CM,∴.∠ADC=∠AMC=90°.OA=OC, ∴.OH=√22+1.5=2.5..OE长的最小值=OH- ∴.OD=OA=OC=OM..A,D,C,M四点在同一个圆上 EH=2.5-1=1.5. (2)如图，连接OB.:△ABC是等边三角形，∴AB= AC=BC=2,AO=OC=1..BO⊥AC.,∴.在Rt△ABO 中，B0=√AB2-AO=√22-1下=5.：由(1)，得 OM=OA=OC=1,OB-OM≤BM≤OB+OM,∴.√3- 1≤BM≤W3+1.∴.线段BM长的最大值为5+1，最小值 为3-1. (第3题) 易错警示 不会构造三角形确定最小值而致错 解答这类含有定点和动，点求线段最小值的问题时， 往往会因不能灵活地将待求问题化归到与定线段长有 (第6题) 关的三角形中，而使问题解答陷入困境， 第2课时弦、弧和圆心角 4.(一3,0)如图，连接OP.,点M的坐标为(3,4)， 1.D直径是弦，故①正确.半圆是弧，故②正确.半径相等 ∴.OM=√32+4=5.：PA⊥PB,∴.∠APB=90. 的两个圆是等圆，故③正确.长度相等的两条弧不一定是 ,点A,B关于原点对称，∴.AO=BO.AB=2PO, 等弧，故④错误.在同圆中任意两条直径都互相平分，故⑤ OA=OB=OP.要使线段AB最短，则线段PO的长需取正确.综上所述，①②③⑤正确，共4个 得最小值.连接OM,交⊙M于点P',当点P位于点P'的 2.B如图，连接OA,OD,OM,则OA=OD=OM.四 位置时，线段OP'的长取得最小值.：OM=5,MP'=2, 边形ABOC,DEOF,HMNO均为矩形，∴.OA=BC=a, .OP'=OM-MP'=5-2=3..OA=3.∴.点A的坐 OD=EF=6,OM=NH=c..'.a=b=c. 标为（一3,0）. 0 (第2题) 0 B 3.20°连接OB.:BD=OA,OB=OA,∴.OA=OB= (第4题) BD..∠A=∠OBA,∠BOD=∠D.设∠D=∠BOD= 25 x,则∠A=∠ABO=∠D+∠BOD=2x.:∠AOC=ON上时，OM的长取得最小值，最小值为4-2=2. 120°，.∠AOB=120°-x.在△AOB中，由∠AOB+ ∠A+∠AB0=180°，可得120°-x+2x+2x=180°，解得 M x=20°..∠D=20°. P 4.2M,N分别是AB,BC的中点，∴.MN是△ABC 的中位线.∴MN=2AC.由题意可知，当AC为O0的 (第8题) 9.24°如图，连接DE.过D,A,C三点的圆的圆心为 直径时，AC的长取得最大值，最大值是4，.MN长的最 大值是2. 点E,易得∠C+号∠AED=180.:过B,E,F三点 5.:OB=OC,.∠OBC=∠OCB=40°..∠B0C= 的圆的圆心为点D,∴.DE=DB.∴∠BED=∠DBE 180°-∠OBC-∠OCB=180°-40°-40°=100°. .∴.∠AED=180°-∠BED=180°-∠DBE.∴.∠C= .∠AOC=∠AOB+∠BOC=50°+100°=150°.又 180°-2∠AED=1802-2(180-∠DBE)=90+ :0A=0C,∠0AC=∠0CA=(180°-∠A0C)= ∠DBE.:∠BAC+∠C+∠ABC=180,.54°+ 1 ×(180°-150°)=15. 1 1 90+2∠ABC+∠ABC=180,解得∠ABC=24. 6D连接OB,则OB=0D.:0C=0D0C- 2OB.0CLAB,.∠OCB=902.在R△0CB中， 易得∠OBC=30°.'OD∥AB,∴.∠BOD=∠OBC=30°. (第9题) :OB=OD,.∠OBD=∠ODB=2X(180°- 10.45cm连接OA,OB,OE.:四边形ABCD为正方 形，∴.DC=AD=BC,∠ADO=∠BCO=90°.在 ∠0D)=号X(180-30)=75.∠ABD=∠0BC+ Rt△ADO和Rt△BCO中，'OA=OB,AD=BC, ∠OBD=30°+75°=105. ..Rt△ADO≌Rt△BCO(HL)..OD=OC..AD= 7.B连接OA.OF是半圆O的半径，.OA=OF BC=DC=2OC.设AD=BC=DC=2acm,则OD= :四边形ABCD、四边形EFGC都是正方形，∴.∠ABC= OC=acm.:四边形EFCG是正方形，.∠EFC=90°， ∠DCB=∠FEC=90°，AB=BC=CD=3,CE=EF=2. EF=CF.正方形EFCG的面积为16cm,.EF= 设OC=x,则BO=BC-OC=3-x,OE=OC+CE=x+ CF=4cm.∴.OF=(4+a)cm.在Rt△BCO中，由勾股定 2.在Rt△ABO和Rt△EFO中，AB2+BO2=OA2,OE2+ 理，得OB2=OC2十BC2.在Rt△OFE中，由勾股定理，得 EF2=OF2,∴.32+(3-x)2=OA2,(x+2)2+2=OF2. OE2 EF2 +OF2.OB=OE,.OB2=OE2. .0C2+BC=EF2+OF2,即a2+(2a)2=42+(4+a)2, :OA=OF,32+(3-x)2=(x+2)2+2,解得x=1, 解得a1=-2(不合题意，舍去)，a2=4..OC=4cm, 即OC=1.在Rt△DC中，DO2=OC2+DC2,.OD= BC=8cm∴.OB=√OC2+BCz=4V5cm,即半圆O的 √0C+CD=√1+32=√/10. 半径为4√5cm. 易错警示 11.连接OM,ON.(1)在△MON中，：ON+OM> 忽略同圆半径相等的隐含条件导致解题错误 MN,且OA=OB=OM=ON,∴.OA+OB>MN,即 解答这类问题时，往往需要以同圆半径相等为隐含 AB>MN.(2)在△PON中，ON+OP>PN,且 条件构造相等的直角三角形斜边，再运用勾股定理构造 OB=ON,.OB+OP>PN,即PB>PN.(3)在 方程解决问题 △MOP中，.OP-OM<PM,且OA=OM,∴.OP- 8.2如图，设OP交⊙O于点N,连接MN,OQ.:'OP= OA<PM,即PAPM. 8,ON=4,∴N是OP的中点.又M是PQ的中点， 12.2√13-2如图，延长AD到点G,使得AD=DG,连 1 接OG交CD于点M,交半圆O于点N,则易得AE+EF MN为△POQ的中位线.MN=20Q=2X4=2. 的最小值是GN的长.：E是边长为4的正方形ABCD的 ∴点M在以点N为圆心，2为半径的圆上.∴当点M在边CD上的一个动点，F是以BC为直径的半圆O上的一 26 个动点，∴.AD=DG=BC=CD=4,ON=OC=2,圆上.点B和点C的位置如图所示.∴BC= ∠ADC=∠DCB=90°.过点O作OH⊥AD于点H,则 √32+37=32 ∠OHG=90°，∴.四边形OCDH是矩形.∴.OH=CD=4, DH=OC=2.∴.在Rt△OHG中，OG=√OI+HG= √4+(2+4)2=2√3.∴.GN=0G-ON=2√13-2， 即AE+EF的最小值是2√13-2. (第2题) 易错警示 不会根据隐含条件动手操作解决问题 解答这类问题时，往往需要合理利用题中隐含的条 件，如本题的三角形的外心，三角形的外心到三角形的 三个顶，点的距离相等，只需以，点O为圆心、OA为半径画 (第12题) 出圆孤即可确定经过的格点，从而解决问题」 13.(1)设∠QPO=.QP=QO,.∠QPO= ∠Q0P=x..∠OQP=180°-2.OC=OQ, 3.5在同一平面内，点O到点A,B,C的距离均等于 ∴.∠0CP=∠0QC=180°-2.：∠AOC=30°，即 a(a为常数)，∴.OA=OB=OC.∠C=90°，AB=10, ∠P0C=30°，∠QP0=∠0CP+∠POC,.x=180°- ∴.O为Rt△ABC的斜边AB的中点.∴.OA=OB=OC= 2x+30°，解得x=70°.∴.∠0CP=180°-2×70°=40°. 2AB=5.·常数a的值为5. (2)存在.①如图①，当点P在OA的延长线上时，设 4.(一2，一1)如图，分别作线段AB,BC的垂直平分线 ∠Q0C-y,则∠QOP=y+30°.：QP=Q0, MN和EF,两条直线的交点O'即为△ABC的外接圆的圆 ∴.∠QP0=∠QOP=y+30°，即∠CPO=y+30. 心.由图可知，△ABC的外接圆的圆心坐标是（一2，一1）. .∠OCQ=∠POC+∠CP0=30°+y+30°=y+60°. OQ=OC,.∠OQC=∠OCQ=y+60°.∴.在△OQ 中，根据三角形的内角和定理，得∠QOC+∠OQC+ ∠0CQ=180°，即y+y+60°+y+60°=180°，解得y= 0 E 20°..∠OCQ=80°..∠0CP=180°-∠OCQ=100°. ②如图②，当点P在OB的延长线上时，设∠QPO=之. QP=QO,.∠QPO=∠QOP=x..∠CQO (第4题) ∠QOP+∠QPO=2x..OC=OQ,∴.∠OCP=∠CQO= 5.(1)如图所示.(2)如图，记AB的垂直平分线交⊙O 2.∠APC+∠OCP=∠AOC,∴.g+2x=30°，解得 于点E,交AB于点D,连接OB.OE⊥AB,.BD= 之=10°.∴.∠OCP=20°.③当点P在线段OB上时，易知 号AB=2×16=8(cm.由题意可知，ED=4m设这个 QP≠Q0.综上所述，∠OCP的度数为100°或20 圆形截面的半径为xcm,则OB=xcm,OD=(x一4)cm.在 Rt△BOD中，由勾股定理，得OD+BD=OB2,即(x 4)2+82=x2,解得x=10..这个圆形截面的半径为10cm. ① ② (第13题) D 3.2确定圆的条件 1.B第②块玻璃碎片出现一段完整的弧，可在这段弧上 任作两条弦，再作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平 (第5题) 分线的交点就是圆心，进而可得到半径，就能配到与原来 6.C分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，如图 大小一样的圆形玻璃. ①，此时n=1.②当三点在一条直线上时，如图②，分别过 2.A如图，连接OA.点O为△ABC的外心，∴.OA 点A,B,C或点A,C,D或点A,B,D作圆，共3个圆，即 OB=OC.∴.点B和点C在以点O为圆心，OA为半径的 n=3.③当A,B,C,D四点不共圆，且其中的任何三点都 27