1.4 用一元二次方程解决问题2 导学案 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦“用一元二次方程解决问题”，通过复习列方程解应用题步骤及利润增长问题导入，搭建新旧知识联系的学习支架，引导学生从实际问题中发现等量关系并列出方程。 资料情境贴近生活，典例融合几何与代数，变式训练层次递进，课后作业附详细解答，助力学生提升数学建模与运算能力，培养模型意识和应用意识，适合自主学习与教师教学评估。

1.4 用一元二次方程解决问题(2) 教学目标 知识目标：能根据实际问题中数量关系所存在的规律或定理给出等量关系，列出并求解一元二次方程，结合实际检验并取舍方程的根. 思维目标：经历从实际问题中发现等量关系的过程，发展逻辑推理与建模思维. 素养目标：在运用一元二次方程解决实际问题的过程中，提升数学建模、运算能力，增强数学应用意识. 教学重点：根据实际问题中数量关系所存在的规律或定理给出等量关系，列一元二次方程求解并检验解的实际意义. 教学难点：发现实际问题中数量关系所存在的规律或定理得出等量关系，运用根的判别式判断实际问题解是否存在. 教学设计 一、情境创设 1．列方程解应用题的一般步骤是什么？每一步要注意什么？ 2．某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利润达到3600元，平均每月增长的百分率是多少？ 分析：如果设平均每个月增长的百分率为x，那么7月份的利润是 元，8月份的利润是 元． 二、典例分析 例1 某种药品原价125元/盒，经过连续两次降价，现价格为80元/盒， 这种药品平均每次降价的百分率是多少? 分析：设这种药品平均每次降价的百分率是x, 可以列表分析如下： 原价 第一次降价后的售价 第二次降价后的售价 125元/盒 解：设这种药品平均每次降价的百分率是x.根据题意，得 例2 某乡村快递站收到一份急件，准备用配送无人机分发给快递员小赵.如图,管理员通过管理平台 发现小赵在快递站 (C处)正北方向9 km 的A处 ，正以48 km/h的速度驾车向正东方向行驶，无人机立即从C 处出发以60 km/h的速度沿直线飞行，恰好在B处将急件交给小赵.无人机从C处到B处需飞行多长时间? 分析：设无人机从C 处到B处需飞行xh, 则AB=48xkm, BC=60x km.根据题意，△ABC是直角三角形，利用 定理可以列出方程. 解：设无人机从C处到B处需飞行xh.根据题意，得△ABC 是直角三角形， AC= km, AB= km, BC= km. 于是 三、变式训练 变式1：某种服装原价为每件80元，经两次降价，现售价为每件51．2元，求平均每次降价的百分率． 变式2：某公司计划两年内把产量翻两番，如果每年比上一年提高的百分数相同，求这个百分数． 变式3：某厂1月份生产零件2万个，一季度共生产零件7．98万个，若每月的增长率相同，求每月的增长率． 四、巩固训练 1.某品牌新能源汽车第一季度的销量是121000辆，第三季度的销量是144000辆.求该品牌新能源汽车销量平均季度增长率. 2. 如图，在矩形ABCD中，AB=7,BC=2, 点 P 从点A 出发沿 AB 以每秒1个单位长度的速度向点B移动 . 点P出发几秒时，点P,A之间距离是点P,C之间距离的2倍? 五、课堂小结 通过本节课的学习你有哪些收获？ 六、课后作业设计 1．一工厂计划2025年的成本比2023年的成本降低15%，如果每一年比上一年降低的百分率为x，那么求平均每一年比上一年降低的百分率的方程是( ) A．(1-x)2=15% 　 B．(1+x)2=1+15%　 C．(1-x)2=1+15%　 D．(1-x)2=1-15% 2. 某农场的粮食产量在两年内从3000 t增加到3630 t , 平均每年增产的百分率是多少? 3. 一个直角三角形三边的长为连续整数，求这个三角形的斜边长. 4. 如图，在Rt△ABC中 ，AB=BC=12, 点 D 从点A出发沿AB 以每秒2个单位长度的速度向点B移动，点 E,F分别在 AC,BC上，移动过程中始终保持DE//BC,DF//AC. 点 D出发几秒后，四边形DFCE的面积为20? 课后作业参考答案 第 1 题 设 2023年成本为单位 1，每年降低百分率为 x 2024 年成本：1×(1−x) 2025 年成本：(1−x)² 2025年比 2023年降低 15%，剩余成本为 1−15% 列方程：(1−x)²=1−15% 答案：选 D 第 2 题 解：设平均每年增产百分率为 x 列方程：3000 (1+x)²=3630 两边同除以 3000：(1+x)²=3630÷3000=1.21 开平方：1+x=1.1 或 1+x=−1.1（增长率不能为负，舍去） 解得 x=0.1=10% 答：平均每年增产的百分率为 10%。 第 3 题 解：设三边长连续整数分别为 n−1，n，n+1（n 为正整数，斜边最长为 n+1） 由勾股定理： (n−1)² + n² = (n+1)² 展开：n²−2n+1 + n² = n²+2n+1 整理：n²−4n=0 n (n−4)=0 解得 n₁=4，n₂=0（边长不为 0，舍去） 三边长：3，4，5，斜边长为 5。 答：斜边长为 5。 第 4 题 已知 Rt△ABC，AB=BC=12，∠B=90°，△ABC 为等腰直角三角形 设点 D 出发 t 秒后，四边形 DFCE 面积为 20 AD=2t，则 DB=12−2t ∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形 DFCE 是平行四边形，△ADE、△DBF 均为等腰直角三角形 S△ADE=(1/2)×(2t)²=2t² S△DBF=(1/2)×(12−2t)²=2×(6−t)² S△ABC=(1/2)×12×12=72 四边形 DFCE 面积 = 总面积−两个小三角形面积 72 − 2t² − 2 (12−2t)²÷2 = 20 化简： 72 − 2t² − 2 (6−t)² = 20 72 − 2t² − 2 (t²−12t+36)=20 72 −2t²−2t²+24t−72=20 −4t²+24t−20=0 两边除以−4：t²−6t+5=0 因式分解：(t−1)(t−5)=0 解得 t₁=1，t₂=5 检验：t=1 和 t=5 时，AD 长度均小于 12，符合题意 答：出发 1 秒或 5 秒后，四边形 DFCE 面积为 20。 学科网（北京）股份有限公司 $