1.4用一元二次方程解决问题1导学案 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦“用一元二次方程解决矩形面积类实际问题”，课堂导入通过复习列方程解应用题步骤，结合劳动实践中矩形菜园面积问题，衔接一元二次方程解法，搭建从旧知到新知的学习支架。 资料特色在于情境贴近生活，引导学生经历几何问题转化为方程模型的过程，发展推理意识与运算能力，多样作业设计（如矩形、两位数、水管内径等）培养模型意识和应用意识，详细解答助力自主学习与教学评估。

1.4 用一元二次方程解决问题(1) 教学目标 知识目标：能分析矩形面积类实际问题中的等量关系，列出并求解一元二次方程，结合实际检验并取舍方程的根. 思维目标：经历将几何实际问题转化为一元二次方程模型的过程，借助数形结合与判别式分析问题，发展逻辑推理与建模思维. 素养目标：在运用一元二次方程解决生活几何问题的过程中，提升数学建模、运算能力，增强数学应用意识. 教学重点：找准几何面积问题中的等量关系，列一元二次方程求解并检验解的实际意义. 教学难点：准确用代数式表示图形变化后的边长，运用根的判别式判断实际问题解是否存在. 教学设计 一、情境创设 1．列方程解应用题的一般步骤是什么？ 2．在劳动实践中，九年级(1)班想用长22 m的篱笆围成面积是30 m²的矩形菜园，九年级( 2 )班想用同样长的篱笆围成面积是32 m²的矩形菜园，他们可以做到吗? 二、知识建构 探究活动一 设篱笆围成的矩形的一边为xm, 则邻边为 m. 若要围成面积是30 m² 的矩形菜园，则 , 即 . 解这个方程，得 ; 当一边为5m 时，邻边为11—5=6(m ); 当一边为6 m 时，邻 边为11—6=5(m). 所以可以围成面积是30m² 的矩形菜园. 若要围成面积是32 m² 的矩形菜园，则 探究活动二 列一元二次方程解决实际问题需要注意什么？ 三、例题教学 如图1-3,要在一幅长80 cm, 宽 50 cm 的矩形风景画的四周镶一条等宽的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积为5400cm², 金色纸边的宽应为多少厘米? 分析：问题中的等量关系： 解：设纸边的宽为xcm, 则挂图的长为 cm, 宽为 cm. 根据题意，得 四、巩固训练 1.一个长方形广场的面积是600 m² .如果它的长减10m, 那么就成为正方形广场，求该长方形广场的长和宽. 2. 有一块长方形硬纸板，长31 cm, 宽18 cm,在四个角都剪去相 同的小正方形，折起来做成一个无盖的盒子，使盒子的底面积是300 cm² . 求盒子的高. 五、课堂小结 通过本节课的学习你有哪些收获？ 六、课后作业设计 1. 一个两位数的两个数字的和为9,把这个两位数的个位数字与十位数字互换得到一个新的两位数，它与原两位数的积为1458.求原两位数. 2. 如图，一段水管内壁均匀地形成一层厚3 mm 的矿物沉淀物，导致水管过水的横截面面积减少到原来的. 求该水管原来的内径. 3. 如图，在长40m 、宽22m 的矩形地面内， 修筑两条同样宽且互相垂直的道路，余下的地面铺上草坪.要使草坪的面积达到760 m², 道路的宽应为多少? 4. 把一根长80 cm 的绳子剪成两段，并把每一 段绳子围成一个正方形. (1)要使这两个正方形的面积的和等于200 cm², 应该怎样剪? (2)这两个正方形面积的和可能等于488 cm² 吗? 课后作业参考答案 1.解：设原两位数十位数字为 x，则个位数字为 9−x 原两位数：10x+(9−x)=9x+9 新两位数：10 (9−x)+x=90−9x 根据题意列方程： (9x+9)(90−9x)=1458 提取公因数：9 (x+1)×9 (10−x)=1458 81×(x+1)(10−x)=1458 (x+1)(10−x)=18 整理：-x²+9x+10=18 x²−9x+8=0 因式分解：(x−1)(x−8)=0 解得 x₁=1，x₂=8 当 x=1 时，原两位数为 18； 当 x=8 时，原两位数为 81。 答：原两位数为 18 或 81。 2.解：设水管原来内径为 2r mm，则原来半径为 r mm， 沉淀物厚度 3 mm，所以现在水管内半径为 (r−3) mm。 圆面积公式 S=πR²，根据题意： π(r−3)² = (4/9)πr² 两边同时除以 π： (r−3)² = (4/9) r² 开平方得：r−3 = ±(2/3) r ① 取正号： r − 3 = (2/3) r r − (2/3) r = 3 (1/3) r = 3 r = 9 ② 取负号： r − 3 = −(2/3) r r + (2/3) r = 3 (5/3) r = 3 r = 9/5 = 1.8 此时 r−3=1.8−3=−1.2，半径不能为负数，舍去。 所以原半径 r=9 mm， 原来内径 = 2r=2×9=18 mm。 答：水管原来的内径为 18 毫米。 3.解：设道路宽度为 x 米 平移草坪，可拼成一个长 (40−x) m、宽 (22−x) m 的矩形 列方程： (40−x)(22−x)=760 展开：880−62x+x²=760 整理得：x²−62x+120=0 因式分解：(x−2)(x−60)=0 解得 x₁=2，x₂=60 ∵矩形长 40、宽 22，x=60 不符合实际，舍去 ∴x=2 答：道路宽度应为 2 米。 4.设其中一段绳子长为 x cm，则另一段长为 (80−x) cm 两个正方形边长分别为 x/4 cm 、(80−x)/4 cm (1) 面积和等于 200 cm² (x/4)² + [(80−x)/4]² = 200 两边同乘 16： x² + (80−x)² = 3200 x² + 6400 −160x +x² = 3200 2x²−160x+3200=0 化简：x²−80x+1600=0 (x−40)²=0 x=40 两段都是 40 cm 答：将绳子从中间剪开，分成两段各 40 厘米。 (2) 面积和能否等于 488 cm² 列方程： (x/4)² + [(80−x)/4]² = 488 两边乘 16： x²+(80−x)²=7808 2x²−160x+6400=7808 2x²−160x−1408=0 化简：x²−80x−704=0 计算判别式 Δ=(-80)²−4×1×(-704)=6400+2816=9216 又=96 ∴x=(80±96)/2 x₁=(80+96)/2=88，x₂=(80−96)/2=−8 绳子总长只有 80cm，长度不能为 88cm 和负数，均不符合实际。 答：两个正方形面积的和不可能等于 488 cm²。 学科网（北京）股份有限公司 $