1.2 一元二次方程的解法6-根的判别式 导学案 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦一元二次方程根的判别式，通过复习求根公式，引导学生解方程观察根的情况，从平方根非负性切入理解判别式原理，搭建从求根公式到判别式的知识支架。 资料注重分类讨论思想，通过典例和变式练习实现判别式正向逆向运用，培养学生推理意识和运算能力，课后作业含参数范围求解与证明题，强化严谨审题习惯，发展数学应用意识。

1.2 一元二次方程的解法（6）—根的判别式 教学目标： 知识目标：理解根的判别式的含义，掌握Δ＞0、Δ<0、Δ=0对应的实数根三种情况；能不解方程判别根的情况，依据根的条件求解简单参数范围. 思维目标：结合平方根非负性理解判别式原理，感受分类讨论思想；能够正向、逆向运用判别式，提升逻辑推理能力. 素养目标：规范代数运算，发展数学运算素养；养成审题严谨、全面思考的习惯，注意一元二次方程的隐藏条件. 教学重点：利用根的判别式判断一元二次方程实数根的情况；判别式的基础应用. 教学难点：理解判别式决定根情况的本质；已知根的情况求参数取值范围，容易遗漏二次项系数的限制条件. 教学设计 一、情境创设 1.一元二次方程的求根公式是什么？ 2．用公式法法解下列方程： （1） （2） （3）． 3．观察上述方程的根， 方程（1）两个实数根__________，方程（2）两实数根_____________，方程（3）______________． 4．一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）的根的情况可由b2－4ac来判定： 当b2－4ac＞0时， ; 当b2－4ac = 0时， ; 当b2－4ac＜0时． ; 我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）的根的 ． 二、知识构建 我们知道一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0) 通过配方，可以变形为 因为4a²>0, 所以这个方程是否有解取决于 的值. 我们把式子 叫作一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0) 的根的判别式，通常用希腊字母“△”表示，即△= . 典例评析 例1．不解方程，判别下列关于x的方程根的情况： 1 3x2―4x＝―5; ⑵9x2＋x＋2＝0 ; ⑶x2－2kx＋(2k－1)＝0． 归纳：一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的情况： 当△>0时， ； 当△=0时， ； 当△<0 时， . 例2 关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是______． 典例评析 例3．当k为何值时，关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0 1 有两个不相等的实数根？ 2 有两个相等的实数根？ 3 没有实数根？ 【变式练习】如果关于的方程有实数解，那么实数的取值范围是 ． 三、课堂检测 1．关于x的一元二次方程x2＋(2n＋1)x+n—1＝0的根情况是 （ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 2．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 3．若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 ． 4．不解方程，判别方程根的情况： 四、小结与反思 通过本节课的学习你有哪些收获？ 五、课后作业设计 1．方程根的情况是 ． 2．若关于的方程有两个相等的实数根，则__________． 3．若关于的方程有实数根，则的取值范围是____________． 4．k取什么值时，关于的方程 (1)有两个相等的实数根？ (2)有两个不相等的实数根？ (3)没有实数根？ 5．关于x的方程有实数根，求k的取值范围． 6．求证：无论取何值时，关于x的一元二次方程总有两个不相等的实数根． 课后作业设计参考答案 1.a=1，b=-2m，c=-1 Δ=(-2m)²−4×1×(-1)=4m²+4 ∵4m²≥0，∴4m²+4＞0 答案：有两个不相等的实数根 2.Δ=4²−4×1×a=0 16−4a=0，解得 a=4 答案：4 3.Δ=[-2(k−1)]²−4×1×k² ≥ 0 4(k²−2k+1)−4k² ≥ 0 4k²−8k+4−4k² ≥ 0 -8k+4 ≥ 0 k ≤ 答案：k ≤ 4.a=2，b=-(k+2)，c=2k−2 Δ=(k+2)²−4×2×(2k−2) =k²+4k+4−16k+16 =k²−12k+20 (1) 两个相等实根：Δ=0 k²−12k+20=0 → (k−2)(k−10)=0 k=2 或 k=10 (2) 两个不相等实根：Δ＞0 k＜2 或 k＞10 (3) 无实数根：Δ＜0 2＜k＜10 5.分两种情况讨论： ① 当 k−2=0，即 k=2 时，方程为一次方程−2x+3=0，有实数根； ② 当 k−2≠0，一元二次方程，Δ≥0 Δ=[-2 (k−1)]²−4 (k−2)(k+1) ≥ 0 4 (k²−2k+1)−4 (k²−k−2) ≥ 0 4k²−8k+4−4k²+4k+8 ≥ 0 -4k+12 ≥ 0 → k ≤ 3 综合：k≠2 且 k≤3 最终取值：k ≤ 3 6. 证明 Δ=(-k)²−4×1×(-1)=k²+4 ∵k²≥0，∴k²+4 ≥ 4 ＞ 0 ∴无论 k 取何值，Δ 恒大于 0，方程总有两个不相等的实数根. 学科网（北京）股份有限公司 $