精品解析：江苏扬州大学附属中学2026-2027学年第一学期高二阶段检测（一）数学试卷

扬大附中2026—2027学年第一学期高二阶段检测（一）数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知过两点，的直线的倾斜角为45°，则的值为（ ） A. -3 B. -4 C. 1 D. 2 2. 如果且，那么直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若圆的圆心为，且与轴相切，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 5. 已知平面直角坐标系中的三个点，，，过点与线段有公共点的直线为，则直线的斜率可以是（ ） A. 0 B. C. D. 3 6. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点，，动点满足，则点的轨迹与圆：的公切线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（ ） A. 10 B. C. D. 8 8. 如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点，（在的上方），且．过点且倾斜角为的直线与圆相交于，两点，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于直线，下列说法正确的有（ ） A. 原点到直线距离为 B. 直线在轴上的截距为2 C. 直线与直线垂直 D. 直线与直线平行，且距离为 10. 下列选项正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线的倾斜角为 C. 圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于1 D. 若点在圆内，则实数的取值范围为． 11. 已知直线过定点，且与圆相交于，两点，则（ ） A. 的最大值是6 B. 面积的最大值为 C. D. 的最大值是-5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 经过点，斜率是2的直线的一般式方程为___________． 13. 已知过点的直线与圆交于，两点，弦的中点为，则点的轨迹长度为___________． 14. 在平面直角坐标系中，已知圆和圆．若过定点存在无数条直线，被圆和圆截得的弦长之比为，则该定点的坐标是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆经过，，三点． （1）求圆的一般方程； （2）求直线被圆截得的弦长． 16. 已知直线与直线的交点为P， （1）直线经过P，且与直线l：垂直，求直线的方程； （2）直线经过P，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 17. 已知直线l：与圆C：相切. （1）求实数a的值及圆C的标准方程； （2）已知直线m：与圆C相交于A，B两点，若的面积为2，求直线m的方程. 18. 已知圆过点，，且圆心在直线上，点在直线上运动． （1）若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线所在直线的一般式方程． （2）求的最小值． （3）过点有一条直线，它夹在直线与之间的线段恰好被点平分，证明直线的斜率为定值，并求出的斜率． 19. 已知点在圆上，点在圆外，当的最大值是的最小值的倍时，则称为圆的“伴生点”；若点同时是圆和圆的“伴生点”，则称为圆“”的“共生点”．已知圆，为圆的“伴生点”． （1）求点的轨迹方程； （2）已知圆，，均为圆“”的“共生点”． （ⅰ）求直线的方程； （ⅱ）以线段为直径的圆记为圆，过点作斜率存在且不为的直线与圆交于、两点，在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出所有这样的点坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬大附中2026—2027学年第一学期高二阶段检测（一）数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知过两点，的直线的倾斜角为45°，则的值为（ ） A. -3 B. -4 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】可知，可得，解得. 2. 如果且，那么直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出直线的横纵截距的正负即可判断得解. 【详解】由且，得直线的横截距为，纵截距为， 所以直线不经过第四象限. 故选：D 3. 若圆的圆心为，且与轴相切，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据题意求出圆的标准式，从而再求出一般式. 【详解】由已知得圆的半径为，故圆的方程为， 即． 4. 已知两条不重合的直线和，，若，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】两直线 ，平行， 则，交叉相乘得. 故 或 ，但两直线不重合，需进一步检验. 当 时，，，两直线重合，不符合题意； 当 时，，，两直线不重合，且斜率相等，满足平行. 因此 . 5. 已知平面直角坐标系中的三个点，，，过点与线段有公共点的直线为，则直线的斜率可以是（ ） A. 0 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】画出图形，利用直线斜率的计算公式，结合直线与线段的位置关系分析求解即可. 【详解】如图所示， 要使过点的直线与线段有公共点，则直线的斜率满足：或， 又， 所以的取值范围为：， 由，所以直线的斜率可以是. 6. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点，，动点满足，则点的轨迹与圆：的公切线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据阿波罗尼斯圆的定义求出点的轨迹方程，再通过比较两圆的圆心距与半径之和，半径之差的大小关系来确定两圆的位置关系，进而得出公切线条数. 【详解】已知，，，因为动点满足， 又，，则， 则， 化简可得， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 已知圆的方程为，则其圆心，半径， 所以， 又因为，即，所以两圆外切， 根据两圆位置关系与公切线条数的对应关系，当两圆外切时，公切线有条. 7. 在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（ ） A. 10 B. C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用反射的性质，找到对称的点，将周长进行转化，求解即可。 【详解】设，，，则重心即， 设， 光线反射路径可展开为直线：关于：的对称点；关于：的对称点， 展开后，，，共线，且光线经过重心，因此，，三点共线， 即，，由共线得，解得或. 因为异于端点，所以，即. 则周长. 8. 如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点，（在的上方），且．过点且倾斜角为的直线与圆相交于，两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可求得圆的方程，可求得，的坐标，进而利用阿波罗尼斯圆，逐项计算可判断每个选项的正误. 【详解】圆与轴相切于点，所以设圆的圆心为，圆的半径为， 因为，所以，解得， 所以圆的方程为， 令，得，所以，， 由，可得圆与轴正半轴交于点， 所以，，所以， 设平面内一点，且，所以， 化简整理得，所以点的轨迹方程为； 又因为为圆上的点，所以，， 所以，， 所以，故A，B错误； 所以，故C正确，D错误. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于直线，下列说法正确的有（ ） A. 原点到直线距离为 B. 直线在轴上的截距为2 C. 直线与直线垂直 D. 直线与直线平行，且距离为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于选项A，由点到直线距离公式求结论即可判断，对于选项B，根据截距的定义求截距即可判断，对于选项C，根据斜率关系判断两直线是否垂直即可，对于选项D，由斜率关系和截距关系判断两直线是否平行，结合平行直线距离公式求距离判断结论. 【详解】对于选项A：根据点到直线的距离公式，原点到直线的距离​，A正确； 对于选项B：由，令，可得，即，直线在轴上的截距为而非，B错误； 对于选项C：直线的斜率，直线的斜率，满足，因此两直线互相垂直，C正确； 对于选项D：直线的斜率为，在轴上的截距为， 直线的斜率为，在轴上的截距为， 因为两条直线的斜率相等、在轴上的截距不同，所以两直线平行； 根据平行线距离公式可得两直线间的距离，D错误. 10. 下列选项正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线的倾斜角为 C. 圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于1 D. 若点在圆内，则实数的取值范围为． 【答案】BCD 【解析】 【分析】通过分离参数求直线定点、利用斜率计算倾斜角、结合圆心到直线的距离与半径判断交点个数，以及代入点在圆内的代数不等式，逐一验证选项即可. 【详解】对于A，直线整理得， 若对任意都成立，则有，解得， 即直线过定点，故A错误， 对于B，直线的斜率，则其倾斜角满足， 解得，故B正确， 对于C，易得圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 若圆上的点到直线的距离为1，则这些点一定位于与平行， 且到的距离为1的两条平行直线上， 这两条平行直线到圆心的距离分别是，即该直线过圆心，与圆有2个交点， 和，因为，所以，即该直线与圆没有交点， 所以圆上共有2个点到该直线的距离为1，故C正确， 对于D，易得圆的圆心为，半径，若点在圆内， 则有，即，解得，故D正确. 11. 已知直线过定点，且与圆相交于，两点，则（ ） A. 的最大值是6 B. 面积的最大值为 C. D. 的最大值是-5 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据直线点斜式的概念，求出直线经过的定点，然后根据直线与圆的位置关系，判断弦长最大时的情况，判断选项A的正误；根据三角形面积公式，和圆的弦长公式，利用弦心距表示出三角形面积，判断弦心距的范围，进而求出三角形面积的范围，判断选项B的正误；根据向量加法和向量数量积的运算律，以及勾股定理，对进行化简变形，进而判断选项C的正误；根据向量数量积的定义，以及余弦定理，利用弦心距的范围，求出的范围，进而求出的范围，判断选项D的正误. 【详解】由题意得，即定点， 弦的最大值是直线经过圆心时的直径长，即的最大值是6，所以A正确； 设圆心到直线的距离为，可知，所以， 可知圆半径，所以， 则， 由，得，所以的最大值为，所以B错误； 作的中点，可得， 所以 ，所以C正确； 可知， 当经过原点时，，此时，即， 当不过原点时，由，取得最小值，即，得， 可知， 所以，所以， 综上可得，所以D正确； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 经过点，斜率是2的直线的一般式方程为___________． 【答案】 【解析】 【详解】过点且斜率为的直线，利用点斜式可得. 化为一般式得. 13. 已知过点的直线与圆交于，两点，弦的中点为，则点的轨迹长度为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先求得圆的圆心和半径，结合垂径定理确定弦中点满足的几何关系，求出点的轨迹方程，再联立方程确定轨迹对应的圆弧端点，算出圆弧的圆心角，最后利用弧长公式求得轨迹的长度. 【详解】将圆的方程化为标准形式：， 得圆心，半径， 设弦中点， 由垂径定理可知：，又点在直线上， 故，即， ，，于是， ， ， 因为点是圆内的弦中点， 所以的轨迹是圆在圆：内部的一段圆弧， 两式相减：， 代入，得， 即两圆交点为，， 在圆中，圆心为原点，半径， 向量，， 设， ， ，， 由弧长公式， . 14. 在平面直角坐标系中，已知圆和圆．若过定点存在无数条直线，被圆和圆截得的弦长之比为，则该定点的坐标是______． 【答案】和 【解析】 【分析】先判断直线的斜率存在，再设直线方程为，由条件根据弦长公式列方程得，求解方程即可. 【详解】由已知圆的圆心的坐标为，半径， 圆的圆心的坐标为，半径， 过且斜率不存在的直线与两圆不同时相交， 设直线方程为，即， 圆被直线截得的弦长为， 圆被直线截得的弦长为， 令，化简可得， 即， 由已知或， 所以直线的方程为或， 所以定点的坐标为或. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知圆经过，，三点． （1）求圆的一般方程； （2）求直线被圆截得的弦长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先设圆的一般方程，再应用待定系数法求出待定参数即得答案； （2）先求圆心到直线的距离，再利用弦长公式计算即可. 【小问1详解】 已知圆经过，，三点，设圆的一般方程为，其中， 将各点代入方程，可得，解得， 所以圆的一般方程为. 【小问2详解】 由（1）可知，圆的一般方程为，即，圆心，半径， 如图所示，圆心到直线的距离， 根据弦长公式，弦长. 16. 已知直线与直线的交点为P， （1）直线经过P，且与直线l：垂直，求直线的方程； （2）直线经过P，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】(1)先求出两直线的交点，再根据垂直关系得到的斜率，最后用点斜式写出直线方程. (2)先确定交点，再分截距为和不为两种情况，分别求出满足条件的直线的方程. 【小问1详解】 联立，解得，即， 由与直线l：垂直可得其斜率为， 所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 当在两坐标轴上的截距均为0时，易知此时方程为； 当在两坐标轴上的截距不为0时，可设方程为，则，得， 故此时方程为； 综上可知，直线的方程为或. 17. 已知直线l：与圆C：相切. （1）求实数a的值及圆C的标准方程； （2）已知直线m：与圆C相交于A，B两点，若的面积为2，求直线m的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用直线和圆相切的性质列方程求解即可； （2）利用直线和圆的弦长公式和三角形的面积列方程求解即可. 【小问1详解】 将圆C：化为标准方程， 得，故圆心，半径为. 因为直线l：与圆C相切， 所以， 解得， 所以圆C的标准方程为. 【小问2详解】 设圆心C到直线m的距离为d. 则，所以，解得. 故， 解得或. 所以直线m的方程为或 18. 已知圆过点，，且圆心在直线上，点在直线上运动． （1）若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线所在直线的一般式方程． （2）求的最小值． （3）过点有一条直线，它夹在直线与之间的线段恰好被点平分，证明直线的斜率为定值，并求出的斜率． 【答案】（1） （2） （3）证明：设直线与：交于，与：交于， 因为点是线段的中点，且在上，所以， 化简得，即， 直线的斜率为， 将代入得， 故直线的斜率为定值. 【解析】 【分析】（1）根据题意条件，光线反射的性质以及对称关系，求解方程即可； （2）将所求的最值转化为只含有一个变量的方程，利用二次函数的性质求解最小值； （3）先找出的表达式，转化为单一未知量，化简求解. 【小问1详解】 设圆心，由圆过，得，即， 又圆心在直线上，所以，故圆心为，半径， 故圆的方程为， 反射光线恰好平分圆的圆周，即反射光线所在直线经过圆心. 设点关于直线的对称点为， 则解得即. 反射光线所在直线经过和圆心，其斜率为， 所以反射光线所在直线方程为，即. 【小问2详解】 设，因为在直线上，所以， ， 将代入得， 当时，取得最小值. 【小问3详解】 略 19. 已知点在圆上，点在圆外，当的最大值是的最小值的倍时，则称为圆的“伴生点”；若点同时是圆和圆的“伴生点”，则称为圆“”的“共生点”．已知圆，为圆的“伴生点”． （1）求点的轨迹方程； （2）已知圆，，均为圆“”的“共生点”． （ⅰ）求直线的方程； （ⅱ）以线段为直径的圆记为圆，过点作斜率存在且不为的直线与圆交于、两点，在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出所有这样的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）（i）； （ii）设直线过点，斜率存在且不为，设轴上的定点为，如图所示， 联立直线与的轨迹方程，即，消去得， 整理得，解得，对应的， 不妨设，线段的中点为原点，且， 所以圆的圆心为，半径，方程为， 假设存在定点 满足条件，设直线的方程为， 联立，消去得，整理得， 设，则是上述方程的两根，恒成立， 由韦达定理得，， 此时 ， 令，解得或或， 当时，取定值；当时，取定值；当时，取定值； 综上所述，当点的坐标为时，取定值；当点的坐标为时，取定值； 当点的坐标为时，取定值. 【解析】 【分析】（1）根据“伴生点”的定义以及几何性质，建立关于的方程，求出的长度，进而得到点的轨迹； （2）（i）根据“伴生点”的定义，得到圆的“伴生点”轨迹方程，再根据“共生点”的定义，将圆和圆的“伴生点”轨迹方程相减即可得到直线的方程；（ii）根据题意，设点，先通过联立直线与的轨迹方程求出的坐标，确定圆的圆心和半径，再联立直线和圆，利用韦达定理得到的表达式，根据为定值解得的值即可得出结论. 【小问1详解】 将圆的方程配方得：，所以圆的圆心为，半径， 设点的坐标为，因为点在圆外，所以，连接并延长交圆于两点，如图所示， 则的最大值为，最小值为 。 由题意知，即，解得， 由两点间距离公式得，两边平方得： 故点的轨迹方程为. 【小问2详解】 （i）由（1）知，圆的“伴生点”轨迹方程为， 对于圆，其圆心为，半径， 设点为圆的“伴生点”，则点到圆心的距离 满足 ， 代入的值，， 所以圆的“伴生点”轨迹方程为：， 因为均为圆“ ”的“共生点”，所以是方程 ① 和 ② 表示的两个圆的交点， 两式相减得， 展开并化简，得，故直线的方程为； （ii）略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $