精品解析：湖北武汉市第六中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试卷

2025级高二年级第1次月考 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 ★沉着冷静 规范答题 端正考风 严禁舞弊★ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【详解】由题意，直线为垂直于轴的直线， 根据直线倾斜角的定义，可判断其倾斜角为. 2. 已知为空间的一组基底，能与，组成基底的向量是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据基底的概念判断即可. 【详解】对于A，，共面，不可为基底； 对于B，，共面，不可为基底； 对于C，假设共面，则，则，得，即为零向量， 这与为空间的一个基底，不为零向量矛盾，故不共面，可作为空间的一个基底， 对于D，，共面，不可为基底. 3. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先求两直线平行时的取值，再判断和时两直线是否平行，从而确定条件类型. 【详解】直线，平行或重合的充要条件是，所以或． 将代入直线，的方程，得，，易知； 将代入直线，的方程，得，，直线，重合，故舍去． 综上所述，“”是“”的充要条件． 故选：． 4. 直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由直线方程得到斜率，再由斜率可得倾斜角的范围. 【详解】直线的斜率为， 由于，设倾斜角为， 则，， 所以. 故选：B. 5. 已知A，B为两个相互独立的随机事件，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用独立事件和对立事件的概率公式即可求解. 【详解】由题意得：， 又，所以，所以， 所以，所以， 所以. 6. 在正三棱锥中，是的中心，，则等于（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，结合正三棱锥的结构特征求出，再利用数量积的运算律计算即得. 【详解】在正三棱锥中，为正的中心，， 则平面，而平面，于是，，且， 所以. 故选：D 7. 已知三条直线为，，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 三条直线的斜率之和为4.5 C. 三条直线的倾斜角之和为135° D. 三条直线在y轴上的截距之和为 【答案】C 【解析】 【分析】分别将三直线转化成点斜式，结合概念判断即可. 【详解】设三条直线对应斜率为，倾斜角为， ，； ，； ，， 因为，所以不垂直于，选项A错误； ，故选项B错误； ， 因为，所以，所以，即三条直线的倾斜角之和为135°，故选项C正确； 三条直线在y轴上的截距之和为，故选项D错误. 故选：C 8. 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为4 的正方形，， ，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以正方形中心为原点建立空间直角坐标系，先由 ， 求出点 的坐标；再利用外接球球心到 的距离相等，求出外接球半径，从而求其表面积． 【详解】设正方形 的中心为 ． 以 为坐标原点，以平行于 ， 的方向分别为 轴、 轴正方向， 以垂直于平面 且向上的方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系 ． 则，设 ，其中 ． 由 ，得，所以 ． 又因为 ，，所以， 两式相减，得 ，所以 ．代入上式，得 ． 因为 ，所以 ，故 设该四棱锥外接球的球心为 ，因为 ， 所以点在过正方形中心 且垂直于平面 的直线上． 设由 ，得，解得 所以外接球半径满足， 因此外接球的表面积为 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 下列叙述中正确的有（ ） A. 若一条直线的倾斜角为，则它的斜率为 B. 若直线斜率，则它的倾斜角为 C. 已知点，，则直线的倾斜角为 D. 若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，直线的倾斜角的取值范围是， 当时，不存在，此时直线没有斜率， 故并非所有有倾斜角的直线的斜率都为，A错误； 对于B，设直线的倾斜角为，已知直线斜率，则， 结合直线的倾斜角的取值范围是，可得，B正确； 对于C，点，的纵坐标相等，说明直线与轴平行， 因此直线的倾斜角为，C错误； 对于D，直线的倾斜角为，则． 已知直线过点，由点斜式可得直线方程为，即． 将代入方程，可得，因此这条直线必过点，D正确． 10. 甲罐中有个红球、个白球，乙罐中有个红球、个白球，先从甲罐中随机取出个球放入乙罐，分别以表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出个球，以表示从乙罐中取出的球是红球的事件，则下列结论错误的是（ ） A. 事件不互斥 B. 事件与事件相互独立 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用事件和事件是对立事件，通过树状图求得，再通过是否成立判断两事件是否独立. 【详解】对于选项A，甲罐中只有红球和白球，因此随机取出一个球，要么是红球，要么是白球， 事件和不可能同时发生，因此它们是互斥事件，且两事件必然有一个会发生，因此它们是对立事件，选项A错误； 对于选项B，，，画出树状图如下： ，， 因为事件和是对立事件，所以， 故，因此事件和事件不独立，选项B错误； 对于选项C，，选项C正确； 对于选项D，由以上过程可得，选项D错误. 11. 波兰数学大师史坦因豪斯编著的《一百个数学问题》中的第46个问题是球的堆垒问题：有无数个完全相同的球，取3个使它们两两相切放置，然后放上第4个球，使其与前3个球都相切，这样形成4个凹穴，在每个凹穴再放上一个球，则一共放了8个球，它们形成多少个凹穴？这个过程可以一直继续下去吗？若我们只考虑前8个球，设球的半径为1，其中两个球的球心之间的距离为d，则d的取值集合为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，由于球与球相切，借助球心位置可分析求出的取值. 【详解】如图 记前4个球的球心依次为，后4个球的球心依次为， 则四面体都是边长为2的正四面体. 在正四面体中，，则这5个正四面体的高. 四面体是正四面体，其中心与正四面体的中心是同一点， 正四面体的顶点到中心的距离为， 所以四面体的高，所以. 从到的这8个点中，任意两点间的距离可能为2，如； 可能为，如；也可能为，如. 所以的取值集合为. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一束光线通过点，经直线反射．如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出关于直线的对称点，从而得到反射光线所在直线经过点和对称点，从而得到反射光线所在直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点为，则， 解得，故. 由于反射光线所在直线经过点和， 所以反射光线所在直线的方程为，即. 故答案为：. 13. 袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1、2、3，绿色卡片两张，标号分别为1和2，若从五张卡片中任取两张，则两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的概率为______. 【答案】##0.3 【解析】 【分析】利用古典概型概率公式计算概率. 【详解】从五张卡片中任取两张，共有种取法， 从五张卡片中取两张颜色不同且标号之和小于4的取法有：红1绿1、红1绿2、红2绿1，共3种，故概率为. 14. 若实数、、、，满足，，，则的最大值为________ 【答案】 【解析】 【分析】设，两点在圆上，，可得到直线的距离，由此利用两平行线的距离，即可求解的最大值。 【详解】设, 因为实数， 所以两点在圆上，且, 所以，所以是等边三角形，， 点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 在第三象限，所在直线与直线平行， 可设， 由圆心到直线的距离为，可得，解得， 即有两平行线之间的距离为， 所以， 所以， 所以的最大值为。 故答案为：。 【点睛】本题主要考查了代数式的最大值的求法，以及圆的性质和点到直线的距离公式等知识的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题。 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为. （1）求边所在直线的方程； （2）求的平分线所在直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出的直线方程，与边上的中线所在直线联立求出点的坐标，设，表示出中点的坐标，利用中点在中线所在的直线方程以及在边的高所在的直线上建立方程组求出点的坐标，最后根据的坐标求出边所在直线的方程； （2）设角平分线上任意一点为，利用角平分线的性质定理结合点到直线的距离公式即可求解. 【小问1详解】 边上的高与垂直，已知高所在直线斜率为​，因此边的斜率为， 结合， 得的直线方程为：，整理得， 联立的直线方程与边上的中线所在直线的方程： ，解得，，即. 设，则中点为，该中点在中线上， 代入得： ，整理得. 又点在边的高所在直线上，即， 联立方程组： ，解得，，即. 由、，得的斜率， 由点斜式得： ，整理得. 【小问2详解】 由、得斜率为​，直线的方程为， 整理得； 已知边直线方程为，设角平分线上任意一点为， 则该点到、的距离相等： . 结合三角形内角平分线位于三角形内部，舍去外角平分线对应的符号， 化简得： . 16. 已知直线的方程为． （1）求证：不论为何值，直线必过定点； （2）过（1）中的点引直线交坐标轴正半轴于，两点， ①求面积的最小值及面积取得最小值时的直线的方程； ②求的最小值及此时直线的方程． 【答案】（1）证明：将直线的方程整理为， 令，解得， 经检验，将代入直线方程左边后，得， 与右边相等，故不论为何值，直线必过定点． （2）①４，；②４， 【解析】 【分析】（1）将直线的方程整理为，即可求解； （2）①利用截距式设出直线的方程为，表示出其与坐标轴交点，从而再表示出三角形面积，结合基本不等式即可求解； ②将转化为向量表示形式，用①中坐标表示后，再结合基本不等式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①由于直线交坐标轴正半轴于，两点， 利用截距式方程，设直线的方程为． 假定点在轴上，点在轴上，则，， 则面积． 因为直线经过点，代入直线方程，可得， 所以由基本不等式，可得，即， 当且仅当，即，时，等号成立． 故，即面积的最小值为４， 此时直线的方程为，即． ②由①有，， ． 而， 当且仅当，即，时，等号成立， 此时， 故的最小值为４，此时直线的方程为，即． 17. 某平台推出答题赢会员活动，共设置3道独立题目，每位用户可自主安排答题顺序.规则如下：连续答对2题可获得7天会员；连续答对3题可获得30天会员；其余情况均不获得会员.已知甲答对题1的概率为，答对题2的概率为，答对题3的概率为，各题答对与否相互独立. （1）若，且甲按题题题3的顺序答题，求甲获得30天会员的概率. （2）若，且第一次答题2，则要使甲获得会员的概率最大，应如何安排其他两次答题顺序？ （3）若在答题中，仅当题3位于中间的顺序时，甲获得会员的概率最大，求的取值范围. 【答案】（1） （2）要使甲获得会员的概率最大，应按题2→题1→题3的顺序答题. （3） 【解析】 【分析】（1）要拿到30天会员，必须三道题全部答对；三题答题相互独立，直接用独立事件概率乘法公式计算三题全对的概率； （2）第一题固定答题2，剩余只有两种答题顺序. 获奖条件是出现连续两题答对，分别写出两种顺序下获奖的概率，比较大小，选择概率更大的顺序即可； （3）根据对称性知只需考虑位于中间的顺序的题，分别写出三种情况的概率，写出不等式组，求出的取值范围. 【小问1详解】 甲获得30天会员的概率为. 【小问2详解】 当时，各种答题顺序的情况如下： 按题2→题1→题3的顺序答题，甲获得会员的概率为； 按题2→题3→题1的顺序答题，甲获得会员的概率为； 因为，所以要使甲获得会员的概率最大，应按题2→题1→题3的顺序答题. 【小问3详解】 根据对称性知只需考虑位于中间的顺序的题. 若题1位于中间的顺序，则甲获得会员的概率 若题2位于中间的顺序，则甲获得会员的概率； 若题3位于中间的顺序，则甲获得会员的概率 因为，所以只需满足即可，即，解得. 因为，所以的取值范围为. 18. 如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点F，G为的中点，，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在一点H，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 【答案】（1）连接FG.在△中，F、G分别为的中点， 所以.又因为平面， 平面， 所以平面. （2） （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）连接FG，则由三角形中位线定理可得，然后利用线面平行的判定定理可证得结论； （2）由题意可得， ，所以以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解； （3）假设存在点H，设，利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以.又，所以. 以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系. 则，. 所以，. 设平面SCD的一个法向量为. 则，即， 令，得.所以平面SCD的一个法向量为. 又平面ESD的一个法向量为. 所以 所以平面SCD与平面ESD夹角的余弦值为. 【小问3详解】 假设存在点H，设， 则.31301266 由（2）知，平面的一个法向量为. 则， 即，所以. 故存在满足题意的点H，此时. 19. 已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，设点，，记，． （1）若，求点的坐标； （2）若点，点，且，求的最大值； （3）已知点，是直线上的动点，是否存在直线使得？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，说明理由． 【答案】（1）或或或 （2）1 （3）和 【解析】 【分析】（1）根据新定义列式求解； （2）根据新定义求得点的运动轨迹，根据运动轨迹可求得最值； （3）根据点到直线的距离公式求得，求得的表达式，对进行分类讨论，根据不等式的性质来证得结论成立，并求得满足条件的直线的方程. 【小问1详解】 由，得， ，解得或， 所以点的坐标为或或或. 【小问2详解】 由题，， 当时，方程变为， 当时，方程变为， 当时，方程变为， 当时，方程变为， 所以方程表示的图形是正方形，如图， 其中，即点在正方形的边上运动， 而表示点间的距离，是正方形的中心， ，即的最大值为1. 【小问3详解】 因为点到直线的距离为，所以， 设，则，令， 当时，，此时，合题意； 当时，， 由分段函数性质可得， 又，且恒成立，当且仅当时，等号成立， 综上，满足条件的直线有且只有两条和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高二年级第1次月考 数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 ★沉着冷静 规范答题 端正考风 严禁舞弊★ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 0 2. 已知为空间的一组基底，能与，组成基底的向量是（    ） A. B. C. D. 3. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知A，B为两个相互独立的随机事件，若，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 在正三棱锥中，是的中心，，则等于（    ） A. B. C. D. 7. 已知三条直线为，，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 三条直线的斜率之和为4.5 C. 三条直线的倾斜角之和为135° D. 三条直线在y轴上的截距之和为 8. 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为4 的正方形，， ，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 下列叙述中正确的有（ ） A. 若一条直线的倾斜角为，则它的斜率为 B. 若直线斜率，则它的倾斜角为 C. 已知点，，则直线的倾斜角为 D. 若直线过点，且它的倾斜角为，则这条直线必过点 10. 甲罐中有个红球、个白球，乙罐中有个红球、个白球，先从甲罐中随机取出个球放入乙罐，分别以表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出个球，以表示从乙罐中取出的球是红球的事件，则下列结论错误的是（ ） A. 事件不互斥 B. 事件与事件相互独立 C. D. 11. 波兰数学大师史坦因豪斯编著的《一百个数学问题》中的第46个问题是球的堆垒问题：有无数个完全相同的球，取3个使它们两两相切放置，然后放上第4个球，使其与前3个球都相切，这样形成4个凹穴，在每个凹穴再放上一个球，则一共放了8个球，它们形成多少个凹穴？这个过程可以一直继续下去吗？若我们只考虑前8个球，设球的半径为1，其中两个球的球心之间的距离为d，则d的取值集合为（ ） A. 2 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一束光线通过点，经直线反射．如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是______． 13. 袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1、2、3，绿色卡片两张，标号分别为1和2，若从五张卡片中任取两张，则两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的概率为______. 14. 若实数、、、，满足，，，则的最大值为________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知的顶点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为. （1）求边所在直线的方程； （2）求的平分线所在直线的方程. 16. 已知直线的方程为． （1）求证：不论为何值，直线必过定点； （2）过（1）中的点引直线交坐标轴正半轴于，两点， ①求面积的最小值及面积取得最小值时的直线的方程； ②求的最小值及此时直线的方程． 17. 某平台推出答题赢会员活动，共设置3道独立题目，每位用户可自主安排答题顺序.规则如下：连续答对2题可获得7天会员；连续答对3题可获得30天会员；其余情况均不获得会员.已知甲答对题1的概率为，答对题2的概率为，答对题3的概率为，各题答对与否相互独立. （1）若，且甲按题题题3的顺序答题，求甲获得30天会员的概率. （2）若，且第一次答题2，则要使甲获得会员的概率最大，应如何安排其他两次答题顺序？ （3）若在答题中，仅当题3位于中间的顺序时，甲获得会员的概率最大，求的取值范围. 18. 如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点F，G为的中点，，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在一点H，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 19. 已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，设点，，记，． （1）若，求点的坐标； （2）若点，点，且，求的最大值； （3）已知点，是直线上的动点，是否存在直线使得？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $