精品解析：湖北武汉市第六中学2026-2027学年高二上学期九月月考数学试卷

武汉六中2026-2027学年高二上学期9月月考数学试卷 考试时间：2026.9.12 一、单选题（40分） 1. 某同学记录了我市2026年8月中旬连续6天的最高气温（单位：摄氏度）分别为：31，29，32，35，35，34，则这6个数据的中位数为（ ） A. 31 B. 32 C. 33 D. 34 【答案】C 【解析】 【详解】气温数据从小到大依次为，所以其中位数为. 2. 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件. 为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用比例分配的分层随机抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n等于（　　） A. 10 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】C 【解析】 【详解】依题意，抽样比为，则由，解得. 3. 在四面体中，M，N分别是，的中点，点G在线段上，满足，用向量，，表示向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的加减法运算和向量基本定理进行变形. 【详解】 如图所示： ，因为分别为，的中点， 所以，， 所以． 4. 已知某音响设备由五个部件组成，A电视机，B影碟机，C线路，D左声道和E右声道，其中每个部件能否正常工作相互独立，各部件正常工作的概率如图所示.能听到声音，当且仅当A与B至少有一个正常工作，C正常工作，D与E中至少有一个正常工作.则听不到声音的概率为（ ） A. 0.19738 B. 0.00018 C. 0.01092 D. 0.09828 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据独立事件概率公式求能听到声音的概率，再利用对立事件概率公式，即可求解. 【详解】设能听到声音为事件， 则 , 所以听不到声音的概率. 故选：A 5. 已知三棱柱中所有的棱长均为，．若为棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】作图如下图所示， 选取基底，由题意知， ，. ， 于是 则. 6. 有4张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为偶数”，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为3”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为5”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则（ ） A. 与为相互独立事件 B. 与为互斥事件 C. 与为相互独立事件 D. 与为对立事件 【答案】A 【解析】 【分析】列出样本空间，再对各选项的事件列出其基本事件，根据独立事件的定义判断AC，根据互斥事件、对立事件的定义判断BD. 【详解】由题意样本空间， ，，，， 对于A：由古典概率概率公式可知，，， 则，故与为相互独立事件，正确； 对于C：，，，则， 故与不是相互独立事件，错误； 对于B：当第一次取出的卡片上的数字为3，第二次取出的卡片上的数字为4时， 事件与同时发生，故两个事件不是互斥事件，错误； 对于D：因为，，所以与不是对立事件，错误. 故选：A 7. 柜子里有三双不同的鞋，如果从中随机地取出两只，则取出的鞋成双的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用求古典概型的概率公式直接求解即可. 【详解】柜子里有三双不同的鞋，可设为，，，，，，其中与，与，与分别为一双鞋， 则从中随机取出两只，所有可能的组合有：，，，， ，，，，，，，， ，，，共15种， 取出的鞋成双的有，，共3种情况， 故取出的鞋成双的概率. 8. 如图，在正三棱台中，若，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面中，过作的平行线，交的延长线于，连接，则或其补角为异面直线与所成角，结合余弦定理可求角的余弦值. 【详解】由正三棱台的性质可得四边形为等腰梯形，其中， 如图，在梯形中，过作，垂足为， 而，故， 故. 同理，. 在平面中，过作的平行线，交的延长线于，连接， 则或其补角为异面直线与所成角， 因，，故四边形为平行四边形， 故，， 而，故， 故， 故异面直线与所成角的余弦值为， 故选：D. 二、多选题（18分） 9. 小胡同学参加射击比赛，打了8发子弹，报靶数据如下：9，8，6，10，9，7，6，9（单位：环），则下列说法正确的是（ ） A. 这组数据的众数为9 B. 这组数据的极差是4 C. 这组数据的平均数是 D. 这组数据的标准差是 【答案】ABD 【解析】 【详解】选项A：数据中9共出现3次，出现次数最多，因此众数为9，A正确. 选项B：数据最大值为10，最小值为6，极差为，B正确. 选项C：平均数，C错误. 选项D：方差，因此标准差，D正确. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若事件A与事件B相互独立，，，则 B. 若样本数据，，，的方差为4，则数据，，，的方差为8 C. 一个盒子中有3个黑球，2个白球，1个红球，不放回地抽取两次，每次抽一个球，则事件“至少有一个红球”与事件“两个球颜色相同”互斥 D. 1，2，3，，2024，2025，2026这2026个数的上四分位数是507 【答案】AC 【解析】 【分析】运用独立事件概率公式、方差性质、互斥事件定义和百分位数计算方法，来判断各说法的正确性. 【详解】选项A：事件与相互独立，则， 又，，则，选项A 正确； 选项B：设原数据的方差为，新数据为， 因为（为常数）， 则，选项B错误； 选项C：记“至少有一个红球”为事件，“两个球颜色相同”为事件： 事件的样本点：(红,黑)、(红,白)、(黑,红)、(白,红)； 事件的样本点：(黑,黑)、(白,白)； 事件与无公共样本点，不可能同时发生，故与互斥，选项C 正确； 选项D：对于个按从小到大排列的数据，上四分位数的位置为：， 根据百分位数定义，位置为小数时，取第个数作为上四分位数，而非，因此选项D 错误. 11. 在空间中，，为两个定点，动点到直线的距离为2，动点到直线的距离为1．若二面角为，则（ ） A. B. C. 当时，平面 D. 当平面时， 【答案】BC 【解析】 【分析】做出满足条件的图，过点作，为垂足，过点作，为垂足，过点作，由条件可得，解三角形可得，由此判断B，当点与点的距离无限大时，可得趋向于，排除A，先证明平面，结合，证明 重合，由此证明平面，由平面推出点与点重合，点与点重合，判断D. 【详解】不失一般性作图如下， 过点作，为垂足，过点作，为垂足， 过点作，，连接， 则，因为二面角为， 所以，由已知， 所以，所以， 故，，B正确； 当点与点的距离无限大时，，无限大，无限靠近， 此时趋向于，A错误； 因为，，平面， 所以平面，又平面，所以， 若，不重合，结合，平面， 可得平面，平面， 所以，矛盾，所以重合， 因为，，，平面， 所以平面， 故平面，C正确； 因为平面，若平面， 则平面与平面重合，此时点与点重合，点与点重合， 故与的夹角为，D错误， 三、填空题（15分） 12. 甲､乙两人打靶，已知甲的命中率为0.8，乙的命中率为0.7，若甲､乙分别向同一靶子射击一次，则该靶子被击中的概率为___________. 【答案】0.94 【解析】 【分析】记甲的命中为事件，乙命中为事件，靶子被击中为事件，利用对立事件的概率公式计算． 【详解】记甲的命中为事件，乙命中为事件，靶子被击中为事件，，相互独立， 所以． 故答案为：． 13. 已知某运动员每次投篮命中的概率为0.5，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：用计算机产生之间的随机整数，以每个随机整数（不足三位的整数，其百位或十位用0补齐）为一组，代表三次投篮的结果，指定数字0，1，2，3，4表示命中，数字5，6，7，8，9表示未命中．如图，在软件的控制台，输入“sample（0:999，20，）”，按回车键，得到范围内的20个不重复的整数随机数，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为_______． > sample（0:999， 20， ） [1] 848 633 761 728 309 16 807 55 606 543 [11] 247 23 538 440 898 557 140 213 458 62 【答案】## 【解析】 【分析】运用频率估计概率进行求解即可。 【详解】在20个不重复的数中，表示该运动员三次投篮恰有两次命中的有633，309，16，543，247，62共6个， 所以据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为. 14. 四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，若平面，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，连接，作交于，连接，证明平面平面，由面面平行的性质定理得，然后利用平行线的性质可求得. 【详解】设，连接， 作交于，连接， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面，所以平面平面， 因为平面平面，平面平面，所以， 又是平行四边形，所以是中点，所以是中点，即， 因为，即，所以，所以，从而， 由得，所以，而，所以. 四、解答题（77分） 15. 校羽毛队有3名男队员、2名女队员，现采用不放回简单随机抽样从中抽取2人. （1）列举出所有等可能的基本事件，并求抽取到的2人全是男队员的概率； （2）若选出的两名选手分别为甲、乙，进行定点发球比拼，甲发球成功的概率为0.7，乙发球成功的概率为0.8，两人发球互不影响.求： ①甲、乙两人全部发球成功的概率； ②甲、乙至少有一人发球成功的概率. 【答案】（1）设3名男队员为，2名女队员为， 所有等可能的基本事件分别为：， 抽取到的2人全是男队员的概率为； （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）用列举法列出所有可能结果之后直接由古典概型概率公式计算即可； （2）①两人发球相互独立，直接利用独立事件同时发生的概率乘法公式计算即可； ②采用逆向思考，先计算对立事件“两人都失败”的概率，再用减去这个结果即可． 【小问1详解】 设3名男队员为，2名女队员为， 从5人中不放回抽取2人，所有等可能的基本事件共有个， 分别为：， 记事件为“抽到的2人都是男队员”，则包含的基本事件有，共3个， 所以 【小问2详解】 ①因甲乙两人发球相互独立， 所以甲、乙两人全部发球成功的概率：； ②甲乙两人都失败的概率为： 所以甲乙至少一人成功的概率为： 16. 如图，在正三棱柱中，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的大小． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）证明，原题即得证； （2）证明即为与平面所成的角，解三角形求出即得解. 【小问1详解】 证明：连接交于，连接DE． 在平行四边形中，可得为的中点．又因为为棱AC的中点， 所以DE为的中位线，所以． 又平面，平面，所以平面． 【小问2详解】 解：因为为等边三角形， 又为棱的中点，所以． 因为三棱柱为正棱柱，所以平面． 又平面，所以． 又平面，平面， 所以平面．所以即为与平面所成的角． 在中，． 在中，． 在中，， 所以．所以与平面所成角的大小为． 17. 某平台推出答题赢会员活动，共设置3道独立题目，每位用户可自主安排答题顺序.规则如下：连续答对2题可获得7天会员；连续答对3题可获得30天会员；其余情况均不获得会员.已知甲答对题1的概率为，答对题2的概率为，答对题3的概率为，各题答对与否相互独立. （1）若，且甲按题题题3的顺序答题，求甲获得30天会员的概率. （2）若，且第一次答题2，则要使甲获得会员的概率最大，应如何安排其他两次答题顺序？ （3）若在答题中，仅当题3位于中间的顺序时，甲获得会员的概率最大，求的取值范围. 【答案】（1） （2）要使甲获得会员的概率最大，应按题2→题1→题3的顺序答题. （3） 【解析】 【分析】（1）要拿到30天会员，必须三道题全部答对；三题答题相互独立，直接用独立事件概率乘法公式计算三题全对的概率； （2）第一题固定答题2，剩余只有两种答题顺序. 获奖条件是出现连续两题答对，分别写出两种顺序下获奖的概率，比较大小，选择概率更大的顺序即可； （3）根据对称性知只需考虑位于中间的顺序的题，分别写出三种情况的概率，写出不等式组，求出的取值范围. 【小问1详解】 甲获得30天会员的概率为. 【小问2详解】 当时，各种答题顺序的情况如下： 按题2→题1→题3的顺序答题，甲获得会员的概率为； 按题2→题3→题1的顺序答题，甲获得会员的概率为； 因为，所以要使甲获得会员的概率最大，应按题2→题1→题3的顺序答题. 【小问3详解】 根据对称性知只需考虑位于中间的顺序的题. 若题1位于中间的顺序，则甲获得会员的概率 若题2位于中间的顺序，则甲获得会员的概率； 若题3位于中间的顺序，则甲获得会员的概率 因为，所以只需满足即可，即，解得. 因为，所以的取值范围为. 18. 高一年级举行了一次“数学建模能力竞赛”，为了解本次测试竞赛情况，年级从中抽取了100名学生的成绩x进行统计.将成绩进行整理后，分为五组:，，其中第1组频数是第2组频数的一半，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）若根据这次成绩，年级择优选取的同学晋级下一轮竞赛，请问晋级分数线定为多少合理?并且估计本次竞赛的平均分; （2）已知落在的平均成绩是56，标准差是4，落在的平均成绩为65，标准差是2，求两组成绩的总平均数和总方差; （3）在下一轮比赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关模型检验的问题.已知甲回答正确的概率是，甲、乙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人至少一人回答正确的概率是.每人回答正确与否相互独立.求甲、乙、丙三人中至少两人回答正确的概率. 【答案】（1）合理分数为分；平均分为70.2分 （2）总平均数是62，总方差是26． （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图求解计算即可. （2）根据平均数和方差公式计算即可. （3）根据独立事件的乘法公式计算即可. 【小问1详解】 由题意知，第组的小长方形的高是第组的小长方形的高的一半， 所以， 又，解得， 择优选取的同学晋级下一轮竞赛，即确定第60百分位数， 成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 设第百分位数为，则， 由百分位数的定义可得，解得， 所以晋级分数线划为分合理； 估计本次竞赛平均分为 【小问2详解】 由图可知，成绩在的人数为 ， 成绩在的人数为， 故 ， ， 所以两组成绩的总平均数是62，总方差是26． 【小问3详解】 记“甲、乙、丙回答正确这道题”分别为事件、、，则、、两两相互独立， 由题意可得，解得， 由乙、丙两人至少一人回答正确的概率是， 得，解得，故， 所以乙、丙两人各自回答正确这道题的概率为和． 记事件甲、乙、丙三人中至少两人回答正确， 则 . 19. 正方形中，，为的中点，，．将沿翻折到，沿翻折到，连接． （1）求证：： （2）当时，求二面角的正弦值； （3）设直线与平面所成角为，问是否存在，使得能取得最大值，若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 由于平面， 故平面， 又平面， 所以 （2） （3） 设点到平面的距离为， 由于，所以，， 则， 因此， 所以， ， 由等体积法可得,所以， 由于直线PM与平面AMN所成角为，则， ，令，则， 故，当且仅当时取等号，此时， 这与矛盾，故不存在，使得能取得最大值， 【解析】 【分析】（1）根据线线垂直可证明线面垂直，即可求证. （2）根据二面角的几何法可得即为二面角的平面角，即可由三角形的边角关系求解， （3）理由等体积法求解点到平面的距离为，即可由线面角的定义求解，由换元法，结合基本不等式取等条件得矛盾，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过作于，连接, 由（1）知,平面， 所以平面，平面， 故， 因此即为二面角的平面角， ，则为中点， ， 由等面积法可得,解得， 在中，， 故二面角的正弦值为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 武汉六中2026-2027学年高二上学期9月月考数学试卷 考试时间：2026.9.12 一、单选题（40分） 1. 某同学记录了我市2026年8月中旬连续6天的最高气温（单位：摄氏度）分别为：31，29，32，35，35，34，则这6个数据的中位数为（ ） A. 31 B. 32 C. 33 D. 34 2. 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件. 为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用比例分配的分层随机抽样的方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n等于（　　） A. 10 B. 12 C. 13 D. 14 3. 在四面体中，M，N分别是，的中点，点G在线段上，满足，用向量，，表示向量为（ ） A. B. C. D. 4. 已知某音响设备由五个部件组成，A电视机，B影碟机，C线路，D左声道和E右声道，其中每个部件能否正常工作相互独立，各部件正常工作的概率如图所示.能听到声音，当且仅当A与B至少有一个正常工作，C正常工作，D与E中至少有一个正常工作.则听不到声音的概率为（ ） A. 0.19738 B. 0.00018 C. 0.01092 D. 0.09828 5. 已知三棱柱中所有的棱长均为，．若为棱的中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 有4张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为偶数”，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为3”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为5”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为7”，则（ ） A. 与为相互独立事件 B. 与为互斥事件 C. 与为相互独立事件 D. 与为对立事件 7. 柜子里有三双不同的鞋，如果从中随机地取出两只，则取出的鞋成双的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正三棱台中，若，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（18分） 9. 小胡同学参加射击比赛，打了8发子弹，报靶数据如下：9，8，6，10，9，7，6，9（单位：环），则下列说法正确的是（ ） A. 这组数据的众数为9 B. 这组数据的极差是4 C. 这组数据的平均数是 D. 这组数据的标准差是 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若事件A与事件B相互独立，，，则 B. 若样本数据，，，的方差为4，则数据，，，的方差为8 C. 一个盒子中有3个黑球，2个白球，1个红球，不放回地抽取两次，每次抽一个球，则事件“至少有一个红球”与事件“两个球颜色相同”互斥 D. 1，2，3，，2024，2025，2026这2026个数的上四分位数是507 11. 在空间中，，为两个定点，动点到直线的距离为2，动点到直线的距离为1．若二面角为，则（ ） A. B. C. 当时，平面 D. 当平面时， 三、填空题（15分） 12. 甲､乙两人打靶，已知甲的命中率为0.8，乙的命中率为0.7，若甲､乙分别向同一靶子射击一次，则该靶子被击中的概率为___________. 13. 已知某运动员每次投篮命中的概率为0.5，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：用计算机产生之间的随机整数，以每个随机整数（不足三位的整数，其百位或十位用0补齐）为一组，代表三次投篮的结果，指定数字0，1，2，3，4表示命中，数字5，6，7，8，9表示未命中．如图，在软件的控制台，输入“sample（0:999，20，）”，按回车键，得到范围内的20个不重复的整数随机数，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为_______． > sample（0:999， 20， ） [1] 848 633 761 728 309 16 807 55 606 543 [11] 247 23 538 440 898 557 140 213 458 62 14. 四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，若平面，则的值为________． 四、解答题（77分） 15. 校羽毛队有3名男队员、2名女队员，现采用不放回简单随机抽样从中抽取2人. （1）列举出所有等可能的基本事件，并求抽取到的2人全是男队员的概率； （2）若选出的两名选手分别为甲、乙，进行定点发球比拼，甲发球成功的概率为0.7，乙发球成功的概率为0.8，两人发球互不影响.求： ①甲、乙两人全部发球成功的概率； ②甲、乙至少有一人发球成功的概率. 16. 如图，在正三棱柱中，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的大小． 17. 某平台推出答题赢会员活动，共设置3道独立题目，每位用户可自主安排答题顺序.规则如下：连续答对2题可获得7天会员；连续答对3题可获得30天会员；其余情况均不获得会员.已知甲答对题1的概率为，答对题2的概率为，答对题3的概率为，各题答对与否相互独立. （1）若，且甲按题题题3的顺序答题，求甲获得30天会员的概率. （2）若，且第一次答题2，则要使甲获得会员的概率最大，应如何安排其他两次答题顺序？ （3）若在答题中，仅当题3位于中间的顺序时，甲获得会员的概率最大，求的取值范围. 18. 高一年级举行了一次“数学建模能力竞赛”，为了解本次测试竞赛情况，年级从中抽取了100名学生的成绩x进行统计.将成绩进行整理后，分为五组:，，其中第1组频数是第2组频数的一半，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）若根据这次成绩，年级择优选取的同学晋级下一轮竞赛，请问晋级分数线定为多少合理?并且估计本次竞赛的平均分; （2）已知落在的平均成绩是56，标准差是4，落在的平均成绩为65，标准差是2，求两组成绩的总平均数和总方差; （3）在下一轮比赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关模型检验的问题.已知甲回答正确的概率是，甲、乙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人至少一人回答正确的概率是.每人回答正确与否相互独立.求甲、乙、丙三人中至少两人回答正确的概率. 19. 正方形中，，为的中点，，．将沿翻折到，沿翻折到，连接． （1）求证：： （2）当时，求二面角的正弦值； （3）设直线与平面所成角为，问是否存在，使得能取得最大值，若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $