广东普宁市第二中学2026-2027学年高三上学期第一次月考数学试题

《普宁第二中学2026一2027学年度高三第一学期数学第一次月考》 参考答案 题号 2 3 4 5 6 8 答案 B A A B A D D 题号 9 10 11 12 13 14 答案 ABD ACD ABD ±1 (1,4) -1 15.(1)证明：因为b+c=2 a cos B, osB=a2+c2-b2 由余弦定理的推论 2ac …2分 b+c=2a.a2+c2-b2 2aC,… 。。。。。。。。。。。。 …3分 整理得Q2-b2=bc. …5分 (2)由(1)a2-b2=bc,代入c=AB=5,a=6, 得到b2+5b-36=0解得b=4或b=-9(舍去).… …7分 .C0sLABC=+o-b225+36-16 3 结合余弦定理的推论可得 2ac 60 4 ,…9分 3 oS∠CBD=- 因为∠ABC,∠CBD互补，∴.COS∠ABC+cos∠CBD=0,则 4.…11分 .CD2=a2+BD2-2 aBD cos∠CBD=37+2×6× 3二46 4 从而CD=V46 …13分 16.【详解】(1)因为f(:)=e-ar,所以f'(x)=e-2ar …2分 e 则f(0=e-20,而曲线/()的切线与x轴平行，可得(0)=e-2=0,解得02,4分 a=- e 三 此时得到 )-。-登.f0-分，数方程为 2 …6分 (2)因为f()在(0，+∞)上有2个零点， e a= 所以e-am2=0在（0，+0）上有2个解，得到0天在(0，+0）上有2个解，…8分 乡=.1-g …10分 当x∈(0,2)，8'()<0，则8()在(0,2)上单调递减。 当x∈(2，+0)，g()>0,则8(x)在(2，+0）上单调递增， …2分 防8(2) 4,当x→0时，8()→+0，当x→+o时，8()→+0， …14分 e a∈ 可得 4 即a的范围为(，0 …5分 17.【详解】(1)CD⊥平面ABD,BEC平面ABD,所以CD1BE;…2分 又AB=BD,E是AD的中点，所以BE⊥AD;… …3分 因为AD∩CD=D,AD,CDC平面ACD,所以BE⊥平面ACD. …5分 (2)由CD⊥平面ABD,得CD⊥AD,CD⊥BD, 故∠ADB为二面角A-CD-B的所成角，即 ∠ADB=T 3,…7分 设AB=BD=CD=2,以D为原点，DB为x轴，DC为y轴， 过D作DB的垂线为z轴，建立坐标系， B 2 aa0.s2a0.ca20.4a.9 …9分 设F=c=-(,2元，5.2e(0,1).F-(1-2,2,51-A) …11分 由(1)知，平面ACD的法向量为 -〔 …12分 设直线BF与平面ACD所成角为B,则： BF.BE 3 5 V42 sin 0= BF·BE V5.2W22-1+12W212-1+17 …13分 V42 AF 1 解得4，故存在点F使得直线BF与平面ACD所成角的正弦值为7，此时AC4.15分 18.【详解)(1)因为椭圆E的左右焦点分别为F(-2,0),E(2,0) 所以a2-b2=4, …1分 53 00. 又因为该椭圆经过点(2’2)，所以 2 x2,y2 =1 解得Q2=10,b2=6,所以椭圆五的方程为106…4分 (2)(i)设直线1的方程为y=kx+m,，与椭圆方程联立， 后+若-13B+2+eu+5-0-0 得(y=kx+m 所以A=(10km-43+5)5m2-30）=0,化简，得m2=10+6,…7分 10km_ 5k m Xp=- 可得 23+5）3+5 =k 5k m 3m 3+52 +m P 5km 3m 3+5,即 3+5k'3+5k …9分 3m kika=ki 3+5K=-日 3 5k m 5 3+5k ,所以k2为定值：… …10分 (i)设P(x,%%≠0），即10+6，且i0<<i0, y-业=X-9今，-y(,+2)+2少=0 直线P阳的方程为%+2 同理得直线P吗的方程为%-（化-2）-2%=0，…11分 因为∠FPE的平分线与x轴交于点(，0) +2=1,-2 t+2到 t-2 所以V6+(+2}V+(伍-2 2V+(x+2)}2V+(x。-2)月 ,…12分 器。=1-制 由106 代入上式，得 t+2 t-2 t+2 -2 --6+2或 -8--2y6+y- .…13分 t+2_t-2 +5-,因为0在(-2,0)，E(2,0)之间， 所以-2<t<2,又0<<Vi0 +2=-2=2+1=21→6 所以由：+-可5+x5-, 2 …15分 因为0<，<0 0<4<0→-20<1<2i0 所以 5 5,而-2<1<2，…16分 210 2W10 210210 所以 5,即t的取值范围为 5,5 …17分 19.【详解】(1)函数 树-n0+y-lato f"(x)=x+1-k 求导 (x+1)2 …1分 而k>0, 当-1<x<k-1时，f'()<0:当x>k-1时，f()>0 …2分 函数f(x)在，k-)上单调递减，在k-,+0)上单调递增， …3分 函数()在x=k-1处取得极小值f(k-)-=血k-k+2,无极大值.…4分 (2)(i)由1)知，当0<k≤1时，函数f(x)在(0，+0）上单调递增， f(x)>f(0)=1>0,因此0<k≤1符合题意：… …5分 当k>1时，函数f()在(0，k-)上单调递减，在(k-山，+o)上单调递增， f(x)min =f(k-1)=Ink-k+2 …6分 令函改8间h-+2,>1,求导附()-=1<0 …7分 函数8()在（，+o)上单调递减，而8(3)=血3-1>0，g(4)=血4-2<0 则存在6∈(3,4)，8()=0，即血，-+2=0， …8分 因此当1<k<时，f(x)21血k-k+2>n。-x+2=0 …9分 所以正整数k的最大值为3.… …10分 )由)：=3所，x>0,=h0+-10 成立，…11分 0+2x对20我立，取=a+)ny …12分 0na+2nd可-a-gd 则 …14分 0+lw2=h0+2+h+aa->2n-0-号5女 因此 ,…15分 --2路2别 gLI… 3<[+0+可…(exz+0lex1+0g （"-zu<{+a+1.…fxz+lcx+以四 普宁二中2026—2027学年度第一学期高三第一次月考 数 学 本卷满分150分，考试时间120分钟 命题：高三数学命题小组 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集，，，则（ ） A． B． C． D． 2．设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知函数的部分图象如图，则函数的解析式可能为（ ） A． B． C． D． 4．已知随机事件A，B，若，，，则（ ） A． B． C． D． 5．已知圆与直线相交于A，B两点，若为等边三角形，则k的值为（ ） A． B． C． D． 6．已知函数的定义域为，且对于任意实数x，y，都有，若函数在定义域内的最大值为M，最小值为m，则（ ） A．2 B．0 C．1 D．4 7．已知实数a，b，c满足，则下列关系式中不可能成立的是（ ） A． B． C． D． 8．如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的．已知，，，…为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为，令，为数列的前n项和，则（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数z满足，为复数z的共轭复数，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．在复平面内，复数对应的点位于第二象限 D．复数z是方程的一个根 10．已知实数x，y满足，则（ ） A． B． C． D． 11．在三棱锥中，，点B，C到棱所在直线的距离均为1，点H为棱上一点，满足平面，且，则下列结论正确的是（ ） A．点A到直线的距离的最大值为 B．顶点B，C所在的曲线为椭圆 C．棱的长度可能为4 D．三棱锥的体积最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，，若，则__________． 13．已知函数，则不等式的解集是__________． 14．已知函数，的定义域为，为的导函数，，，．若，，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分13分） 在中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且满足． （1）证明：； （2）如图，点D在线段的延长线上，且，，当时，求线段的长． 16．（本题满分15分）已知函数． （1）若曲线在处的切线与x轴平行，求a的值和切线方程； （2）若在上有2个零点，求a的范围． 17．（本题满分15分）如图，在三棱锥中，平面，，E是的中点，F是线段上的一点（不含端点）． （1）证明：平面； （2）若二面角的大小为，判断是否存在点F使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 18．（本题满分17分）已知椭圆，，O为原点，椭圆E的左右焦点分别为，，并且经过点， （1）求椭圆E的方程； （2）若椭圆E的左右顶点分别为A，B，直线l与椭圆E有且仅有一个公共点P，点P不与A，B重合，设直线l，的斜率分别为，． （ⅰ）求证：为定值； （ⅱ）设的平分线与x轴交于点，求t的取值范围． 19．（本题满分17分）已知函数． （1）若，求函数的极值； （2）（ⅰ）当时，恒成立，求正整数k的最大值； （ⅱ）证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $