精品解析：广东省肇庆市第六中学2026-2027学年高三上学期10月月考数学试题

高三级10月月考 数学 命题人:宾华红 审核人:王翠英 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由可得. 2. 已知集合，则集合的子集的个数为（ ） A. 15 B. 16 C. 31 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合，利用集合的子集个数公式可求得结果. 【详解】因为， 所以． 因为是整数， 所以，故集合共有个子集． 故选：B 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断A；作差法判断BCD. 【详解】因为，则，所以，A错误； ，所以，B错误； ，所以错误； ，所以，D正确． 故选：D． 4. 在数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用构造等比数列的方法结合等比数列的通项公式求解即可. 【详解】因为，所以． 因为，所以．所以数列是首项为1，公比为3的等比数列， 所以，所以． 5. 命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为命题“，”为真命题， 所以，恒成立，得到. 可得“”是“”的充分不必要条件，“”是“”的充分不必要条件； “”是“”的充要条件，“”是“”的必要不充分条件. 6. 设为正项等比数列的前n项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列通项基本量的运算求得，代入等比数列求和公式求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，∵，∴. 由得，∴. 故选：C 7. 将自然数1，2，3，4，5，…按照如图排列，我们将2，4，7，11，16，…称为“拐弯数”，则下列数字不是“拐弯数”的是（ ） A. 37 B. 58 C. 67 D. 79 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题中规律，并采用累加法找到拐弯数的通项公式，再逐项验证即可求解. 【详解】不妨设第n（）个“拐弯数”为， 不难发现，，，，…， 所以（）， 利用累加法得， 因而，当时，也符合上式， 所以（）． 令可得，，即， 解得或（舍去），故是“拐弯数”； 令可得，，即， 解得（舍去）或（舍去），故不是“拐弯数”； 令可得，，即， 解得或（舍去），故是“拐弯数”； 令可得，，即， 解得或（舍去），故是“拐弯数”. 8. 若直线与曲线相切，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】通过设切点，利用导数的几何意义列出等式，再利用二次函数的性质求其最小值. 【详解】设直线与曲线的切点为. 对求导，根据，可得. 因为直线的斜率为，由导数的几何意义可知， 在切点处，即. 又因为切点既在直线上又在曲线上， 所以且，即. 将代入可得：，即. 将代入可得： ， 所以当，时，取得最小值为. 故选：A 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项正确的是（　 　） A. 数列为递减数列 B. C. D. 的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质，结合前项和公式及数列单调性逐项判断. 【详解】在等差数列中，，则，B正确； 等差数列的公差，数列为递增数列，A错误； ，C正确. 当时，，当时，，因此的最小值为，D错误. 10. 下列能够取得最小值为4的函数有（ ） A. 函数 B. 函数 C. 函数 D. 函数 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用均值不等式依次计算每个选项的最小值，A选项的最小值为3不满足，其余均满足即可得到答案. 【详解】对A：， 当且仅当，即时等号成立，故A错误； 对B：，当且仅当，即时等号成立，故B正确； 对C：， 当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对D：， 当且仅当，即时等号成立，故D正确. 11. 设函数，则（ ） A. 有两个零点 B. 当时， C. 过点仅可以作两条直线与的图象相切 D. 若在区间上有最大值，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导函数判断单调性，根据单调性以及判断AD；B根据在上的单调性判断；设切点为，求出切线方程，将点代入，构造函数，研究其零点个数即可判断C. 【详解】对于A，， 则当或时，单调递增； 当时，单调递减； 因为，所以有两个零点，故A正确； 对于D，因为在区间上有最大值，所以， 得，故D正确； 对于B，因为在上单调递增且当时，， 所以，故B错误； 对于C，设切点为， 故切线方程为， 将代入整理得(*)， 令，则， 则当或时，单调递增； 当时，单调递减； 则，故有两个零点，即方程(*)有两根， 故过点仅可以作两条直线与的图象相切，即C正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，如果，那么实数的取值集合为________． 【答案】 【解析】 【详解】因为集合，如果， 所以或，解得或， 当时，； 当时，； 当时，，不满足集合元素的互异性， 所以实数的取值为1或3，所以集合. 13. 在数列中，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】列举出前几项，观察出其规律，即可. 【详解】因为，，，所以， 则，，则，，则，，则， 由此可得数列的奇数项均为1，偶数项依次为3，，3，，， 整个数列各项为：， 四个一组，以4为周期， 则 所以． 故答案为： 14. 甲、乙两个排球队准备举行一场比赛，采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．已知每局甲胜乙的概率为（），无平局，设甲本场比赛获胜且乙至少胜一局的概率为，则当取最大值时，________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项分布可求，再根据导数可求何时概率取最大值. 【详解】甲本场比赛获胜且乙至少胜一局的情况有：甲胜局乙胜1局；甲胜局乙胜2局， 故， 故， 当时，；当时，， 故在上单调递增，在单调递减， 故时，取最大值. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合. （1）求，； （2）设，求. 【答案】（1）或，. （2）或. 【解析】 【小问1详解】 解不等式，即，得，即， 不等式，则，解得或，或， 所以或，. 【小问2详解】 由（1）及，得或. 16. 已知函数． （1）求函数在点处的切线方程； （2）判断函数的单调性，并求出的极值． 【答案】（1） （2）在区间上单调递减，在区间上单调递增；有极小值，无极大值． 【解析】 【小问1详解】 函数的定义域为，， 在点处的切线斜率， 所以在点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 令，解得． 当x变化时，，的变化情况如下表所示， 单调递减 单调递增 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，有极小值，无极大值． 17. 已知等差数列的公差为，，，且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式及前项和； （2）记，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比中项性质列方程求解公差，再代入等差数列通项公式、前项和公式计算即可； （2）将拆分为裂项相消型和等比型两部分，分别求和后相加得到. 【小问1详解】 由题可知， 因为，，成等比数列，所以， 解得或（因为，所以舍去）， 所以，； 【小问2详解】 由（1）可知， 所以 . 18. 记与分别是数列与的前n项和，已知，，，，. （1）证明：是等比数列并求； （2）数列是等差数列吗？若是，求出的通项公式，若不是，说明理由； （3）设，判断是否存在互不相等的正整数j，k，m，使得j，k，m成等差数列，并且，，成等比数列. 【答案】（1）证明:∵，∴， ∵， ∴是首项为4，公比为2的等比数列. ∴，即. （2）是， （3）不存在 【解析】 【分析】（1）将变形为，然后利用等比数列定义判定为等比数列，利用等比数列通项公式求法求解即可. （2）方法一：利用与的关系化简判定是等差数列，然后利用等差数列通项公式求解即可； 方法二：通过前几项的结构猜想，然后利用数学归纳法证明即可. （3）先利用与的关系求得，进而，然后利用反证法思想解答即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一：∵， ∴（）， 两式相减得， 整理得， ∴， 两式相减得，即， ∴是等差数列，由于，，∴公差，∴的通项公式为. 方法二（数学归纳法）： ∵， ∴， ∵，，代入上式解得， 猜想. 当时，，猜想成立， 假设时，猜想成立，即. 下证时，猜想成立，即证， ∵， ∴，， ∵，， ∴，解得. 由数学归纳可得是等差数列，. 【小问3详解】 由（1）知，， ∴当时，，经检验，满足上式， ∴（），， 假设存在这样的三个正整数，则，，即， ∵， ∴，即， ∴， ∴，解得，不满足题意， ∴假设不成立，不存在这样的正整数. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，且存在两个极值点． ①求的取值范围； ②设的两个极值点为，证明：． 【答案】（1）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）①； ②证明：由①可知时，存在两个极值点，设， 则，即， 则， 所以，要证， 即证明，即证， 由①知在上单调递增，则即证， 又因为，即证， 令， ， 所以在上单调递增，又， 所以在上有， 即成立， 所以有，即成立. 【解析】 【分析】（1）将函数求导，根据参数的取值进行分类，讨论函数的单调性； （2）①求出导数，根据函数极值点就是导数零点，即有两个不同的根，则函数与有两个不同的交点，通过讨论单调性及最值，可得其取值变化，进而求得的取值范围； ②设，由通过对数运算可得要证，即证明，即证，由在上单调递增，可得需证，令，利用导数可证得，即证得，即成立. 【小问1详解】 函数的定义域为，则， 当时，，此时在上单调递增； 当时，由可得；由，可得. 则在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 ①因为，则， 因为存在两个极值点，则存在两个变号的零点， 即有两个不同的根， 则函数与有两个不同的交点， 又因为，则有，即有单调递增， 则有，即有单调递减， 所以， 又时，，当时，， 则函数与有两个不同的交点，有，即， 故存在两个极值点，的取值范围为； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三级10月月考 数学 命题人:宾华红 审核人:王翠英 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则集合的子集的个数为（ ） A. 15 B. 16 C. 31 D. 32 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 4. 在数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 6. 设为正项等比数列的前n项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 2 7. 将自然数1，2，3，4，5，…按照如图排列，我们将2，4，7，11，16，…称为“拐弯数”，则下列数字不是“拐弯数”的是（ ） A. 37 B. 58 C. 67 D. 79 8. 若直线与曲线相切，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是等差数列的前n项和，且，则下列选项正确的是（　 　） A. 数列为递减数列 B. C. D. 的最大值为 10. 下列能够取得最小值为4的函数有（ ） A. 函数 B. 函数 C. 函数 D. 函数 11. 设函数，则（ ） A. 有两个零点 B. 当时， C. 过点仅可以作两条直线与的图象相切 D. 若在区间上有最大值，则的取值范围为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，如果，那么实数的取值集合为________． 13. 在数列中，，，，则______． 14. 甲、乙两个排球队准备举行一场比赛，采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．已知每局甲胜乙的概率为（），无平局，设甲本场比赛获胜且乙至少胜一局的概率为，则当取最大值时，________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合. （1）求，； （2）设，求. 16. 已知函数． （1）求函数在点处的切线方程； （2）判断函数的单调性，并求出的极值． 17. 已知等差数列的公差为，，，且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式及前项和； （2）记，求数列的前项和. 18. 记与分别是数列与的前n项和，已知，，，，. （1）证明：是等比数列并求； （2）数列是等差数列吗？若是，求出的通项公式，若不是，说明理由； （3）设，判断是否存在互不相等的正整数j，k，m，使得j，k，m成等差数列，并且，，成等比数列. 19. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若，且存在两个极值点． ①求的取值范围； ②设的两个极值点为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $