精品解析：江苏省如皋中学2026-2027学年高一上学期10月阶段测试数学试题

江苏省如皋中学高一阶段测试一 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的交集运算即可求解. 【详解】集合， 则. 故选：D 2. 命题：，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由含有一个量词的命题的否定进行辨析即可. 【详解】对于存在量词命题：，，其否定为：，. ∴命题：，，其否定为：，. 故选：B. 3. 已知正实数满足.则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用“的代换”的方法，结合基本不等式，求得的最小值. 【详解】由，得， 因为为正实数， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：D 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题. 4. 已知集合满足条件⫋⫋，则集合的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合间的包含关系，逐一列举即得． 【详解】由⫋⫋可得一定含有，且至少还要有中的一个元素，同时不能包含中的所有元素； 故集合可以为 .共14个. 5. 已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设， 是的必要不充分条件， 是的真子集， 又， ， 则，解得． 6. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】考虑二次项系数为0和不为0两种情况，解集为空集代表不等式无解，利用二次函数的图象求解即可． 【详解】当时，不等式为不成立，故解集为； 当时，二次不等式大于0解集为空集，即二次函数恒成立； 则，即，解得； 综上， 所以实数的取值范围是. 7. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法以及韦达定理，可得参数的值，利用分式不等式的解法，可得答案. 【详解】由不等式的解集为， 则方程的解为或，且， 可得，， 由不等式等价于，即， 则，可得，解得或. 故选：A. 8. 已知表示不超过x的最大整数，集合，，且，则满足条件的集合B共有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由新定义及集合的概念可化简集合，分类讨论，从而得到满足条件的集合B. 【详解】由题设可知， 又因为，所以， 而， 因为的解为， 根据题意可知必有两根，满足， 所以分属方程与的根， 若1是的根，2是的根， 则有，解得， 代入与， 解得或与或， 故，成立； 若2是的根，1是的根， 则有，解得， 代入与， 解得或与或， 故，成立. 所以满足条件的集合B共有2个. 故选：B 【点睛】方法点睛：确定集合后，对，分别是和的根，求，，然后要验证对应时候是否成立. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合 ，且，则a的可能取值是（ ） A. 1 B. C. D. 0 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用集合交集性质推得，分时为空集、时为单元素集两种情况讨论，验证所有符合条件的的取值即可得出全部正确选项. 【详解】由条件可知，集合是集合的子集，即，分两种情况讨论： 当为空集时：方程无解，此时，满足，对应选项D符合要求. 当为非空集合时：方程有解，由可知必须属于： 若，解得，对应选项B符合要求； 若，解得，对应选项C符合. 代入验证时，，不满足，因此A错误. 10. 下列命题中假命题有（ ） A. “”是“”的必要条件 B. “”是“不等式在上恒成立”的充要条件 C. 的最小值是 D. 若，则的最小值为 【答案】CD 【解析】 【分析】A利用不等式性质判断必要条件；B利用二次函数恒成立的判别式求参数范围，验证充要关系；C检验均值不等式等号能否取到；D对负项变形，使用基本不等式，分清得到的是最大值而非最小值． 【详解】对于A，若，则，两边除以，所以， 即，所以“”是“”的必要条件，A正确； 对于B，由不等式在上恒成立，得， 解得，反之也成立， 故“”是“不等式在上恒成立”的充要条件，B正确； 对于C，， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时等号成立，矛盾，故等号不成立， 所以，的最小值不是，CC错误； 对于D，由，得， 所以， 当且仅当，即时，等式成立， 故当时，的最大值为，D错误． 11. 已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解集可得判断A、D，再将题设转化为，结合二次函数的性质，应用数形结合的方法判断B、C. 【详解】由题设，不等式，即的解为， ∴，则， ∴，，则A正确，D正确； 原不等式可化为， 令， 由题意可知函数的零点分别为且图象开口向下， 与直线两交点的横坐标分别为，且， 作出函数的大致图象如图所示，    ∴由图知：，，故B错误，C正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分. 12. 已知集合，，若，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意利用集合中元素的互异性分类讨论即可求得结果. 【详解】依题意可知，由于可知， 此时， 所以，解得或(舍去) 即. 故答案为： 13. 集合，集合，若，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】分和两种情况讨论，根据列出不等式求解即可. 【详解】当时，，解得， 当时，，解得， ，则或， 解得或（舍） 综上：的取值范围是. 14. 若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】不等式化为，讨论与的大小解出不等式，依题意判断的取值范围即可得出. 【详解】关于的不等式可化为， 当时，解得，要使解集中恰有两个整数，则，得； 当时，不等式化为，此时无解； 当时，解得，要使解集中恰有两个整数，则，得. 综上，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算： （1） （2）已知，求的值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由指数的运算性质即可计算求解； （2）利用完全平方公式及立方和公式求解即可. 【小问1详解】 原式. 【小问2详解】 因为，所以， 所以． 16. （1）若正数满足，求的最大值； （2）解关于x的不等式： ①； ②． 【答案】（1）；（2）①；②或. 【解析】 【分析】（1）由得，进而得，利用基本不等式即可求解. （2）①解分式不等式即可求解；②由得，利用数轴穿根法即可求解. 【详解】（1）由，得， 所以，当时，即时，等号成立， （2）①由，得，等价于， 所以解集为； ②由，得， 解得或， 所以解集为或. 17. 命题甲：关于的方程有两个不相等的实数根；命题乙：关于的不等式的解集为． （1）若命题甲为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题甲、乙中至多有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【小问1详解】 若命题甲为真命题，则关于x的方程有两个不相等的实数根， 得，解得且， 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 若命题乙为真命题，当时，对任意恒成立，符合题意； 当时，关于的不等式的解集为， 得，解得， 综上所述，若命题乙为真命题，则实数的取值范围为； 由（1）题知，命题甲为真命题时，实数的取值范围为； 若命题甲、乙均为真命题，则实数的取值范围为 若命题甲、乙中至多有一个为真命题，实数的取值范围为. 18. 已知，一元二次方程有两不等实根为，满足 （1）用m表示； （2）若，求m的取值范围； （3）若，不等式恒成立，求x的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据韦达定理以及完全平方公式即可求解； （2）根据三个二次之间的关系即可求解； （3）转化不等式，将不等式与函数建立联系，结合恒成立问题与函数值的关系即可求解； 【小问1详解】 由韦达定理，， 又因为， 所以. 【小问2详解】 ， 由，得，即， 又因为方程有两个不相等的实数根，所以， 即或， 综上，的取值范围是或. 【小问3详解】 将，代入，不等式化为， 即， 令，则等价于函数在上恒为正， 因此有，，解得或， 故的取值范围是. 19. 已知函数. （1）若的解集为，求实数的值； （2）当时，若关于的不等式恒成立，求实数取值范围； （3），解关于的不等式. 【答案】（1），； （2） （3） 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 【解析】 【分析】（1）由题意可知3是方程的一个根，计算即可得，再解出的另一根即可得解； （2）由题意可得对任意恒成立，从而只需借助基本不等式求出在时的最小值即可得； （3）由题意可得，再分、、、与进行讨论即可得. 【小问1详解】 由的解集为，可得3是方程的一个实数根， 因此，解得； 所以的另一实数根为1，可得； 即实数的值为，； 【小问2详解】 由可得，即； 又因为，可得恒成立； 易知当时， ， 当且仅当，即时，等号成立，此时取得最小值， 所以； 【小问3详解】 不等式即为； 整理可得； 当时，不等式为，易知其解集为； 当时，不等式可分解为，其方程对应的两根分别为； 若，不等式等价为，此时不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 综上可知，当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省如皋中学高一阶段测试一 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题：，，则为（ ） A. B. C. D. 3. 已知正实数满足.则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合满足条件⫋⫋，则集合的个数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 8. 已知表示不超过x的最大整数，集合，，且，则满足条件的集合B共有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合 ，且，则a的可能取值是（ ） A. 1 B. C. D. 0 10. 下列命题中假命题有（ ） A. “”是“”的必要条件 B. “”是“不等式在上恒成立”的充要条件 C. 的最小值是 D. 若，则的最小值为 11. 已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分. 12. 已知集合，，若，则_________. 13. 集合，集合，若，则实数的取值范围是________． 14. 若关于的不等式恰有两个整数解，则的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算： （1） （2）已知，求的值 16. （1）若正数满足，求的最大值； （2）解关于x的不等式： ①； ②． 17. 命题甲：关于的方程有两个不相等的实数根；命题乙：关于的不等式的解集为． （1）若命题甲为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题甲、乙中至多有一个为真命题，求实数的取值范围． 18. 已知，一元二次方程有两不等实根为，满足 （1）用m表示； （2）若，求m的取值范围； （3）若，不等式恒成立，求x的取值范围． 19. 已知函数. （1）若的解集为，求实数的值； （2）当时，若关于的不等式恒成立，求实数取值范围； （3），解关于的不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $