江苏如皋中学2025-2026学年第一学期综合练习（四）高一数学试卷

江苏省如皋中学2025-2026学年度第一学期综合练习（四) 高一数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的， 1.己知向量a=1,2),b=(（-2,x),若a⊥i,则x等于() A.-1 B.1 C.4 D.4 2.下列函数中最小正周期为元，且在区间(0，孕上单调递增的是() A.y=sinx B.y=sinx C.y=cosx D.y=cos.x 3.函数y=2an2x+军)图象的对称中心是() B c.〔后+0ezn.〔g+片0tea 4.己知ta1a=-2,则 sin(-a)-sin 3π (2a 2 A.- R C.-2 D.2 5.如图，在平行四边形ABCD中，E为线段BC的中点，AB=3,AD=2√2，∠BAD=45°，则AC.AE=() D A.20 B.22 C.24 D.25 6.在直角梯形ABCD中，已知AB/1CD,∠DAB=90,AB=2AD=2CD=6,点F是BC边靠近B点的三 等分点，点E是CD边上一个动点.则EAEF的取值范围是() D A.o B.[0,3] c.-10 7.已知三个函数f(x)=2+x-2,g(x)=x3-8,h(x)=log2x+x-2的零点依次为a、b、c,则a+b+c= 试卷第1页，共6页 A.6 B.5 C.4 D.3 8.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2 是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.如图2，若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形 ABCDEFGH八条边上的动点，则AP.AB的范围是() B 图1 图2 A.2,2W]B.22,2√]C.「2,4+2W2D.2W2,4+2W2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列说法正确的是() A.若f(x)的值域为[-2,2]，则f(x-1)的值域为[-3,1] B.函数f(x)=a-2a>0且a≠1)的图象恒过定点(1，-1) C.函数f(x)=Vx2+16+ 9 √x2+16 的最小值为6 D.“<0”是“关于x的方程x2-2x+m=0有一正根和一负根”的充要条件 10.已知向量ā=(3,2)，b=(-1,2),则下列结论正确的是() A.B5 B.与同向的单位向量为 √52W5 5’5 C.b在a上的投影向量为 D.若a与ā+乃的夹角为锐角，则实数的取值范围是(-l3,+∞) 1.已知函数f()=4sim(ox+po>04<的图象如图所示，点A(0,-2,B(a2在f(y)的图象上， 2 若AB吲=5，则下列说法正确的是() 试卷第2页，共6页 Ba,2) 2 B.f(x)图象关于x=-1对称 C.f(x)在[4,7]上单调递减 D.若将f(x)图象上每个点的横坐标变为原来的m(m>0)倍得函数8(x),g(x)在(0,2)上恰有一个最 大值，一个最小值，则m∈ 别 三、填空题：本题3小题，每小题5分，共15分 12已知9为能角，且cas0号，则tm(r+9) 13.如图，已知O=1,0月=2,0C=4W3,∠40C=30,∠B0C=90°，如果0c=0A+0,则 22+μ= A 14.如图，在△ABC中，D为BC边上一点，且BD=3DC.过D点的直线EF与直线AB相交于E点，与 直线AC相交于F点(E,F两点不重合).若A正=1AB(2>0),AF=AC(>0),则元+3u的最小值为 试卷第3页，共6页 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤 15.已知向量a、满足a=1,园=2，且(2a-b)(a+36)=-5 (1)诺(4a-3b)L(ka+b),求实数k的值： (2)求a与2a+b的夹角. 16.如图，在平面直角坐标系中，锐角“和钝角B的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边分 别与单位圆交于A,B两点，且OA⊥OB )诺点A的横坐标为求血B的值： 《②求y=sina+smB+的取值范围，（提示：sina+cosa=V2sina+ 试卷第4页，共6页 17.某同学用“五点法”画函数f(x)=Asn(x+p(p>0,p水)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部 分数据，如下表： WX+ 0 3π 2 2π 3 5π 6 f(x)=Asin(@x+) 0 5 5 0 (1)求函数f(x)的解析式及f(x)在0，π上的单调增区间： (2)将函数y=f图象上各点横坐标变为原来】倍，纵坐标不变，再将图像向左平移江个单位，得到 12 π 函数y=8)的图象若关于x的方程g(x)-(2+1)=0在0，元 上有两个不同的解，求实数m的取值范围. 18在半面直角坐标系中，已加48a8如c7-m01a140, 2 (1)若m=4,P为x轴上的一动点，点A'(1,-2).当A,P,B三点共线时，求点P的坐标： (2)若t=2,m=8，,P为直线OA的一动点，求PB.PC的最小值及此时P的坐标： (3)若t=sin8,6e(0,x),且CA与cB的夹角a∈0，四 02 求m的取值范围， 试卷第5页，共6页 19.己知函数f(x)=x-2Vx-1-4,xe[l,26],g(x)=xx-d+a2. (1)求函数∫(x)的值域： (2)若a<-3,且对任意x,x2∈[-2,2]，都有g(x)-8(x2)≤36，求实数a的取值范围： (3)若aeR,且对任意∈[1,2]，都存在x∈1,26]，使得g(:)=f(x,),求实数a的取值范围 试卷第6页，共6页江苏省如皋中学2025-2026学年度第一学期综合练习（四) 高一数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的， 1.己知向量a=1,2),b=(（-2,x),若a⊥i,则x等于() A.-1 B.1 C.4 D.4 【答案】B 【分析】利用两个垂直向量的数量积为零，再结合向量数量积的坐标运算法则计算即可得出答案 【详解】由a1五，可得ab=0,所以由a-b=1x(-2)+2x=0,解得x=1. 故选：B 【点睛】本题考查了利用两个垂直向量的数量积为零以及向量数量积的坐标运算求参数的问题，属于基础 题 2.下列函数中最小正周期为元，且在区间(0， )上单调递增的是() A.y=sinx B.y=sinx C.V=COSx D.y=cosx 【答案】B 【分析】利用函数的周期排除A,C两项，对于B,D两项，两函数的图象可通过正弦函数与余弦函数的图 象翻折得到，结合图象即可判断 【详解】依题意，对于A,C,两函数的最小正周期都是2π，故A,C均不正确： 对于B,因函数y=Sn可由正弦函数的图象，将x轴下方部分向上翻折得到， 故其最小正周期为正弦函数的周期2π的一半，即T=元，且函数y=s在(0，上单调递增，故B正确： 对于D,因函数y=Cos可由余弦函数的图象，将x轴下方部分向上翻折得到， 故其最小正周期为余弦函数的周期2π的一半，即T=π，且函数y=cos在(0，上单调递减，故D不正 确。 故选：B 3.函数y=2tan 图象的对称中心是() 4 试卷第1页，共21页 (+xezn.（g+ojea 【答案】D 【分析】解方程2x+无(k∈Z),可得结果 42 【详解】因为正切函数y=tanx的对称中心为 由2x+-k(k∈Z)可得x=红-5化eZ), 42 48 因此，函数y=2tam2x+图象的对称中心是-+石，0(k∈Z) 4 84 故选：D cos 4.已知ta1o=-2,则 =() sin(π-a)-sin 3π 2 A. B. 2 C.-2 D.2 3 【答案】C 【分析】利用诱导公式和tana=sinC计算即可. cosa 【详解】己知tana=-2, cos +a 则 （2 3π sin(r-az）-sin 2 -a -sin a sina+cosa -tan a tana+1 -(2) (-2)+1 =-2 故选：C 5.如图，在平行四边形ABCD中，E为线段BC的中点，AB=3,AD=2√2，∠BAD=45°，则AC.A正=() D A.20 B.22 C.24 D.25 试卷第2页，共21页 【答案】B 【分析】用基底表示出目标向量，利用数量积运算可得答案 【详解】由题意可得C-A+AD,A正-丽+B丽-丽+D, 所以AC·A亚=(AB+AD) 2 因为AB=3,AD=2√2，∠BAD=45°，所以AB=9,AD=8,ABAD=6, 所以AC.AE=22 故选：B 6.在直角梯形ABCD中，已知AB/1CD,∠DAB=90°，AB=2AD=2CD=6,点F是BC边靠近B点的三 等分点，点E是CD边上一个动点.则EAEF的取值范围是() D E A.o B.[0,3] c.[1o D 6 1 【答案】D 【分析】如图，以点A为原点，分别以AB,AD所在直线为x,y轴，建立平面直角坐标系，设E(x,3), 则0且团-(-引，酝=6-2.从面得到a-(-子 结合二次函数的性质即可 求解 【详解】如图，以点A为原点，分别以AB,AD所在直线为x,y轴，建立平面直角坐标系， 依题意，有A(0,0),C(3,3),B(6,0),F(5,1), 设E(x,3),则x∈[0,3]，且EA=(-x,-3),EF=(5-x,-2), 厨F-(06-6=-5+6-（月 因xe0创，当x=0时，厨环-6，当x-时，M即- 试卷第3页，共21页 故选：D 7.已知三个函数f(x)=2+x-2,g(x)=x-8,h(x)=log2x+x-2的零点依次为a、b、c,则a+b+c= A.6 B.5 C.4 D.3 【答案】C 【分析】令f(x)=0,得出2=2-x,令h(x)=0,得出log2x=2-x,由于函数y=2与y=log2x的图象 关于直线y=x对称，且直线y=x与直线y=2-x垂直，利用对称性可求出a+c的值，利用代数法求出函数 g(x)=x-8的零点b的值，即可求出a+b+c的值 【详解】令f(x)=0,得出2=2-x,令h(x)=0,得出log2x=2-x, 则函数y=2-x与函数y=2、y=log2x交点的横坐标分别为a、c. 函数y=2与y=Iog2x的图象关于直线y=x对称，且直线y=x与直线y=2-x垂直， 如下图所示： 2 A y=logzx a 6 y=2-x y=x 联立 y=2-x’得=y=1,则点A,1), 由图象可知，直线y=2-x与函数y=2、y=log2x的交点关于点A对称，则a+c=2, 由题意得g(b)=b3-8=0,解得b=2,因此，a+b+c=4. 故选：C 试卷第4页，共21页 【点睛】本题考查函数的零点之和的求解，充分利用同底数的对数函数与指数函数互为反函数这一性质， 结合图象的对称性求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题， 8.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2 是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.如图2，若正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形 ABCDEFGH八条边上的动点，则AP.AB的范围是() D B 图1 图2 A.【22回]B.[22,2 ]c.【2,4+2W]D.【2W2,4+2] 【答案】D 【分析】设巫西夹角为0，分析可得，当0≤0<号c00>0,则aP.A西>0，当0-时P西-0，以A 为原点，AB、AF分别为x,y轴建系，根据正八边形性质，可得各点坐标，分别计算P在线段GF(除F) 上、P在线段GH上运动和P在线段AH(除A)上运动时，亚.AB的表达式，求出其范围，综合考虑即 得答案 【详解】设AP,AE的夹角为日， 当P与A重合时，APAB=0: 当P在线段AB(除A)、线段BC、线段CD,线段DE,线段EF(除F)点上运动时， 2cs8>0,所以A.AB=|Ac0s0>0, 0s6< 当P与F重合时，日=元，所以APAB=Ap.B.c0s8=0, 2 以A为原点，AB、AF分别为x,y轴建立平面直角坐标系， 根据正八边形的性质可知AF-2+(xm军到x2-2+25,G到4的距离为2co于5。 则F0,2+22,G(√2,2+√2，√2N2,A2,9, 直线GF的方程为y=x+2+2√2，直线GH的方程为x=-√2，直线AH的方程为y=-x, 试卷第5页，共21页 E D B X 当P在线段GF(除F)上运动时，设P(x,x+2+2V2)(V2≤x<0), 所以Ap.AB=(xx+2+2W2)(2,0)=2x-22,9, 当P在线段GH上运动时，设P(-√反，t)(N2≤t≤V2+2, 所以ApAB=（-V2,)(2,0)=-22, 当P在线段AH(除A)上运动时，设P(x,-x)V2≤x<0), 所以APAB=(x-)(2,0)=2x∈-2√2,0. P.AB的最小值为-2√2： 由投影向量的定义可知，当P在CD上时，A亚AB取得最大值， 延长DC交AB的延长线于点T, APAB的最大值为AB·AT, 其中正八边形的外角为360°÷8=45°，故AB=BC=2,∠CBT=45°， 故BT=2c0S45°=√2，AT=AB+BT=2+√2， 故AB:AT=22+V2)=4+2W2, 所以亚.AB最大值为4+22 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是（) A.若f(x)的值域为[-2,2]，则f(x-1)的值域为[-3,1] B.函数f(x)=a1-2a>0且a≠1)的图象恒过定点(1，-1) 试卷第6页，共21页 C.函数f(x)=Vx2+16+ V+16的最小值为6 9 D.“<0”是“关于x的方程x2-2x+m=0有一正根和一负根”的充要条件 【答案】BD 【分析】由图象的平移判断A;求函数f(x)=m-2(a>0且a≠1)的图象恒过定点，即可判断B: 利用换元法及对勾函数的性质，求出函数的最小值，即可判断C: 求出方程x2-2x+=0有一正根和一负根时，m的范围，即可判断D. 【详解】解：对于A,因为y=f(x-)的图象是由y=f(x)的图象向右平移1个单位得到的， 又因为f(x)的值域为[-2,2]，所以f(x-1)的值域也为[-2,2]，故A错误： 对于B,因为函数f(x)=m-2a>0且a≠1)图象过定点1，-1)，故B正确： 对于c,令1=V+16≥4，则函数fy)即为y=t+≥4)， 由对勾函数的性质可知y=t+”在[4，+)上单调递增， 所以y24+?尊，雨居数到=F-16+的凝小恤为空做c箭误 Vx2+16 对于D,当关于x的方程x2-2x+m=0有一正根和一负根， 「△=4-4>0 则有 ,解得<0， m<0 所以“<0”是“关于x的方程x2-2x+m=0有一正根和一负根”的充要条件，故D正确. 故选：BD 10.己知向量ā=(3,2)，b=(-1,2),则下列结论正确的是（) A.B5 √525 B.与同向的单位向量为 5’5 C.b在a上的投影向量为 D.若a与a+乃的夹角为锐角，则实数1的取值范围是(-l3,+∞) 【答案】AB 【分析】对于A,利用向量的模的坐标公式计算即得；对于B,利用单位向量的定义计算可判断；对于C, 试卷第7页，共21页 利用向量共线的坐标表示列方程求解判断；对于D,利用两向量夹角为锐角的充要条件列方程组求解可判 断。 【详解】对于A,b√(-1)2+22=√5，故A正确： b 对于B,与共线的单位向量e=± V52W5 同向为 52w5 55 故B正确： 对于c6在a上的极影向为oasa可日6a 3V13213 13’13 故C错误； 对于D,因ā+b=(3,2)+(-1,2)=(3-元，2+2)，则a.(a+b)=33-2)+2(21+2)=1+13, 2+13>0 由a与ā+乃的夹角为锐角，可得： 321+2)≠23)解得元>-13且2≠0，故D错误 故选：AB 1.已知函数f)=sm(@x+@>a4号 的图象如图所示，点A(0,-2),B(a2)在f(x)的图象上， 若AB=5,则下列说法正确的是() 9a.2 (0,-2) A.0= 3 B.f(x)图象关于x=-1对称 C.f(x)在[4,7]上单调递减 D.若将∫(x)图象上每个点的横坐标变为原来的m(m>0)倍得函数8(x),g(x)在(0,2r)上恰有一个最 大值，一个最小值，则m∈ 1,2 4'5 【答案】ABD 【分析】选项A,将点A(0,-2)代入f(x)求出P,由AB=5求出a,由A(0,-2)和B(-3,2),结合图像得 试卷第8页，共21页 T 到4-五结合T= 可，求出：选项B,由对称轴为背xg(ke2),计算得解，选项c, 2π 362 由x47]求出受x石的范用.从面得到在么行-江花围内是减两数，在号-君≤18花 6 6362 - 2366 围内是增函数，故选项C不正确：选项D,将f(x)图象上每个点的横坐标变为原来的π(m>0O)倍求出函 数8(9，由re(0,2m)得到x 一若的范国求业=0时，g(=-2,又8倒的技大位为4最小值为-4， 销合图保得到子品吾冬、计华得解 【详解】选项A,:f(x)=4sin(ax+p),A(0,-2)在f()的图象上， 4np=2.smp=分以号9=君e)46ma副 6) :AB到=5，Va2+16=5,a=3, B(a,2)在y轴左侧，a<0,a=-3,.B(3,2), fx)=4 4sin ox-月的最大值为4，最小值为-4，又A(0,-2),B(-3,2), 6 T -=3=2T=6, 径-6，>0,0子放选项A正确： 选项B.)n合君】对称轴为行-若受+如=2列.2+3ke,当=-1时.对 3-62 称轴为x=-1,故选项B正确； 选项C,w=π， f=n令re小.容导-君1 636-6 .f(x)=4sin 仔君副在名子-名受领国内是减通数，在经骨吾范用内是始面数 (36 2 2366 f)=4m(g- 3 在x4的范围内是威函数，在x范围内是增函数 故选项C不正确： 选项D,f(x)=4sin 引 将f(x)图象上每个点的横坐标变为原来的匹(m>O)倍得函数g(x), ..g(x)=4sin x (3m6}m>0 ea2m.-吾8织8 当t-工=-元时，即x=0时，g()=4sm -1 3m6-6 3m =-2 6 试卷第9页，共21页 1 :g(x)=4sin。二x-二的最大值为4，最小值为-4， (3m6 3π2ππ5π. 2 23m62’ 4<行，故选项D正确 4 故选：ABD 三、填空题：本题3小题，每小题5分，共15分 2.已知0为锐角，且cos0,则tam(元+0)月 【答案】5 【分析】根据sin20+cos2g=1,且0为锐角，推出sin0=个-cos日，根据tan0=s加日 即可求解 【详解】因为8锐角，且cos日名所以sm0=1-cos0=三1-号5 5 故tan(π+6)=tane=sin-3-√5 c0s022 3 故答案为： 5 2 13.如图，已知OA=1,0冠=2,0C=43,∠A0C=30,∠B0C=90°，如果0C=0A+u0B,则 22+4=】 A 【答案】18 【分析】过点C作向量OA,OB的平行线与它们的延长线分别交于D,E两点，得到四边形ODCE平行四边形， 结合平面向量的基本定理，即可求解。 【详解】如图所示，过点C作向量OA,OB的平行线与它们的延长线分别交于D,E两点， 所以四边形ODCE平行四边形，则OC=OD+OE, 因为向量OC与0A和OB的夹角分别为30°和90°， 即∠B0C=90°，∠AOC=30°，则∠OCD=90°，∠OCE=30°， 试卷第10页，共21页