精品解析：广东深圳外国语学校宝安学校2026-2027学年九年级上学期10月数学学情自测

2026-2027学年九年级上10月核心素养反馈 一．选择题（共8小题） 1. “明月团团高树影”出自宋代辛弃疾的《清平乐 ·谢叔良惠木犀》，释义为：团团明月投下了桂树的身影．在下列四幅图中，表示两棵桂树在同一时刻月光下影子图形的可能是（ ） A. B. C. D. 2. 关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 3. 如图1是一款热销花架，其侧面示意图如图2所示，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将矩形放置在刻度尺上，顶点，对应的刻度（单位：）分别为 和，则的长为（ ）． A. B. C. D. 5. 大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比（黄金分割比约为0.618）．如图，点为的黄金分割点（），若cm，则约为（ ） A. 42cm B. 38cm C. 62cm D. 70cm 6. 如图，与是位似图形，点是位似中心，，若，则的值为（ ） A. 3 B. 4.5 C. 5 D. 12.5 7. 校园科技节期间，为展示同学们的优秀作品，学校决定在某围墙旁布置一块面积为的长方形作品展示区．若长方形场地的一边靠墙（墙足够长），另外三边由总长为的篱笆围成，并且在平行于墙的边上设置一个开口宽为的进出门（如图），设长方形垂直于墙的边长为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形的对角线相交于点O，点E在上，连接，点F为的中点，连接，若，，，则线段的长为（ ） A. 3 B. C. D. 5 二．填空题（共5小题） 9. 已知，则的值为______． 10. 如图，小明想利用影子测量路灯的高度，已知小明的身高为，在路灯下的影子长度为，此时小明距离路灯底部的距离为，则路灯的高度为_____． 11. 已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为______． 12. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点C作，交于点E，连接，若，则的长为___． 13. 如图，在四边形中，连接、，，，，，则的值为_____． 三．解答题（共7小题） 14. 解方程： （1）； （2）． 15. 小颖在解方程时出现了错误，解答过程如下所示： 解方程： 解：，…① ，…② ，…③ ，…④ ，…⑤ ，…⑥ （1）小颖的解答过程从第______步开始出错，其错误的原因是______； （2）请你写出此题正确的解题过程． 16. 已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为，． （1）以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，画出放大后的图形； （2）直接写出点的坐标；若点在线段上，点D对应点的坐标为 ． 17. 某水果批发商销售一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少10千克． （1）若该水果每千克涨价2元，则每千克盈利为______元，日销量为______千克，每天售出水果的利润为______元； （2）如果该水果批发商要保证每天盈利8000元，同时又让顾客得到实惠，那么该水果每千克应涨价多少元？ 18. 如图，已知四边形是平行四边形． （1）实践与操作：利用尺规作对角线的垂直平分线，分别交、于点E、F；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）证明与计算：在（1）的条件下，连接，，并解决下列问题： ①求证：四边形为菱形； ②若，，，求菱形的边长． 19. 如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程” （1）通过计算，判断是否是“倍根方程”． （2）已知关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值． （3）若关于的一元二次方程（、是常数）是“倍根方程”，且两根之和为6，请求出、的值． 20. 【定义】若平行四边形的一条内角平分线平分它的一条边，则该平行四边形称为“角分平行四边形”，该角平分线称为“角分线”．例如：如图1，在中，的角平分线交于点，若为边的中点，则称是“角分平行四边形”，是“角分线”． 【性质】（1）如图，从定义上我们可以得到“角分平行四边形”具有“平行四边形，平分，”的基本性质，除此之外，还有其它性质吗？请写出其中一条性质，并说明理由． 【判定】（2）如图，在中，．求证：四边形是“角分平行四边形”． 【应用】（3）现计划在如图所示的“角分平行四边形”绿地上进行景观美化，其中小路是它的“角分线”，另一条小路与边交于点，且，在和区域种植同品种的花卉，若区域的花卉种植费用为元，求区域的花卉种植费用（用含有的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上10月核心素养反馈 一．选择题（共8小题） 1. “明月团团高树影”出自宋代辛弃疾的《清平乐 ·谢叔良惠木犀》，释义为：团团明月投下了桂树的身影．在下列四幅图中，表示两棵桂树在同一时刻月光下影子图形的可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行投影，根据平行投影的特点解答即可，熟练掌握平行投影的特点是解此题的关键． 【详解】解：A．影子的方向不同，故本选项错误，不符合题意； B．影子的方向不同，故本选项错误，不符合题意； C．相同树高与影子是成正比的，而较高的树的影子长度小于较低的树的影子，故本选项错误，不符合题意； D．影子平行，且较高的树的影子长度大于较低的树的影子，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 2. 关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入一元二次方程可得k的值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， 即， ∴， 故选：A． 3. 如图1是一款热销花架，其侧面示意图如图2所示，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行线分线段成比例定理可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴． 4. 如图，将矩形放置在刻度尺上，顶点，对应的刻度（单位：）分别为 和，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的对角线相等，可得，先由刻度尺求出线段的长度，即可得到的长． 【详解】解： 四边形是矩形， ， 由题意，顶点对应刻度，顶点对应刻度， ， ． 5. 大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比（黄金分割比约为0.618）．如图，点为的黄金分割点（），若cm，则约为（ ） A. 42cm B. 38cm C. 62cm D. 70cm 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查黄金分割．根据黄金分割点的定义，列出比例式进行求解即可．熟练掌握黄金分割中的比例关系，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：，cm， ∴， ∴； 故选B． 6. 如图，与是位似图形，点是位似中心，，若，则的值为（ ） A. 3 B. 4.5 C. 5 D. 12.5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．先证明，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：与是位似图形，点O是位似中心， ， ∵， ∴， ， ， ． 故选：D． 7. 校园科技节期间，为展示同学们的优秀作品，学校决定在某围墙旁布置一块面积为的长方形作品展示区．若长方形场地的一边靠墙（墙足够长），另外三边由总长为的篱笆围成，并且在平行于墙的边上设置一个开口宽为的进出门（如图），设长方形垂直于墙的边长为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设长方形垂直于墙的边长为，则平行于墙的边长为，即， 则由题意得：， 故选：A． 8. 如图，菱形的对角线相交于点O，点E在上，连接，点F为的中点，连接，若，，，则线段的长为（ ） A. 3 B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由菱形的性质得到，根据勾股定理求出的长，则可求出的长，再利用勾股定理求出的长，最后由三角形中位线定理可得答案． 【详解】解：∵菱形的对角线相交于点O， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵，点F为的中点， ∴为的中位线， ∴． 二．填空题（共5小题） 9. 已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知比例设参数，代入所求代数式化简即可得到结果． 【详解】解： 设，，其中 将，代入得：． 10. 如图，小明想利用影子测量路灯的高度，已知小明的身高为，在路灯下的影子长度为，此时小明距离路灯底部的距离为，则路灯的高度为_____． 【答案】4.8 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，先证明三角形相似，再根据相似三角形的性质得到答案即可． 【详解】解：如图，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为：4.8． 11. 已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，代入待求式子计算即可得到结果． 【详解】解：∵ 、是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴． 12. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点C作，交于点E，连接，若，则的长为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理等知识，由菱形的性质得，进而由直角三角形斜边上的中线性质得，则，再由勾股定理得，然后由菱形面积求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在四边形中，连接、，，，，，则的值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】过点作交的延长线于点，过点作于点，构造∽，再利用等腰三角形及勾股定理求得的长，最后利用相似三角形的性质列比例关系求出的值. 【详解】解：过点作交的延长线于点，过点作于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴∽， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴. 故答案为：. 【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定，等腰三角形的性质，勾股定理等，关键是通过辅助线构造相似三角形. 三．解答题（共7小题） 14. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 15. 小颖在解方程时出现了错误，解答过程如下所示： 解方程： 解：，…① ，…② ，…③ ，…④ ，…⑤ ，…⑥ （1）小颖的解答过程从第______步开始出错，其错误的原因是______； （2）请你写出此题正确的解题过程． 【答案】（1）②；等式右边没有除以2； （2） 或 ∴，． 【解析】 【分析】（1）根据等式的性质判断即可； （2）直接利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：小颖的解答过程从第②步开始出错，其错误的原因是等式右边没有除以2； 【小问2详解】 略 16. 已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为，． （1）以原点O为位似中心，位似比为，在y轴的左侧，画出放大后的图形； （2）直接写出点的坐标；若点在线段上，点D对应点的坐标为 ． 【答案】（1） 如图所示： （2）， 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，正确掌握位似比与坐标的关系是解题的关键． （1）根据位似图形的性质得出、，再顺次连接即可； （2）利用（1）中位似比得出对应点坐标关系即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可得：， 点在线段上，点D对应点的坐标为． 17. 某水果批发商销售一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少10千克． （1）若该水果每千克涨价2元，则每千克盈利为______元，日销量为______千克，每天售出水果的利润为______元； （2）如果该水果批发商要保证每天盈利8000元，同时又让顾客得到实惠，那么该水果每千克应涨价多少元？ 【答案】（1）12；480；5760 （2）该水果每千克应涨价10元 【解析】 【分析】（1）根据题意列式求解即可； （2）根据每天的盈利每千克的盈利销售量建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，若该水果每千克涨价2元，则每千克盈利为元，日销量为千克，每天售出水果的利润为元； 【小问2详解】 解：设该水果每千克应涨价x元， 由题意得，， 整理得， 解得或， ∵要让顾客得到实惠， ∴， 答：该水果每千克应涨价10元． 18. 如图，已知四边形是平行四边形． （1）实践与操作：利用尺规作对角线的垂直平分线，分别交、于点E、F；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）证明与计算：在（1）的条件下，连接，，并解决下列问题： ①求证：四边形为菱形； ②若，，，求菱形的边长． 【答案】（1）解：如图，直线即为所求： （2）①证明：如图，设与相交于点O， ∵是的垂直平分线， ∴，，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； ② 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图步骤作图即可； （2）①设与相交于点O，先根据垂直平分线的性质得到，，，再证明得到，进而有，然后利用菱形的判定可证得结论； ②过A作交延长线于H，由已知和含30度角的直角三角形的性质求得，，进而可得，设，在中，由勾股定理列方程求得x值即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略； ②如图，过A作交延长线于H，则， ∵， ∴，又， ∴，， ∵， ∴ 设，则， 在中，由勾股定理得， 则，解得， 故，即菱形的边长为． 19. 如果关于的一元二次方程（）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程” （1）通过计算，判断是否是“倍根方程”． （2）已知关于的一元二次方程是“倍根方程”，求的值． （3）若关于的一元二次方程（、是常数）是“倍根方程”，且两根之和为6，请求出、的值． 【答案】（1）是 （2）0或3 （3）6，4 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解方程得到两根，然后根据“倍根方程”新定义进行判断； （2）先利用因式分解法解方程，设方程的两根分别为，，根据“倍根方程”的根的两倍关系列方程，再计算对应的的值； （3）设方程的两根分别为，，再根据根与系数的关系即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得，， ， ∴方程是“倍根方程”． 【小问2详解】 解：， ∴， ，． 若，则，解得； 若，则，解得； 或． 【小问3详解】 解：设两根为、， 则， 解得， ∴， ∴方程的两根为2和4． 由根与系数的关系知，， 解得． 20. 【定义】若平行四边形的一条内角平分线平分它的一条边，则该平行四边形称为“角分平行四边形”，该角平分线称为“角分线”．例如：如图1，在中，的角平分线交于点，若为边的中点，则称是“角分平行四边形”，是“角分线”． 【性质】（1）如图，从定义上我们可以得到“角分平行四边形”具有“平行四边形，平分，”的基本性质，除此之外，还有其它性质吗？请写出其中一条性质，并说明理由． 【判定】（2）如图，在中，．求证：四边形是“角分平行四边形”． 【应用】（3）现计划在如图所示的“角分平行四边形”绿地上进行景观美化，其中小路是它的“角分线”，另一条小路与边交于点，且，在和区域种植同品种的花卉，若区域的花卉种植费用为元，求区域的花卉种植费用（用含有的式子表示）． 【答案】（1）由“角分平行四边形”定义推导出来的性质， 例如：； ， ， ， 平分， ， ；（或）； ， ， ， 平分， ， ； （或）， ， ，， ， 平分， ， ， ， ； 连接DE，则， ， ，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：作的平分线交于点， 则， ， ，， ， ， ， ，即， 四边形是“角分平行四边形”； （3）元 【解析】 【分析】本题考查了新定义，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据“角分平行四边形”定义及角平分线定义，平行四边形的性质即可求解； （）作的平分线交于点，由，得，，最后通过“角分平行四边形”即可求证； （）延长交延长线于点，连接，由角分平行四边形，是角分线，得，，，证明，故有，又，证明，则，设，则，然后代入求解即可． 【详解】解：（）略 （）略 （）延长交延长线于点，连接， 角分平行四边形，是角分线， ，，， ， ， ， 又， ， ， ， ， 设，则， ， ，即， ∵区域的花卉种植费用为元， ∴区域的花卉种植费用元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $