精品解析：福建三明市宁化县2026-2027学年九年级上学期第一次阶段质量检测数学试题

2026-2027学年上学期第一次阶段质量检测试卷 九年级数学 （试卷总分：150分　　完卷时间：120分钟） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 3 B. C. 2 D. 2. 将一元二次方程配方后，可化为（ ） A. B. C. D. 3. 下列属于矩形、菱形、正方形共有的性质的是（ ） A. 四条边相等 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 4. 根据表格中的信息，判断关于x的方程的一个解x的范围是（ ） x 3.24 3.25 3.26 0.03 A. B. C. D. 5. 在菱形中，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若方程的两个实数根为，，且，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图，在四边形中，E、F、G、H分别是边、、、的中点．请你添加一个条件，使四边形为矩形，应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 8. 四边形是菱形，对角线，相交于点，且，，则菱形的面积为（ ） A. B. C. 4 D. 8 9. 张林和李冬在解一道一元二次方程时，张林看错了常数项，因而得到方程的两个根为6和1，李冬看错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为和，则原来的方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，四边形和四边形都是正方形，连接，，．若点是线段上的一点，且，，则（ ） A. 5 B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 已知是方程的根，则____________ 12. 一元二次方程的解为_________． 13. 如图，矩形的对角线和相交于点，直线经过点，交于点，于点，若，，则阴影部分的面积为______． 14. 如图所示，在宽为，长为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条路（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为，设道路的宽为，则可列方程为_______． 15. 八角碗（碗口为正八边形）承载八方纳福的吉祥寓意，是我国古代制瓷工艺与民俗审美结合的实物见证．现有一只碗口边长为的八角碗，俯视图如图所示．若该碗能平放进底面为正方形的长方体硬纸盒（碗口与硬纸盒底面均水平），则硬纸盒底面的边长至少为______． 16. 关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值也等于，则称为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于的代数式，当时，代数式的值等于0；当时，代数式的值等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”．若关于的代数式有两个不动值，且两个不动值的差为整数，则正整数的值为_____． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程 （1）； （2）． 18. 如图，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的一点，且BE=DF． 求证：AE=AF． 19. 已知是方程的一个根，求方程的另一个根及的值． 20. 如图，在中，，是中点，连接分别过点，点作，，交点为． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 21. 已知关于的方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根大于2，求的取值范围． 22. 如图，已知矩形，点为边的中点，连接． （1）尺规作图：在上求作一点，使点关于直线的对称点恰好在线段上（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）若，，求的长． 23. 如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形． 已知，点为正方形的对角线交点，正八边形内嵌于正方形，点，分别在，上，且过点． （1）请你在图（1）中补全正八边形（画图工具不限）； （2）若改变正八边形的大小和位置，使得正八边形的所有顶点都恰好落在正方形边上，如图（2）所示，若此时，求的长． 24. 我们把根均为整数的一元二次方程称为“全整根方程”．对于“全整根方程”，设其两根为，，定义有序数对为该方程的特征数对（其中，）．若两个“全整根方程”的特征数对分别为，，，则称这两个方程互为“关联全整根方程”． 例如：方程①：，特征数对； 方程②：，特征数对； 因为，因此这两个方程是互为“关联全整根方程”． 根据以上信息，解答下列问题： （1）已知关于的方程，请求出这个方程的特征数对； （2）已知关于的方程（为整数）是“全整根方程”．若其特征数对为，求和的值； （3）现有“全整根方程”：与“全整根方程”：，且它们互为“关联全整根方程”，求一个满足条件的的值． 25. 已知点为矩形的对角线交点，，射线交于点，射线交于点． （1）如图1，若，连接，求证：； （2）如图2，若，连接． ①证明：； ②若，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上学期第一次阶段质量检测试卷 九年级数学 （试卷总分：150分　　完卷时间：120分钟） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，由题意得一次项系数是． 【详解】解：∵方程为一般形式， ∴一次项系数是， 故选：B 2. 将一元二次方程配方后，可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上，然后把方程左边写成完全平方形式即可． 【详解】解： ， 故选：A． 3. 下列属于矩形、菱形、正方形共有的性质的是（ ） A. 四条边相等 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形、菱形、正方形的性质求解即可． 【详解】解：矩形，菱形，正方形都具有的性质：对角线互相平分． 四条边相等是菱形、正方形共有的性质，对角线相等是矩形和正方形共有的性质， 对角线互相垂直是菱形、正方形共有的性质． 4. 根据表格中的信息，判断关于x的方程的一个解x的范围是（ ） x 3.24 3.25 3.26 0.03 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．利用表中数据得到和时，代数式的值一个等于，一个等于，从而可判断当时，． 【详解】解：当时，， 当时，， 所以方程的一个解x的范围是． 故选：A． 5. 在菱形中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，运用知识准确计算是解决问题的关键． 利用菱形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得答案． 【详解】解：在菱形中，， ， ， 故选：B． 6. 若方程的两个实数根为，，且，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，结合已知等式列方程求解． 【详解】解：由根与系数的关系，得，， ， ， 当时，， 方程有2个相等的实数根，满足题意． 7. 如图，在四边形中，E、F、G、H分别是边、、、的中点．请你添加一个条件，使四边形为矩形，应添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用三角形中位线定理证明四边形为平行四边形，然后添加每个选项的条件，根据矩形的判定定理判定即可． 【详解】解：应添加的条件是，理由为： 证明：、、、分别为、、、的中点， ，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， A、添加的条件是时，四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； B、添加的条件是，则，所以四边形为矩形，故此选项符合题意； C、添加的条件是，四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； D、添加的条件是， 、、、分别为、、、的中点，且，，，，， ， 则四边形为菱形，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了中点四边形，以及平行四边形、矩形、菱形的判定，三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解本题的关键． 8. 四边形是菱形，对角线，相交于点，且，，则菱形的面积为（ ） A. B. C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】由菱形的性质和直角三角形的性质，得到CD=2，然后求出OC和AC的长度，即可求出菱形的面积． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴AC⊥BD，OD=，AC=2OC， 在Rt△OCD中，有OD=1，， ∴CD=2， ∴， ∴AC=， ∴菱形的面积为：； 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，30度直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学的性质定理，正确求出AC的长度． 9. 张林和李冬在解一道一元二次方程时，张林看错了常数项，因而得到方程的两个根为6和1，李冬看错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为和，则原来的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，根据张林及李冬的计算结果，可求出b，c的值（的情况下），进而可找出原方程为． 【详解】解：∵张林看错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1， ∴两根之和， ∴当时，； ∵李冬看错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为和， ∴两根之积， ∴当时，， ∴正确的方程是． 故选：A． 10. 如图，四边形和四边形都是正方形，连接，，．若点是线段上的一点，且，，则（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据正方形的性质得，，，整理得，得，则，运用勾股定理算出，根据等面积法进行列式计算得，再证明四边形是矩形，得，运用勾股定理接可得出． 【详解】解：∵四边形和四边形都是正方形，， ∴，，，， 则，， 即， ∴， ∴，， ∵，且， ∴， 即， 过点G作，过点G作，如图所示： ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 已知是方程的根，则____________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入方程得出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：把代入得， 解得， 故答案为：． 12. 一元二次方程的解为_________． 【答案】， 【解析】 【分析】提取公因式后将原方程转化为两个一元一次方程，即可求解． 【详解】解：， 因式分解得：， 可得或， 解得：，． 13. 如图，矩形的对角线和相交于点，直线经过点，交于点，于点，若，，则阴影部分的面积为______． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质．证明，求得，据此求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 故答案为：15． 14. 如图所示，在宽为，长为的矩形耕地上，修筑同样宽的三条路（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为，设道路的宽为，则可列方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】设道路宽为，根据试验田的面积为，列方程即可． 【详解】解：设道路宽为，由题意可得，． 15. 八角碗（碗口为正八边形）承载八方纳福的吉祥寓意，是我国古代制瓷工艺与民俗审美结合的实物见证．现有一只碗口边长为的八角碗，俯视图如图所示．若该碗能平放进底面为正方形的长方体硬纸盒（碗口与硬纸盒底面均水平），则硬纸盒底面的边长至少为______． 【答案】 【解析】 【分析】八角碗可以看成是由正方形分别在四个角上截去全等的等腰直角三角形构成的正八边形，由题意在等腰直角三角形中求出，进而表示正方形边长即可． 【详解】解：如图，八角碗可以看成是由正方形分别在四个角上截去全等的等腰直角三角形构成的正八边形，同时，等腰直角三角形的斜边长等于正八边形的边长， ∴， 设， ∴，即， 解得， ∴正方形边长为， ∵要将八角碗放进底面为正方形的长方体硬纸盒， ∴硬纸盒底面的边长至少为． 16. 关于的代数式，若存在实数，使得当时，代数式的值也等于，则称为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于的代数式，当时，代数式的值等于0；当时，代数式的值等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”．若关于的代数式有两个不动值，且两个不动值的差为整数，则正整数的值为_____． 【答案】1，2 【解析】 【分析】根据题意得出，整理得，设方程的两个根为s，t，根据根与系数的关系可得出，，表示出两个不动值的差的平方，根据整数，a为正整数求得合适的a的值即可． 【详解】解：， 整理得：， 设方程的两个根为s，t， 则，， ∴， ∵为整数， ∴为整数， ∴或． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接用因式分解法解方程即可； （2）先移项，再用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， ． 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴或， ． 18. 如图，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的一点，且BE=DF． 求证：AE=AF． 【答案】 ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD，∠B=∠D． 又∵BE=DF， ∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴AE=AF． 【解析】 【分析】根据菱形的性质得出AB=AD，∠B=∠D，然后证明△ABE和△ADF全等，从而得出答案． 【详解】略 点睛：证明线段相等的问题，最常用的方法是证明三角形全等．本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 19. 已知是方程的一个根，求方程的另一个根及的值． 【答案】，方程的另一个根为 【解析】 【分析】把代入，求出，进而得出方程，再利用因式分解法解方程即可求出方程的另一个根． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 解得：， 则方程为， ， 或， ，， 则方程的另一个根为． 20. 如图，在中，，是中点，连接分别过点，点作，，交点为． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：，， 四边形是平行四边形， 在中，，是中点， ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得，即可得出结论； （2）过点作于点，解直角三角形求出 结果即可； 本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明四边形为菱形是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作于点，则，如图： ， ， ， 在中，， 根据勾股定理可得，， 在中，，，，， ， 是的中点， ， ． 21. 已知关于的方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根大于2，求的取值范围． 【答案】（1）证明：∵， ∴方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式解答即可； （2）先求解方程的两根，结合一根大于2的条件列不等式求a的范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得：， ∵方程有一个根大于2， ∴， 解得：． 22. 如图，已知矩形，点为边的中点，连接． （1）尺规作图：在上求作一点，使点关于直线的对称点恰好在线段上（保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）若，，求的长． 【答案】（1）解：如图：点即为所求． 理由：如图，连接交于点， 由作图过程知：平分，， ∴，点为的中点， ∴， ∴点与点关于直线对称，且点在线段上， 即点即为所求． （2） 【解析】 【分析】（1）作出的角平分线交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点，则点即为所求； （2）连接、，根据勾股定理求出，证明，即可得出的长度，设，则，根据列出方程求解即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：如图，连接、， ∵在矩形中，点为边的中点，，， ∴，，，， ∴， 由作图知：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 设，则， ∴， 解得：， 即的长为． 23. 如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形． 已知，点为正方形的对角线交点，正八边形内嵌于正方形，点，分别在，上，且过点． （1）请你在图（1）中补全正八边形（画图工具不限）； （2）若改变正八边形的大小和位置，使得正八边形的所有顶点都恰好落在正方形边上，如图（2）所示，若此时，求的长． 【答案】（1）所求图形如下： （2） 【解析】 【分析】（1）根据正八边形的性质即可求解； （2）连接，得到等腰直角三角形，求出即可求出，根据正八边形的性质，可得，从而求出，再根据，可以求出，最后即可求出，进而求出． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：连接， 是正方形对角线的交点 在正八边形中，， 同理 ． 24. 我们把根均为整数的一元二次方程称为“全整根方程”．对于“全整根方程”，设其两根为，，定义有序数对为该方程的特征数对（其中，）．若两个“全整根方程”的特征数对分别为，，，则称这两个方程互为“关联全整根方程”． 例如：方程①：，特征数对； 方程②：，特征数对； 因为，因此这两个方程是互为“关联全整根方程”． 根据以上信息，解答下列问题： （1）已知关于的方程，请求出这个方程的特征数对； （2）已知关于的方程（为整数）是“全整根方程”．若其特征数对为，求和的值； （3）现有“全整根方程”：与“全整根方程”：，且它们互为“关联全整根方程”，求一个满足条件的的值． 【答案】（1） （2），或． （3）或10 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法求出，，根据特征数对的定义求解即可． （2）设方程的两个根分别为和，根据根与系数的关系得出，，再根据“全整根方程”的定义得出，，先求出k的值，即可求出对应的m的值． （3）根据特征数对的定义求出，，，，再根据“关联全整根方程”的定义得出，再根据二元一次方程的解结合即可求出n的值． 【小问1详解】 解： ， 或， 解得，， ∴，， ∴． 【小问2详解】 解：设方程的两个根分别为和， ∴，， ∵关于的方程（为整数）是“全整根方程”．若其特征数对为， ∴，， ∴，， ∴当时，则， 当时，则． 【小问3详解】 解：，即， 解得，， ∴，， 设方程的特征数对为， ∵方程A：， ∴，， ∵ ∴，， 由关联方程的定义得：， ∴， 即， 取，方程有整数根，． 取，，方程有整数根，． 25. 已知点为矩形的对角线交点，，射线交于点，射线交于点． （1）如图1，若，连接，求证：； （2）如图2，若，连接． ①证明：； ②若，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵点为矩形的对角线交点，， ∴矩形为正方形， ∴，，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）①证明：如图，延长交于点，连接， ∵点为矩形的对角线交点，， ∴，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴垂直平分， ∴， 在中，， ∴； ② 【解析】 【分析】（1）证明矩形为正方形得，，，继而推出，再根据即可得证； （2）①如图，延长交于点，连接，根据矩形的性质得，，，证明得，，推出垂直平分，得，再根据勾股定理即可得证； ②根据矩形的性质及已知得，，，根据勾股定理及①的结论推出，代入数据列出方程即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 ①略． ②解：∵在矩形中，，，， ∴，，， ∴， 由①知：， ∴， 即， 解得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $