精品解析：河北石家庄市第二十一中学、第二十二中学2026-2027学年高一上学期十月数学测评试题

高一数学测评 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至第二章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. “，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. 【答案】C 【解析】 【详解】命题“，”是存在量词命题，故其否定为“，”. 2. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可得， 所以. 3. “”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】整理可得，解得或， 由“”是“或”的充分不必要条件， 故“”是“”的充分不必要条件. 4. 已知集合，，若，则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 10 【答案】D 【解析】 【详解】，解得或或， 若，则， 当时，； 当时，； 当时，， 所以的最大值为10. 5. 已知命题：若，则，：所有的素数都不能被2整除，下列结论正确的是（ ） A. ，都是真命题 B. ，都是假命题 C. 是真命题，是假命题 D. 是假命题，是真命题 【答案】C 【解析】 【分析】根据命题的真假判断即可. 【详解】命题：因为， 所以要使，只能， 故命题正确. 命题：因为是素数且能被整除，故命题错误. 所以C项正确. 6. 已知，，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于选项A，由题可知，所以，选项A正确； 对于选项B，因为，所以，因为，所以，选项B正确； 对于选项C，由题可知，所以，选项C正确； 对于选项D，由，无法判断大小关系，所以选项D错误. 7. 已知正数，满足，则的最小值为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为正数，满足， 所以. 所以，当且仅当时取等号， 所以当时，有最小值. 8. 若至少存在一个，使得成立，则实数的取值集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，， 故实数的取值集合是 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【详解】对A：若，则，故A错误； 对B：若，则，故B正确； 对C：若，则，故C正确； 对D：若，此时，故D错误. 10. 若关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由二次不等式解集确定二次函数开口方向及对应方程的两根，利用韦达定理将用表示，逐项代入判断，注意由确定各表达式的符号. 【详解】由不等式的解集为，结合二次函数与不等式的关系可得 ； 且方程的两根为和， 由韦达定理：，即，，即， 对于A：，所以A正确； 对于B：，因为，所以，所以B错误； 对于C：，因为，所以，所以C正确； 对于D：，所以D正确. 11. 设是非空实数集，若对任意，，都有，，，则称为封闭集，下列结论正确的是（ ） A. 整数集是封闭集 B. 集合是封闭集 C. 若是封闭集，则中一定含有元素0 D. 若集合，都是封闭集，则是封闭集 【答案】AC 【解析】 【详解】任意两个整数作加法、减法、乘法运算结果仍然为整数，故整数集是封闭集， 故A正确； 集合是由所有奇数构成的集合， 由于任意两个奇数的和为偶数，所以集合不是封闭集，故B错误； 若是封闭集，则取集合中任意一个元素使其与自身作减法即得， 故中一定含有元素0，故C正确； 取，， 由于集合，都是封闭集，但是对加法、减法、乘法均不封闭，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，，则____． 【答案】 【解析】 【分析】根据交集的性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以. 13. 已知是关于的方程的解，则________． 【答案】100 【解析】 【详解】将代入方程，得，故， 因此. 14. 已知，，则的最小值为____． 【答案】8 【解析】 【分析】先将前两项用基本不等式放缩为，再对用基本不等式求出最小值，关键验证两次取等条件和能够同时满足，从而确定最小值可以取到. 【详解】由，所以，当且仅当，即时取等号； 所以 因为，当且仅当，即时取等号， 当时，上述两个不等式同时取等号，此时原式取得最小值 所以的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求的取值集合； （2）若中只有一个元素，求的取值集合； （3）若，且，求的取值集合． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据的条件，对参数进行分类讨论，根据一元二次方程判别式的性质，列出不等式，求出结果； （2）根据中只有一个元素的条件，对参数进行分类讨论，根据一元二次方程判别式的性质，列出方程，求出结果； （3）根据条件，求出集合的元素，根据对集合进行分类讨论，列出方程，求出参数值. 【小问1详解】 当时，不符合条件， 当时，若，可得无解，即，解得， 所以的取值集合为. 【小问2详解】 当时，符合条件， 当时，若中只有一个元素，可得只有一个解，即，解得， 所以的取值集合为. 【小问3详解】 当时，， 当时，即时，符合条件， 当时，即，解得，符合条件， 当时，即，解得，符合条件， 所以的取值集合为. 16. （1）设，为实数，比较与的大小． （2）已知正数，满足，证明： ①； ②． 【答案】（1） （2）证明：①正数满足，则，当且仅当时取等号， 所以. ②正数满足，则，当且仅当时取等号， 所以. 【解析】 【分析】（1）利用作差法比较大小. （2）①②，利用基本不等式推理得证. 【详解】（1）由为实数，得， 当且仅当时取等号，所以. （2）略 17. 如图，这是某水利工程矩形导流槽截面，米，米，点，，，分别在线段，，，上（不包含端点），，，，均在线段上，要在矩形上铺设净水滤网，在矩形上铺设泥沙过滤网，设米，铺设净水滤网和泥沙过滤网的区域总面积为平方米． （1）求关于的表达式； （2）若净水滤网最多能铺满60平方米，而净水滤网和泥沙过滤网要铺的区域总面积不小于80平方米，求长度（单位：米）的取值范围． 【答案】（1） （2）或（单位：米） 【解析】 【分析】（1）求出、，利用矩形的面积公式可得出关于的二次函数关系式； （2）根据题意列出关于的不等式组，解出的取值范围，再利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【小问1详解】 易知矩形与矩形全等， ，所以，， ，所以，， 又因为， 所以， 所以， 则. 【小问2详解】 由（1）可知，，解得， 因为净水滤网最多能铺满60平方米，而净水滤网和泥沙过滤网要铺的区域总面积不小于80平方米， 则，整理可得，解得或， 因为， 当时，；当时，. 所以，或（单位：米）. 18. （1）若关于的不等式的负整数解恰有两个，且，证明：． （2）已知，求关于的不等式的解集． 【答案】（1）由，解得：， 因为，所以， 因为关于的不等式的负整数解恰有两个， 则负整数解为：，所以，解得； （2）当或时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）利用绝对值不等式的解法求解即可； （2）分五种情况讨论不等式即可求解. 【详解】（1）略 （2）由可得， 令，解得：，， 当，即时，不等式为，此时不等式的解集为； 当时，，此时不等式的解集为或； 当时，，此时不等式的解集为； 当时，，此时不等式的解集为； 当时，，此时不等式的解集为. 综上所述，当或时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 19. 已知非空数集，定义集合的“差值集”为． （1）若集合，求，并求出的所有子集的个数． （2）若集合，，且有且仅有5个元素，证明：． （3）若集合，且集合有（且）个元素，记中元素的个数为，求的最值（用含的式子表示）． 【答案】（1），128 （2）证明：对于集合， 枚举所有的差值：．共7个差值， 将它们从小到大排列，可知最小，最大，0在正中间，，夹在和0之间，夹在0和之间， 因为有且仅有5个元素，所以上述7个差值必有2个差值与另外5个差值中的2个相同，按照上面从小到大的排列规律，所以且，故． （3），． 【解析】 【分析】（1）先列举集合中所有元素两两作差，再利用集合元素的互异性剔除重复差值，得到差值集，最后根据集合元素个数，利用子集个数公式求出结果； （2）先写出三元集合所有两两差值，结合大小关系判断差值原本最多有7个；题目仅有5个元素，说明存在差值重复，通过分析相反数结构，唯一能产生重复的条件是相邻差值相等，由此推出三个元素成等差数列，证得结论； （3）先有序排列集合整数元素，求最大值时，让所有差值尽可能互不重复，统计最多不同差值个数；求最小值时，利用等差数列差值种类最少的规律，统计最少不同差值个数，最终得到差值集元素个数的最值范围. 【小问1详解】 ∵ ∴， ∴该集合共有7个元素，子集个数为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设． 当集合中的元素从小到大排列后，从第二项开始，后一项与它的前一项之差为非0的定值时， 根据“差值集”的定义，此时不同的差值最少， 所有差值分别为， 此时中元素的个数最小，即． 当集合中的元素从小到大排列后，任意两个不同元素的差值均不相等时，不同差值的个数最多， 总共有组，其中的差值恒为0（只能算一个元素）， 剩余个非零差值两两成对且互为相反数，它们无重复时元素最多， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学测评 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至第二章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. “，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. 2. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知集合，，若，则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 10 5. 已知命题：若，则，：所有的素数都不能被2整除，下列结论正确的是（ ） A. ，都是真命题 B. ，都是假命题 C. 是真命题，是假命题 D. 是假命题，是真命题 6. 已知，，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知正数，满足，则的最小值为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 8. 若至少存在一个，使得成立，则实数的取值集合是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 若关于的不等式的解集为，则（ ） A. B. C. D. 11. 设是非空实数集，若对任意，，都有，，，则称为封闭集，下列结论正确的是（ ） A. 整数集是封闭集 B. 集合是封闭集 C. 若是封闭集，则中一定含有元素0 D. 若集合，都是封闭集，则是封闭集 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，，，则____． 13. 已知是关于的方程的解，则________． 14. 已知，，则的最小值为____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求的取值集合； （2）若中只有一个元素，求的取值集合； （3）若，且，求的取值集合． 16. （1）设，为实数，比较与的大小． （2）已知正数，满足，证明： ①； ②． 17. 如图，这是某水利工程矩形导流槽截面，米，米，点，，，分别在线段，，，上（不包含端点），，，，均在线段上，要在矩形上铺设净水滤网，在矩形上铺设泥沙过滤网，设米，铺设净水滤网和泥沙过滤网的区域总面积为平方米． （1）求关于的表达式； （2）若净水滤网最多能铺满60平方米，而净水滤网和泥沙过滤网要铺的区域总面积不小于80平方米，求长度（单位：米）的取值范围． 18. （1）若关于的不等式的负整数解恰有两个，且，证明：． （2）已知，求关于的不等式的解集． 19. 已知非空数集，定义集合的“差值集”为． （1）若集合，求，并求出的所有子集的个数． （2）若集合，，且有且仅有5个元素，证明：． （3）若集合，且集合有（且）个元素，记中元素的个数为，求的最值（用含的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $