江苏省苏州市常熟市2026-2027学年高二上学期阶段性抽测一数学试卷

高二阶段性抽测一 数学参考答案 2026.10 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A D B C B C A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 题号 9 10 11 答案 ACD AD AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．6 13．3 14．（1）35；（2）11（第一空2分，第二空3分） 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15．（13分） 解：（1）设等比数列的公比为，由题意，， 则，即， 所以，又数列各项均为正数，故． 3分 所以，即通项公式：． 5分 （2）， 7分 又，所以． 等比部分：， 10分 等差部分：， 12分 所以． 13分 16．（15分） 解：（1）由三角函数定义，， 2分 化简得，，． 4分 因为为第二象限角，所以，得． 6分 （2）由（1）知，． 8分 化简原式：， ， 12分 由，，可知，故， 原式． 13分 将，，代入原式． 15分 17．（15分） 解：（1）由，得， 2分 所以． 4分 当时，． 6分 当时，，符合上式． 故数列的通项公式为． 7分 （2）由（1）得， 9分 ． 12分 由，得，又， 所以满足条件的最大整数． 15分 18．（17分） 解：（1）设等差数列的公差为，首项为． 由，得，化简得：． 2分 由，令，，即， 4分 联立，解得，． 所以通项公式：． 6分 （2）由， 则① ② 8分 ①-②，错位相减： 10分 所以． 12分 （3）在与之间插入个数，一共个数构成一个公差为的等差数列， 则，即．因为， 所以． 13分 由题意：，，互不相同且成等差数列，所以． 因为，，成等比数列，所以． 代入表达式，由，得， 约去指数部分得：． 14分 令函数，由，且三者互异， 可设，， 则， 15分 作差． 因为，，且由知，故， 即，与矛盾． 故不存在满足条件的互补相等的正整数，，． 17分 19．（17分） 解：（1）由， 得，，，， 2分 当时，，即，，故2是“新低项”； 当时，，即，，，，故3是“新低项”； 当时，，存在，不满足条件； 所以数列的“新低项”为2和3． 5分 （2）由题意，等比数列中，， 6分 因为数列存在“新低项”，设其“新低项”为， 则，， 7分 取，则， 又，，代入得：， 8分 整理得，即，因为，所以． 10分 反之，若，则，且对有． 令，在上单调递增，故 数列单调不减，不存在“新低项”． 当时，，取即得“新低项”，满足条件． 所以正数的取值范围为． 11分 （3）①若数列不存在“新低项”，即， 则对任意，总存在，，可得， 故，不等式成立； 13分 ②若数列存在个“新低项”，设“新低项”从小到大依次为，，…，． 由“新低项”定义：是，，…，中最小项， 由条件，得， 14分 故， 15分 ， 16分 综上，． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二阶段性抽测一 数学 2026.10 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效； 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．1和7的等差中项是 A． B．3 C．4 D．8 2．已知，，是两两不等的实数，则经过两点，的直线的倾斜角为 A．0° B．90° C．45° D．不存在 3．已知等比数列公比，前3项和，则其首项的值为 A．7 B． C． D．1 4．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为 A． B． C． D． 5．在正方体中，异面直线与所成角的大小为 A． B． C． D． 6．已知数列的首项，且满足，则的值为 A．256 B．255 C．129 D．127 7．各项均为正数的等比数列的前项积为，若，则的最小值是 A．2 B．4 C．6 D． 8．已知数列满足，若数列是递减数列，则 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是 A．任意直线都有唯一的倾斜角 B．直线的倾斜角越大，其斜率越大 C．斜率为的直线，其倾斜角为60° D．若两条直线平行，则它们的倾斜角相等 10．下列说法正确的是 A．若函数的定义域为，则函数定义域为 B．函数的最大值为 C．函数有两个零点 D．函数的图象恒过点 11．已知数列的各项均为整数，满足，为任意整数，且，其中，则下列说法正确的是 A．对任意整数，数列的前3项之和必为偶数 B．存在整数，使得 C．存在整数，使得数列从第2项起所有项均为正数 D．当时，且 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知数列的前项和，则_________． 13．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为_________． 14．古希腊毕达哥拉斯学派用小石子排列定义多边形数：第个五边形数对应每条边恰有个点的实心正五边形点阵的总石子数．如图，已知前4项：，，，． （1）第5个五边形数_________； （2）若存在正整数解，则的最小值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知是各项均为正数的等比数列，，． （1）求数列的通项公式； （2）设，，求数列的前项和． 16．（15分） 已知角的终边经过点，且为第二象限角． （1）求的值； （2）若，求的值． 17．（15分） 已知数列满足，且对任意，都有． （1）求数列的通项公式； （2）设，若，求满足条件的最大整数． 18．（17分） 已知等差数列的前项和为，满足，且对任意，． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和； （3）现要在与之间插入个数，使这个数构成公差为的等差数列．数列中是否存在三个互不相同的项，，，使得，，成等差数列的同时，，，也成等比数列？若存在，写出所有解，若不存在，请说明理由． 19．（17分） 设有穷数列的项数为，若正整数满足，，则称为数列的“新低项”． （1）若，求数列的所有“新低项”； （2）已知有穷等比数列的公比为3，前项和为，若数列存在“新低项”，求正数的取值范围； （3）若，数列的“新低项”个数为，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $