精品解析：黑龙江省大庆市肇源县学期初联考2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

初四数学阶段学情检测 范围： 特殊平行四边形、 一元二次方程 考试时间：120分钟　满分：120分 一．单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．每个小题只有一项符合题目要求的） 1. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、方程含分式，不是整式方程，不符合题意； B、展开左边得，整理得，符合一元二次方程定义； C、当时，方程不含二次项，不是一元二次方程，不符合题意； D、展开左边得，整理得，是一元一次方程，不符合题意． 2. 在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】A 【解析】 【分析】四个图形均为中心对称图形，只需筛选出非轴对称图形即可． 【详解】解：∵平行四边形、矩形、菱形、正方形均为中心对称图形． ∴只需判断各图形是否为轴对称图形． ∵平行四边形不是轴对称图形，矩形、菱形、正方形均为轴对称图形． ∴符合条件的是平行四边形． 3. 将一元二次方程化为的形式，则的值分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用完全平方公式展开，再合并常数项，将方程整理成一元二次方程的一般形式，对照形式写出的值，选出答案． 【详解】解：， ， ， ∴，，． 4. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相平分 D. 对角线平分一组对角 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵矩形的对角线性质为互相平分且相等，菱形的对角线性质为互相垂直平分，且平分一组对角， ∴对比可得，矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等． 5. 如图1，千斤顶利用四边形的不稳定性可以达到“四两拨千斤”的效果，其基本形状是菱形（如图2），当千斤顶工作时，横杆与地面平行．若，则与地面的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：菱形中，，对角线平分， ， 与地面平行， 与地面的夹角为． 6. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程有实数根的条件，利用实数平方的非负性即可求解，整理方程后根据平方的非负性列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：对原方程移项整理得 ∵方程有实数根，任意实数的平方都大于等于 ∴ 解得． 7. 已知三角形两边长分别为3和4，第三边的长是方程 的一个根，则此三角形的周长为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 13或15 【答案】A 【解析】 【分析】先解一元二次方程得到第三边的两个可能值，再根据三角形三边关系排除不能构成三角形的边长，最后计算周长得到答案． 【详解】解：， 解得，， ∵三角形的两边长为3和4，根据三角形三边关系可得第三边 ， 即第三边 ， ∴不符合要求，舍去， 则第三边长为6， ∴此三角形的周长为． 8. 如图，在菱形中，、交于点，，，点为线段上的一个动点．过点分别作于点，作于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用菱形的对角线互相垂直平分求出菱形边长，再利用等面积法求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴与互相垂直平分， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 9. 某商品原价为100元，连续两次降价后售价为81元，设平均每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】每次降价的计算基数为前一次的售价，需用乘方表示两次降价后的价格. 【详解】解：第一次降价后售价为元，第二次降价后售价为元， 由题意得. 10. 如图，点是矩形的边上一点，将沿着对折，点恰好折叠到边上的点处，若，，那么的长为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠性质，得，设，则，根据折叠的性质，得，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：四边形是矩形，，， ∴，，， 根据折叠性质，得， ∴， ∴， 设，则， 根据折叠的性质，得， 根据勾股定理，得， 解得， 故， 故． 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11. 菱形的两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为_____． 【答案】20 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可． 【详解】解：如图，根据题意得AO=×8=4，BO=×6=3， ∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD． ∴△AOB是直角三角形． ∴． ∴此菱形的周长为：5×4=20 故答案为：20． 12. 把方程化为一般形式是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先展开方程左边两个一次式的乘积，再合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解： ， 原方程化为一般形式为． 13. 如图，在矩形中，，交于点O，，E，F分别是线段，的中点，则的长为______． 【答案】4.5 【解析】 【分析】根据矩形的性质和三角形的中位线定理求解即可． 【详解】解：在矩形中，，交于点O，， ∴，， ∴， ∵E，F分别是线段，的中点， ∴是的中位线， ∴． 14. 已知，是方程的两个根，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】对于一元二次方程，若是它的两个根，则，，据此求解即可． 【详解】解：方程中，，， ∵，是方程的两个根 ∴， ∴． 15. 如图，在正方形中，点P，Q分别为边上的点，且，连接．则为________度． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意利用证明即可． 【详解】解：在正方形中，，， ∴在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 16. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】设方程的两根分别为和，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积的表达式，先求解的值，再计算，最后验证原方程满足有两个实数根的条件即可． 【详解】解：设一元二次方程的两根分别为，． 根据根与系数的关系可得，． 整理得．变形得． 解得． 将代入得． 验证判别式：，符合题意． 17. 把一块长为，宽为的矩形铁片的四个角各截去一个相同的正方形，剩余部分做成一个底面积为的无盖长方体盒子，设截去的正方形边长为，则可列方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】截去四个边长为的正方形后，无盖长方体盒子底面的长和宽分别比原矩形的长和宽少，根据长方形面积公式即可列出方程． 【详解】解：原矩形长为，四个角各截去一个边长为的正方形， 无盖盒子底面的长为， 原矩形宽为，四个角各截去一个边长为的正方形， 无盖盒子底面的宽为， 无盖盒子底面积为，长方形面积等于长乘宽， 可列方程为. 18. 一个三角形的两边长分别为和，第三边是方程的一个根，则这个三角形的周长是___． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，三角形三边的关系．解一元二次方程得到两个根，根据三角形三边关系判断哪个根符合条件，然后计算周长． 【详解】解：解方程， 因式分解得， 解得，． 当第三边为2时，，不满足三角形任意两边之和大于第三边的关系； 当第三边为4时，，，，且任意两边之差小于第三边，符合三角形三边关系． 因此周长为． 故答案为：13． 三．解答题（本大题共7小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 解下列一元二次方程： （1） （2）（用公式法） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）观察方程，选用因式分解法，把二次三项式分解成两个一次因式乘积，再令每个因式等于0求解． （2）按题目要求使用公式法，先确定，计算判别式，再代入一元二次方程求根公式计算方程的根． 【小问1详解】 解：， ， ∴或， 解得 【小问2详解】 解：， 其中， 判别式， ∴， ∴． 20. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根和． （1）求实数m的取值范围； （2）若，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的判别式列出不等式，即可求解； （2）由， ，结合，列出关于m的方程进而即可求解 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根和， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由题意得：， ， ∴，即， ∴， 解得：， ∵， ∴ 21. 如图，已知平行四边形中，对角线、相交于点，，，、分别是线段、的中点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求矩形的周长． 【答案】（1）证明：在平行四边形中，，， 、分别是线段、的中点， ， 又， ∴四边形是平行四边形， ，是的中点， ， ， 为等边三角形， ∴， ， ∴四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得出，，证出，得出四边形是平行四边形，再证是等边三角形，即可得出结论； （2）根据所对的直角边是斜边的一半得出，设，则，根据勾股定理列方程求出的值，再求出的值，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在中，， ∴， ∴， 设，则． ∵， ，解得（负值舍去）， ，， ∴，， ∴， ． 22. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40～60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个；为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？ 【答案】台灯的售价定为50元，应进台灯500个． 【解析】 【分析】设售价定为x，那么就少卖出10(x-40)个，根据“总利润=单个商品利润×熟练，单个商品利润=售价-进价”，可列方程求解． 【详解】解：设售价定为x元， 由题意可知：[600-10(x-40)](x-30)=10000， 整理，得：x2-130x+4000=0， 解得：x1=50，x2=80， 又售价在40～60元范围内， ∴x2=80舍去， ∴售价定为50元， 此时应进台灯为：600-10(x-40)=600-10×(50-40)=500(个)， 答：台灯的定价定为50元，这时应进台灯500个． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握公式“总利润=单个商品利润×熟练，单个商品利润=售价-进价”进而列方程求解． 23. 如图，在中，点是边上一点，过点分别作交于点交于点，连接平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用，证明四边形是平行四边形，再利用角平分线和平行线的性质，证得，证得结果； （2）利用菱形的性质与证得三角形是等边三角形，再利用菱形的对角线互相平分和垂直解出答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∵平分， ∴， ∴， 则， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 解：由（1）知，四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴三角形是等边三角形，， 又∵四边形是菱形， ∴， 在中，， ∴． 24. 如图，在正方形中，E是上一点，F是延长线上一点，且， （1）求证：； （2）若点G在上，且，求证：． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴ 在和中， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质得出，证明，由全等三角形的性质即可得出． （2）由全等三角形的性质得出，由角的和差关系得出，证明，由全等三角形的性质，由即可得出． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略. 25. 如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． （1）若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． （2）若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 【答案】（1）①经过2秒或4秒后，的面积等于；②的面积不能等于； （2）当为秒或秒，的面积等于． 【解析】 【分析】（1）①设运动时间为x秒，根据三角形面积公式构建方程求解即可； ②设运动时间为x秒，的面积等于，根据三角形面积公式构建方程，解方程即可判断； （2）分两种情况讨论，用面积公式列方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：①设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于； ②设运动时间为x秒，的面积等于， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于； 【小问2详解】 解：设运动的时间为t秒， ①当时，， 由题意，得， 解得：，； ②当时，， 由题意，得， 解得：，（舍去）， 综上所述，当为秒或秒时，的面积等于． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初四数学阶段学情检测 范围： 特殊平行四边形、 一元二次方程 考试时间：120分钟　满分：120分 一．单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．每个小题只有一项符合题目要求的） 1. 下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 3. 将一元二次方程化为的形式，则的值分别为（ ） A. B. C. D. 4. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相平分 D. 对角线平分一组对角 5. 如图1，千斤顶利用四边形的不稳定性可以达到“四两拨千斤”的效果，其基本形状是菱形（如图2），当千斤顶工作时，横杆与地面平行．若，则与地面的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知三角形两边长分别为3和4，第三边的长是方程 的一个根，则此三角形的周长为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 13或15 8. 如图，在菱形中，、交于点，，，点为线段上的一个动点．过点分别作于点，作于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 某商品原价为100元，连续两次降价后售价为81元，设平均每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点是矩形的边上一点，将沿着对折，点恰好折叠到边上的点处，若，，那么的长为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 3 二．填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11. 菱形的两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为_____． 12. 把方程化为一般形式是__________． 13. 如图，在矩形中，，交于点O，，E，F分别是线段，的中点，则的长为______． 14. 已知，是方程的两个根，则_______． 15. 如图，在正方形中，点P，Q分别为边上的点，且，连接．则为________度． 16. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则_________． 17. 把一块长为，宽为的矩形铁片的四个角各截去一个相同的正方形，剩余部分做成一个底面积为的无盖长方体盒子，设截去的正方形边长为，则可列方程为___________． 18. 一个三角形的两边长分别为和，第三边是方程的一个根，则这个三角形的周长是___． 三．解答题（本大题共7小题，满分66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 解下列一元二次方程： （1） （2）（用公式法） 20. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根和． （1）求实数m的取值范围； （2）若，求m的值． 21. 如图，已知平行四边形中，对角线、相交于点，，，、分别是线段、的中点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求矩形的周长． 22. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：售价在40～60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个；为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？ 23. 如图，在中，点是边上一点，过点分别作交于点交于点，连接平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点，若，，求的长． 24. 如图，在正方形中，E是上一点，F是延长线上一点，且， （1）求证：； （2）若点G在上，且，求证：． 25. 如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． （1）若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． （2）若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $