2026-2027学年苏科版九年级数学上册期中测试卷

2026-2027学年苏科版九年级数学上册期中测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1．若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】将代入方程求得的候选值，再结合一元二次方程二次项系数不为的条件排除不符合的解． 【详解】解：∵ 方程是一元二次方程， ∴ ，即， ∵ 是方程的根， ∴ 将代入方程得， 解得或， 又∵ ， ∴ ． 2．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．有一个实数根为0 【答案】B 【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出，从而得出方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：∵方程， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 3．已知a是方程的根，的值为（     ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】D 【分析】利用方程根的定义，对三次项降次后代入求值． 【详解】解：是方程的根， ，即，， ． 4．关于的一元二次方程有两个实数根，，若，则的值为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】首先需要利用根与系数的关系将条件转化为关于的方程，再结合判别式验证即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴，， ∵， ∴，整理得， 解得或， ∵ ， ∴， ∴舍去， ∴的值为． 5．在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初二年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有（    ） A．6支 B．7支 C．8支 D．9支 【答案】C 【分析】根据双循环赛制得到总比赛场数与球队数量的关系，列方程求解即可． 【详解】解：设参加小组赛的球队有支．∵赛制为双循环，每两支球队之间进行两场比赛， ∴总比赛场数为． 根据题意得． 整理得． 解得，． ∵球队数量为正整数，舍去． ∴，即参加小组赛的球队有8支． 6．关于反比例函数，下列说法错误的是（     ）． A．点，均在其图象上 B．函数图象在第二、四象限 C．若，则x的取值范围是 D．该函数图象上有两点，，若，则 【答案】D 【分析】根据反比例函数的图象与性质，逐个判断各选项的说法，即可得到答案． 【详解】解：A选项：将代入，得，所以点在图象上；将代入，得，所以点也在图象上，A说法正确，不符合题意； B选项：因为，所以反比例函数图象位于第二、四象限，B说法正确，不符合题意； C选项：令，代入得，解得，因为，在第四象限内随增大而增大，所以当时，的取值范围是，C说法正确，不符合题意； D选项：反比例函数仅在每个象限内满足随增大而增大，若两点不在同一象限，结论不成立，例如取，，满足，此时，，有，不满足，D说法错误，符合题意． 7．设反比例函数（k为常数，）．已知当时，的最大值为，则当时，的最大值为（     ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】先根据已知区间的最大值判断的符号，求出的值，再结合反比例函数的增减性求目标区间的最大值． 【详解】解：∵当时，的最大值为， ∴， ∵反比例函数中时，每个象限内随的增大而减小， ∴在中，取最小值时，取得最大值， 将，代入，得， ∴反比例函数解析式为， ∵当时，，随的增大而减小， ∴取最小值3时，取得最大值，为． 8．【科学知识】①同一物体漂浮在不同的液体中，它在液面以下的体积与液体密度成反比例关系．②两种液体混合后密度满足：（其中，为两种液体的密度，，为两种液体的体积，为方便计算，假定）． 【问题解决】图1中的液体由的水与的溶液甲混合而成，为测算溶液甲的密度，小明将一正方体木块置于图1液体中，测得漂浮的正方体木块浸入液体的深度为；小明又将该木块置于图2的水中，测得漂浮的正方体木块浸入水的深度为．已知水的密度为，则溶液甲的密度为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设正方体木块底面积为S，混合液体密度为ρ ，先列方程求得，再根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设正方体木块底面积为S，混合液体密度为ρ ， ∵同一物体漂浮在不同的液体中，它在液面以下的体积与液体密度成反比例关系， ∴，解得：， 由两种液体混合后密度公式可得： ， 解得：． 9．如图，等腰三角形内接于，，连接、，与相交于点D，已知，，则的长为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】由等边对等角和圆周角定理得出，，则为等边三角形，从而得到，再根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：，， ，． ， 为等边三角形． ，． ． ∴． 10．如图，在半圆中，直径，是半圆上两点，是直径上一点，若，，则的最小值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，轴对称最短路线问题等，将半圆补充成一个整圆，过点作的垂线交于点，连接交于点，连接，延长交于点，连接，可得，即得，即得到最小值为的长度，再利用已知条件和圆周角定理求得，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图所示，将半圆补充成一个整圆，过点作的垂线交于点，连接交于点，连接，延长交于点，连接， ∵为直径，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴最小值为的长度， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为直径， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．关于x的一元二次方程 有一根为0，则________． 【答案】 【分析】已知方程为一元二次方程，且一根为，先将根代入方程求的可能值，再结合一元二次方程二次项系数不为排除不符合的解． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，即， ∵方程有一个根为， ∴将代入原方程得：， 解得或， ∵， ∴． 12．已知直线与双曲线的一个交点坐标是，则它们的另一个交点坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，解分式方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先利用待定系数法求得两个函数的解析式，然后联立解方程，即可得出答案． 【详解】解：∵直线与双曲线的一个交点坐标是， ∴， ∴， ∴直线为，双曲线为， 联立，解得或， 所以它们的另一个交点坐标是； 故答案为：． 13．电影我和我的祖国讲述了普通人与国家之间息息相关、密不可分的动人故事，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，接下来连续两天累计票房收入达亿元，则票房增长率为____． 【答案】 【分析】设每天票房增长率为x，则第二天的票房为亿元，第三天的票房为亿元，结合接下来连续两天累计票房收入达亿元，列出方程解答即可． 【详解】解：设每天票房增长率为x，则第二天的票房为亿元，第三天的票房为亿元， 根据题意可得， 解得（负值已舍去） ∴每天票房增长率为． 14．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，当时，的取值范围是______． 【答案】 或 【分析】直接利用图象法找到直线在双曲线上方时的自变量的范围即可. 【详解】解：由图象可知，当时，的取值范围是 或 . 15．如图是一座圆弧形拱桥的截面示意图，若桥面跨度米，拱高米（C为中点，D为弧的中点），则拱桥所在圆的半径为______米． 【答案】13 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识点，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．设拱桥的圆心为O，连接，，设拱桥的半径为，由垂径定理可得米，再根据勾股定理列出方程，解方程即可求出拱桥的半径r． 【详解】解：如图，设拱桥的圆心为O，连接，， 设拱桥的半径为， 由题意可得：，米，米， ∴米， ∴， 由勾股定理可得，即， 解得， 即拱桥所在圆的半径为13米． 故答案为：13． 16．如图，点为半圆的圆心，直径长为6，再以点为圆心，为半径作弧，交弧于点，则阴影部分的面积是________． 【答案】 【分析】连接，，过点作于点，推出是等边三角形，得到，利用三角函数求出的长，根据公式求出，然后计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，，过点作于点， 根据题意得， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ． 三、解答题（每题9分，共72分） 17．用给定的方法解下列方程． (1)（配方法） (2)（公式法） (3)（因式分解法） (4)（任选方法） 【答案】(1)， (2)， (3)， (4) 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ∴， ∴，； （2）解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，； （3）解：， ， ∴或， ∴，； （4）解：， ， ， ∴． 18．已知关于x的方程． (1)若此方程的一个根为1，则m的值为________； (2)求证：对于任何实数m，此方程的根总不为0． 【答案】(1) (2)证明：假设此方程有根为0， 把代入，则， ∴， ∵， ∴此方程没有实数根， ∴对于任何实数m，此方程总没有是0的根． 【分析】（1）把代入，解出即可； （2）把代入，则，证明关于m的方程没有实数根即可得出结论； 【详解】（1）解：∵方程的一个根为1， 把代入， 得：， 解得：； （2）略 19．某公司经销一种绿茶，每千克成本为60元．近期统计发现：每周销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 周销售单价x（元/千克） 75 80 85 90 95 周销售量y（千克） 90 80 70 60 50 假设一段时间内，不计其它因素和费用．解答下列问题： (1)求y与x的函数关系式； (2)若公司期望某周这种绿茶销售利润为1600元，且销售量不低于50千克，应将这种绿茶的周销售单价定为多少？请说明理由； (3)求公司销售这种绿茶的最大周利润是多少，此时周销售单价是多少？ 【答案】(1) (2) 解：由题可得：， 整理得：， 解得：，， ∵， ∴， ∴． 即周销售单价定为80元； (3)这种绿茶最大周利润为1800元，此时周销售单价为90元 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用和二次函数的实际应用，弄清题意，理清各量间的关系是解题的关键； （1）利用待定系数法求函数解析式； （2）根据题意列方程求解即可； （3）根据题意列二次函数求解即可． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为，把，代入可得：， 解得， ∴y与x的函数关系式为：． （2）略 （3）解：设周销售利润为w元， 则：， 即当周销售单价为90元时，这种绿茶最大周利润为1800元． 20．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点．一次函数的图像与x轴交于，与反比例函数的图像交于，射线与反比例函数的图像交于点C，连接． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2)2 【分析】（1）把点代入一次函数求得k的值，即可求得一次函数的表达式；把点代入一次函数可得，把点代入反比例函数求出m的值，即可得到反比例函数解析式； （2）结合函数图像关于原点中心对称可知，根据求解即可． 【详解】（1）解∶∵一次函数的图像与x轴交于点， ∴，解得， ∴一次函数的表达式为． ∵一次函数过点， ∴，即， ∵反比例函数的图像过点， ∴，解得， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：射线与反比例函数的图像交于点C，结合函数图像关于原点中心对称可知， 如图：过点作轴于点E，过点作轴于点D， ∴，， ∵， ∴， ∴． 21．如图，是的直径，是弦，连接，过点的切线交的延长线于点，且． (1)求劣弧的长． (2)求阴影部分弓形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（）由切线的性质可得是等腰直角三角形，即得，再根据弧长公式计算即可求解； （）过点作于，解直角三角形可得，再根据解答即可求解． 【详解】（1）解：∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴劣弧的长； （2）解：如图，过点作于， ∵， ∴，， ∴． 22．打铁是中国传统手工锻造工艺，以铁砧、火炉、风箱等工具将铁料经煅烧、锻造、淬火等工序制成农具或生活器具，该工艺始于汉代，作为一项老祖先的传承，小明某次旅游中，观看了一次打铁的非遗表演．并发现了以下现象，请帮他解决问题： 打铁要进行煅烧和锻造两个工序，即将材料由烧到1000后立即开始锻造操作，当材料温度低于500时，须停止锻造并立即进行再次煅烧．每次煅烧温度上升的速度相同，煅烧过程温度y（）与时间x（）成一次函数关系，第一次锻造时温度y（）与时间x（）成反比例函数关系． (1)求第一次煅烧和锻造的函数解析式； (2)求第一次锻造操作的时长； (3)求第二次开始锻造的时间（精确到0.1）． 【答案】(1)（）；（） (2)10 (3)25.1 【分析】（1）根据题意分别设第一次煅烧和锻造的函数解析式为与，再结合图象找出其经过的点，最后利用待定系数法求解即可； （2）利用（1）中求出的第一次锻造的函数解析式，分别算出与时的自变量取值，再作差求解即可； （3）设第二次煅烧时的函数解析式为，根据每次煅烧温度上升的速度相同，得到，再结合图象利用待定系数法求出第二次煅烧时的函数解析式，最后求出当时，自变量的值，即可解题． 【详解】（1）解：第一次煅烧时温度y（）与时间x（）成一次函数关系， 设此时函数解析式为，由图象可知，该函数经过和两点， 即，解得， 即（）， 第一次锻造时温度y（）与时间x（）成反比例函数关系， 设此时函数解析式为， 由图象可知，该函数经过点，即，解得， 即（）； （2）解：当时，，解得：， 当时，， （）， 所以第一次锻造操作的时长是10； （3）解：每次煅烧温度上升的速度相同， 设第二次煅烧时温度y（）与时间x（）的函数解析式为， 由题意得，即函数解析式为，此函数经过点， 代入可得，， ，即， 当时，， 所以第二次开始锻造的时间约为第25.1． 23．如图，是的直径，弦交于点，于点，连接，，满足． (1)求证：平分； (2)若，，求半径． 【答案】(1)证明：连接，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分； (2)半径为． 【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得到，再得到，再进一步得到，再根据，得到，即可得出结论； （2）作于点，连接，如图：设的半径为，得到，，再根据勾股定理得到，即，求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：作于点，连接，如图： 设的半径为，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 整理得：， 解得：或（舍去）， ∴半径为． 24．直线与双曲线（）交于点，与x轴交于点B，点C是线段上一点． (1)求k，b的值； (2)如图，过点C作y轴的垂线l，l与（）的图象交于点D，当线段时，求点D的坐标； (3)双曲线（）上是否存在点E，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在；E点的坐标为或或 【分析】（1）把点A的坐标分别代入一次函数与反比例函数解析式中，即可求解； （2）设，由可得，由点D在反比例函数的图象上，把其坐标代入解析式中即可求解； （3）设；分两种情况：当点C为直角顶点时；当点O为直角顶点时，利用全等三角形的判定与性质即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， 解得， 将代入，得，即， （2）解：：， ， 设， ， ， ∴， ， ∵点D在双曲线上， ， 解得，（舍去）， ； （3）解：存在． 设， ①当C为直角顶点时，过点C作x轴的垂线，垂足为N，过点E作，垂足为M，则， ， ， ， ， ， 又∵等腰直角三角形中，， ， ，， ； ②当O为直角顶点时，过点C作轴，垂足为N，过点E作轴，垂足为M，同理可得， ，， ， ，解得，， 此时，， 综上所述：满足条件的E点的坐标为或或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年苏科版九年级数学上册期中测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1.若关于的-元二次方程(-2r+3x+2-4=0 的一个根为0，则k的值为(). A.-2 B.2 C.2或-2 D.-1或2 2.一元二次方程x2-3x+1=0的根的情况是() A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.有一个实数根为0 3.已知a是方程x2-3x-1=0的根，a3-10a+2024的值为（) A.2024 B.2025 C.2026 D.2027 2-2(m+1)x+m2+5=0 4.关于x的一元二次方程 有两个实数根，5，若：-，)=28 则m的 值为() A.4 B.6 C.-4或6 D.6或4 5.在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初二年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环 赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），己知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有() A.6支 B.7支 C.8支 D.9支 4 6。关于反比例函数y=一王，下列说法错误的是《). A.点22)，（4如)均在其图象上 B.函数图象在第二、四象限 C.若y<-2,则x的取值范围是0<x<2 D.该函数图象上有两点 (）,B(西），若<五，则<为 7.设反比例函数y=(k为常数，k≠0)·已知当-6≤x≤-2时，y的最大值为-1：则当3≤x≤4时， y的最大值为() 试卷第1页（共3页） B.2 2 A.3 C.1 D. 8.【科学知识】①同一物体漂浮在不同的液体中，它在液面以下的体积与液体密度成反比例关系.②两 种液体混合后密度P满是：P。=A水+P(其中A,A为两种液体的密度，，么为两种液体的体积， V8=V+V2 为方便计算，假定 500cm 300cm 【问题解决】图1中的液体由的水与 的溶液甲混合而成，为测算溶液甲的密度，小明将一 正方体木块置于图1液体中，测得漂浮的正方体木块浸入液体的深度为2cm；小明又将该木块置于图2 2.6cm g/cm' 的水中，测得漂浮的正方体木块浸入水的深度为 .已知水的密度为 ，则溶液甲的密度为 图1 图2 A,1.2g/cm3 B.1.5g/cm3 C.1.8g/em' D 2.1g/cm3 9.如图，等腰三角形ABC内接于⊙O,AB=AC,连接OA、OC,OA与BC相交于点D,已知 ∠B=30°，OA=2,则AD的长为() A.1 B.2 c. D.3 10.如图，在半圆O中，直径AB=8,C,D是半圆上两点，P是直径上一点，若∠AOC=48°， ∠AOD=72°，则PC+PD的最小值为()· 试卷第2页（共3页） D 9√5 A.3v5 B.4V5 C.2 D.5V3 二、填空题（每题3分，共18分) 11.关于x的一元二次方程 (m-l)x2+x+m2-1=0 有一根为0，则m= 12.已知直线y=a+0)与双曲线y=(任≠0)的一个交点坐标是(23)，则它们的月-个交点坐标是 13.电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关、密不可分的动人故事，一上映就获得全国 人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，接下来连续两天累计票房收入达 7.92亿元，则票房增长率为一· 4.如图，一次函数以三kx+b的图象与反比例函数=？的图象相交于42,3)，B(6,1)两点，当1 时，x的取值范围是 15.如图是一座圆弧形拱桥的截面示意图，若桥面跨度AB=24米，拱高CD=8米(C为AB中点，D为 弧AB的中点)，则拱桥所在圆的半径为米. 16.如图，点O为半圆的圆心，直径AB长为6，再以点B为圆心，OB为半径作弧，交弧AB于点C,则 阴影部分的面积是 试卷第3页（共3页） B 三、解答题（每题9分，共72分） 17.用给定的方法解下列方程. )4r2-8x-5=0 (配方法) 2-4-2=0 (公式法) 6-4r-21=0 (因式分解法) ④2×2-12x+18=0 (任选方法) 18.已知关于x的方程x2+2mx+m2+2m+3=0. (1)若此方程的一个根为1，则m的值为. (②)求证：对于任何实数心，此方程的根总不为0. 19.某公司经销一种绿茶，每千克成本为60元.近期统计发现：每周销售量y(千克)与销售单价x (元/千克)满足一次函数关系，部分数据如下表所示： > 8 周销售单价x(元/千克) 80 90 95 9 7 周销售量y(千克) 80 60 50 0 0 假设一段时间内，不计其它因素和费用.解答下列问题： (I)求y与x的函数关系式： (2)若公司期望某周这种绿茶销售利润为1600元，且销售量不低于50千克，应将这种绿茶的周销售单价 定为多少？请说明理由： (3)求公司销售这种绿茶的最大周利润是多少，此时周销售单价是多少？ 20.如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点。一次函数'-2的图像与x轴交 A-1,0),与反比 试卷第4页（共3页） 圆函数y=”的图像交于B2,0,射线0与反比例函数的图像交于点C,连接G B (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (2)求△ABC的面积. 21.如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，连接OC,过点C的切线交BA的延长线于点D,且 OC=CD=2 C (1)求劣弧AC的长 (2)求阴影部分弓形的面积. 22.打铁是中国传统手工锻造工艺，以铁砧、火炉、风箱等工具将铁料经煅烧、锻造、淬火等工序制成 农具或生活器具，该工艺始于汉代，作为一项老祖先的传承，小明某次旅游中，观看了一次打铁的非遗 表演.并发现了以下现象，请帮他解决问题： 打铁要进行煅烧和锻造两个工序，即将材料由20℃烧到1000℃后立即开始锻造操作，当材料温度低于500 ℃时，须停止锻造并立即进行再次煅烧.每次煅烧温度上升的速度相同，煅烧过程温度y(℃)与时间x (min)成一次函数关系，第一次锻造时温度y(℃)与时间x(min)成反比例函数关系. 试卷第5页（共3页） A(C) 1000 500 20A 010 (min) (1)求第一次煅烧和锻造的函数解析式： (2)求第一次锻造操作的时长： (3)求第二次开始锻造的时间（精确到0.lmin)· 23.如图，AB是OO的直径，弦CD交OB于点E,CF⊥AB于点F,连接AC,AD,满足AD=DE. D (I)求证：CD平分∠ACF; 回活0E=1,MD=-25,求 半径. 24直线，=x+6与双曲线)套(x<0文于点410与轴交于点8，点C是线度18上一点 0 备用图 (I)求k,b的值： ②如图，过点C作y轴的垂线1,1与y x（x<0)的图象交于点D,当线段CD=10时，求点D的坐标； k ③)双曲线y=x(x<0)上是否存在点B,使得△COE是以0C为直角边的等腰直角三角形，若存在， 试卷第6页（共3页） 求出点E的坐标；若不存在，请说明理由. 试卷第7页（共3页）