2026-2027学年人教版九年级数学上学期期中测试卷

人教版九年级数学上学期期中测试卷测·拔尖卷 【新教材人教版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 测试范围：第25章 一元二次方程~第28章 旋转 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．每年的4月22日是世界地球日，2023年世界地球日的主题是“众生的地球”某校在此期间组织学生开展“爱护地球”图标设计征集活动，如图所示图标是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中心对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 本题考查了中心对称图形，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形是中心对称图形，故此选项符合题意； D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．（26-27九年级上·河南许昌·阶段检测）一元二次方程的根是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】利用因式分解的方法解方程即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：． 3．（26-27九年级上·河南商丘·阶段检测）关于二次函数，下列结论正确的是（     ） A．其图象开口向上 B．其图象的对称轴是直线 C．其最大值为4 D．当时，随的增大而减小 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号 【分析】根据二次函数的图象与性质逐项判断即可． 【详解】解：A．二次项系数， 其图象开口向下， 故该结论不正确，不符合题意； B．其图象的对称轴是直线， 故该结论不正确，不符合题意； C．对称轴是直线，图象开口向下， 当时，函数有最大值，此时， 故该结论正确，符合题意； D．对称轴是直线，图象开口向下， 当时，随的增大而增大， 故该结论不正确，不符合题意． 4．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）三角形的两边长分别为和，第三边的长是方程：的解，则此三角形的周长是（     ） A． B． C． D．或 【答案】B 【知识点】三角形三边关系的应用、因式分解法解一元二次方程 【分析】三角形三边关系为任意两边之和大于第三边，求出方程的解后需要验证是否符合该规则，排除无法构成三角形的无效解，最终得到结果． 【详解】解： ，． 若第三边为，，不满足两边之和大于第三边，无法构成三角形，舍去； 若第三边为，，符合三边关系，可以构成三角形， 因此，此三角形的周长为． 故答案为B． 5．（山西省部分校2025-2026学年九年级上学期第一次学情自测数学试卷）有一种“点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在社交平台上发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，并邀请他们也参与活动．小明被邀请参加一次“点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人．如果收到小明邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小明开始算起．转发两轮后共有73人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定每人“@”人，则可列出方程（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】设参与该活动后规定“@”人，则第一轮小明1个人“@”个人，第二轮中x人又“@”个人，结合两轮后共有73人被邀请参与该活动列出方程即可． 【详解】解：根据题意可列方程， 选项D符合题意． 6．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）将抛物线向下平移个单位，再向右平移个单位，所得到的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次函数图象的平移 【详解】将抛物线向下平移个单位，得到， 再向右平移个单位，得到． 7．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到．若点D在线段的延长线上，如图，则的大小为（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】根据旋转的性质可得，，旋转角，先利用等腰三角形两底角相等求出的度数，再结合等量代换得到的度数，最后根据平角为计算出的大小． 【详解】解：由旋转得，，， ， ， ． 8．（22-23九年级上·河北沧州·阶段检测）已知二次函数，当时，该函数（    ） A．有最大值、最小值，分别是3，0 B．最大值是4，无最小值 C．最小值是，最大值是3 D．最小值是，最大值是4 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】根据二次函数，可以得到当时，该函数的最大值和最小值，本题得以解决． 【详解】解：∵二次函数， ∴当时，在时，函数取得最大值，此时， 当时，函数取得最小值，此时， 故选D． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 9．（26-27九年级上·河南商丘·阶段检测）如图，将抛物线沿轴向上平移得到一条新抛物线，其中点，平移后的对应点分别为点，．若曲线扫过的面积为56(图中的阴影部分)，则新抛物线的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、利用平移的性质求解、二次函数图象的平移 【分析】曲线扫过的面积，则，即可求解． 【详解】解：曲线扫过的面积， 则， 故抛物线向上平移8个单位，则，即． 10．（2026·辽宁锦州·一模）如图，是反比例函数的图象上一点，过点作轴，交轴于点，交反比例函数的图象于点．点是轴上任意一点，连接，．若的面积为，则的值是_______． A．4.3 B．5 C．3 D．4 【答案】D 【分析】设，，根据轴，得点的纵坐标为，，即可表示点C的坐标，再表示出，再根据的面积，可得方程，解方程即可． 【详解】解：∵是反比例函数的图象上一点，且在第二象限， ∴， 设，， ∵轴， ∴点的纵坐标为，， 将代入得， 解得， ∴， ∴， ∵点是轴上任意一点，轴， ∴点到的距离为， ∴的面积， 解得，符合， 即的值是D． 第II卷（非选择题） 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级下·山东威海·期中）已知关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为____． 【答案】 【分析】将代入原方程得到关于的方程，结合一元二次方程的定义，即二次项系数不为0，筛选得到符合条件的的值． 【详解】解：把代入得， 因式分解得， 解得，， 原方程是关于的一元二次方程， ， 即， 因此． 12．（25-26九年级上·山东聊城·期末）在平面直角坐标系中，点，点都在反比例函数的图象上，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，代入点求得含参数的函数解析式是解题的关键； 利用反比例函数图象上点的坐标特征，将点和点代入函数解析式，得到关于和的方程，再通过等量代换求出的值． 【详解】解：将点代入得，即， 将点代入得，即， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）已知二次函数与自变量x的部分对应值如表： 现给出下列说法： ①该函数开口向下  ②函数图象的对称轴是直线  ③当时，  ④ 其中正确的结论有_______________．（只需写出序号） 【答案】①③④ 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、根据二次函数的对称性求函数值、y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题考查待定系数法与二次函数的图象性质：由三对对应值求出解析式后，由 的符号判断开口方向，由 求对称轴，利用对称性求函数值， 的值直接计算；注意对称轴是直线 而不是 ，容易误判②． 【详解】解：把、、代入，得 ， ∴， ∴． ①∵，∴该函数开口向下，正确； ②对称轴为直线，不是直线，错误； ③∵ 与 关于对称轴对称， ∴当时，，正确； ④∵， ∴④正确； ∴正确的结论是①③④． 14（2026·陕西榆林·二模）如图，在中，，；，将绕点按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点之间的距离为________． 【答案】 【详解】解：连接，如图所示： 由旋转性质可得， 在等腰中，，则是等边三角形， ， ， ， ， 是等边三角形，则， 在中，，，则， ， ，则由勾股定理可得， 则，即点与点之间的距离为． 15．（25-26八年级下·辽宁铁岭·期末）如图，在平面直角坐标系中，，点为坐标原点，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，则点的坐标为________． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，结合旋转的性质，构造，推出，，结合点B所在象限，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D， 则， ， ，， 由旋转得，， ， ， ， ， 在和中， ， ，， 点B在第四象限， 点的坐标为． 16．（26-27九年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点在轴的正半轴上，点在二次函数位于第一象限的图象上，若，，，…，都为等边三角形，则的边长为________． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、y=ax²的图象和性质、图形类规律探索、含30度角的直角三角形 【分析】分别过点，，作轴的垂线，垂足分别为、、，设，，，则，，，再根据正三角形的边长，分别表示，，的纵坐标，代入抛物线中，求、、的值，得出规律． 【详解】解：分别过点，，作轴的垂线，垂足分别为、、， 设，，， 由勾股定理则，，， 在中，， 代入中，得，解得（负值已舍去），即， 在中，， 代入中，得，解得（负值已舍去），即， 在中，， 代入中，得，解得（负值已舍去），即， …， 以此类推由此可得的边长为． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（8分）（26-27九年级上·河北保定·阶段检测）用合适的方法解下列方程 (1)； (2) (3)； (4)． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得； （2） 方程有两个不相等的实数根 ， （3）解： 或 解得：， （4）解： 或 解得：， 18．（8分）（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，抛物线（为常数）经过坐标原点和点，点在轴上． (1)求抛物线顶点的坐标； (2)连接，，若点在轴下方的抛物线上，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将点代入求出的值，再写出顶点的坐标即可； （2）由可得，代入即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：将点代入，得， ∴抛物线的解析式为， ∴顶点的坐标为； （2）解： ∵，， 又∵， ∴， 解得， 将代入，得， 解得或， ∴点的坐标为或． 19．（8分）（25-26八年级下·安徽六安·期中）已知关于的方程． （1）求证：无论取何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若等腰的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】（1）见分析；（2）的周长为16或14 【分析】（）一元二次方程实根情况由判别式决定，当有两个不相等的实数根时，判别式大于0； （）计算方程的两个根，讨论两根分别为腰的情况． 解：（1）证明：对于方程， 无论取何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2），解得， 该等腰三角形的两条边长分别为和， 已知等腰的一边长为5，分两种情况讨论： ①当时，此时三边长分别为5，5，6，可以构成三角形，此时周长为； ②当时，，此时三边长分别为4，5，5，可以构成三角形，此时周长为； 综上，的周长为16或14． 【点拨】本题主要考查一元二次方程实根情况与系数的关系，解含参数一元二次方程，等腰三角形在没告诉腰具体是哪条边的情况下，要进行分类讨论． 20．（8分）（2026·贵州遵义·一模）如图，反比例函数与一次函数相交于，两点． (1)求反比例函数的解析式及m的值； (2)连接，求的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数，求得k的值，即可得反比例函数的解析式；将点B的坐标代入一次函数，即可求得m的值； （2）先求得一次函数与x轴、y轴的交点，然后根据三角形面积的和差解答即可． 【详解】（1）解：将点代入，得 ∴反比例函数解析式为； 将点代入，得 解得． （2）解：如图，设一次函数分别与x轴，y轴相交于点，， 对于，令，则；令，， ∴，， ∴，， ∵，， ． 21．（8分）（25-26九年级上·河南南阳·期末）项目学习 【项目主题】利用闲置硬纸板制作长方体收纳盒收纳玩具． 【项目素材】两块长为，宽为的长方形硬纸板． 【任务要求】 任务一：如图，把一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒． 任务二：如图，把另一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分． 【问题解决】 (1)若任务一中设计的收纳盒的底面积为，求剪去的正方形的边长为多少？ (2)若任务二中设计的收纳盒的底面积为． 求该收纳盒的高是多少？ 判断能否把一个尺寸如图所示的玩具车完全放入该收纳盒并盖上盖子，请简述理由． 【答案】(1) (2) ；不能；理由见解析． 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意，列出方程是解题的关键． （）设剪去的小正方形的边长为，由题意得，然后解方程并检验即可； （）根据题意，设收纳盒的高为，则收纳盒底面的长为，宽为，则，然后解方程并检验即可； 求出，，但，，从而即可判断玩具车不能完全放入该收纳盒． 【详解】（1）解：（1）设剪去的小正方形的边长为，由题意得： ， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：剪去的小正方形的边长为； （2）解：根据题意，设收纳盒的高为， 则收纳盒底面的长为，宽为， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴收纳盒的高为； ∵，，但，， ∴玩具车不能完全放入该收纳盒． 22．（8分）（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）某商品进价30元，销售期间发现，当销售单价定为40元时，每天可售出600个，由于销售火爆，商家决定提价销售．经市场调研发现，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个． (1)求该商品的销售单价是多少元时，商家每天获利10000元； (2)物价管理部门规定该商品的销售单价不低于40元，且不高于60元．将商品的销售单价定为多少元时，商家每天销售该商品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)80元或50元 (2)x=60时w最大，为12000 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）设该商品的销售单价x元，可得方程（x－30）[600－10（x－40）]=10000，即可得到结论； （2）根据题意列出函数解析式，由二次函数性质可得结论． 【详解】（1）解：设该商品的销售单价x元， 根据题意得：（x－30）[600－10（x－40）]=10000， 解得：=80，=50， 答：该商品的销售单价是80元或50元时，商家每天获利10000元； （2）根据题意得： w=（x－30）[600－10（x－40）] ， ∵－10＜0，二次函数图象开口向下，对称轴为直线x=65， ∵销售单价不低于40元，且不高于60元， ∴当x=60时，w最大，最大值为w＝12000， ∴商品的销售单价定为60元时，商家每天销售该商品获得的利润w元最大，最大利润是12000元． 【点睛】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式． 23．（10分）（25-26八年级下·山东聊城·期末）解决下列问题： （1）如图1，P是等边三角形内一点，，，，求的度数． 解：将绕点B按逆时针方向旋转到的位置， 连接，则是________三角形． 所以． 因为，，所以， 所以为直角三角形，所以的度数为________； （2）如图2，在正方形内部有一点P，连接，，，若，，，求的长． 【答案】（1）等边；；（2）6 【分析】（1）根据旋转的性质，得到是等边三角形，再由勾股定理逆定理，得到为直角三角形，即可； （2）将绕点B按顺时针方向旋转到的位置，连接，则，可得，从而得到是等腰直角三角形， 进而得到，，再由勾股定理解答即可． 解：（1）略 （2）解：如图，将绕点B按顺时针方向旋转到的位置，连接，则， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∵， ∴． 24．（12分）（2025·河北衡水·模拟预测）中国女足亚洲杯夺冠重返亚洲巅峰，离不开女足运动员们平时辛苦的训练．如图，在某次训练中，足球场上守门员在处开出一高球，球从离地面1米的处飞出（在轴上），划出一条漂亮的抛物线，足球在距点4米的处达到最高点，最高点距地面的高度为米，球在点落地后又一次弹起落在点处，弹起后球划出的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． (1)当时，求足球从开始飞出到第一次落地时，该抛物线的函数解析式； (2)在（1）的条件下，求足球第二次落地点到点的距离（结果保留根号）； (3)在第一次落球点的左右分别取点，且，若第一次球落在区域内（包括点），求的取值范围． 【答案】(1) (2)足球第二次落地点到点的距离为米 (3) 【分析】（1）当时，依题意得，设抛物线解析式为，代入，即可求解； （2），得出足球第一次落地点距点的距离为米，过点所在抛物线的顶点作的垂直平分线，交抛物线于点，则，令，进而求得，进而求得的长； （3）设球从点飞出到落到点的抛物线的解析式为，代入，得出，根据题意可得点，点，分别代入解析式，求得的范围，即可求解． 【详解】（1）解：当时，依题意得， 设抛物线解析式为， 把代入得，， 解得， ∴该抛物线的函数解析式为； （2）令，则， 解得（舍去）， ∴足球第一次落地点距点的距离为米， 如图， ∵弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半， ∴过点所在抛物线的顶点作的垂直平分线，交抛物线于点， ， ∴令，则， 解得， 则， ， ∴足球第二次落地点到点的距离为米； （3）设球从点飞出到落到点的抛物线的解析式为， ∵抛物线过， ，解得， ∴抛物线的解析式为， 又∵抛物线开口向下， ，即， ． 若球落在区域内（含点）， ，， 点，点， 当时，，解得， 当时，，解得， ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版九年级数学上学期期中测试卷测·拔尖卷 【新教材人教版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 测试范围：第25章 一元二次方程~第28章 旋转 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．每年的4月22日是世界地球日，2023年世界地球日的主题是“众生的地球”某校在此期间组织学生开展“爱护地球”图标设计征集活动，如图所示图标是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·河南许昌·阶段检测）一元二次方程的根是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·河南商丘·阶段检测）关于二次函数，下列结论正确的是（     ） A．其图象开口向上 B．其图象的对称轴是直线 C．其最大值为4 D．当时，随的增大而减小 4．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）三角形的两边长分别为和，第三边的长是方程：的解，则此三角形的周长是（     ） A． B． C． D．或 5．（山西省部分校2025-2026学年九年级上学期第一次学情自测数学试卷）有一种“点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在社交平台上发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，并邀请他们也参与活动．小明被邀请参加一次“点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人．如果收到小明邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小明开始算起．转发两轮后共有73人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定每人“@”人，则可列出方程（     ） A． B． C． D． 6．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）将抛物线向下平移个单位，再向右平移个单位，所得到的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期末）如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到．若点D在线段的延长线上，如图，则的大小为（     ） A． B． C． D．不能确定 8．（22-23九年级上·河北沧州·阶段检测）已知二次函数，当时，该函数（    ） A．有最大值、最小值，分别是3，0 B．最大值是4，无最小值 C．最小值是，最大值是3 D．最小值是，最大值是4 9．（26-27九年级上·河南商丘·阶段检测）如图，将抛物线沿轴向上平移得到一条新抛物线，其中点，平移后的对应点分别为点，．若曲线扫过的面积为56(图中的阴影部分)，则新抛物线的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 10．（2026·辽宁锦州·一模）如图，是反比例函数的图象上一点，过点作轴，交轴于点，交反比例函数的图象于点．点是轴上任意一点，连接，．若的面积为，则的值是（     ） A． B． C． D．或 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级下·山东威海·期中）已知关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为________． 12．（25-26九年级上·山东聊城·期末）在平面直角坐标系中，点，点都在反比例函数 的图象上，则的值为________． 13．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）已知二次函数与自变量x的部分对应值如表： 现给出下列说法：①该函数开口向下  ②函数图象的对称轴是直线  ③当时，  ，④其中正确的结论有_______________．（只需写出序号） 14（2026·陕西榆林·二模）如图，在中，，；，将绕点按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点之间的距离为________． 15． （25-26八年级下·辽宁铁岭·期末）如图，在平面直角坐标系中， ，点为坐标原点，将线段绕着点顺时针旋转得到线段， 则点的坐标为________ ． 16．（26-27九年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点在轴的正半轴上，点在二次函数位于第一象限的图象上，若，，，…，都为等边三角形，则的边长为________． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（8分）（26-27九年级上·河北保定·阶段检测）用合适的方法解下列方程 (1)； (2) (3)； (4)． 18． （8分）（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，抛物线（为常数）经过坐标原点和点，点在轴上．(1)求抛物线顶点的坐标；(2)连接，，若点在轴下方的抛物线上， 且，求点的坐标． 19．（8分）（25-26八年级下·安徽六安·期中）已知关于的方程． （1）求证：无论取何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若等腰的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 20．（8分）（2026·贵州遵义·一模）如图，反比例函数与一次函数相交于，两点．(1)求反比例函数的解析式及m的值；(2)连接，求的面积． 21．（8分）（25-26九年级上·河南南阳·期末）项目学习 【项目主题】利用闲置硬纸板制作长方体收纳盒收纳玩具． 【项目素材】两块长为，宽为的长方形硬纸板． 【任务要求】任务一：如图，把一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒． 任务二：如图，把另一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分． 【问题解决】(1)若任务一中设计的收纳盒的底面积为，求剪去的正方形的边长为多少？ (2)若任务二中设计的收纳盒的底面积为．求该收纳盒的高是多少？ 判断能否把一个尺寸如图所示的玩具车完全放入该收纳盒并盖上盖子，请简述理由． 22．（8分）（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）某商品进价30元，销售期间发现，当销售单价定为40元时，每天可售出600个，由于销售火爆，商家决定提价销售．经市场调研发现，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．(1)求该商品的销售单价是多少元时，商家每天获利10000元； (2)物价管理部门规定该商品的销售单价不低于40元，且不高于60元．将商品的销售单价定为多少元时，商家每天销售该商品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？ 23．（10分）（25-26八年级下·山东聊城·期末）解决下列问题： （1）如图1，P是等边三角形内一点，，，，求的度数． 解：将绕点B按逆时针方向旋转到的位置， 连接，则是________三角形，所以． 因为，，所以， 所以为直角三角形，所以的度数为________； （2）如图2，在正方形内部有一点P，连接，，，若，，，求的长． 24．（12分）（2025·河北衡水·模拟预测）中国女足亚洲杯夺冠重返亚洲巅峰，离不开女足运动员们平时辛苦的训练．如图，在某次训练中，足球场上守门员在处开出一高球，球从离地面1米的处飞出（在轴上），划出一条漂亮的抛物线，足球在距点4米的处达到最高点，最高点距地面的高度为米，球在点落地后又一次弹起落在点处，弹起后球划出的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半． (1)当时，求足球从开始飞出到第一次落地时，该抛物线的函数解析式； (2)在（1）的条件下，求足球第二次落地点到点的距离（结果保留根号）； (3)在第一次落球点的左右分别取点，且，若第一次球落在区域内（包括点），求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $