专题13.2 与三角形有关的线段（暑假预习讲义）（3大知识点+9大分层题型+易错重难点+巩固练习）2026-2027学年人教版八年级数学上学期培优讲义

专题13.2 与三角形有关的线段 【本节预习目标】 1.理解并掌握三角形三边的关系，能判断三条线段能否构成三角形，会求第三边的取值范围，体会“两点之间，线段最短”的几何原理。 2.理解三角形的稳定性，了解其在生产生活中的应用，能区分稳定与不稳定的多边形结构。 3.掌握三角形的中线、角平分线、高的定义与几何特征，能准确画出不同三角形的三条重要线段，识别其交点的位置特征。 4.能运用中线、高的性质解决周长、面积相关的计算问题，掌握等面积法的基本应用。 5.能从建筑、工程等实际情境中抽象出三角形线段模型，解决实际问题，提升几何直观与数学建模核心素养。 【前置旧知回顾】 知识模块 已学旧知 本节新知关联 三角形初步认识 三角形有3条边，外形具有稳定的特征 从几何层面严格证明三边关系，系统学习稳定性的原理与工程应用 线段与垂线 线段中点的定义；过直线外一点作已知直线的垂线 迁移中点与垂线的知识，学习三角形的中线与高，拓展到三角形内部的线段应用 角平分线 角平分线的定义，能画出任意角的平分线 将角平分线从射线拓展为三角形内的线段，研究其在三角形中的性质与应用 知识点1：三角形的三边关系 1.三边关系定理 核心结论：三角形两边的和大于第三边。对任意，三边长为，则有，，。 推论：三角形两边的差小于第三边。 理论依据：两点之间，线段最短。 2.快速判断方法 判断三条线段能否组成三角形，只需验证两条较短线段的长度之和是否大于最长线段。若大于，则能构成三角形；若小于或等于，则不能构成三角形，无需验证三组不等式。 知识点2：三角形的稳定性 1.定义 三角形三条边的长度确定后，三角形的形状和大小就完全确定，不会发生形变，这个性质叫做三角形的稳定性。 2.应用与对比 三角形具有稳定性，四边形、五边形等多边形不具有稳定性。 生活应用：自行车车架、起重机吊臂、屋顶钢架、斜拉桥等均利用三角形的稳定性加固结构；伸缩门、晾衣架则利用四边形的不稳定性。 固定规律：要使一个边形框架稳定不变形，至少需要添加条对角线，将其分割为若干个三角形。 知识点3：三角形的三条重要线段 1.定义与基本性质对比 线段类型 定义 交点名称 交点位置 中线 连接三角形一个顶点和它对边中点的线段 重心 三角形内部 角平分线 三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段 内心 三角形内部 高 从三角形的顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段 垂心 锐角三角形在内部，直角三角形在直角顶点，钝角三角形在外部 2.不同三角形的高的位置特征 三角形类型 高的分布 三条高所在直线的交点位置 锐角三角形 三条高都在三角形内部 三角形内部一点 直角三角形 两条高与直角边重合，一条高在内部 直角顶点 钝角三角形 一条高在内部，两条高在三角形外部 三角形外部一点 【基础巩固题型】 【题型1】判断三条线段能否构成三角形 1.核心知识点 三角形三边关系定理；快速判定方法 2.解题方法技巧 ①无需验证三个不等式，只需将两条较短的边相加，与最长边比较即可； ②若两短边之和大于最长边，则能构成三角形；若小于或等于，则不能构成； ③带不同单位的题目，先统一长度单位，再进行比较计算。 【例题1】.（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．2，2，5 D．3，4，7 【变式题1-1】.（25-26七年级下·河南平顶山·期末）下列长度的三条线段，不能够组成三角形的是（     ） A．5，8，2 B．3，4，5 C．6，6，1 D．5，12，13 【变式题1-2】.（25-26七年级下·山西长治·期末）下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式题1-3】.（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）已知线段，，． (1)判断和的大小，并说明理由； (2)用、、能构成三角形吗？为什么？ 【题型2】已知两边求第三边的取值范围 1.核心知识点 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 2.解题方法技巧 ①设第三边长为，根据“两边之差两边之和”直接写出取值范围； ②若附加“整数边”“最长边”“最短边”等条件，需在取值范围内进一步筛选符合条件的值； ③周长奇偶性问题，可结合已知两边和的奇偶性，推导第三边的奇偶性。 【例题2】.（25-26七年级下·山东菏泽·阶段检测）李师傅做了一个三角形的工件，其中两边长分别为和，则第三边的长可能是（     ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·河南周口·期末）已知三角形的两边长为3和7，则第三边x的取值范围是______． 【变式题2-2】.（25-26七年级下·四川眉山·期末）已知的三边长分别为，，，其中，，的长度为奇数，则____________． 【变式题2-3】.（2026·河南三门峡·三模）已知两根木条的长分别为3和7，现再选一根木条，用这三根木条围成一个三角形木架，则所选木条的长度x的取值范围为_________． 【题型3】三角形重要线段的识别 1.核心知识点 中线、角平分线、高的定义与图形特征 2.解题方法技巧 ①中线的标志是“中点”，对边被分成两条长度相等的线段； ②角平分线的标志是“角相等”，将一个内角分成两个相等的角； ③高的标志是“垂直”，线段与对边（或其延长线）的夹角为直角； ④注意：三条重要线段都是线段，不是直线或射线，两个端点分别在顶点和对边上。 【例题3】.（25-26八年级上·云南昭通·期末）如图，关于边上的高，下列说法正确的是（   ） A．线段是边上的高 B．线段是边上的高 C．线段是边上的高 D．线段是边上的高 【变式题3-1】.（25-26八年级上·全国·单元复习）下列说法中错误的是（    ） A．三角形的角平分线有三条 B．三角形三条角平分线交于一点 C．三角形的角平分线是射线 D．三角形的角平分线平分一个内角 【变式题3-2】.（25-26八年级上·河南周口·期中）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（   ） A．中线、高线、角平分线 B．角平分线、高线、中线 C．中线、角平分线、高线 D．高线、中线、角平分线 【变式题3-3】.（24-25七年级下·甘肃武威·期中）下列命题中，是真命题的是（    ） A．三角形的角平分线、中线、高都是直线 B．从三角形同一顶点引出的高、中线、角平分线中，高线最短 C．三角形的高、中线、角平分线一定都在三角形内部 D．从三角形一顶点引出的高、中线、角平分线一定不重合 【题型4】三角形稳定性的实际应用 1.核心知识点 三角形的稳定性；多边形的不稳定性 2.解题方法技巧 ①判断结构是否稳定，核心看结构框架中是否包含三角形； ②固定边形框架，最少需要添加条木条，将其分割为多个三角形； ③生活实例辨析：伸缩门、活动衣架利用四边形不稳定性，钢架桥、自行车三角架利用三角形稳定性。 【例题4】.（25-26七年级下·北京·期末）如图，长治漳泽湿地公园的网红桥（神农湖大桥），在修建时采用三角形钢架结构，这是利用了三角形的________． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·福建宁德·期末）为了防止木框变形，经常如图所示钉上一条斜拉的木条，这样做的依据是（     ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形的稳定性 D．三角形两边之和大于第三边 【变式题4-2】.（25-26七年级下·四川乐山·期末）如图，太阳能热水器的支架形状通常为三角形，这样做的数学原理是（     ） A．三角形两边之和大于第三边 B．三角形具有稳定性 C．三角形三内角和为 D．垂线段最短 【变式题4-3】.（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图所示，在西安全运会上一名中国运动员在跪姿射击时，由左手、左肘、左肩、构成托枪的三角形，以及由左手、左肩、右肩构成近乎水平的三角形．这两个三角形可以使射击者在射击过程中保持枪的稳定，这样做的数学依据是________． 【培优提升题型】 【题型5】等腰三角形的边长与周长计算 1.核心知识点 等腰三角形的边的特征；三角形三边关系的验证 2.解题方法技巧 ①题目未明确边长是腰还是底时，必须分“该边为腰”“该边为底”两种情况分类讨论； ②每一种情况计算出三边长后，必须验证是否满足三边关系，不满足的情况要舍去； ③已知周长和一边长求腰长时，同样需要分类讨论并验证，避免出现错解。 【例题5】.（25-26七年级下·福建泉州·期末）如果等腰三角形的腰长和底边分别为9和4，那么它的周长为________． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·北京·开学考试）若实数满足，则以的值为边长的等腰三角形的周长为___________． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·江苏·期末）用一根长为的铁丝围成一个等腰三角形，若其中一边长为，则另外两边的长分别为________． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）若等腰三角形的一个腰长为，底边长为，则它的周长为（   ） A． B． C． D．或 【题型6】利用三边关系化简绝对值 1.核心知识点 三角形三边关系；绝对值的化简规则 2.解题方法技巧 ①第一步根据三边关系，判断每个绝对值内部代数式的正负：两边之和减第三边为正，两边之差减第三边为负； ②第二步根据绝对值性质去符号：正数直接去掉绝对值，负数去掉绝对值后整体加负号； ③第三步去括号、合并同类项，得到最终化简结果。 【例题6】.（25-26七年级下·辽宁阜新·期中）已知的三边长分别为a，b，c，化简__________． 【变式题6-1】.（25-26七年级下·宁夏银川·期中）已知，，分别是的三边长，化简：_____． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·安徽安庆·期末）已知的三边长为， (1)若，求边长的取值范围； (2)化简． 【变式题6-3】.（25-26七年级下·重庆万州·期中）已知a，b，c是的三条边长，化简的结果为____． 【题型7】三角形中线与周长、面积的计算 1.核心知识点 中线的定义；中线平分三角形面积 2.解题方法技巧 ①周长差问题：中线分成的两个小三角形的周长差，等于原三角形两条邻边的长度差（公共中线相互抵消）； ②面积问题：三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两个小三角形，多次取中点可依次平分面积； ③三角形三条中线交于重心，重心分中线为的两段，核心掌握面积平分的性质。 【例题7】.（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，是的边上的中线，已知，． (1)边的取值范围是__________； (2)若的周长为30，求的周长． 【变式题7-1】.（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，是的中线，，，若的周长为18，则的周长为_________． 【变式题7-2】.（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，是边上的一点（不与点，重合），点，是线段的三等分点，记的面积为，的面积为，若，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式题7-3】.（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，已知的面积为，点，分别在边，上，且，，与相交于点．若的面积为，则图中阴影部分的面积为________． 【压轴素养题型】 【题型8】等面积法求三角形的高 1.核心知识点 三角形高的定义；三角形面积公式的灵活应用 2.解题方法技巧 ①同一三角形，选取不同的边作为底，对应不同的高，但面积始终相等，据此建立等式； ②核心公式：，计算时可先约去简化运算； ③直角三角形中，两条直角边的乘积等于斜边乘斜边上的高，是等面积法的高频应用模型。 【例题8】.（25-26七年级下·河南平顶山·期末）如图，为的中线，为的中线，若的面积为，，则中边上的高是（     ） A．3 B． C．4 D． 【变式题8-1】.（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，在中，是边上的中线，是边上的高．若，的面积是6，则的长为（） A．3 B．4 C．6 D．12 【变式题8-2】.（24-25八年级上·新疆阿克苏·阶段检测）如图，中，、边上的高分别是、．已知，，． (1)的面积； (2)的长度． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，，是它的高，是它的中线．若，，求线段的长． 【题型9】利用三边关系证明线段不等关系 1.核心知识点 三角形两边之和大于第三边；辅助线构造三角形 2.解题方法技巧 ①证明线段和差的不等关系，通常需要构造三角形，将分散的线段集中到相关的三角形中； ②常用辅助线：延长某条线段与另一边相交，或连接两点构造新三角形； ③得到多个不等式后，通过不等式相加、消去公共线段，推导出最终结论。 【例题9】.（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，点在边上，求证：． 【变式题9-1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）已知P是内任意一点． (1)如图①，求证：． (2)如图②，连接，比较与的大小关系，并说明理由． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）综合实践：在学完三角形三边关系后，深入研究发现： 【直接应用】如图，在中，点D在边上，求证：． 【深化应用】若已知P是内任意一点．连接，，求证：．       【拓展应用】如图，P是内任意一点，连接，，，若三角形的周长为10，则的取值范围是 ．    【变式题9-3】.（25-26八年级下·山东·阶段检测）【阅读材料】 在解决几何问题时，我们经常需要比较线段和的大小，其中一种方法是将多个方向相同的不等式相加，从而得到新的、更有用的不等式，这种方法称为同向不等式相加．核心原理：如果，那么． 如何选择和应用不等式，是成功使用此方法的关键，请思考并完成以下探究问题． 【问题探究】 (1)（基础应用） 如图1，在中，当点位于边上时（不与、重合），___________．（填“”，“”，“”） (2)（核心方法） 如图2，当点位于内部时，完成证明：． (3)（能力提升） 如图3，、是内部的两点，连接、、，使、、、构成凸四边形．请参考第二问的证明方法，求证：． 易错点 1、判断构成三角形时验证错误：错误地用长边加短边与另一边比较，或逐一验证三组不等式效率低下，正确方法只需验证两短边之和大于最长边。 2、等腰三角形边长问题漏解或不验证：未分类讨论腰和底的两种情况，或分类后不验证三边关系，导致出现不符合三角形定义的错解。 3、混淆三角形高的位置：误认为所有三角形的高都在内部，忽略钝角三角形有两条高在三角形外部，导致相关角度、面积计算出错。 4、中线周长差计算错误：计算两个小三角形周长差时，误将中线长度计入差值，实际上中线是公共边，周长差等于原三角形两条邻边的长度差。 重点 1、三角形三边关系定理及其应用，包括判断三条线段能否构成三角形、求第三边的取值范围。 2、三角形的中线、角平分线、高的定义、性质，以及相关的周长、面积计算。 难点 1、利用三边关系证明线段不等关系，掌握构造辅助线的思路与方法。 2、高线相关的分类讨论问题，以及等面积法在复杂图形中的灵活应用。 一、单选题 1．若等腰三角形的底边和腰不等，它的两边长是不等式的正整数解．则等腰三角形的周长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．4或5 2．长治古城墙修缮时，工匠有两根木料分别长5米和8米．若要用第三根木料与之构成三角形支架，第三根木料的长度可能是（     ） A．2米 B．4米 C．13米 D．15米 3．如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 二、填空题 4．如图，为的中线，为的中线．若的面积为20，则的面积是______． 5．如图，在中，点是边上一点，，点D、F分别是、的中点，若，则______________． 6．如图，中，点，分别在边，上，，，与交于点，若，，则长的最小值为_________． 三、解答题 7．已知的三边长分别为a，b，c． (1)若，，且c为整数，求周长的最大值． (2)化简：． 8． 如图，是四边形的对角线，且相交于点O．求证：； 9．已知的三边、、满足，，且． (1)求的取值范围； (2)若的周长为26，请判断的形状． 10．综合实践： 定义：三角形三条中线的交点叫三角形的重心． 发现：如图①，将一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处悬吊起来，发现纸板处于水平状态． 探究：关于三角形的重心还有哪些性质呢？ (1)如图②，是的中线，则与的面积关系为：_______（填>、<或=）； (2)如图③，点是的重心，猜想与的面积之间的关系，并说明理由； (3)如图③，点是的重心，三条中线、、分别交、、于点、、，求的值； (4)如图④，点是的重心，且，若，，求四边形的面积． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13.2 与三角形有关的线段 【本节预习目标】 1.理解并掌握三角形三边的关系，能判断三条线段能否构成三角形，会求第三边的取值范围，体会“两点之间，线段最短”的几何原理。 2.理解三角形的稳定性，了解其在生产生活中的应用，能区分稳定与不稳定的多边形结构。 3.掌握三角形的中线、角平分线、高的定义与几何特征，能准确画出不同三角形的三条重要线段，识别其交点的位置特征。 4.能运用中线、高的性质解决周长、面积相关的计算问题，掌握等面积法的基本应用。 5.能从建筑、工程等实际情境中抽象出三角形线段模型，解决实际问题，提升几何直观与数学建模核心素养。 【前置旧知回顾】 知识模块 已学旧知 本节新知关联 三角形初步认识 三角形有3条边，外形具有稳定的特征 从几何层面严格证明三边关系，系统学习稳定性的原理与工程应用 线段与垂线 线段中点的定义；过直线外一点作已知直线的垂线 迁移中点与垂线的知识，学习三角形的中线与高，拓展到三角形内部的线段应用 角平分线 角平分线的定义，能画出任意角的平分线 将角平分线从射线拓展为三角形内的线段，研究其在三角形中的性质与应用 知识点1：三角形的三边关系 1.三边关系定理 核心结论：三角形两边的和大于第三边。对任意，三边长为，则有，，。 推论：三角形两边的差小于第三边。 理论依据：两点之间，线段最短。 2.快速判断方法 判断三条线段能否组成三角形，只需验证两条较短线段的长度之和是否大于最长线段。若大于，则能构成三角形；若小于或等于，则不能构成三角形，无需验证三组不等式。 知识点2：三角形的稳定性 1.定义 三角形三条边的长度确定后，三角形的形状和大小就完全确定，不会发生形变，这个性质叫做三角形的稳定性。 2.应用与对比 三角形具有稳定性，四边形、五边形等多边形不具有稳定性。 生活应用：自行车车架、起重机吊臂、屋顶钢架、斜拉桥等均利用三角形的稳定性加固结构；伸缩门、晾衣架则利用四边形的不稳定性。 固定规律：要使一个边形框架稳定不变形，至少需要添加条对角线，将其分割为若干个三角形。 知识点3：三角形的三条重要线段 1.定义与基本性质对比 线段类型 定义 交点名称 交点位置 中线 连接三角形一个顶点和它对边中点的线段 重心 三角形内部 角平分线 三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段 内心 三角形内部 高 从三角形的顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段 垂心 锐角三角形在内部，直角三角形在直角顶点，钝角三角形在外部 2.不同三角形的高的位置特征 三角形类型 高的分布 三条高所在直线的交点位置 锐角三角形 三条高都在三角形内部 三角形内部一点 直角三角形 两条高与直角边重合，一条高在内部 直角顶点 钝角三角形 一条高在内部，两条高在三角形外部 三角形外部一点 【基础巩固题型】 【题型1】判断三条线段能否构成三角形 1.核心知识点 三角形三边关系定理；快速判定方法 2.解题方法技巧 ①无需验证三个不等式，只需将两条较短的边相加，与最长边比较即可； ②若两短边之和大于最长边，则能构成三角形；若小于或等于，则不能构成； ③带不同单位的题目，先统一长度单位，再进行比较计算。 【例题1】.（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（     ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．2，2，5 D．3，4，7 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系任意两边之和大于第三边逐项判断即可． 【详解】解：A．由，故不能组成三角形； B．，故能组成三角形； C．，故不能组成三角形； D．，故不能组成三角形． 【变式题1-1】.（25-26七年级下·河南平顶山·期末）下列长度的三条线段，不能够组成三角形的是（     ） A．5，8，2 B．3，4，5 C．6，6，1 D．5，12，13 【答案】A 【分析】根据三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，依次判定各选项即可 【详解】解：A、∵ ，不满足三角形三边关系， ∴ 长度为，，的三条线段不能组成三角形，本选项符合题意； B、∵ ，满足三角形三边关系， ∴ 能组成三角形，本选项不符合题意； C、∵ ，满足三角形三边关系， ∴ 能组成三角形，本选项不符合题意； D、∵ ，满足三角形三边关系， ∴ 能组成三角形，本选项不符合题意 【变式题1-2】.（25-26七年级下·山西长治·期末）下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】判断三条线段能否组成三角形，只需验证两条较短边的和是否大于最长边，若满足则能组成三角形，反之不能． 【详解】解：选项A：将线段从小到大排序为，，， ∵， ∴能组成三角形． 选项B：将线段从小到大排序为，，， ∵， ∴不能组成三角形． 选项C：将线段从小到大排序为，，， ∵， ∴不能组成三角形． 选项D：将线段从小到大排序为，，， ∵， ∴不能组成三角形． 综上，能组成三角形的是． 【变式题1-3】.（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）已知线段，，． (1)判断和的大小，并说明理由； (2)用、、能构成三角形吗？为什么？ 【答案】(1)，理由： ， 线段， ， ， (2)不能构成三角形，理由： ， ， ， ， ，即、、不能构成三角形 【分析】（1）根据题意可得线段，再利用作差法即可解答； （2）得到，再利用作差法得到，结合三角形三边关系即可判断． 【详解】（1）略 （2）略 【题型2】已知两边求第三边的取值范围 1.核心知识点 三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 2.解题方法技巧 ①设第三边长为，根据“两边之差两边之和”直接写出取值范围； ②若附加“整数边”“最长边”“最短边”等条件，需在取值范围内进一步筛选符合条件的值； ③周长奇偶性问题，可结合已知两边和的奇偶性，推导第三边的奇偶性。 【例题2】.（25-26七年级下·山东菏泽·阶段检测）李师傅做了一个三角形的工件，其中两边长分别为和，则第三边的长可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设第三边的长为 ∵三角形的两边长分别为和 ∴根据三角形三边关系可得 ∴ 观察选项，只有符合该范围 ∴第三边的长可能是． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·河南周口·期末）已知三角形的两边长为3和7，则第三边x的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解第三边的取值范围． 【详解】解：根据三角形的三边关系，得， ∴． 【变式题2-2】.（25-26七年级下·四川眉山·期末）已知的三边长分别为，，，其中，，的长度为奇数，则____________． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系确定第三边的取值范围，再结合为奇数即可求出的值． 【详解】解：根据三角形三边关系得 即. 又因为的长度为奇数， 所以． 【变式题2-3】.（2026·河南三门峡·三模）已知两根木条的长分别为3和7，现再选一根木条，用这三根木条围成一个三角形木架，则所选木条的长度x的取值范围为_________． 【答案】/ 【详解】解：根据三角形三边关系，可得，即． 【题型3】三角形重要线段的识别 1.核心知识点 中线、角平分线、高的定义与图形特征 2.解题方法技巧 ①中线的标志是“中点”，对边被分成两条长度相等的线段； ②角平分线的标志是“角相等”，将一个内角分成两个相等的角； ③高的标志是“垂直”，线段与对边（或其延长线）的夹角为直角； ④注意：三条重要线段都是线段，不是直线或射线，两个端点分别在顶点和对边上。 【例题3】.（25-26八年级上·云南昭通·期末）如图，关于边上的高，下列说法正确的是（   ） A．线段是边上的高 B．线段是边上的高 C．线段是边上的高 D．线段是边上的高 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，熟记概念是解题的关键． 根据三角形的高的定义对各选项分析判断求解． 【详解】解：于点， ∴是边上的高，故A不符合题意； ∵于点E， ∴线段是边上的高，故 D符合题意； 线段不是任何边上的高，故B，C不符合题意； 故选：D． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·全国·单元复习）下列说法中错误的是（    ） A．三角形的角平分线有三条 B．三角形三条角平分线交于一点 C．三角形的角平分线是射线 D．三角形的角平分线平分一个内角 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的角平分线，根据三角形角平分线的定义逐一排除即可，正确理解三角形角平分线定义是解题的关键． 【详解】解：、三角形每个内角都可作一条角平分线，原选项正确，不符合题意； 、三角形的角平分线交于三角形内的一点，原选项正确，不符合题意； 、三角形的角平分线是线段，不是射线，原选项错误，符合题意； 、三角形的角平分线平分一个内角，原选项正确，不符合题意； 故选：． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·河南周口·期中）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（   ） A．中线、高线、角平分线 B．角平分线、高线、中线 C．中线、角平分线、高线 D．高线、中线、角平分线 【答案】B 【分析】本题考查了折叠问题，三角形的角平分线、高线、中线，理解三角形的角平分线、高线、中线的定义是解题的关键． 根据翻折的性质和三角形的角平分线、高线、中线的定义，逐个图形分析即可得出答案． 【详解】解：由图①得，， ∴是的角平分线； 由图②得，， ∵，即， ∴， ∴是的高线； 由图③得，， ∴是的中线； ∴综上所述，依次是的角平分线、高线、中线． 故选：B． 【变式题3-3】.（24-25七年级下·甘肃武威·期中）下列命题中，是真命题的是（    ） A．三角形的角平分线、中线、高都是直线 B．从三角形同一顶点引出的高、中线、角平分线中，高线最短 C．三角形的高、中线、角平分线一定都在三角形内部 D．从三角形一顶点引出的高、中线、角平分线一定不重合 【答案】B 【分析】本题考查三角形的角平分线、中线和高的概念及性质，解题关键是准确理解三角形角平分线、中线、高的定义．结合不同类型三角形（锐角、直角、钝角三角形）的特点来分析每个选项即可． 【详解】A．三角形的角平分线、中线、高都是线段，错误，故本选项不符合题意； B．从三角形同一顶点引出的高、中线、角平分线中，根据垂线段最短的性质，高线最短，正确，故本选项符合题意； C．钝角三角形有两条高在三角形外部，直角三角形有两条高是直角边，并不都在三角形内部，错误，故本选项不符合题意； D．等腰三角形（包括等边三角形）底边上的高、中线、角平分线是重合的，错误，故本选项不符合题意． 故选：B． 【题型4】三角形稳定性的实际应用 1.核心知识点 三角形的稳定性；多边形的不稳定性 2.解题方法技巧 ①判断结构是否稳定，核心看结构框架中是否包含三角形； ②固定边形框架，最少需要添加条木条，将其分割为多个三角形； ③生活实例辨析：伸缩门、活动衣架利用四边形不稳定性，钢架桥、自行车三角架利用三角形稳定性。 【例题4】.（25-26七年级下·北京·期末）如图，长治漳泽湿地公园的网红桥（神农湖大桥），在修建时采用三角形钢架结构，这是利用了三角形的________． 【答案】稳定性 【详解】解：在修建时采用三角形钢架结构，这是利用了三角形的稳定性． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·福建宁德·期末）为了防止木框变形，经常如图所示钉上一条斜拉的木条，这样做的依据是（     ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形的稳定性 D．三角形两边之和大于第三边 【答案】C 【分析】首先确定斜拉木条后木框形成的新的几何图形．因为钉斜拉木条的目的是防止木框变形，即提升结构的稳定性，所以对应寻找该几何图形的相关性质，匹配选项中对应的几何原理． 【详解】解：A选项、“两点之间线段最短”用于最短路径相关问题，不是该操作的依据． B选项、“两点确定一条直线”是画直线的原理，不是该操作的依据． C选项、原来的木框是四边形，四边形具有不稳定性，容易变形；钉上斜拉木条后，在木框中构造出了三角形，而三角形具有稳定性，因此可以防止木框变形． D选项、“三角形两边之和大于第三边”用于判断三边能否构成三角形，不是该操作的依据． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·四川乐山·期末）如图，太阳能热水器的支架形状通常为三角形，这样做的数学原理是（     ） A．三角形两边之和大于第三边 B．三角形具有稳定性 C．三角形三内角和为 D．垂线段最短 【答案】B 【详解】解：太阳能热水器的支架形状通常为三角形，这样做的数学原理是“三角形具有稳定性”， 选项A、选项C和选项D都与题干不符. 【变式题4-3】.（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图所示，在西安全运会上一名中国运动员在跪姿射击时，由左手、左肘、左肩、构成托枪的三角形，以及由左手、左肩、右肩构成近乎水平的三角形．这两个三角形可以使射击者在射击过程中保持枪的稳定，这样做的数学依据是________． 【答案】 三角形具有稳定性 【详解】解：这样做的数学依据是三角形具有稳定性， 故答案为：三角形具有稳定性． 【培优提升题型】 【题型5】等腰三角形的边长与周长计算 1.核心知识点 等腰三角形的边的特征；三角形三边关系的验证 2.解题方法技巧 ①题目未明确边长是腰还是底时，必须分“该边为腰”“该边为底”两种情况分类讨论； ②每一种情况计算出三边长后，必须验证是否满足三边关系，不满足的情况要舍去； ③已知周长和一边长求腰长时，同样需要分类讨论并验证，避免出现错解。 【例题5】.（25-26七年级下·福建泉州·期末）如果等腰三角形的腰长和底边分别为9和4，那么它的周长为________． 【答案】22 【分析】根据等腰三角形的定义可得这个等腰三角形的三边长分别为，再利用三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵等腰三角形的腰长和底边分别为9和4， ∴它的周长为． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·北京·开学考试）若实数满足，则以的值为边长的等腰三角形的周长为___________． 【答案】或 【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性得到和的值，然后再利用等腰三角形性质和三角形三边关系进行解题 【详解】解：根据题意得，，， 解得，， ①5是腰长时，三角形的三边分别为5、5、， ∵， ∴能组成三角形，周长为； ②5是底边时，三角形的三边分别为5、、， ∵ ∴能组成三角形， 周长． 综上所述，等腰三角形的周长是或． 故答案为或． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·江苏·期末）用一根长为的铁丝围成一个等腰三角形，若其中一边长为，则另外两边的长分别为________． 【答案】和或和 【分析】本题考查等腰三角形的定义，分两种情况讨论：当为腰时，底边为；当为底边时，腰为，均满足三角形三边关系定理，即可． 【详解】解：当为腰时，则底边的长为；，满足题意； 当为底边时，则腰长为；，满足题意； 故答案为：和或和 【变式题5-3】.（25-26八年级上·河南周口·阶段检测）若等腰三角形的一个腰长为，底边长为，则它的周长为（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的定义，根据等腰三角形两腰相等，已知腰长5cm，底边6cm，周长即为两腰与底边之和，进行求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形腰长为，底边为， ∴周长． 故选A． 【题型6】利用三边关系化简绝对值 1.核心知识点 三角形三边关系；绝对值的化简规则 2.解题方法技巧 ①第一步根据三边关系，判断每个绝对值内部代数式的正负：两边之和减第三边为正，两边之差减第三边为负； ②第二步根据绝对值性质去符号：正数直接去掉绝对值，负数去掉绝对值后整体加负号； ③第三步去括号、合并同类项，得到最终化简结果。 【例题6】.（25-26七年级下·辽宁阜新·期中）已知的三边长分别为a，b，c，化简__________． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系判断每个绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质化简计算即可． 【详解】解：根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，得 ，，， ，，， ∴原式 ． 【变式题6-1】.（25-26七年级下·宁夏银川·期中）已知，，分别是的三边长，化简：_____． 【答案】 【分析】先根据三角形的三边关系，化简绝对值，再进行整式的加减运算即可． 【详解】解：，，分别是的三边长， ，，， 即，，， ． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·安徽安庆·期末）已知的三边长为， (1)若，求边长的取值范围； (2)化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查三角形的三边关系、化简绝对值、整式的加减运算等知识点，熟练掌握三角形三边关系和绝对值的化简是解题的关键． （1）直接根据三角形的三边关系求解即可； （2）由三角形三边关系定理得到：，再化简绝对值，然后运用整式的加减运算法则化简即可． 【详解】（1）解：， ，即； （2）解：的三边长为， ， 原式 ． 【变式题6-3】.（25-26七年级下·重庆万州·期中）已知a，b，c是的三条边长，化简的结果为____． 【答案】 【分析】先根据三角形三边关系判断每个绝对值内式子的正负，再根据绝对值的性质化简绝对值，最后合并同类项即可得到结果． 【详解】解：∵a，b，c是的三条边长， ∴， ∴， ∴ ． 【题型7】三角形中线与周长、面积的计算 1.核心知识点 中线的定义；中线平分三角形面积 2.解题方法技巧 ①周长差问题：中线分成的两个小三角形的周长差，等于原三角形两条邻边的长度差（公共中线相互抵消）； ②面积问题：三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两个小三角形，多次取中点可依次平分面积； ③三角形三条中线交于重心，重心分中线为的两段，核心掌握面积平分的性质。 【例题7】.（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，是的边上的中线，已知，． (1)边的取值范围是__________； (2)若的周长为30，求的周长． 【答案】(1) (2)27 【分析】（1）直接根据三角形的三边关系进行求解即可； （2）根据的周长求出的长，进而得到的长，再根据三角形的周长公式进行求解即可. 【详解】（1）解：∵中，，， ∴，即； （2）解：∵的周长为30，， ∴， ∴， ∵是的边上的中线， ∴， ∴， ∴的周长. 【变式题7-1】.（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，是的中线，，，若的周长为18，则的周长为_________． 【答案】20 【分析】根据三角形的中线及周长公式可进行求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长为18，， ∴，即， ∴， ∵， ∴的周长为． 【变式题7-2】.（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，是边上的一点（不与点，重合），点，是线段的三等分点，记的面积为，的面积为，若，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】点，是线段的三等分点，根据同高三角形面积之比等于对应底边之比，可得出，，最后便可以求出的面积． 【详解】解：∵点，是线段的三等分点， ∴， ∴ 同理， ∴ ， ∵， ∴． 【变式题7-3】.（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，已知的面积为，点，分别在边，上，且，，与相交于点．若的面积为，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】9 【分析】连接，由与等高，，可得到．又因为与等底等高，故可得，从而，又与等底等高，即可得出阴影部分的面积． 【详解】解：连接， ，的面积为3 ， ，的面积为， ， ， 与等底等高， ， 图中阴影部分的面积为9． 【压轴素养题型】 【题型8】等面积法求三角形的高 1.核心知识点 三角形高的定义；三角形面积公式的灵活应用 2.解题方法技巧 ①同一三角形，选取不同的边作为底，对应不同的高，但面积始终相等，据此建立等式； ②核心公式：，计算时可先约去简化运算； ③直角三角形中，两条直角边的乘积等于斜边乘斜边上的高，是等面积法的高频应用模型。 【例题8】.（25-26七年级下·河南平顶山·期末）如图，为的中线，为的中线，若的面积为，，则中边上的高是（     ） A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】利用三角形中线性质和同底等高面积相等，有，过点E作，利用面积公式即可求得答案． 【详解】解：过点E作交于点F，如下图， ∵为的中线，为的中线， ∴，， ∴， ∵的面积为30，， ∴， 解得， 即中边上的高为3． 【变式题8-1】.（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，在中，是边上的中线，是边上的高．若，的面积是6，则的长为（） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【分析】根据三角形中线的性质求出的面积，再利用三角形面积公式求出的长即可． 【详解】解：∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分， ∴， ∵是边上的高，， ∴， ∴， ∴． 【变式题8-2】.（24-25八年级上·新疆阿克苏·阶段检测）如图，中，、边上的高分别是、．已知，，． (1)的面积； (2)的长度． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：的面积为：； （2）解：， ． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，，是它的高，是它的中线．若，，求线段的长． 【答案】6 【分析】本题主要考查了三角形的中线和高线．根据三角形中线的性质可得，，再由，即可求解． 【详解】解：∵是中线，，， ∴，， ∵是高， ∴，即， ∴． 【题型9】利用三边关系证明线段不等关系 1.核心知识点 三角形两边之和大于第三边；辅助线构造三角形 2.解题方法技巧 ①证明线段和差的不等关系，通常需要构造三角形，将分散的线段集中到相关的三角形中； ②常用辅助线：延长某条线段与另一边相交，或连接两点构造新三角形； ③得到多个不等式后，通过不等式相加、消去公共线段，推导出最终结论。 【例题9】.（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在中，点在边上，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形三边关系，不等式的性质，根据三角形中，任意两边之和大于第三边可得，进而得到，即可证明结论． 【详解】证明：在中，（三角形两边之和大于第三边）， ∴（不等式的性质）， ∴． 【变式题9-1】.（25-26八年级上·全国·课后作业）已知P是内任意一点． (1)如图①，求证：． (2)如图②，连接，比较与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边是解答此题的关键. （1）延长，交于D，在中，根据三角形两边之和大于第三边可得同理中，可得再根据不等式的性质得到进而证明； （2）在三个三角形中分别利用三边关系列出三个不等式，相加后即可得到正确的结论. 【详解】（1）（1）证明：如图，延长，交于点D． 在中，． 在中，， 即． （2）（2）． 理由：在中，． 同理可得，． 以上三式左、右两边分别相加，得， 即． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）综合实践：在学完三角形三边关系后，深入研究发现： 【直接应用】如图，在中，点D在边上，求证：． 【深化应用】若已知P是内任意一点．连接，，求证：．       【拓展应用】如图，P是内任意一点，连接，，，若三角形的周长为10，则的取值范围是 ．    【答案】直接应用：见解析；深化应用：见解析；拓展应用： 【分析】本题主要考查了三角形三边关系定理： 直接应用：根据三角形三边关系得到，在不等式两边都加上即可得到结论； 深化应用：延长交于点D，根据三角形三边关系得到①，②， 利用即可推出； 拓展应用：根据三角形三边关系得到，，，将三个关系式相加并整理，结合三角形的周长即可得到答案． 【详解】解：[直接应用]：由三角形三边关系得，， ∴，即； [深化应用]：如图，延长交于点D， ∵①，②， ∴得， ∴， 即； [拓展应用]：在中，， 同理，，， 得，， ∴, 得， ∵点是内的任意一点，当点无限接近三角形的某一顶点时，就无限接近三角形的周长，但始终小于三角形的周长， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式题9-3】.（25-26八年级下·山东·阶段检测）【阅读材料】 在解决几何问题时，我们经常需要比较线段和的大小，其中一种方法是将多个方向相同的不等式相加，从而得到新的、更有用的不等式，这种方法称为同向不等式相加．核心原理：如果，那么． 如何选择和应用不等式，是成功使用此方法的关键，请思考并完成以下探究问题． 【问题探究】 (1)（基础应用） 如图1，在中，当点位于边上时（不与、重合），___________．（填“”，“”，“”） (2)（核心方法） 如图2，当点位于内部时，完成证明：． (3)（能力提升） 如图3，、是内部的两点，连接、、，使、、、构成凸四边形．请参考第二问的证明方法，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据题意得，不等式两边都加上即可得出结论； （2）延长交于点，证明，，两式相加得，从而可得； （3）延长交于点，延长交于点，证明，，，三式相加可得结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴， ∴； （2）证明：如图，延长交于点， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴ 即； （3）证明：如图，延长交于点，延长交于点， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 即． 易错点 1、判断构成三角形时验证错误：错误地用长边加短边与另一边比较，或逐一验证三组不等式效率低下，正确方法只需验证两短边之和大于最长边。 2、等腰三角形边长问题漏解或不验证：未分类讨论腰和底的两种情况，或分类后不验证三边关系，导致出现不符合三角形定义的错解。 3、混淆三角形高的位置：误认为所有三角形的高都在内部，忽略钝角三角形有两条高在三角形外部，导致相关角度、面积计算出错。 4、中线周长差计算错误：计算两个小三角形周长差时，误将中线长度计入差值，实际上中线是公共边，周长差等于原三角形两条邻边的长度差。 重点 1、三角形三边关系定理及其应用，包括判断三条线段能否构成三角形、求第三边的取值范围。 2、三角形的中线、角平分线、高的定义、性质，以及相关的周长、面积计算。 难点 1、利用三边关系证明线段不等关系，掌握构造辅助线的思路与方法。 2、高线相关的分类讨论问题，以及等面积法在复杂图形中的灵活应用。 一、单选题 1．若等腰三角形的底边和腰不等，它的两边长是不等式的正整数解．则等腰三角形的周长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．4或5 【答案】C 【分析】先解一元一次不等式得到正整数解，再结合等腰三角形底边与腰不等的条件，分情况讨论，根据三角形三边关系判断能否构成三角形，进而计算周长得到答案． 【详解】解：解不等式，移项得． ．不等式的正整数解为和． 等腰三角形的底边和腰不等，三边长可能为和， 分两种情况讨论：①若腰长为，底边长为，三边长为． ，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去． ②若腰长为，底边长为，三边长为，满足三角形三边关系， 此时周长为． 因此等腰三角形的周长为， 故选C． 2．长治古城墙修缮时，工匠有两根木料分别长5米和8米．若要用第三根木料与之构成三角形支架，第三根木料的长度可能是（     ） A．2米 B．4米 C．13米 D．15米 【答案】B 【分析】根据定理求出第三边的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：设第三根木料的长度为米， ∵两根木料长分别为5米和8米， ∴， 即， 观察选项，只有4米符合该范围． 3．如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】根据和求出，根据是中线即可求解． 【详解】解：， ， ∵是中线， ． 二、填空题 4．如图，为的中线，为的中线．若的面积为20，则的面积是______． 【答案】5 【分析】利用三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，先由是的中线求出的面积，再由是的中线求出的面积． 【详解】解：∵为的中线，， ∴， ∵为的中线， ∴． 5．如图，在中，点是边上一点，，点D、F分别是、的中点，若，则______________． 【答案】3 【分析】根据三角形的中线平分三角形的面积可求出，，再由得到，据此可得答案． 【详解】解：∵点D、F分别是、的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴． 6．如图，中，点，分别在边，上，，，与交于点，若，，则长的最小值为_________． 【答案】6 【分析】连接，根据，得到，设，则，根据得到，，进而得到，则可求出，则，解方程求出的面积，再根据点C到的距离h一定满足，，可求出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴点C到的距离h一定满足， 又∵， ∴当时，有最小值，最小值为6． 三、解答题 7．已知的三边长分别为a，b，c． (1)若，，且c为整数，求周长的最大值． (2)化简：． 【答案】(1)27 (2) 【分析】（1）根据三角形的三边关系确定c的取值范围，进而求得c的最大值，最后求周长即可； （2）先根据三角形的三边关系确定、、的正负，再化简绝对值，然后再合并同类项即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ，即， ∵c为整数， ∴当，周长的最大值为； （2）解：的三边长为a，b，c， ，，， ∴ ． 8． 如图，是四边形的对角线，且相交于点O．求证：； 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．在和中，利用三角形三边关系即可求证结论． 【详解】证明：在和中， ， ，即， ． 9．已知的三边、、满足，，且． (1)求的取值范围； (2)若的周长为26，请判断的形状． 【答案】(1) (2)是等腰三角形 【分析】（1）先通过已知等式将，用含的代数式表示，再结合三角形三边关系和的条件求出的取值范围； （2）根据周长求出的值，进而得到三边长，即可判断三角形形状． 【详解】（1）解：∵， ∴变形整理得 两式相加得，即 两式相减得，即 ∵， ∴代入得， 解得 ∵， ∴代入得， 解得 ∵， ∴代入得， 解得 ， ， 解得 ， ∴的取值范围是； （2）的周长为 将代入得 解得，满足 将代入得， ，，有两边相等 是等腰三角形． 10．综合实践： 定义：三角形三条中线的交点叫三角形的重心． 发现：如图①，将一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处悬吊起来，发现纸板处于水平状态． 探究：关于三角形的重心还有哪些性质呢？ (1)如图②，是的中线，则与的面积关系为：_______（填>、<或=）； (2)如图③，点是的重心，猜想与的面积之间的关系，并说明理由； (3)如图③，点是的重心，三条中线、、分别交、、于点、、，求的值； (4)如图④，点是的重心，且，若，，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)，理由如下：     点是的重心， ， 和同高，设高为， ， 同理得， ∴， ， ∴； (3) (4) 【分析】本题考查三角形中线的性质以及三角形面积的计算： （1）根据的中线得到，由于高相同，利用三角形面积公式可得出结论； （2）根据题干中关于重心的定义得，由于和同高，和同高，得出，去掉公共三角形，即可得到与的面积相等； （3）根据题干中关于重心的定义得，利用三角形面积公式得，去掉公共部分，得，利用三角形等底同高得，，即可得出结论； （4）连接交于点，先求出，通过各三角形底边之间的关系，得到、，进而求出四边形的面积． 【详解】（1）解：是三角形的中线， ， 和的底边分别是和，它们共用同一个顶点， 它们的高相等，设为， ． （2）解：，理由略． （3）解：点是的重心， ， 和同高，设高为， ， ， ∴， 同理：等底同高，等底同高， ，， ∴， ∴． （4）解：如图，连接交于点， 是的重心， 由（3）可得出，，，， 设，， ∴， 同理得，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 同高， 设它们的高为， ，，且， ， 、和同高，设高为， ，，， ， ， ， ， ， 同理可得，， ∴． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $