3.2 勾股定理的逆定理 小节复习题2026-2027学年苏科版八年级数学上册

3.2《勾股定理的逆定理》小节复习题 一、单选题 1．下列各组数是勾股数的是（   ） A．2，3，4 B．0.3，0.4，0.5 C．，2， D．5，12，13 2．下列由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．，， 3．如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，点在边长为的正方形内，测得，，则阴影部分的面积是（    ） A．12 B．16 C．19 D．25 5．若m，n是正整数且，由m，n的值可确定勾股数a，b，c，其中，，，则下列勾股数不能由m，n确定的是（     ） A．5，12，13 B．9，12，15 C．8，15，17 D．7，24，25 6．以下列所给数据为三角形的各边长，组成的三角形是直角三角形的有（     ） ①7，24，25；        ②，，； ③，，；    ④1，，． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 7．如图，在的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，从中任意找出3点组成三角形，下列选项中，是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在四边形中，，，，，，那么四边形的面积是（    ） A． B．8 C． D． 9．如图，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（     ） A．4 B． C．10 D． 10．如图，以的三边为边长向外作正方形，已知这三个正方形构成的图形中，，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．12 二、填空题 11．有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是______． 12．如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、F，的垂直平分线分别交于点E、G，点E在点D右侧．若，则的面积为_________． 13．如图，D为△ABC边BC上的一点，AB＝20，AC＝13，AD＝12，DC＝5，则S△ABC＝______． 14．如图，在中，，，，，将绕点顺时针旋转，点、的对应点分别是、，点为直线上一点，且，点为线段上一动点．在旋转过程中，则线段的取值范围是__________． 15．a，b，c为直角三角形的三边，且c为斜边，h为斜边上的高．下列说法中：①能组成三角形；②能组成三角形；③c+h，a+b，h能组成直角三角形；④能组成直角三角形；正确的序号是_________． 三、解答题 16．第14届数学教育大会会标如图1所示，会标中心图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形． (1)请用图2验证勾股定理：； (2)如果满足等式的是三个正整数，我们称为勾股数．已知是正整数且．证明是勾股数； (3)我校社团计划在学校菜园上种青菜，使之构成如图2所示的“弦图”，已知这四个直角三角形的三边是勾股数，最短的边长为12米，种青菜要求：仅在三角形边上种青菜，每个三角形顶点处都种1棵青菜，各边上相邻两棵青菜之间的距离均为1米，那么这块菜园最少需要种植___________棵青菜．（直接写出结果，不必说明理由）． 17．已知：，， (1)当n时，写出的值_______； (2)当n时，若以a、b、c的值作为一个三角形的三边长，则这个三角形的面积是_______．（直接写出答案） (3)小明发现：当n取大于1的整数时，a、b、c为勾股数，你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 18．在中，，于点D，设，，，． (1)求证：； (2)判断以，、h为边的三角形的形状，并说明理由． 19．如图，每个小方格的边长都为1． (1)求图中格点的面积； (2)判断的形状，并证明你的结论． 20．如图，在四边形中，，，，，． 求四边形的面积． 参考答案 一、单选题 1．D 解：A：，，，不是勾股数； B：，，不是正整数，不是勾股数； C：，不是正整数，不是勾股数； D：，，即，且均为正整数，是勾股数． 故选：D． 2．B 解：A、选项中最长边为6，，，，∴该三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意． B、选项中最长边为17，，，，∴该三角形是直角三角形，故本选项符合题意． C、选项中最长边为15，，，，∴该三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意． D、选项中最长边为，，，，∴该三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：B． 3．A 解：A、三角形各边长为、、，，故该三角形为钝角三角形，符合题意； B、各边长、、，，故该三角形为直角三角形，不符合题意； C、各边长、、，，故该三角形为直角三角形，不符合题意； D、各边长、、，，故该三角形为直角三角形，不符合题意． 4．C 解：∵， ∴，即是直角三角形， ∴，且正方形的面积为， ∴阴影部分的面积为， 故选： C． 5．B 解：A、∵，，，，，， ∴， 解得：，故选项A不符合题意； B、∵，，，，，， ∴， 解得：，， ∵m、n无正整数解，故选项B符合题意； C、∵，，，，，， ∴， 解得：，故选项C不符合题意； D、∵，，，，，， ∴， 解得：，故选项D不符合题意． 6．C 解：① 对边长，最长边为， 计算得，满足勾股定理逆定理，是直角三角形； ② 对边长，比较可得是最长边． 计算得，满足勾股定理逆定理，是直角三角形； ③ 对边长，最长边为． 展开计算得， ，两者不相等，不满足条件，不是直角三角形； ④ 对边长，最长边为， 计算得，满足勾股定理逆定理，是直角三角形． 综上，共有①②④3组符合条件． 7．B 解：由网格特点，，，，，， A. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； B. 中，，则是直角三角形，故该选项符合题意；     C. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意；     D. 中，，则不是直角三角形，故该选项不符合题意； 故选：B． 8．A 解：如图，连接, ∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴ ． 9．D 解：如图，在边上取点G使，连接，过点A作于点H， ∵的平分线交于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 在中，，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 则的最小值为 10．B 解：如图，过点作于点 由题意得，， ∵ ∴， ∴， ∴， 由正方形可得，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴，， 同理可证明：， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 故选：B． 二、填空题 11．2022 解：如图， 由题意得：，由勾股定理得：，则 “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理可得：“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3，“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4，……“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2022． 故答案为：2022． 12．96 解：连接， ∵的垂直平分线分别交于点D、F，的垂直平分线分别交于点E、G， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：96． 13．126 解：在△ACD中，∵AD2+CD2＝122+52＝132＝AC2， ∴△ACD为直角三角形，其中∠ADC＝90°， 则△ABD是直角三角形， ∵AB＝20， ∴BD＝＝＝16， 则S△ABC＝•BC•AD＝×（16+5）×12＝126， 故答案为：126． 14． 解：∵直角中，，，， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质可得，，，； 如图，连接， 则， 当时，最小，则最小， 此时， ∴的最小值为， 当与重合时，三点共线，此时最大，如图， ∴的最大值为； ∴； 故答案为：． 15．②③ 解：，，是的三边，且，是斜边上的高， ①，不符合三角形的两边之和大于第三边； ∴不能组成三角形， ①错误； ②∵，； 又、、能组成三角形， ， ； ， ，，组成三角形（这里明显是最长边）； ，，能组成三角形， ②正确； ③，（直角三角形面积两直角边乘积的一半斜边和斜边上的高乘积的一半）， ， ， ， ， ， ， 、、能组成直角三角形； ③正确； ④不符合三角形的两边之和大于第三边； ，，不能组成直角三角形， ④错误． 正确的序号是②③． 故答案为：②③． 三、解答题 16．(1) 解：∵大正方形的面积为， 或 ， ∴； (2) 证明：∵是正整数且， ∴均为正整数 ∵，，， ∴， ∴，，是勾股数； （3）∵是正整数且， ∴要使勾股数最小则有，， ∴最小勾股数为，，， ∵最短的边长为米， ∴直角三角形三边为米，米，米， 则这块菜园最少种植青菜（棵）， 答：这块菜园最少需要种植棵青菜． 17．（1）解：由题意得， ， ∴当n时， ， 故答案为：20； （2）解：， 当时， ， ， ， 这个三角形的面积是， 故答案为：24； (3) 解：小明的发现正确，理由如下： ， ， 当取大于1的整数时，、、为一组勾股数． 18．（1）证明：在中，由勾股定理得：， 由三角形的面积公式可知：． ． ． ，， ． （2）解：该三角形是直角三角形，理由如下： 由（1）得：， ． ，h，为边的三角形是直角三角形． 19．（1）解：． (2) 解：是直角三角形．证明如下： 由图可知，，， ， 是直角三角形． 20．在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ． 学科网（北京）股份有限公司 $