3.2 勾股定理的逆定理 课时作业 2026-2027学年苏科版数学八年级上册

**基本信息** 初中数学苏科版八年级上册“勾股定理的逆定理”同步练，以“基础巩固-能力提升-拓展探究”分层设计，通过概念辨析、推理应用、综合实践三阶路径，强化逆定理判定、勾股数识别及互逆命题理解，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|逆定理判定步骤、勾股数识别、互逆命题概念|选择填空结合网格图形题，强化符号意识与空间观念| |能力提升|逆定理与非负性、四边形面积综合应用|含航海问题、代数变形题，发展运算能力与模型意识| |拓展探究|中线性质、正方形中直角判定|通过动态图形与代数推理，培养创新意识与逻辑思维|

苏科版 · 八年级上册 · 数学课时作业　3.2 勾股定理的逆定理 第3章　勾股定理　3.2 勾股定理的逆定理　课时作业 （苏科版　八年级上册）　班级：________　姓名：________　学号：________　得分：________ 学习目标 1．掌握勾股定理的逆定理，能用它判定一个三角形是不是直角三角形． 2．了解勾股数的概念，能识别常见的勾股数． 3．了解互逆命题、互逆定理的概念，会写出一个命题的逆命题并判断真假． 4．能综合运用勾股定理及其逆定理解决简单问题． 一、知识点梳理 知识点1　勾股定理的逆定理 内容：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形． 说明：满足 a²+b²=c² 时，边 c 所对的角是直角，即最长边所对的角是直角． 知识点2　判定直角三角形的一般步骤 （1）确定最长边：找出三条边中最长的边 c； （2）计算比较：分别计算 a²+b² 与 c² 的值； （3）得出结论：若 a²+b²=c²，则该三角形是直角三角形，且最长边 c 所对的角是直角；若 a²+b²≠c²，则该三角形不是直角三角形． 知识点3　勾股数 定义：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数． 常见勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41． 性质：若 a，b，c 是一组勾股数，则 ka，kb，kc（k 为正整数）也是一组勾股数． 注意：勾股数必须是正整数，如 0.3，0.4，0.5 虽能构成直角三角形，但不是勾股数． 知识点4　互逆命题与互逆定理 互逆命题：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题． 互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理． 例如：勾股定理与勾股定理的逆定理是互逆定理．注意：原命题正确，它的逆命题不一定正确．如“对顶角相等”是真命题，它的逆命题“相等的角是对顶角”是假命题． 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 三角形是直角三角形 三角形三边满足 a²+b²=c² 结论 三边满足 a²+b²=c² 三角形是直角三角形 作用 由“形”到“数”：求边长 由“数”到“形”：判定直角 二、例题精讲 例1　判断由下列线段 a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形： （1）a=7，b=24，c=25；（2）a=1.5，b=2，c=2.5；（3）a=，b=，c=；（4）a=1，b=，c=． 解：（1）7²+24²=49+576=625=25²，是直角三角形； （2）1.5²+2²=2.25+4=6.25=2.5²，是直角三角形； （3）最长边是 a=，+=+=，而 =，≠，不是直角三角形； （4）1²+=1+2=3=，是直角三角形． 例2　如图，在四边形 ABCD 中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，求四边形 ABCD 的面积． 解：连接 AC．在 Rt△ABC 中，AC==5． 在△ACD 中，AC²+CD²=25+144=169=AD²，所以△ACD 是直角三角形，∠ACD=90°． 所以 S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=×3×4+×5×12=6+30=36． 例3　已知△ABC 的三边长 a，b，c 满足 (a-5)²+|b-12|+=0，判断△ABC 的形状． 解：由非负性得 a=5，b=12，c=13．因为 5²+12²=169=13²，所以△ABC 是直角三角形，且∠C=90°． 三、基础巩固 （一）选择题（每题只有一个正确选项） 1．下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（　　） A．2，3，4 B．4，5，6 C．6，8，10 D．7，8，9 2．下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．0.3，0.4，0.5 B．1，， C．9，12，15 D．，， 3．若△ABC 的三边长 a，b，c 满足 (a+b)(a-b)=c²，则△ABC 是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 4．下列条件中，不能判定△ABC 是直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B=∠C B．∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5 C．a²=(b+c)(b-c) D．a∶b∶c=5∶12∶13 5．命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是（　　） A．对应角相等的三角形全等 B．不全等的三角形对应角不相等 C．全等三角形的对应边相等 D．对应角不相等的三角形不全等 6．已知一个三角形的三边长分别为 6，8，10，则这个三角形最长边上的高为（　　） A．4.8 B．5 C．2.4 D．6 7．如图，在正方形网格中（每个小正方形的边长均为 1），△ABC 的三个顶点都在格点上，则∠BAC 的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 8．已知三角形的三边长分别为 1，2，x，若这个三角形是直角三角形，则 x 的值为（　　） A． B． C． 或 D．3 9．若△ABC 的三边长分别为 m²-1，2m，m²+1（m>1），则△ABC 是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 10．一个三角形的三边长之比为 3∶4∶5，周长为 36，则它的面积为（　　） A．54 B．108 C．90 D．45 （二）填空题 11．如果三角形的三边长 a，b，c 满足____，那么这个三角形是直角三角形． 12．命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是____________，它是____命题（填“真”或“假”）． 13．一个三角形的三边长分别为 8，15，17，则这个三角形中最大角的度数为____． 14．请写出一组勾股数：____． 15．在△ABC 中，AB=10，BC=6，AC=8，则∠____=90°． 16．已知 |a-6|+(b-8)²+=0，则以 a，b，c 为边长的三角形的面积为____． 17．观察下列各组勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，按此规律，第 5 组勾股数是____． 18．三角形的三边长分别为 ，，，则这个三角形是____三角形． 四、能力提升 19．判断以下列线段 a，b，c 为边能否组成直角三角形，如果能，指出哪个角是直角： （1）a=15，b=8，c=17；　　（2）a=13，b=14，c=15； （3）a=，b=，c=1；　　（4）a=2，b=，c=3． 20．如图，在四边形 ABCD 中，∠B=90°，AB=BC=2，CD=3，DA=1，求∠DAB 的度数． 21．如图，某校有一块四边形空地 ABCD，∠ADC=90°，AD=4 m，CD=3 m，AB=13 m，BC=12 m．学校计划在这块空地上种植草皮，若每平方米草皮需要 100 元，则种植这块草皮共需多少元？ 22．已知△ABC 的三边长 a，b，c 满足 a²+b²+c²+50=6a+8b+10c，判断△ABC 的形状，并说明理由． 23．如图，在△ABC 中，D 为 BC 上一点，AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，求 CD 和 BC 的长． 24．写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假： （1）如果 a=b，那么 a²=b²；（2）直角三角形的两个锐角互余；（3）对顶角相等． 25．已知 n 是大于 1 的整数，a=n²-1，b=2n，c=n²+1． （1）求证：以 a，b，c 为边长的三角形是直角三角形； （2）分别取 n=2，3，4，写出对应的三组勾股数． 26．如图，甲、乙两船同时从港口 O 出发，甲船以 12 海里/时的速度沿北偏东 35°方向航行，乙船沿另一方向航行，速度为 16 海里/时．2 小时后，两船相距 40 海里，求乙船的航行方向． 五、拓展探究 27．如图，在△ABC 中，AB=17，BC=16，BC 边上的中线 AD=15，求 AC 的长． 28．如图，在正方形 ABCD 中，E 是 BC 的中点，F 是 CD 上一点，且 CF=CD．求证：∠AEF=90°． 29．已知△ABC 的三边长为 a，b，c，且 a+b=17，ab=60，c=13，△ABC 是直角三角形吗？请说明理由． 六、易错辨析 判断下列说法是否正确（正确的在括号内画“✓”，错误的画“✗”），并将错误的说法改正． 30．若三角形三边长 a，b，c 满足 a²+b²=c²，则∠A=90°．（　　） 31．0.6，0.8，1 是一组勾股数．（　　） 32．任何一个命题都有逆命题．（　　） 33．任何一个定理都有逆定理．（　　） 34．三边长为 5，12，13 的三角形是直角三角形．（　　） 七、综合应用 35．一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠B 与∠ACD 都应为直角．工人师傅量得这个零件各边尺寸如下：AB=3 cm，BC=4 cm，CD=12 cm，AD=13 cm，且∠B=90°．这个零件符合要求吗？ 36．木工师傅做好一个长方形桌面后，为了检验桌面的一个角∠A 是否为直角，他量得这个角的两边 AB=80 cm，AD=60 cm，对角线 BD=100 cm．∠A 是直角吗？请说明理由． 37．已知△ABC 中，AB=，BC=，AC=，判断△ABC 的形状． 参考答案及解析 三、基础巩固 1．【答案】C 【解析】6²+8²=36+64=100=10²；而 2²+3²≠4²，4²+5²≠6²，7²+8²≠9²． 2．【答案】C 【解析】勾股数必须是正整数，A，B，D 中有不是正整数的数；9²+12²=81+144=225=15²，所以 C 是勾股数． 3．【答案】B 【解析】(a+b)(a-b)=a²-b²=c²，所以 a²=b²+c²，△ABC 是直角三角形，且∠A=90°． 4．【答案】B 【解析】A．∠A+∠B=∠C，又∠A+∠B+∠C=180°，所以∠C=90°； B．最大角∠C=180°×=75°，不是直角三角形； C．a²=b²-c²，即 a²+c²=b²，是直角三角形；D．(5k)²+(12k)²=(13k)²，是直角三角形． 5．【答案】A 【解析】把原命题的条件和结论互换即可得到逆命题．原命题条件是“两个三角形全等”，结论是“对应角相等”． 6．【答案】A 【解析】6²+8²=10²，所以是直角三角形，最长边上的高为 =4.8． 7．【答案】D 【解析】AB²=1²+3²=10，AC²=3²+1²=10，BC²=4²+2²=20，因为 AB²+AC²=BC²，所以∠BAC=90°． 8．【答案】C 【解析】当 2 为直角边时，x==；当 2 为斜边时，x==． 9．【答案】B 【解析】(m²-1)²+(2m)²=m4-2m²+1+4m²=m4+2m²+1=(m²+1)²，所以是直角三角形． 10．【答案】A 【解析】设三边为 3k，4k，5k，则 12k=36，k=3，三边为 9，12，15．因为 9²+12²=15²，所以是直角三角形，面积为 ×9×12=54． 11．【答案】a²+b²=c² 【解析】这就是勾股定理的逆定理． 12．【答案】同位角相等，两直线平行；真 【解析】这是平行线的判定定理，是真命题． 13．【答案】90° 【解析】8²+15²=64+225=289=17²，所以是直角三角形，最大角为 90°． 14．【答案】3，4，5（答案不唯一） 【解析】也可以是 5，12，13 或 6，8，10 等． 15．【答案】C 【解析】BC²+AC²=36+64=100=AB²，所以 AB 所对的角是直角，即∠C=90°． 16．【答案】24 【解析】a=6，b=8，c=10，6²+8²=10²，所以是直角三角形，面积为 ×6×8=24． 17．【答案】11，60，61 【解析】规律：第 n 组的第一个数是 2n+1，后两个数是相邻的整数且和为 (2n+1)²．第 5 组第一个数是 11，11²=121=60+61，验证 11²+60²=121+3600=3721=61²． 18．【答案】直角 【解析】+=3+2=5=． 四、能力提升 19．【答案】见解析 【解析】（1）8²+15²=289=17²，能，∠C=90°； （2）13²+14²=365≠225=15²，不能； （3）+=+=1=1²，能，∠C=90°； （4）2²+=4+5=9=3²，能，∠C=90°． 20．【答案】135° 【解析】连接 AC．因为∠B=90°，AB=BC=2，所以∠BAC=45°，AC²=2²+2²=8． 在△ACD 中，AD²+AC²=1+8=9=CD²，所以△ACD 是直角三角形，∠DAC=90°． 所以∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°+45°=135°． 21．【答案】2400 元 【解析】连接 AC．在 Rt△ADC 中，AC==5（m）． 在△ABC 中，AC²+BC²=25+144=169=AB²，所以∠ACB=90°． S四边形ABCD=S△ACB-S△ACD=×5×12-×4×3=30-6=24（m²）． 24×100=2400（元）．答：种植这块草皮共需 2400 元． 22．【答案】直角三角形 【解析】原式可化为 (a²-6a+9)+(b²-8b+16)+(c²-10c+25)=0，即 (a-3)²+(b-4)²+(c-5)²=0． 所以 a=3，b=4，c=5．因为 3²+4²=5²，所以△ABC 是直角三角形，∠C=90°． 23．【答案】CD=9，BC=14 【解析】在△ABD 中，AD²+BD²=144+25=169=AB²，所以∠ADB=90°，即 AD⊥BC． 所以∠ADC=90°，在 Rt△ADC 中，CD===9． BC=BD+CD=5+9=14． 24．【答案】见解析 【解析】（1）逆命题：如果 a²=b²，那么 a=b．是假命题（如 a=1，b=-1）； （2）逆命题：两个锐角互余的三角形是直角三角形．是真命题； （3）逆命题：相等的角是对顶角．是假命题． 25．【答案】见解析 【解析】（1）因为 n>1，所以 a，b，c 都是正数，且 c 最大．a²+b²=(n²-1)²+(2n)²=n4-2n²+1+4n²=n4+2n²+1=(n²+1)²=c²， 所以以 a，b，c 为边长的三角形是直角三角形． （2）n=2 时：3，4，5；n=3 时：8，6，10；n=4 时：15，8，17． 26．【答案】南偏东 55° 【解析】2 小时后，甲船行驶 12×2=24（海里），乙船行驶 16×2=32（海里）． 因为 24²+32²=576+1024=1600=40²，所以两船航线的夹角为 90°． 甲船沿北偏东 35°方向航行，所以乙船的航向与正南方向的夹角为 180°-90°-35°=55°，即乙船沿南偏东 55°方向航行． （说明：若乙船在甲船航线的另一侧，则航向为北偏西 55°．由图可知乙船向东南方向航行，所以为南偏东 55°．） 五、拓展探究 27．【答案】17 【解析】因为 AD 是 BC 边上的中线，所以 BD=CD=8． 在△ABD 中，AD²+BD²=225+64=289=AB²，所以∠ADB=90°，即 AD⊥BC． 所以 AD 垂直平分 BC，所以 AC=AB=17（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）． 28．【答案】见解析 【解析】设正方形的边长为 4a，则 BE=EC=2a，CF=a，DF=3a． 在 Rt△ABE 中，AE²=(4a)²+(2a)²=20a²；在 Rt△ECF 中，EF²=(2a)²+a²=5a²； 在 Rt△ADF 中，AF²=(4a)²+(3a)²=25a²． 因为 AE²+EF²=20a²+5a²=25a²=AF²，所以△AEF 是直角三角形，∠AEF=90°． 29．【答案】是直角三角形 【解析】a²+b²=(a+b)²-2ab=17²-2×60=289-120=169=13²=c²， 所以△ABC 是直角三角形，∠C=90°． 六、易错辨析 30．【答案】✗ 【解析】边 c 所对的角是直角，应为∠C=90°． 31．【答案】✗ 【解析】勾股数必须是正整数，0.6，0.8，1 虽能构成直角三角形，但不是勾股数． 32．【答案】✓ 【解析】把任何一个命题的条件和结论互换，都能得到它的逆命题． 33．【答案】✗ 【解析】定理的逆命题不一定是真命题，如“对顶角相等”是定理，但它的逆命题是假命题，所以不是每个定理都有逆定理． 34．【答案】✓ 【解析】5²+12²=169=13²． 七、综合应用 35．【答案】符合要求 【解析】在 Rt△ABC 中，AC==5． 在△ACD 中，AC²+CD²=25+144=169=AD²，所以∠ACD=90°．所以这个零件符合要求． 36．【答案】∠A 是直角 【解析】在△ABD 中，AB²+AD²=80²+60²=6400+3600=10000=100²=BD²， 由勾股定理的逆定理可知△ABD 是直角三角形，BD 所对的角∠A=90°． 37．【答案】等腰直角三角形 【解析】+=5+5=10=，即 BC²+AC²=AB²，所以∠C=90°． 又 BC=AC，所以△ABC 是等腰直角三角形． 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $