精品解析：湖南娄底市娄星区2026-2027学年八年级上学期第一次数学学情自测

湖南省2026年八年级（上）作业（一） 数学（湘教版） 考生注意： 1．本学科试卷分试题卷和答题卡两部分，时量120分钟，满分120分． 2．请在答题卡上作答，答在试卷上无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 代数式，，，，，中，属于分式的有（） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【详解】解：分母中含有字母的代数式是分式，为常数． 、、的分母均为常数，属于整式； 、、的分母均含有字母，属于分式，共3个． 2. 下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，理解因式分解的定义：把一个多项式分成几个因式的积的形式．据此进行解答即可． 【详解】解：A．，没有把一个多项式写成几个因式的积的形式，它不属于因式分解，故此项不符合题意； B．，没有把一个多项式写成几个因式的积的形式，它不属于因式分解，故此项不符合题意； C．，把一个多项式写成几个因式的积的形式，它属于因式分解，故此项符合题意； D．计算错误，故此项不符合题意． 故选：C． 3. 多项式各项的公因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定系数的最大公约数，再确定各项的相同字母，并取相同字母的最低指数次幂． 【详解】解：各项系数的最大公约数为3，相同字母的最低次幂为，相同字母的最低次幂为， ∴ 公因式为． 4. 把分式的分子分母中的a，b都扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 变为原来的2倍 C. 变为原来的倍 D. 扩大为原来的2倍 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 利用分式的基本性质将原式分子分母中的a，b都扩大为原来的2倍后再约分即可求解． 【详解】解：把分式的分子分母中的a，b都扩大为原来的2倍得， 则分式的值不变， 故选：A． 5. 下列代数式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依据最简分式的定义，通过判断分子与分母是否含公因式求解． 【详解】解：∵最简分式的分子与分母不含公因式， ∴对各选项逐一判断： A选项、的分子分母有公因式，不是最简分式，不符合题意； B选项、的分子可分解为，与分母有公因式，不是最简分式； C选项、的分子分母有公因式，不是最简分式，不符合题意； D选项、的分子为，与分母无公因式，是最简分式，符合题意． 6. 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式分解因式． 根据平方差公式，判断各选项是否符合该结构即可． 【详解】解：A：，不符合平方差公式； B：符合平方差公式，分解为，正确； C：，可提取公因式，分解为，不符合平方差公式； D：，可提取公因式，分解为，不符合平方差公式； 故选：B 7. 计算的结果是（　　） A. 1 B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的加法运算，将分母化为同分母，再根据同分母分式的运算法则，进行计算即可． 【详解】解：； 故选B． 8. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的乘方．根据分式的乘方运算法则求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 9. 已知实数满足，则代数式的值为（ ） A. B. 0 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，将已知数值代入并进行正确的计算是解题的关键．根据得出，将原式变形后整体代入即可求解． 【详解】解：已知， 则， 那么 ． 故选：C． 10. 一个正整数若能表示成两个正整数的平方差，则称这个数为c．例，3和8都是一个．所有的“流星数”从小到大排列后，第13个“流星数”是（ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了平方差公式，有一定的难度，主要是对题中新定义的理解与把握．如果一个数是“流星数”，就能表示为两个正整数的平方差，设这两个数分别m、n，设，即杨梅数，因为m，n是正整数，因而和就是两个自然数．要判断一个数是否是“流星数”，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的和与差． 【详解】解 ∶1不能表示为两个正整数的平方差，所以1不是“流星数”，对于大于1的奇正整数，有 所以大于1的奇正整数都是“流星数”， 对于被4整除的偶数，有， 即大于4的被4整除的数都是”流星数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以4不是“流星数”， 对于被4除余2的数， 设，其中，为正整数， 当，奇偶性相同时，被4整除，而不被4整除； 当，奇偶性相异时，为奇数，而为偶数，矛盾， 所以不存在自然数，使得．即形如的数均不为“流星数”， 因此，在正整数数列中前四个正整数只有3为“流星数”， 此后，每连续四个数中有三个“流星数”． ∴第4个“流星数”为， 第7个“流星数”为， 第10个“流星数”为， ∴第个流星数为， 故选：C． 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：x2y-4y=____． 【答案】y(x+2)(x-2) 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 【详解】x2y-4y=y(x2-4)=y(x+2)(x-2)， 故答案为：y(x+2)(x-2)． 【点睛】提公因式法和应用公式法因式分解． 12. 若分式的值为零，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式值为零的条件，关键是牢记“分式值为零，需要分子为零且分母不为零”这一核心规则． 【详解】解：要使分式的值为零，需同时满足： 分子为零：，解得或； 分母不为零：，解得． 综上，的值为． 故答案为：． 13. 若是一个完全平方式，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是掌握完全平方公式的结构特征，明确式子中首尾两项与中间项的关系，进而确定系数m的值． 根据完全平方公式的结构，将与对比，确定首尾项分别对应和求出a和b的值，再通过中间项系数与的关系计算注意完全平方公式有“和”与“差”两种形式，故m有两个值． 【详解】若是一个完全平方式， 根据完全平方公式 式子中对应则对应则， 中间项对应即， 化简得 因此，即m ． 故答案为：． 14. 化简：________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据分式的乘除混合运算解答即可． 本题考查了分式的乘除，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为：1． 15. 因式分解时，甲看错了a的值，分解的结果是，乙看错了b的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为____． 【答案】 【解析】 【分析】分别将甲乙两人的分解结果利用多项式乘法公式进行计算，然后取两人没看错的系数进行组合，重新分解因式. 【详解】解：甲错了a的值，， ， 乙看错了b的值，， ， 分解因式正确的结果：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解，根据两人的分解结果得到原本的多项式是解题的关键． 16. 对于任意两个非零实数、，定义新运算“”如下：，例如：，若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据新运算定义整理出的值，再整体代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵ 新运算定义为，且， ∴ ， 对等式左边通分，得， 将代入所求式子，得 ． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 因式分解： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先对分母因式分解，通分后约分化简即可； （2）按照先算乘方，再算乘除的顺序，运用分式运算法则约分化简即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 用简便方法计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 先化简，再求值：，再从不等式中选择一个适当的整数代入求值． 【答案】，选取代入，值为（答案不唯一，选取时值为） 【解析】 【详解】解： ， ，，， ，，， 又， 可取的整数为，， 当时，原式； 当时，原式． 21. 解决问题： （1）当取什么值时，分式的值为0． （2）当取什么值时，分式的值不存在． （3）当取什么值时，分式的值为负． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分式值为0，必须同时满足分子等于0、分母不等于0，舍去让分母为零的根． （2）分式无意义的条件是分母等于0，解方程直接得到结果． （3）分母只要分式有意义就恒大于0；分式整体为负，只需要让分子小于0． 【小问1详解】 解：分式的值为， ，， 由，得或． 由，得． ． 【小问2详解】 解：分式的值不存在，即分式无意义，分母等于， ， 解得或，即． 【小问3详解】 解：要使分式的值为负， 分式有意义，则，此时． 分子分母异号，分母已经是正数，因此要求分子小于． ， 解得． 22. 阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式： 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：； 【小问2详解】 解：①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 23. 某老师在讲因式分解时，为了提高同学们的思维训练力度，他补充了一道这样的题：对多项式进行因式分解，有个学生解答过程如下： 解：设． 原式 （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 根据以上解答过程回答以下问题： （1）该同学第二步到第三步的变形运用了______（填选项）； A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底？_____（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，则该因式分解的最终结果为______． （3）上述解题用到的是整体思想，整体思想是数学中常用的方法．请你模仿以上方法对多项式进行因式分解． 【答案】（1）C （2）不彻底， （3） 解：设， 则原式 ． 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解此题的关键． （1）利用完全平方公式判断即可得解； （2）检查第四步结果，利用完全平方公式进一步分解即可得解； （3）仿照阅读材料中的方法将原式分解即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得，该同学第二步到第三步的变形运用了两数和的完全平方公式， 故选：C； 【小问2详解】 解：该同学因式分解的结果不彻底，若不彻底，则该因式分解的最终结果为； 【小问3详解】 略 24. 阅读两位同学的探究交流活动过程： a．小明在做分式运算时发现如下一个等式，并对它进行了证明． ① b．小明尝试写出了符合这个特征的其他几个等式： ② ③ ④ c．小明邀请同学小亮根据上述规律写出第⑤个等式和第n个等式（用含n的式子表示，n为正整数）； d．小亮对第n个等式进行了证明． 解答下列问题： （1）第⑤个等式是_______； （2）第n个等式是_______； （3）请你证明第n个等式成立． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知等式进行类比，即可得出答案； （2）根据已知等式进行总结归纳，即可得出答案； （3）将变形为，变形为，再根据分式的运算法则进行计算，即可证明． 【小问1详解】 解：根据已知等式可知第⑤个等式是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：对已知等式进行总结归纳，可知第n个等式是， 故答案为：； 【小问3详解】 证明： ． 所以． 即第n个等式成立． 【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是根据已知等式总结归纳出第n个等式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省2026年八年级（上）作业（一） 数学（湘教版） 考生注意： 1．本学科试卷分试题卷和答题卡两部分，时量120分钟，满分120分． 2．请在答题卡上作答，答在试卷上无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 代数式，，，，，中，属于分式的有（） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 下列等式由左边至右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 多项式各项的公因式是（ ） A. B. C. D. 4. 把分式的分子分母中的a，b都扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A. 不变 B. 变为原来的2倍 C. 变为原来的倍 D. 扩大为原来的2倍 5. 下列代数式中，是最简分式的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 7. 计算的结果是（　　） A. 1 B. C. 0 D. 8. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 9. 已知实数满足，则代数式的值为（ ） A. B. 0 C. 5 D. 10. 一个正整数若能表示成两个正整数的平方差，则称这个数为c．例，3和8都是一个．所有的“流星数”从小到大排列后，第13个“流星数”是（ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：x2y-4y=____． 12. 若分式的值为零，则的值为_____． 13. 若是一个完全平方式，则的值是__________． 14. 化简：________． 15. 因式分解时，甲看错了a的值，分解的结果是，乙看错了b的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为____． 16. 对于任意两个非零实数、，定义新运算“”如下：，例如：，若，则_________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 因式分解： （1）； （2） 18. 计算： （1）； （2） 19. 用简便方法计算： （1）； （2） 20. 先化简，再求值：，再从不等式中选择一个适当的整数代入求值． 21. 解决问题： （1）当取什么值时，分式的值为0． （2）当取什么值时，分式的值不存在． （3）当取什么值时，分式的值为负． 22. 阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式： 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： （1） （2） 23. 某老师在讲因式分解时，为了提高同学们的思维训练力度，他补充了一道这样的题：对多项式进行因式分解，有个学生解答过程如下： 解：设． 原式 （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） 根据以上解答过程回答以下问题： （1）该同学第二步到第三步的变形运用了______（填选项）； A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底？_____（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，则该因式分解的最终结果为______． （3）上述解题用到的是整体思想，整体思想是数学中常用的方法．请你模仿以上方法对多项式进行因式分解． 24. 阅读两位同学的探究交流活动过程： a．小明在做分式运算时发现如下一个等式，并对它进行了证明． ① b．小明尝试写出了符合这个特征的其他几个等式： ② ③ ④ c．小明邀请同学小亮根据上述规律写出第⑤个等式和第n个等式（用含n的式子表示，n为正整数）； d．小亮对第n个等式进行了证明． 解答下列问题： （1）第⑤个等式是_______； （2）第n个等式是_______； （3）请你证明第n个等式成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $