精品解析：湖南衡阳市常宁市2025-2026学年八年级数学上学期9月第一次学情检测卷

八年级数学 （满分100分，限时60分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列由三条线段组成的图形是三角形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 3、7、2 B. 4、9、6 C. 21、13、6、 D. 9、15、5 3. 如图，△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，则∠C等于（ ） A. 100° B. 80° C. 60° D. 40° 4. 如图，已知，，你认为证明应该用的判定方法是（ ） A. “边角边” B. “角角边” C. “角边角” D. “边边边” 5. 下列命题是真命题的是（ ） A. 两个锐角之和一定是钝角 B. 三角形的任意两边之和大于第三边 C. 内错角相等 D. 三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点 6. 如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（　　） A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 7. 如图，已知，，，则图中的全等三角形有（ ） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 8. 将一副直角三角板按如图所示的方式放置，使用角的三角板的直角边和含角的三角板的直角边垂直，则∠1的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将沿折叠，使点落在处，则与的关系是（ ） A. B. C. D. 10. △BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若BC＝5，则五边形DECHF的周长为（　　） A. 8 B. 10 C. 11 D. 12 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 人站在晃动的公共汽车上，若两腿分开站立，还需要伸出一只手抓住栏杆才能站稳，这是利用了三角形具有_________． 12. 如图，已知∠B=∠C．添加一个条件使△ABD≌△ACE（不标注新的字母，不添加新的线段），你添加的条件是______； 13. 如图，AC=DB，AO=DO，CD=100，则 A，B 两点间的距离为_______． 14. 已知等腰三角形的一个内角是80°，则它的底角是____°． 15. 用反证法证明：“在同一个平面内，若，，则”时，应假设______； 16. 如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，交于点，，，则______． 17. 如图，，则_______________． 18. 如图，已知∠AOB=，在射线OA、OB上分别取点OA=OB，连结AB，在BA、BB上分别取点A2、B2，使B B2= B A2，连结A2 B2…按此规律上去，记∠A2 B B2=，∠，…，∠，则（1）=______； =_________． 三、解答题（共46分） 19. 如图，是的外角，平分，若，，求的度数． 20. 如图，∠B＝∠E，BF＝EC，AC∥DF．求证：△ABC≌△DEF． 21. 已知a，b，c是的三边长． （1）若a，b，c满足，试判断的形状； （2）若a，b，c满足，试判断的形状； （3）化简：． 22. 如图，已知点E、C在线段BF上，且BE=CF，CM∥DF， （1）作图：在BC上方作射线BN，使∠CBN=∠1，交CM的延长线于点A（用尺规作图法，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，求证：AC=DF． 23. 如图，在等腰直角三角形中，，D是斜边上任一点，于E，交的延长线于F，于H，交于G．求证： （1）； （2）． 24. 在中，，点是射线上的一动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． （1）如图①，当点在线段上，时，那么________； （2）设，． ①如图②，当点在线段上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图③，当点在线段的延长线上，时，请将图③补充完整，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 （满分100分，限时60分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列由三条线段组成的图形是三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键．据此解答即可． 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 3、7、2 B. 4、9、6 C. 21、13、6、 D. 9、15、5 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形任意两边的和大于第三边，进行分析判断． 【详解】A.3+2=5＜7，故A错误. B.4+6=10>9，故B正确. C.13+6=19<21, 故C错误. D.9+5=14<15，故D错误 . 故 选：B. 【点睛】本题考查线段能构成三角形的条件，解题的关键是知道三角形任意两边的和大于第三边. 3. 如图，△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，则∠C等于（ ） A. 100° B. 80° C. 60° D. 40° 【答案】B 【解析】 【详解】由三角形内角和定理得，∠C=180°﹣∠A﹣∠B=80°， 故选：B． 4. 如图，已知，，你认为证明应该用的判定方法是（ ） A. “边角边” B. “角角边” C. “角边角” D. “边边边” 【答案】D 【解析】 【详解】已知，，再加上公共边可利用判定． 【分析】解：在和中 ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 5. 下列命题是真命题的是（ ） A. 两个锐角之和一定是钝角 B. 三角形的任意两边之和大于第三边 C. 内错角相等 D. 三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查命题判断，涉及三边形的内角和，三角形的三边关系，平行线的性质，以及三角形的重心等．根据相关概念逐项分析即可． 【详解】解：A、两个锐角之和不一定是钝角，故原命题为假命题，不符合题意； B、三角形的任意两边之和大于第三边，原命题是真命题，符合题意； C、两直线平行，内错角相等，故原命题为假命题，不符合题意； D、三角形的重心是这个三角形的三条中线的交点，故原命题为假命题，不符合题意； 故选：B． 6. 如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（　　） A. 15° B. 30° C. 45° D. 60° 【答案】A 【解析】 【分析】先判断出AD是BC的垂直平分线，进而求出∠ECB=45°，即可得出结论． 【详解】解：∵等边三角形ABC中，AD⊥BC， ∴BD=CD， 即：AD是BC的垂直平分线， ∵点E在AD上， ∴BE=CE， ∴∠EBC=∠ECB， ∵∠EBC=45°， ∴∠ECB=45°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°， ∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=15°， 故选A． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，求出∠ECB是解本题的关键． 7. 如图，已知，，，则图中的全等三角形有（ ） A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 【答案】C 【解析】 【分析】主要考查全等三角形的判定，分别利用，，来判定，，． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴全等三角形共有三对． 故选：C． 8. 将一副直角三角板按如图所示的方式放置，使用角的三角板的直角边和含角的三角板的直角边垂直，则∠1的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由三角板的特征可得∠B=45°，∠E=30°，∠EFD=90°，利用三角形的外角的性质及对顶角的性质可求解∠AGE的度数，再利用三角形外角的性质可求解∠1的度数． 【详解】解：由题意得△ABC，△DEF为直角三角形，∠B=45°，∠E=30°，∠EFD=90°， ∴∠AGE=∠BGF=45°， ∵∠1=∠E+∠AGE， ∴∠1=30°+45°=75°， 故选：D． 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，等腰直角三角形，求解∠AGE的度数是解题的关键． 9. 如图，将沿折叠，使点落在处，则与的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形翻折与三角形内角和，熟练掌握三角形内角和为及翻折中的角度不变是解题的关键．利用翻折得，，可分别求出和，再利用三角形内角和可求． 【详解】由翻折知，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 10. △BDE和△FGH是两个全等的等边三角形，将它们按如图的方式放置在等边三角形ABC内．若BC＝5，则五边形DECHF的周长为（　　） A. 8 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】证明△AFH≌△CHG（AAS），得出AF=CH．由题意可知BE=FH，则得出五边形DECHF的周长=AB+BC，则可得出答案． 【详解】解：∵△GFH为等边三角形， ∴FH=GH，∠FHG=60°， ∴∠AHF+∠GHC=120°， ∵△ABC为等边三角形， ∴AB=BC=AC=5，∠ACB=∠A=60°， ∵∠AHF=180°-∠FHG-∠GHC =120°-∠GHC， ∠HGC=180°-∠C-∠GHC =120°-∠GHC， ∴∠AHF=∠HGC， 在△AFH和△CHG中 ， ∴△AFH≌△CHG（AAS）， ∴AF=CH． ∵△BDE和△FGH是两个全等的等边三角形， ∴BE=FH， ∴五边形DECHF的周长=DE+CE+CH+FH+DF=BD+CE+AF+BE+DF， =(BD+DF+AF)+(CE+BE)， =AB+BC=10． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 人站在晃动的公共汽车上，若两腿分开站立，还需要伸出一只手抓住栏杆才能站稳，这是利用了三角形具有_________． 【答案】稳定性 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，根据人两腿分开和一只手抓栏杆形成三角形结构，三角形具有稳定性，因此能站稳． 【详解】解：两腿分开站立与抓栏杆的手形成三角形形状，利用了三角形的稳定性， 故答案为：稳定性． 12. 如图，已知∠B=∠C．添加一个条件使△ABD≌△ACE（不标注新的字母，不添加新的线段），你添加的条件是______； 【答案】AB=AC（答案不唯一）． 【解析】 【分析】首先根据已知条件，判断可选的三角形判定定理，然后添加条件即可. 【详解】已知∠B=∠C．加上公共角∠A=∠A．要使△ABD≌△ACE，只要添加一条对应边相等即可．故可添加 AB=AC或AD=AE或BD=CE或BE=CD等，答案不唯一． 【点睛】本题考查全等三角形的判定定理．根据已知条件选择判定定理是解决本题的关键. 13. 如图，AC=DB，AO=DO，CD=100，则 A，B 两点间的距离为_______． 【答案】100 【解析】 【分析】由，，可得，从而可得，得出，根据，则，两点间的距离即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，两点间的距离为100． 故答案为：100． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，解决本题的关键是判定与全等． 14. 已知等腰三角形的一个内角是80°，则它的底角是____°． 【答案】80°或50° 【解析】 【详解】分两种情况： ①当80°的角为等腰三角形的顶角时， 底角的度数=(180°−80°)÷2=50°； ②当80°的角为等腰三角形的底角时，其底角为80°， 故它的底角度数是50或80． 故答案为：80°或50°． 15. 用反证法证明：“在同一个平面内，若，，则”时，应假设______； 【答案】与相交 【解析】 【分析】本题考查了用反证法证明命题．用反证法证明命题的第一步就是设原结论不成立，原结论是，则要设直线与直线不平行，即直线与直线相交． 【详解】解：用反证法证明：“在同一个平面内，若，，则”时， 应假设直线与直线不平行，即直线与直线相交． 故答案为：直线与直线相交．  16. 如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，交于点，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质和等边对等角，可得：，根据角平分线的定义可知，根据三角形的内角和定理可以求出的度数． 【详解】解：是的垂直平分线， ， ， ， ， 平分， ， ， ， . 17. 如图，，则_______________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定， 先根据“角角边”证明，可得，再根据得出答案. 【详解】解：∵， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵， ∴. 故答案为：6. 18. 如图，已知∠AOB=，在射线OA、OB上分别取点OA=OB，连结AB，在BA、BB上分别取点A2、B2，使B B2= B A2，连结A2 B2…按此规律上去，记∠A2 B B2=，∠，…，∠，则（1）=______； =_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：设∠A1B1O=x，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理得α+2x=180°，x=180°-θ1，即可求得θ1的度数，同理求得θ2的度数，即可发现其中的规律，按照此规律即可求得的度数. （1）设∠A1B1O=x， 则α+2x=180°，x=180°-θ1， ∴=； （2）设∠A2B2B1=y， 则θ2+y=180°①，θ1+2y=180°②， ①×2-②得：2θ2-θ1=180°， … ∴=. 考点：找规律-图形的变化 点评：解答此类问题的关键是仔细分析所给图形的特征得到规律，再把这个规律应用于解题. 三、解答题（共46分） 19. 如图，是的外角，平分，若，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角的性质、角平分线的定义，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．由，以及三角形外角的性质，可得，再利用角平分线的定义即可解答． 【详解】解：，， ， 平分， ． 20. 如图，∠B＝∠E，BF＝EC，AC∥DF．求证：△ABC≌△DEF． 【答案】 证明：∵AC∥DF， ∴∠ACB＝∠DFE， ∵BF＝CE， ∴BC＝EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）． 【解析】 【分析】首先利用平行线的性质得出∠ACB＝∠DFE，进而利用全等三角形的判定定理ASA，进而得出答案． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 21. 已知a，b，c是的三边长． （1）若a，b，c满足，试判断的形状； （2）若a，b，c满足，试判断的形状； （3）化简：． 【答案】（1）等边三角形 （2）等腰三角形 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查非负数的性质，利用非负数的性质求得a、b、c关系是解题的关键． （1）由非负数的性质可分别求得a、b、c的关系可求得答案． （2）根据求出或，即可得出绪论； （3）根据三角形三边关系确定出，，，进一步化简即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴且， ∴， ∴为等边三角形． 【小问2详解】 解：∵， ∴或， ∴或， ∴为等腰三角形． 【小问3详解】 解：∵a，b，c是的三边长， ∴，，， ∴ ． 22. 如图，已知点E、C在线段BF上，且BE=CF，CM∥DF， （1）作图：在BC上方作射线BN，使∠CBN=∠1，交CM的延长线于点A（用尺规作图法，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，求证：AC=DF． 【答案】 （1）如图， （2）∵CM∥DF，∴∠MCE=∠F，∵BE=CF，∴BE+CE=CF+CE，即BC=EF，在△ABC和△DEF中，∵ ∴△ABC≌△DEF，∴AC=DF． 【解析】 【详解】试题分析：（1）①以E为圆心，以EM为半径画弧，交EF于H，②以B为圆心，以EM为半径画弧，交EF于P，③以P为圆心，以HM为半径画弧，交前弧于G，④作射线BG，则∠CBN就是所求作的角．（2）证明△ABC≌△DEF可得结论． 试题解析： 略 【点睛】本题考查了基本作图-作一个角等于已知角，同时还考查了全等三角形的性质和判定；熟练掌握五种基本作图：（1）作一条线段等于已知线段．（2）作一个角等于已知角．（3）作已知线段的垂直平分线．（4）作已知角的角平分线．（5）过一点作已知直线的垂线． 23. 如图，在等腰直角三角形中，，D是斜边上任一点，于E，交的延长线于F，于H，交于G．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）证明：∵， ∴． ∵于F， ∴． ∴． 又∵于E，于F． ∴． ∵是等腰直角三角形，且， ∴． 在和中， ∴． ∴，． ∴， ∴． （2）证法一：∵于H， ∴， 又，且， ∴． 由（1）知，． 在和中， ∴， ∴． 证法二：∵是等腰直角三角形斜边上的高线， ∴． 又∵， ∴． 由（1）知，， ∴． 在和中， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）求出，，证明，得到，，然后等量代换即可证明； （2）证法一：求出，然后证明，得到； 证法二：求出，然后证明，得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 在中，，点是射线上的一动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． （1）如图①，当点在线段上，时，那么________； （2）设，． ①如图②，当点在线段上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图③，当点在线段的延长线上，时，请将图③补充完整，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； 【答案】（1） （2） ①∵， ∴ 即 又∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ② ∵， ∴ 即 又∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理及角度关系的探究，解题的关键是推导出，结合已知边相等构造全等三角形 （1）由推导出，再得出，再求出； （2）①根据全等三角形的性质得到对应角相等，再结合三角形内角和、邻补角等关系，建立与的等量关系；②点在延长线上，的构成不同，需分别推导，证全等思路一样，再利用建立关系． 【小问1详解】 解：∵ ∴ 即 又∵， ∴ ∴ ∴ 【小问2详解】 ①略 ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $