精品解析：山东济南稼轩学校2026-2027学年上学期七年级10月学情自测数学试题

济南稼轩学校七年级月考数学试题 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. | C. D. 2. 如图，把图形绕着给定的直线旋转一周后形成的几何体是（ ） A. B. C. D. 3. 中国国家大剧院位于人民大会堂西侧，西长安街以南，由主体建筑及南北两侧的水下长廊、人工湖、绿地等组成，其中人工湖面积约．将35500用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 5. 下列各图中，可以是一个正方体的平面展开图的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①③ 6. 用一个平面去截一个棱柱，截面图形最多是七边形，该棱柱是（ ） A. 七棱柱 B. 六棱柱 C. 五棱柱 D. 四棱柱 7. 如图，A、B、C是数轴上的三个点，点A、B表示的数分别是1和3．若点C到点B的距离等于点A到点B的距离的两倍，则点C表示的数是（ ） A. 7 B. 1 C. D. 7或 8. 已知，，且，那么等于（ ） A. 2或8 B. 或 C. 或8 D. 2或 9. 下列说法：①一定是一个负数；②正整数、负整数统称为整数；③任意一个有理数都可以在数轴上找到一个点来表示；④若，则；⑤几个有理数相乘，若负因数的个数为奇数，则乘积为负数．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 学校组织数学节活动，活动中设置两个类别的游戏，每个类别包含的游戏项目及相应的积分（单位：分）如下： 游戏类别 Ⅰ Ⅱ 游戏项目 积分（参与即获得相应积分） 3 6 5 4 5 7 8 9 每名学生选择游戏项目时要符合如下规则： ①必须选择5个游戏项目，并且同一个游戏项目不能重复选择； ②两个类别的游戏都至少选择1个，并且选择类别Ⅱ的游戏项目的个数多于选择类别Ⅰ的游戏项目的个数； ③游戏项目与游戏项目不能同时选择； ④游戏项目与游戏项目只能都选择或都不选择． 小明和小龙都按规则参与了数学节的活动，那么他们各自获得的总积分的差的最大值是（ ） A. 8 B. 9 C. 11 D. 12 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家，如果盈利50元，记作“元”，那么亏损30元，记作 ________元． 12. 已知，都是有理数，若，则______． 13. 如图，是正方体的平面展开图，把它折叠成正方体后，相对面上两个数互为相反数，则的值是______． 14. 如图，数轴上三点表示的有理数为、、，则化简______． 15. 数形结合是解决一些数学问题的重要思想方法，比如在数轴上表示数对应的点之间的距离．现定义一种“运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，例如：对，，2进行“运算”，得．下列说法正确的是______． ①对，0，2025进行“运算”结果是0；②对，，进行“运算”的结果是8，则或；③对，，，，，，进行“运算”，当其结果取最小时对应的范围是． 三、解答题（共90分） 16. 计算题： （1）； （2）； （3）； （4） 17. 在数轴上表示下列各数，．并用“＜”把这些数连接起来． 18. 如图1，在平整的地面上，一些完全相同的棱长为2的小正方体堆成一个几何体． （1）在图2的空白中画出从正面、左面、上面看的形状图； （2）直接写出这个几何体的表面积______． 19. 已知互为倒数，互为相反数，．求的值． 20. 如图是一张长方形纸片，长为，长为． （1）若将此纸片绕它的一边所在直线旋转一周形成的几何体是______． （2）若将这个长方形纸片分别绕边和边所在直线旋转一周，求形成的几何体的体积各为多少．（结果保留） 21. 外卖送餐为我们生活带来了许多便利．某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定每天送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“”，低于50单的部分记为“”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） （1）该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多多少单？ （2）若平均每送一单能获得5元的酬劳，请计算外卖小哥这一周的收入． 22. 《庄子•天下》“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代入在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题． （1）规律探索：如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则S阴影1＝；如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉一半，则S阴影2＝；依此类推，如图3，S阴影3＝＝ ；…S阴影n＝＝ ； （2）规律应用：计算＝ ； （3）拓展延伸：计算＝ ． 23. 相传大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”，用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方、三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，即它的对角线、横行、纵列的数字之和都相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数，且幻和恰好等于中心数的3倍．如图1，每个横行数字和都是15，每个纵列的数字和也是15，每条对角线上的数字和也是15．所以在此幻方中有：幻和中心数． （1）如图2所示，若，，求的值是______； （2）由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方．在如图3所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，当，时，则的值为多少？（写出求解过程） （3）如图4是一个三阶幻方，其中的值为______． 24. 【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为、，则、两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图1，已知，且、、满足，、、所对应的点分别为、、．点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 （1）完成填空： ①______，______． ②当______时，、两点相遇，相遇点所表示的数为______； （2）若点为的中点，点为的中点，点、在运动过程中，当线段的长度为时，请求出的值． （3）如图2，若将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．我们把在折线数轴上线段、、三段距离的和称为、两点间的路程，动点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向右运动，在上坡段运动期间速度变为原来的一半．点从点出发的同时，点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向左运动，在下坡段运动期间速度变为原来的倍，之后在段又以个单位长度/秒的速度运动．当点到达点时，点、均停止运动．设运动的时间为秒．在某一时刻，、两点在“折线数轴”上的路程为个单位．此时的值为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济南稼轩学校七年级月考数学试题 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. | C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查有理数的大小比较，绝对值，多重符号化简，先化简各数，再根据正数大于0，0大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此即可得出答案． 【详解】解：， ， 则最小的数为：， 故选：A． 2. 如图，把图形绕着给定的直线旋转一周后形成的几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据面动成体的原理以及空间想象力可直接选出答案． 【详解】解：左边的图形中的矩形有两条边与直线平行，把左边的图形绕着给定的直线旋转一周后可能形成的几何体是中空的圆柱体．选项D符合题意． 3. 中国国家大剧院位于人民大会堂西侧，西长安街以南，由主体建筑及南北两侧的水下长廊、人工湖、绿地等组成，其中人工湖面积约．将35500用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：将35500用科学记数法表示应为， 故选：B． 4. 下图是由一个长方体和一个圆柱组成的几何体，它的俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图即可解答． 【详解】解：从上面看下边是一个矩形，矩形的上边是一个圆， 故选：D． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从上面看得到的图形是俯视图是解答本题的关键． 5. 下列各图中，可以是一个正方体的平面展开图的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方体的展开图，熟记展开图的11种形式是解题的关键，利用正方体展开图“一线不过四、田凹应弃之”．不能出现同一行有多于4个正方形的情况，不能出现田字形、凹字形的情况进行判断即可． 【详解】解：根据正方体的展开图特征可知，①③是正方体的展开图，②④不是正方体的展开图． 故选：D． 6. 用一个平面去截一个棱柱，截面图形最多是七边形，该棱柱是（ ） A. 七棱柱 B. 六棱柱 C. 五棱柱 D. 四棱柱 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了棱柱的截面问题． 截面多边形的边数最多等于棱柱的面数，设该棱柱是n棱柱，则面数为，可知，得，即该棱柱为五棱柱． 【详解】解：设该棱柱是n棱柱，则面数为， 由题，截面最多为七边形，即边数最多为7， ∴， 解得， ∴该棱柱为五棱柱． 故选：C． 7. 如图，A、B、C是数轴上的三个点，点A、B表示的数分别是1和3．若点C到点B的距离等于点A到点B的距离的两倍，则点C表示的数是（ ） A. 7 B. 1 C. D. 7或 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可以得到A到B的距离是2，则C到B的距离是4，C点在B点的左侧或者右侧，分别求出C表示的数即可． 【详解】解：根据题意，因为，所以， 当C在B点左侧时，C表示的数是； 当C在B点右侧时，C表示的数是， 故正确答案是D． 【点睛】本题考查了数轴的认识，到数轴上一个已知点距离为4的点有两个，分别在这个点的左侧和右侧，注意计算时候不能漏掉． 8. 已知，，且，那么等于（ ） A. 2或8 B. 或 C. 或8 D. 2或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的计算，乘方，有理数的加减，熟练掌握绝对值的化简是解题的关键． 先计算绝对值，结合，确定a，b的值，计算即可． 【详解】解：∵，， ∴或；或， ∵， ∴或， ∴或， 故选：B． 9. 下列说法：①一定是一个负数；②正整数、负整数统称为整数；③任意一个有理数都可以在数轴上找到一个点来表示；④若，则；⑤几个有理数相乘，若负因数的个数为奇数，则乘积为负数．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的相关概念和有关计算；①举出反例，进行判断即可；②根据有理数的分类进行判断；③根据每个有理数都可以在数轴上找到一个点来表示，进行判断；④根据绝对值的性质进行判断即可；⑤根据多个数相乘法则进行判断，即可． 【详解】解：①不一定是一个负数；①说法错误； ②正整数、负整数和0统称为整数，②说法错误； ③每个有理数都可以在数轴上找到一个点来表示，③说法正确； ④若，则或，④的说法错误； ⑤多个数相乘法则：几个非零有理数相乘，若负因数的个数为奇数，则乘积为负数，⑤的说法错误； 综上可知：说法正确的有1个， 故选：A． 10. 学校组织数学节活动，活动中设置两个类别的游戏，每个类别包含的游戏项目及相应的积分（单位：分）如下： 游戏类别 Ⅰ Ⅱ 游戏项目 积分（参与即获得相应积分） 3 6 5 4 5 7 8 9 每名学生选择游戏项目时要符合如下规则： ①必须选择5个游戏项目，并且同一个游戏项目不能重复选择； ②两个类别的游戏都至少选择1个，并且选择类别Ⅱ的游戏项目的个数多于选择类别Ⅰ的游戏项目的个数； ③游戏项目与游戏项目不能同时选择； ④游戏项目与游戏项目只能都选择或都不选择． 小明和小龙都按规则参与了数学节的活动，那么他们各自获得的总积分的差的最大值是（ ） A. 8 B. 9 C. 11 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】先根据规则确定选项目的可能数量组合：类别Ⅰ选择2个，类别Ⅱ选择3个或类别Ⅰ选择1个，类别Ⅱ选择4个，然后分情况讨论求解即可． 【详解】解：∵必须选择5个游戏项目，选择类别Ⅱ的游戏项目的个数多于选择类别Ⅰ的游戏项目的个数 ∴类别Ⅰ选择2个，类别Ⅱ选择3个或类别Ⅰ选择1个，类别Ⅱ选择4个 ∴当类别Ⅰ选择2个，类别Ⅱ选择3个时， ∵要求最高总积分， ∴类别Ⅰ选择B，C， ∵游戏项目与游戏项目不能同时选择，游戏项目与游戏项目只能都选择或都不选择 ∴类别Ⅱ选择D，F，G ∴最高总积分为； ∵要求最低总积分 ∴类别Ⅰ选择A，C ∵游戏项目与游戏项目只能都选择或都不选择 ∴类别Ⅱ选择D，E，F ∴最低总积分为； 当类别Ⅰ选择1个，类别Ⅱ选择4个时 ∵要求最高总积分， ∴若类别Ⅰ选择B， ∵游戏项目与游戏项目不能同时选择，游戏项目与游戏项目只能都选择或都不选择 ∴类别Ⅱ选择E，F，G， ∴共选择4个游戏项目，不符合题意，舍去； ∴若类别Ⅰ选择C， ∵游戏项目与游戏项目只能都选择或都不选择 ∴类别Ⅱ选择D，F，G，H ∴最高总积分为； ∵要求最低总积分 ∴类别Ⅰ选择A， ∵游戏项目与游戏项目只能都选择或都不选择 ∴类别Ⅱ选择E，F，G，H ∴最低总积分为； 综上所述，最高总积分为33，最低总积分为24 ∴ ∴总积分的差的最大值是9． 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家，如果盈利50元，记作“元”，那么亏损30元，记作 ________元． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是相反意义的量的表示，理解盈利50元，记作“元”，从而可得亏损的表示方法． 【详解】解：盈利50元，记作“元”，那么亏损30元，记作“元”， 故答案为：． 12. 已知，都是有理数，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， ，， ，， ． 故答案为： 13. 如图，是正方体的平面展开图，把它折叠成正方体后，相对面上两个数互为相反数，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方体相对两个面上的文字，相反数，掌握正方体表面展开图的“相间、端是对面”以及相反数的定义是正确解答的前提． 根据正方体相对两个面上的文字以及相反数的定义求出、、的值，再代入计算即可． 【详解】解：由正方体表面展开图的“相间、端是对面”可知， “1”与“”相对，“”与“”相对，“3”与“”相对， 相对面上两个数互为相反数． ，，， 解得，，， ． 故答案为：． 14. 如图，数轴上三点表示的有理数为、、，则化简______． 【答案】 【解析】 【分析】由数轴得，然后化简绝对值后合并即可． 【详解】解：由数轴得， ∴， ∴． 15. 数形结合是解决一些数学问题的重要思想方法，比如在数轴上表示数对应的点之间的距离．现定义一种“运算”，对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，例如：对，，2进行“运算”，得．下列说法正确的是______． ①对，0，2025进行“运算”结果是0；②对，，进行“运算”的结果是8，则或；③对，，，，，，进行“运算”，当其结果取最小时对应的范围是． 【答案】②③##③② 【解析】 【分析】①根据“Q运算”的运算方法进行运算，根据计算结果判定；②首先根据“Q运算”的运算方法进行运算，然后根据绝对值的几何意义求解；③根据绝对值的几何意义求解． 【详解】解：①根据题意得，，故①错误； ②根据题意得， ∴， 当时，则， 解得； 当时，则，此时方程无解，不符合题意； 当时，则，解得； 综上所述，或，故②正确； ③根据题意得，表示数轴上q到4，5…19的距离之和 ∵4和19中间的两个数为11和12 ∴当其结果取最小时对应的范围是， ∵对，，，，，，进行“运算”的结果为（其中C为对，，，，，进行“运算”的结果），且C为常数， ∴当最小时，有最小值，故③正确． 综上所述，说法正确的是②③． 三、解答题（共90分） 16. 计算题： （1）； （2）； （3）； （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 17. 在数轴上表示下列各数，．并用“＜”把这些数连接起来． 【答案】 如图所示： 【解析】 【分析】将各数标记在数轴上，利用“在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数”即可找出各数间的大小关系． 【详解】略 【点睛】本题考查了有理数大小比较以及数轴，牢记“在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数”是解题的关键． 18. 如图1，在平整的地面上，一些完全相同的棱长为2的小正方体堆成一个几何体． （1）在图2的空白中画出从正面、左面、上面看的形状图； （2）直接写出这个几何体的表面积______． 【答案】（1） （2）120 【解析】 【分析】（1）观察几何体，正面看有 2 层，底层 3 个正方形，上层第 1 列和第 3 列各 1 个正方形；左面看有 2 层，底层 3 个正方形，上层第 1 列和第 2 列各 1 个正方形；上面看有 2 行，第一行 3 个正方形，第二行第 2 列 1 个正方形，根据观察结果画出三视图。 （2）先求出小正方体单个面面积，数得主视图、左视图、俯视图各包含 5 个正方形，算出 6 个方向一共有个外露小正方形面，再用算出几何体表面积。 【小问1详解】 解：作图如下： 【小问2详解】 解：， 主视图正方形个数：5， 左视图正方形个数：5， 俯视图正方形个数：5， ， ． 故答案为：120． 【点睛】 19. 已知互为倒数，互为相反数，．求的值． 【答案】0或 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值，倒数，相反数和绝对值的定义，互为相反数的两个数的和为0，互为倒数的两个数的乘积为1，则，再由绝对值的定义可得，据此代值计算即可． 【详解】解：∵互为倒数，互为相反数， ∴； ∵， ∴， ∴或 ． 20. 如图是一张长方形纸片，长为，长为． （1）若将此纸片绕它的一边所在直线旋转一周形成的几何体是______． （2）若将这个长方形纸片分别绕边和边所在直线旋转一周，求形成的几何体的体积各为多少．（结果保留） 【答案】（1）圆柱 （2）形成的几何体的体积分别为和． 【解析】 【分析】本题考查了点、线、面、体，熟练掌握圆柱的特征，以及圆柱的体积计算公式是解题的关键． （1）若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体是圆柱；据此即可求解． （2）根据题意求得圆柱的底面半径和高的长，再根据圆柱的体积公式进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体是圆柱， 故答案为：圆柱； 【小问2详解】 解：绕边所在直线旋转一周，圆柱的底面半径为，高为， 体积为：； 绕边所在直线旋转一周，圆柱的底面半径为，高为， 体积为：； ∴形成的几何体的体积分别为和． 21. 外卖送餐为我们生活带来了许多便利．某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定每天送餐量超过50单（送一次外卖称为一单）的部分记为“”，低于50单的部分记为“”，下表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） （1）该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多多少单？ （2）若平均每送一单能获得5元的酬劳，请计算外卖小哥这一周的收入． 【答案】（1）该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多18单 （2）外卖小哥这一周的收入为元 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，有理数减法的实际应用，正负数的实际应用： （1）用表格中这7天送餐量最大的数减去最小的数即可得到答案； （2）把表格中这7天的送餐量求和再加上即可求出总送餐量，再乘以每一单的单价即可得到答案． 【小问1详解】 解：单， 答：该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多18单； 【小问2详解】 解： 单， 元， 答：外卖小哥这一周的收入为元． 22. 《庄子•天下》“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代入在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题． （1）规律探索：如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则S阴影1＝；如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉一半，则S阴影2＝；依此类推，如图3，S阴影3＝＝ ；…S阴影n＝＝ ； （2）规律应用：计算＝ ； （3）拓展延伸：计算＝ ． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意中得到的规律进行有理数的混合运算即可求解； （2）根据（2）的化简结果即可求值． 【小问1详解】 如图3，； … ； 故答案为：，； 【小问2详解】 ． 故答案为：． 【小问3详解】 ＝ ＝ ＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类、有理数的混合运算，解决的本题的关键是寻找规律并利用规律． 23. 相传大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”，用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方、三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，即它的对角线、横行、纵列的数字之和都相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数，且幻和恰好等于中心数的3倍．如图1，每个横行数字和都是15，每个纵列的数字和也是15，每条对角线上的数字和也是15．所以在此幻方中有：幻和中心数． （1）如图2所示，若，，求的值是______； （2）由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方．在如图3所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，当，时，则的值为多少？（写出求解过程） （3）如图4是一个三阶幻方，其中的值为______． 【答案】（1）8 （2）解：∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ； （3）7 【解析】 【分析】（1）首先求出幻和，然后根据每个横行数字和，每个纵列的数字和以及每条对角线上的数字和都等于幻和逐步求解即可； （2）首先根据“幻方”的特点表示出a，b，c，d，然后代入求解； （3）设左下角的数为y，根据“幻方”的特点列式求解即可． 【小问1详解】 解：幻和 ∵，，每个横行的数字和都是 ∴右边的数为 ∵每个纵列的数字和都是 ∴上面的数为 ∵每条对角线上的数字和也是 ∴b上面的数为 ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设左下角的数为y 根据题意得，中间的数为 ∵ ∴． 24. 【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、点表示的数分别为、，则、两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图1，已知，且、、满足，、、所对应的点分别为、、．点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为秒． 【综合运用】 （1）完成填空： ①______，______． ②当______时，、两点相遇，相遇点所表示的数为______； （2）若点为的中点，点为的中点，点、在运动过程中，当线段的长度为时，请求出的值． （3）如图2，若将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．我们把在折线数轴上线段、、三段距离的和称为、两点间的路程，动点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向右运动，在上坡段运动期间速度变为原来的一半．点从点出发的同时，点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿着“折线数轴”向左运动，在下坡段运动期间速度变为原来的倍，之后在段又以个单位长度/秒的速度运动．当点到达点时，点、均停止运动．设运动的时间为秒．在某一时刻，、两点在“折线数轴”上的路程为个单位．此时的值为______． 【答案】（1）①，；②， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）①利用平方、绝对值的非负性，令两部分分别等于，求出、；②相遇时两点路程之和等于总长，据此列方程计算即可； （2）写出、的代数式，用中点公式表示出、，利用，列方程求解； （3）分类讨论的范围，写出、表示的数，根据路程为个单位列绝对值方程求解． 【小问1详解】 ①解：，， ，， ，． ②解：，， ， 根据题意可得，， 解得， 则， ， 故相遇点表示的数为． 【小问2详解】 解：根据题意可知，点表示的数为，点表示的数为， 点为的中点，点为的中点， 点表示的数为，点表示的数为， ，， ， ， 解得． 【小问3详解】 解：由（1）可知，，，， ， 设点运动的路程为， 当时，，此时点表示的数为， 当时，，此时点表示的数为， 设点运动的路程为， 当时，，此时点表示的数为， 当时，，此时点表示的数为， 当时，，此时点表示的数为， ∵、两点在“折线数轴”上的路程为个单位， 即， 情况1：，，， 则，即， ∴或， 解得，，均不合题意，舍去； 情况2：，，， 则，即， 解得或， 即（符合），（舍去）； 情况3：，，， 则，即， 解得或， 即（舍去），（舍去）； 情况4：，，， 则，即， ∴或， 即（舍去），（符合）， 综上，当，时，、两点在“折线数轴”上的路程为个单位． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $