精品解析：湖南邵阳市邵东市2026-2027学年九年级上学期第一次学情监测数学试题

2026年九年级（上）第一次学情监测 数 学 温馨提示：本试卷共三道大题，满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在地图上量得甲、乙两地的距离是，甲、乙两地的实际距离是，则该张地图的比例尺为（ ） A. B. C. D. 2. 已知、、、为成比例线段，其中，，，则为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知直线，直线交直线、、于点、、，直线交直线、、于点、、，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知如图中各有两个三角形，其边长或角的度数已在图中标注，图中，交于点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（ ） A. 都相似 B. 都不相似 C. 只有相似 D. 只有相似 6. 如图，在中，点、分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能满足的条件有（　　） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 7. 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连接与相交于点F，若，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，以下说法中错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形ABCD中，，，将沿AC折叠到的位置，交AD于点E，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．） 11. 若，则________． 12. 如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠ABC=_____． 13. 如图，已知中，点在上，点在上，．，，，则________． 14. 如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为________．（结果精确到0.1米，取1.73）． 15. 如图在中，，，点是边上一点，，点在边上．若，则的长为________． 16. 如图，中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒（），连接，若以、、为顶点的三角形与相似，则的值为________． 三、解答题（本大题共8个小题，17、18题各6分，19、20题各8分，21、22题各10分，23、24题各12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 18. 如图所示，在四边形中，，．求证：平分． 19. 已知a，b，c是的三边长，且． （1）求的值； （2）若，相似比为，且的周长为，求的周长． 20. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝，BC＝8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E. (1)求线段CD的长； (2)求cos ∠ABE的值． 21. 如图三角形中，，是边上的高且．P，N分别是，边上的点，Q，M是上的点，连接、，交于 E． （1）如图1，若四边形是正方形，求的长； （2）如图2，若四边形是矩形，且．求、的长． 22. 图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度． 如图2，所在直线垂直地面于点，甲把光源放置于点处，垂直地面于点，点，在同一水平线上，乙沿方向移动平面镜，移到点时，从点发出的光线反射到点处；移到点时，从点发出的光线反射到点处．经测量：米，米，米，米，记点，处的法线分别为，，即，，根据光的反射定律，，． （1）求证：； （2）求此公益广告牌的高度． 23. 如图1，中，点C是边上一点，，点D是上一点，连接，，满足，若． （1）求证：； （2）探究与的数量关系，并证明： （3）如图2，延长交于点F，求的值． 24. 数学活动课上，同学们将两个全等的直角三角形纸片和完全重合放置，固定一个顶点，然后将纸片绕点旋转，其中，． 【感知】 （1）如图1，连接，求在纸片绕点旋转的过程中，的值． 【探究】 （2）如图2，在纸片绕点旋转的过程中，当点恰好落在的高线的延长线上时，求的长． 【拓展】 （3）如图3，在纸片绕点旋转的过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，请直接写出的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级（上）第一次学情监测 数 学 温馨提示：本试卷共三道大题，满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在地图上量得甲、乙两地的距离是，甲、乙两地的实际距离是，则该张地图的比例尺为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解题关键是先统一长度单位. 【详解】解：，该地图比例尺为. 2. 已知、、、为成比例线段，其中，，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据四条线段成比例的顺序列出比例式，代入已知线段长度计算即可得到结果． 【详解】解：∵、、、为成比例线段，根据定义可得， ∴将，，代入得， 解得． 3. 在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由勾股定理求出，然后由正弦函数值定义代入具体值计算即可． 【详解】解：在中，，，，则由勾股定理可得， 则． 4. 如图，已知直线，直线交直线、、于点、、，直线交直线、、于点、、，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 5. 已知如图中各有两个三角形，其边长或角的度数已在图中标注，图中，交于点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（ ） A. 都相似 B. 都不相似 C. 只有相似 D. 只有相似 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：图中，∵， ， ∴两三角形中有两个角分别对应相等，故两三角形相似； ∵，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 综上可知两对三角形都相似． 6. 如图，在中，点、分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能满足的条件有（　　） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定条件，逐一进行判断即可. 【详解】解：在和中，， 当时，根据两角相等的两个三角形相似，可以得到，故①正确； 当时，，故②不正确； 当时，根据两组对应边成比例，夹角相等的两个三角形相似，可以得到，故③正确； 当，即时，无法得到，故④不正确； 当时，根据两角相等的两个三角形相似，可以得到，故⑤正确； 故能满足的条件有3个. 7. 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：， ， 又， ， ， ， ， ． 8. 如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连接与相交于点F，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质． 证明，再结合平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 9. 如图，以点为位似中心，把放大为原图形的倍得到，以下说法中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】A、由位似图形可知， ， ，故选项A正确，不符合题目要求； B、由位似图形可知，故选项B正确，不符合题目要求； C、由位似图形可知，相似比为， ， 、、三点共线， ，故选项C错误，符合题目要求； D、由位似图形可知，相似比为， ，故选项D正确，不符合题目要求． 10. 如图，在矩形ABCD中，，，将沿AC折叠到的位置，交AD于点E，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用矩形对边平行及折叠性质证得，从而得出，设，在中利用勾股定理构建方程求解的长，最后根据正切定义计算即可． 【详解】解：四边形是矩形，  ，，，，  ， 由折叠的性质可得，  ，即，  ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得，即，  ． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．） 11. 若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】设比例系数，用表示和，代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解：设，其中， ∴ ，， 将，代入得：． 12. 如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠ABC=_____． 【答案】 【解析】 【详解】∵AB所在的直角三角形的两直角边分别为：2，4， ∴AB=． ∴sin∠ABC=． 13. 如图，已知中，点在上，点在上，．，，，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例列出比例式，即可求解，再计算出即可． 【详解】解：， ， ，，， ， ， ． 14. 如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为________．（结果精确到0.1米，取1.73）． 【答案】3.5 【解析】 【分析】根据题意， 画出示意图，易得， 进而可得， 代入数据求解即可得答案 【详解】解：根据题意作出示意图，则， ， ， ， ， ，即， ． 15. 如图在中，，，点是边上一点，，点在边上．若，则的长为________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据等腰三角形性质，以及三角形外角性质证明，再利用相似三角形性质建立等式求解，即可解题． 【详解】解：， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得． 16. 如图，中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒（），连接，若以、、为顶点的三角形与相似，则的值为________． 【答案】或 【解析】 【分析】利用勾股定理求出，由题意得到，再根据以、、为顶点的三角形与相似，分两种情况①当时，②当时，结合相似三角形性质建立方程求解，即可解题． 【详解】解：，，， ， 运动时间为秒， ， ， 以、、为顶点的三角形与相似， ①当时， 有， ， 解得； ②当时， 有， ， 解得； 综上，的值为或． 三、解答题（本大题共8个小题，17、18题各6分，19、20题各8分，21、22题各10分，23、24题各12分，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 【答案】7 【解析】 【分析】分别计算算式中的算术平方根，绝对值，零指数幂运算，负整数指数幂及特殊角的三角函数值，再计算结果即可， 【详解】解： ． 18. 如图所示，在四边形中，，．求证：平分． 【答案】 证明：， ． ， ． 平分． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的判定得到，进而利用相似三角形的对应角相等可得答案． 【详解】略 19. 已知a，b，c是的三边长，且． （1）求的值； （2）若，相似比为，且的周长为，求的周长． 【答案】（1） （2）的周长为 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质以及比例的性质，熟记相关结论即可． （1）设，则，，，即可求解； （2）由题意得，即可求解； 【小问1详解】 解：设，则，，， ； 【小问2详解】 解： ∵，相似比为， ， 的周长为， ， 解得：， ∴的周长为 20. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝，BC＝8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E. (1)求线段CD的长； (2)求cos ∠ABE的值． 【答案】（1）5；（2）. 【解析】 【详解】试题分析：（1）利用正弦定义很容易求得AB=10，然后由已知D为斜边AB上的中点，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解.（2）cos∠ABE=，则求余弦值即求BE，BD的长，易求得BD=5.再利用等面积法求BE的长. 试题解析：(1)在△ABC中，∵∠ACB＝90°，sinA＝，而BC＝8，∴AB＝10.∵D是AB的中点，∴CD＝AB＝5. (2)在Rt△ABC中，∵AB＝10，BC＝8，∴AC＝＝6. ∵D是AB中点，∴BD＝5，S△BDC＝S△ADC，∴S△BDC＝S△ABC，即CD·BE＝·AC·BC，∴BE＝. 在Rt△BDE中，cos∠DBE＝＝ ＝，即cos∠ABE的值为. 点睛：在直角三角形中求长度，一般可通过勾股定理或全等三角形来求；若已知角度则可用锐角三角函数来求；若这些方法均不可行，又是求高或已知高的长度则可利用等面积法来求. 21. 如图三角形中，，是边上的高且．P，N分别是，边上的点，Q，M是上的点，连接、，交于 E． （1）如图1，若四边形是正方形，求的长； （2）如图2，若四边形是矩形，且．求、的长． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】根据相似三角形的对应边上的高的比＝相似比，构建方程即可解决问题； 【小问1详解】 解：∵四边形为正方形，是边上的高， ，， ， ，即， ； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ，， ∴， ， 设则， 即，解得， ，． 22. 图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度． 如图2，所在直线垂直地面于点，甲把光源放置于点处，垂直地面于点，点，在同一水平线上，乙沿方向移动平面镜，移到点时，从点发出的光线反射到点处；移到点时，从点发出的光线反射到点处．经测量：米，米，米，米，记点，处的法线分别为，，即，，根据光的反射定律，，． （1）求证：； （2）求此公益广告牌的高度． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）米 【解析】 【分析】（1）根据垂直的意义得到，得到结合进行求证即可； （2）通过和求出，再由求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， ∴（米）， 同理可得，， ∴， ∵米， ∴， ∴（米）， ∴（米）． 答：公益广告牌的高度为4.5米． 23. 如图1，中，点C是边上一点，，点D是上一点，连接，，满足，若． （1）求证：； （2）探究与的数量关系，并证明： （3）如图2，延长交于点F，求的值． 【答案】（1） 证明：，， ∵， 又∵， ∴， ∴． （2），证明： 如图1，过点D作交于点F， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，，再根据已知可得，即可解答． （2）过点D作交于点F，证，再证得，再根据得，即可解答． （3）过点A作交延长线于点G，根据相似三角形的性质得，再由（2）知，，得到，再根据相似三角形的性质即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图2，过点A作交延长线于点G， ∵，， ∵， ∴， ① 由（2）知，， ∴， ② ①×②得， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 24. 数学活动课上，同学们将两个全等的直角三角形纸片和完全重合放置，固定一个顶点，然后将纸片绕点旋转，其中，． 【感知】 （1）如图1，连接，求在纸片绕点旋转的过程中，的值． 【探究】 （2）如图2，在纸片绕点旋转的过程中，当点恰好落在的高线的延长线上时，求的长． 【拓展】 （3）如图3，在纸片绕点旋转的过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，请直接写出的周长． 【答案】（1）；（2）12；（3）36 【解析】 【分析】（1）在中，由勾股定理，得．根据旋转可得，再根据．，证明，即可得出． （2）由题意，得和是直角三角形．由（1），可知，，根据等面积法求出，证明，得出，即可求解． （3）根据，是的中线，，得出，证明，得出，求出，即可得，即可求解． 【详解】解：（1）在中，由勾股定理，得． 根据旋转可得， ∴，即． ∵， ∴， ∴， ∴． （2）由题意，得． ∴和是直角三角形． 由（1），可知， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）∵，是的中线，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 由上述结论，可得， ∴的周长为． 【点睛】该题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $