精品解析：湖南省邵阳市邵东市2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025年九年级（上）第二次学情监测 数学 本试卷共三道大题，满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ） A. 检测“神舟十四号”载人飞船零件的质量 B. 检测一批LED灯的使用寿命 C. 检测黄冈、孝感、咸宁三市的空气质量 D. 检测一批家用汽车的抗撞击能力 2. 下列函数不是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根 4. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 5. 如图，与是位似图形，点O为位似中心，．若的周长为4，则的周长是（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 6. 如图，圆桌面正上方的灯泡发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）．已知灯泡距离地面2.4m，桌面距离地面0.8m（桌面厚度忽略不计），若桌面的面积是1.2m²，则地面上的阴影面积是（ ） A. 0.9m² B. 1.8m² C. 2.7 m² D. 3.6 m² 7. 已知反比例函数y＝－，下列结论不正确的是 ( ) A. 图象必经过点（－1，3） B. y随x的增大而增大 C. 图象位于第二、四象限内 D. 若x>1，则y>－3 8. 如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将矩形沿对角线折叠，使落在处，交于，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，，连接AC，过点O作交AC的延长线于P．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 3 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 若，则______． 12. 《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”．书中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少（如图）？答：门高、宽和对角线的长分别是___________尺． 13. 如图是根据南街米粉店今年6月1日至5日每天的用水量（单位：吨）绘制成的折线统计图，这五天的用水量的中位数是__________． 14. 在中，，是斜边上的高，，，则的长为__________． 15. 如图，在正方形网格中，的顶点、、都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则_________． 16. 在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示．轴于点，点在轴上，若的面积为3，则的值为________． 17. 如图，的顶点的坐标分别是，且，则顶点A的坐标是_____． 18. 如图，在锐角中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时的运动时间为_____秒． 三、解答题（19、20题每题6分，21、22每题8分，23、24每题9分，25、26每题10分，共计66分，解答题要有必要的文字说明） 19. 计算：． 20. 一次函数与反比例函数相交于点A和点． （1）求一次函数和反比例函数解析式； （2）求出点A的坐标． 21. 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B （1）求证：△ADF∽△DEC； （2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长． 22. 2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．如图，当张角时，顶部边缘处离桌面的高度的长为，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角时（点是的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘处离桌面的高度的长．（结果精确到；参考数据：，，） 23. 为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）．按照完成时间分成五组：A组“t≤45”，B组“45＜t≤60”，C组“60＜t≤75”，D组“75＜t≤90”，E组“t＞90”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次调查的样本容量是 ，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，B组的圆心角是 度，本次调查数据的中位数落在 组内； （3）若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数． 24. 某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． （1）求销售价在每件90元的基础上，每件降价多少元时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠？ （2）要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由． 25. 阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）应用：一元二次方程的两个实数根为，则___________，___________； （2）类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； （3）提升：已知实数s，t满足且，求的值． 26. 如图1，已知和都是等腰直角三角形，，，点D在上，与交于点M，与交于点N． （1）求证：； （2）若点E是延长线上一点，与交于点N，点D是的中点，连接，其他条件不变． ①如图2，求证：平分； ②如图3，若，则的周长：的周长＝______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年九年级（上）第二次学情监测 数学 本试卷共三道大题，满分120分，考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（ ） A. 检测“神舟十四号”载人飞船零件的质量 B. 检测一批LED灯的使用寿命 C. 检测黄冈、孝感、咸宁三市的空气质量 D. 检测一批家用汽车的抗撞击能力 【答案】A 【解析】 【分析】根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、检测“神舟十四号”载人飞船零件的质量，适宜采用全面调查的方式，故A符合题意； B、检测一批LED灯的使用寿命，适宜采用抽样调查的方式，故B不符合题意； C、检测黄冈、孝感、咸宁三市的空气质量，适宜采用抽样调查的方式，故C不符合题意； D、检测一批家用汽车的抗撞击能力，适宜采用抽样调查的方式，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了全面调查和抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键． 2. 下列函数不是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的概念，掌握反比例函数概念，即可解题． 【详解】解：A、是反比例函数，不符合题意； B、是反比例函数，不符合题意； C、可化为是反比例函数，不符合题意； D、是一次函数，不是反比例函数，符合题意． 故选：D． 3. 一元二次方程的根情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．计算出即可得到答案． 【详解】解：，，， ， 故有两个不相等的实数根， 故选C． 4. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据是关于x的一元二次方程的一个根，将代入得到，解得，从而确定答案． 【详解】解：是关于x的一元二次方程的一个根， 将代入得到，解得， 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程根的定义以及解一元一次方程，熟练理解方程根的定义是解决问题的关键． 5. 如图，与是位似图形，点O为位似中心，．若的周长为4，则的周长是（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，熟记相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 根据位似图形的概念得到，得到，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】， 与是位似图形 ， 的周长的周长 的周长为4 的周长为 故选：C 6. 如图，圆桌面正上方的灯泡发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）．已知灯泡距离地面2.4m，桌面距离地面0.8m（桌面厚度忽略不计），若桌面的面积是1.2m²，则地面上的阴影面积是（ ） A. 0.9m² B. 1.8m² C. 2.7 m² D. 3.6 m² 【答案】C 【解析】 【分析】根据桌面与地面阴影是相似图形，再根据相似图形的性质即可得到结论． 【详解】解：如图设C，D分别是桌面和其地面影子的圆心，CB∥AD， ∴ ∴ 而OD=2.4，CD=0.8， ∴OC=OD-CD=1.6， ∴ 这样地面上阴影部分的面积为 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，根据相似图形的面积比等于相似比的平方，同时考查相似图形的对应高之比等于相似比，掌握以上知识是解题的关键． 7. 已知反比例函数y＝－，下列结论不正确的是 ( ) A. 图象必经过点（－1，3） B. y随x的增大而增大 C. 图象位于第二、四象限内 D. 若x>1，则y>－3 【答案】B 【解析】 【分析】将x＝−1代入反比例解析式中求出对应的函数值为3，得到反比例函数图象过（−1，3），选项A正确； 由反比例函数中的系数k小于0，得到反比例函数图象位于第二、四象限，且在每一个象限，y随x的增大而增大，得到选项B错误，选项C正确； 由反比例函数图象可得：当x大于1时，y大于−3，得到选项D正确，即可得到不正确的选项为B． 【详解】解：A、将x=-1代入反比例解析式得：y=- ∴反比例函数图象过（-1，3），本选项说法正确，不符合题意； B、反比例函数y=-，在第二或第四象限y随x的增大而增大，本选项错误，符合题意； C、由反比例函数的系数k=-3＜0，得到反比例函数图象位于第二、四象限，本选项说法正确，不符合题意； D、由反比例函数图象可得：当x＞1时，y＞-3，本选项说法正确，不符合题意， 故选：B． 【点睛】此题考查了反比例函数的性质，反比例函数y＝kx（k≠0），当k＞0时，图象位于第一、三象限，且在每一个象限，y随x的增大而减小；当k＜0时，图象位于第二、四象限，且在每一个象限，y随x的增大而增大． 8. 如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．根据相似三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：设各个小正方形的边长为1，则已知的三角形的各边分别为1，，， A、因为三边分别为：，，3，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似； B、因为三边分别为：2，，，三边与已知三角形的各边对应成比例，，故两三角形相似； C、因为三边分别为：1，，，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似； D、因为三边分另为：2，，，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似， 故选：B． 9. 如图，将矩形沿对角线折叠，使落在处，交于，则下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：主要根据折叠前后角和边相等对各选项进行判断，即可选出正确答案． 详解：A、BC=BC′，AD=BC，∴AD=BC′，所以A正确． B、∠CBD=∠EDB，∠CBD=∠EBD，∴∠EBD=∠EDB，所以B正确． D、∵sin∠ABE=， ∵∠EBD=∠EDB ∴BE=DE ∴sin∠ABE=． 由已知不能得到△ABE∽△CBD．故选C． 点睛：本题可以采用排除法，证明A，B，D都正确，所以不正确的就是C，排除法也是数学中一种常用的解题方法． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，，连接AC，过点O作交AC的延长线于P．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由可知，OP与x轴的夹角为45°，又因为，则为等腰直角形，设OC=x，OB=2x，用勾股定理求其他线段进而求解． 【详解】∵P点坐标为（1，1）， 则OP与x轴正方向的夹角为45°， 又∵， 则∠BAO=45°，为等腰直角形， ∴OA=OB， 设OC=x，则OB=3OC=3x， 则OB=OA=3x， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理和锐角三角函数的求解，根据P点坐标推出特殊角是解题的关键． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的求值，由已知 ，将所求分式 拆分为 ，再代入计算． 【详解】解：， 当时， 原式 ． 故答案为：． 12. 《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”．书中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少（如图）？答：门高、宽和对角线的长分别是___________尺． 【答案】8，6，10 【解析】 【分析】设竿的长为x尺，则门高为尺，门宽为尺，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设竿的长为x尺，则门高为尺，门宽为尺， 根据题意可得：， 解得：或（舍去）， ∴（尺），（尺）， 即门高、宽和对角线的长分别是8，6，10尺， 故答案为：8，6，10． 【点睛】本题考查勾股定理的应用和解一元二次方程，正确设未知数找到等量关系是解题的关键． 13. 如图是根据南街米粉店今年6月1日至5日每天的用水量（单位：吨）绘制成的折线统计图，这五天的用水量的中位数是__________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了中位数的概念，先把五天的用水量从小到大排列，然后利用中位数的概念解题即可． 【详解】解：由折线统计图可知，这五天的用水量从小到大排列为：， 故这五天的用水量的中位数是7， 故答案为：7． 14. 在中，，是斜边上的高，，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，先求出，再借助面积求出，最后用勾股定理求出结论即可． 【详解】解：在中，，，， ， ， ， 是斜边上的高， 在中，， 故答案为：． 15. 如图，在正方形网格中，的顶点、、都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则_________． 【答案】##0.8 【解析】 【分析】如图所示，过点C作CE⊥AB于E，先求出CE，AE的长，从而利用勾股定理求出AC的长，由此求解即可． 【详解】解：如图所示，过点C作CE⊥AB于E， 由题意得， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求正弦值，勾股定理与网格问题正确作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 16. 在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示．轴于点，点在轴上，若的面积为3，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据平行线间的距离相等得出，然后根据反比例函数性质的几何意义即可求得． 【详解】解：连接， 轴， 轴， ， ， ， 反比例函数在第二象限， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，明确的面积的面积是解题的关键． 17. 如图，的顶点的坐标分别是，且，则顶点A的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据的坐标求得的长度,， 利用30度角所对的直角边等于斜边的一半，求得的长度，即点的横坐标，易得轴，则的纵坐标即的纵坐标． 【详解】的坐标分别是 轴 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形，用到的知识点有特殊角的三角函数，在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，熟记特殊角的三角函数是解题的关键． 18. 如图，在锐角中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时的运动时间为_____秒． 【答案】3或4.8 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题关键是应用分类讨论的思想方法．本题先设运动t秒，再分两种情况，与，利用其性质列出方程即可求解． 【详解】解：设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与相似， 则． ①当点D与点B对应时，有． ∴， ∴， ∴； ②当点D与点C对应时，有． ∴， ∴， ∴． 所以当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是3秒或秒． 故答案为：3或． 三、解答题（19、20题每题6分，21、22每题8分，23、24每题9分，25、26每题10分，共计66分，解答题要有必要的文字说明） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查零指数幂，负整数指数幂及特殊角的三角函数值，准确的计算是解决本题的关键． 根据零指数幂，二次根式的性质，负整数指数幂及特殊角的三角函数值直接求解即可得到答案． 【详解】解： ． 20. 一次函数与反比例函数相交于点A和点． （1）求一次函数和反比例函数解析式； （2）求出点A的坐标． 【答案】（1）一次函数的表达式为：，反比例函数的表达式为： （2） 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题： （1）待定系数法进行求解即可； （2）联立解析式，求出点A坐标即可． 【小问1详解】 解：将点B的坐标代入两个函数表达式得：， 解得：， 所以一次函数的表达式为：，反比例函数的表达式为：； 【小问2详解】 解：联立两个函数表达式得：， 解得：或， 即点． 21. 如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B （1）求证：△ADF∽△DEC； （2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长． 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，． ，， ． 在与中， ． （2）6 【解析】 【分析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似； （2）利用，可以求出线段的长度；然后在中，利用勾股定理求出线段的长度． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是平行四边形， ． 由（1）知， ， ． ，， ， ， 在中，由勾股定理得：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，解题的关键是证明． 22. 2022年6月6日是第27个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．如图，当张角时，顶部边缘处离桌面的高度的长为，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角时（点是的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘处离桌面的高度的长．（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】约为 【解析】 【分析】在Rt△ACO中，根据正弦函数可求OA=20cm，在Rt△中，根据正弦函数求得的值． 【详解】解：在Rt△ACO中，∠AOC=180°-∠AOB=30°，AC=10cm， ∴OA=， 在Rt△中，，cm， ∴cm． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 23. 为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）．按照完成时间分成五组：A组“t≤45”，B组“45＜t≤60”，C组“60＜t≤75”，D组“75＜t≤90”，E组“t＞90”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次调查的样本容量是 ，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，B组的圆心角是 度，本次调查数据的中位数落在 组内； （3）若该校有1800名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数． 【答案】（1）100，补全的条形统计图如图所示： （2）72，C； （3）估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1710人． 【解析】 【分析】（1）根据C组的人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的人数，然后即可计算出D组的人数，从而可以将条形统计图补充完整； （2）根据统计图中的数据，可以计算出B组的圆心角的度数，以及中位数落在哪一组； （3）根据题意和统计图中的数据，可以计算出该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数． 【小问1详解】 这次调查的样本容量是：25÷25%=100， D组的人数为：100-10-20-25-5=40， 补全的条形统计图如图所示： 故答案为：100； 【小问2详解】 在扇形统计图中，B组的圆心角是：360°×=72°， ∵本次调查了100个数据，第50个数据和51个数据都在C组， ∴中位数落在C组， 故答案为：72，C； 【小问3详解】 1800×=1710（人）， 答：估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生有1710人． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 24. 某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． （1）求销售价在每件90元的基础上，每件降价多少元时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠？ （2）要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由． 【答案】（1）每件降价20元 （2） 解：不可能，理由如下： 依题意得： （90-x-50）（20+2x）=2000， 整理得：x2-30x+600=0， Δ=（-30）2-4×600=900-2400=-1500＜0， 则原方程无实数解． 则不可能每天盈利2000元． 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程，即每件服装的利润×销售量=总盈利，再求解，把不符合题意的舍去； （2）根据题意列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：设每件服装降价x元． 由题意得： （90-x-50）（20+2x）=1200， 解得：x1=20，x2=10， 为使顾客得到较多的实惠，应取x=20； 答：每件降价20元时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程． 25. 阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）应用：一元二次方程的两个实数根为，则___________，___________； （2）类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，求的值； （3）提升：已知实数s，t满足且，求的值． 【答案】（1）， （2） （3）的值为或． 【解析】 【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出，，再根据，最后代入求值即可； （3）由题意可将s、t可以看作方程的两个根，即得出，，从而由，求得或，最后分类讨论分别代入求值即可． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵一元二次方程的两根分别为m、n， ∴，， ∴ ； 【小问3详解】 解：∵实数s、t满足， ∴s、t可以看作方程的两个根， ∴，， ∵ ， ∴或， 当时， ， 当时， ， 综上分析可知，的值为或． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，分式的混合运算．理解题意，掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． 26. 如图1，已知和都是等腰直角三角形，，，点D在上，与交于点M，与交于点N． （1）求证：； （2）若点E是延长线上一点，与交于点N，点D是的中点，连接，其他条件不变． ①如图2，求证：平分； ②如图3，若，则的周长：的周长＝______． 【答案】（1）证明：∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①证明：∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 点D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； ② 【解析】 【分析】（1）由和都是等腰直角三角形，可得，则，证明，即，进而可得； （2）①证明：由和都是等腰直角三角形，可得，则，证明，则，由点D是的中点，可得，则，进而可证，即，进而结论得证；②由是等腰直角三角形，点D是的中点，可得，，则，由勾股定理得，，，由，可知的周长：的周长，计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②解：∵是等腰直角三角形，点D是的中点， ∴，， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， 由①可知，， ∴的周长：的周长， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线等知识．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $