湖南永州市冷水滩区李达中学2026-2027学年九年级上学期第一次检测数学试卷

2026年下期九年级第一次课后服务练习 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，下列三角函数表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用勾股定理求得AC的长，然后根据锐角三角函数定义进行判断即可． 【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3， ∴AC＝＝4， 则tanA＝＝，则A不符合题意， tanB＝＝，则B不符合题意， sinA＝，则C不符合题意， cosA＝，则D符合题意， 故选：D． 2．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，添加一个条件仍不能判定△ADE与△ACB相似的是（　　） A．∠ADE＝∠ACB B．DE∥BC C． D． 【分析】①有两个角相等的两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，则两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似；根据相似三角形的判定方法逐一判断即可． 【解答】解：∵∠A＝∠A， A．∠ADE＝∠ACB，有两个角对应相等，能使△ADE与△ACB相似， 故该选项不符合题意； B．由DE∥BC得∠ADE＝∠B，有两个角对应相等，能使△ADE与△ACB相似， 故该选项不符合题意； C．，有两组对应边的比相等，且其夹角相等，能使△ADE与△ACB相似， 故该选项不符合题意； D． ，有两组对应边的比相等但夹角不一定相等，不能使△ADE与△ACB相似， 故该选项符合题意． 故选：D． 3．如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若DO：AD＝2：3，则△ABC与△DEF的面积之比是（　　） A．9：1 B．25：4 C．9：4 D．25：9 【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△DE，DE∥AB，得到△DOE∽△AOB，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算． 【解答】解：∵DO：AD＝2：3， ∴DO：AO＝2：5， ∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形， ∴△ABC∽△DE，DE∥AB， ∴△DOE∽△AOB， ∴＝＝， ∴△ABC与△DEF的面积之比为25：4， 故选：B． 4．已知a，b，c，d，e，f六条线段满足，若b+d+f＝3，那么a+c+e的值为（　　） A．10 B．5 C． D． 【分析】根据比例线段相关知识运算即可． 【解答】解：由题意得，，． ∵b+d+f＝3， ∴． 故选：C． 5．定向越野拉练活动是学校素质教育的一次生动实践，我区某校每年组织一次定向越野拉练活动．如图，点A为出发点，途中设置两个检查点分别为点B和点C，行进路线为A→B→C→A，点B在点A的南偏东25°方向处，点C在点A的北偏东80°方向，∠ABC＝45°，则检查点B和C之间的距离为（　　） A．千米 B．千米 C．千米 D．4.5千米 【分析】过点A作AH⊥BC于点H，则∠AHB＝∠AHC＝90°，先求出∠BAC、∠BAH和∠CAH，然后求出AH、BH和CH，最后根据BC＝BH+CH即可得解， 【解答】解：如图，点B在点A的南偏东25°方向处，点C在点A的北偏东80°方向，∠ABC＝45°，过点A作AH⊥BC于点H， ∴∠AHB＝∠AHC＝90°，∠BAC＝180°﹣80°﹣25°＝75°， ∵∠ABC＝45°，∠AHB＝90°， ∴∠BAH＝180°﹣∠ABC﹣∠AHB＝180°﹣45°﹣90°＝45°， ∴∠CAH＝∠BAC﹣∠BAH＝75°﹣45°＝30°， 在Rt△ABH中，AB＝3km， ∴AH＝AB•sin∠ABC＝3•sin45°＝3×＝3（km）；BH＝AB•cos∠ABC＝3•cos45°＝3×＝3（km）， 在Rt△ACH中，∠CAH＝30°， ∴CH＝AH•tan∠CAH＝3×＝（km）， ∴BC＝BH+CH＝（3+）km， 故选：A． 6．如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5网格中，点A，B，C均在格点上，连接AB，BC，则cosB的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意构造出直角三角形，再结合余弦的定义进行计算即可． 【解答】解：连接AM， 由所给网格可知，AM⊥BC． 因为小正方形的边长为1， 所以AB＝， BM＝． 在Rt△ABM中， cosB＝． 故选：D． 7．如图，边长为8cm的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上，若BF＝2cm，则小正方形的面积等于（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据勾股定理求出DG长度，再根据△BEF∽△CFD得线段比例关系即可求出小正方形边长，从而得出小正方形面积． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD＝8cm， ∵BF＝2cm， ∴CF＝BC﹣BF＝6cm， ∴DF＝＝＝10cm， ∵∠BEF+∠BFE＝90°，∠BFE+∠CFD＝90°， ∴∠BEF＝∠CFD， ∴△BFE∽△CDF， ∴＝， 即＝， ∴EF＝， ∴S正方形EFGH＝EF2＝， 故选：B． 8．如图，在△ABC中，D、F，E、G分别为AB，AC边的三等分点，连接DE，FG，BE交FG于点H．若，则FH的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】由题意易得，，则有，然后可得△ADE∽△AFG，则有，进而可得△BFH∽△BDE，最后根据相似三角形的性质可进行求解． 【解答】解：∵D、F，E、G分别为AB，AC边的三等分点， ∴，， ∴， ∴， ∵∠DAE＝∠FAG， ∴△ADE∽△AFG， ∴， ∴DE∥FG， ∴△BFH∽△BDE， ∴， 设FH＝x，则有， ∵， ∴FG＝2DE，即， 解得：， ∴； 故选：C． 9．如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使，连接AC．若AB＝3，AD＝4，则tan∠CAD的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】方法一：过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E，由相似求出CE和DE的长，即可求解； 方法二：过点D作DF⊥AD，交AC于点F，由比例关系得出DF的长，即可得到解． 【解答】解：在Rt△BAD中，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使，AB＝3，AD＝4， ∴， ∴， 方法一：如图，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E， ∵， ∴△BDA∽△CDE， ∴， ∴CE＝1.5，DE＝2， ∴AE＝AD+DE＝6， 在Rt△AEC中，； 方法二，如图，过点D作DF⊥AD，交AC于点F， ∵∠DAB＝90°， ∴DF∥AB， ∵，BD＝5，AB＝3， ∴BC＝7.5， ∴， ∴DF＝1， ∴． 故选：A． 10．如图，在正方形ABCD中，F为DC上一动点，连接AF，点C与C′关于直线AF对称，连接AC′，C′F，并延长C′F交BC于点E，连接AE，DB，相交于点N，若tan∠BNE＝5，则的值为（　　） A． B． C．5 D． 【分析】连接AC交BD于点O，可证明tan∠ONA＝tan∠BNE＝5，得到，设OA＝OB＝OC＝OD＝5x，ON＝x，则DN＝6x，BN＝4x，证明△ADN∽△EBN，得到，则；由轴对称的性质可得AC′＝AC＝10x，∠AC′F＝∠ACF＝45°，过点A作AG⊥C′E于点G，则，可证明AG＝AD＝AB，则可证明Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），Rt△ADF≌Rt△AGF（HL），得到DF＝GF，BE＝GE；设AB＝BC＝CD＝AD＝6a，DF＝GF＝b，则BE＝4a，CE＝2a，CF＝6a﹣b，EF＝4a+b，由勾股定理可得（4a+b）2＝（6a﹣b）2+（2a）2，则，利用勾股定理求出AF的长即可得到答案． 【解答】解：在正方形ABCD中，F为DC上一动点，连接AF，点C与C′关于直线AF对称，连接AC′，C′F，并延长C′F交BC于点E，则： 如图所示，连接AC交BD于点O， 由题意可得：AD＝BC，AC⊥BD，∠ACD＝45°，OA＝OB＝OC＝OD，AD∥BC， ∵∠ONA＝∠BNE， ∴tan∠ONA＝tan∠BNE＝5， ∴在Rt△AON中，， 设OA＝OB＝OC＝OD＝5x，ON＝x， ∴DN＝OD+ON＝6x，BN＝OB﹣ON＝4x， ∵AD∥BC， ∴△ADN∽△EBN， ∴， ∴， ∴； 由题意可得：AC′＝AC＝OA+OC＝10x，∠AC′F＝∠ACF＝45°， 如图所示，过点A作AG⊥C′E于点G，则， ∵， ∴AG＝AD＝AB， 又∵AF＝AF，AE＝AE，且∠ADF＝∠AGF＝∠AGE＝∠ABE＝90°， ∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），Rt△ADF≌Rt△AGF（HL）， ∴DF＝GF，BE＝GE； 设AB＝BC＝CD＝AD＝6a，DF＝GF＝b，则BE＝4a，CE＝2a，CF＝6a﹣b， ∴EF＝4a+b， ∵EF2＝CF2+CE2， ∴（4a+b）2＝（6a﹣b）2+（2a）2， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 二．填空题（共6小题） 11．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的周长比为2：3，则BC：EF＝　2：3　 ． 【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可． 【解答】解：∵相似三角形周长的比等于相似，△ABC∽△DEF，其周长比为2：3， ∴BC：EF＝2：3， 故答案为：2：3． 12．在△ABC中，∠A和∠B均为锐角，且，则∠C＝　75　 度． 【分析】根据非负数的性质求出tanA和sinB的值，然后求出∠A、∠B的度数，最后求出∠C． 【解答】解：由题意得，tanA＝1，sinB＝， 则∠A＝45°，∠B＝60°， 则∠C＝180°﹣45°﹣60°＝75°． 故答案为：75． 13．如图，AD与BC相交于点O，∠A＝∠B，，AC＝6，则BD的长为　2　 ． 【分析】由已知条件证得△BOD∽△AOC，然后利用相似三角形的性质即可求得答案． 【解答】解：∵∠B＝∠A，∠BOD＝∠AOC， ∴△BOD∽△AOC， ∴， ∵，AC＝6， ∴， ∴BD＝2， 故答案为：2． 14．如图，在△ABC中，，BC＝3，，则∠C的度数为　45°　 ． 【分析】通过作高构造直角三角形，利用余弦的定义求出线段长度，再结合勾股定理和特殊角的三角函数值求解角度． 【解答】解：过点A作AD⊥BC于D， 在Rt△ABD中， ∵，， ∴， 由勾股定理得， ， ∵BC＝3， ∴CD＝BC﹣BD＝3﹣2＝1， ∴AD＝CD＝1， 又∵AD⊥BC， ∴△ADC是等腰直角三角形， ∴∠C＝45°， 故答案为：45°． 15．在△ABC中，AB＝8，AC＝，∠B＝30°，则BC的长度为　5或3　 ． 【分析】分两种情况：当△ABC是锐角三角形时；当△ABC是钝角三角形时；然后分别进行计算即可解答． 【解答】解：分两种情况： 当△ABC是锐角三角形时，如图：过点A作AD⊥BC，垂足为D， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵AB＝8，∠B＝30°， ∴AD＝AB＝4，BD＝AD＝4， 在Rt△ACD中，AC＝， ∴CD＝＝， ∴BC＝BD+CD＝4+＝5； 当△ABC是钝角三角形时，如图：过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D， ∴∠ADB＝90°， ∵AB＝8，∠B＝30°， ∴AD＝AB＝4，BD＝AD＝4， 在Rt△ACD中，AC＝， ∴CD＝＝， ∴BC＝BD﹣CD＝4﹣＝3； 综上所述：BC的长度为5或3， 故答案为：5或3． 16．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，AE＝3ED，F是DC的中点．AF与BE相交于点G．则的值为　　 ． 【分析】延长BE，CD交于点K，根据正方形得到AB＝BC＝CD＝AD，AB∥CD，进而证明△KED∽△BEA，结合相似三角形的性质可得；设KD＝x，则BA＝CD＝3x，进而可得；证明△ABG∽△FKG，利用相似三角形的性质即可获得答案． 【解答】解：延长BE，CD交于点K，如图： ∵四边形ABCD是正方形，AE＝3ED， ∴AB＝BC＝CD＝AD，AB∥CD， ∴△KED∽△BEA， ∴， 设KD＝x，则BA＝CD＝3x， ∵F是DC的中点， ∴， ∴， 又∵AB∥CD， ∴△ABG∽△FKG， ∴． 故答案为：． 三．解答题（共8小题） 17．计算：2cos60°+2sin30°﹣3tan45°． 【分析】根据特殊三角函数值进行计算即可． 【解答】解：原式＝ ＝1+1﹣3 ＝﹣1． 18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，求sinA，cosA，tanB的值． 【分析】由勾股定理求出AC的长，由锐角的正弦、余弦和正切定义，即可计算， 【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝3， ∴AC＝＝， ∴sinA＝＝，cosA＝＝，tanB＝＝． 19．如图，在△ABC中，点D是AB上一点，且AD＝1，AB＝3，． （1）求证：△ACD∽△ABC； （2）若，求BC的长． 【分析】（1）证明，结合夹角相等即可证明； （2）由（1）中的相似得到对应线段成比例代入求解即可得到答案． 【解答】（1）证明：在△ABC中，点D是AB上一点，且AD＝1，AB＝3，， ∴，， ∴， ∵∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC； （2）解：由（1）知：△ACD∽△ABC，且， ∴， ∴， 解得：（经检验，是分式方程的解，且符合题意）． 20．如图，在△ABC中，∠C＝60°，AC＝2，BC＝8，点D是边BC上的中点． （1）求线段AD的长． （2）求tan∠ABC的值． 【分析】（1）过点A作AE⊥BC于点E，利用三角函数可计算出CE＝1，，计算出DE＝3，利用勾股定理计算出AD即可； （2）利用正切函数的定义进行计算即可． 【解答】解：（1）如图，过点A作AE⊥BC于点E， ∵AE⊥BC， ∴∠AEC＝∠AEB＝90°， 在Rt△ACE中，，CE＝AC•cos∠C＝2×cos60°＝1， ∵BC＝8，点D是边BC上的中点， ∴， ∴DE＝CD﹣CE＝3， 在Rt△ADE中，； （2）由（1）可知，，DE＝3， ∴BE＝BD+DE＝7， 在Rt△ABE中，． 21．综合与实践活动中，某数学兴趣小组要利用测角仪测量建筑物的高度．如图，建筑物DC前有个斜坡AB，已知∠BAH＝α，AB＝20m，C，A，H在同一条水平直线上．某学习小组在A处测得广告牌底部D的仰角为45°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部E的仰角为22°，广告牌DE＝2m． （Ⅰ）求点B到地面距离BH的长； （Ⅱ）设建筑物DC的高度（结果保留整数． （参考数据：sinα＝0.60，cosα＝0.80，tanα＝0.75，tan22°≈0.40） 【分析】（1）利用Rt△ABH中∠BAH的正弦求解即可； （2）过点B作BF⊥EC于点F，先判断四边形四边形CHBF是矩形，求出AH，证明DC＝CA，得到EF＝ED+DF＝DE+（DC﹣FC），BF＝CH＝CA+AH，最后在Rt△BEF中，利用求解即可． 【解答】解：（1）由题意得：∠BHA＝90°，AB＝20m，∠BAH＝α， ∴BH＝AB•sinα＝20×0.60＝12（m）； （2）在A处测得广告牌底部D的仰角为45°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部E的仰角为22°，广告牌DE＝2m． 过点B作BF⊥EC于点F，根据题意，∠EBF＝22°，∠DAC＝45°，DE＝2m， ∵∠FCH＝∠H＝90°， ∴FC＝BH＝12m，FB＝CH， ∵∠DAC＝45°， ∵， ∴DC＝CA， ∵∠BHA＝90°，AB＝20m，∠BAH＝α， ∴AH＝AB•cosα＝20×0.80＝16（m）， ∴BF＝CH＝CA+AH＝（DC+16）m，EF＝ED+DF＝DE+（DC﹣FC）＝（DC﹣10）m， ∵， ∴， ∴， 解得DC≈27， 答：建筑物DC的高度约为27m． 22．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD交于点E，点F在边AB上，连接CF交线段BE于点G，CG2＝GE•GD． （1）求证：∠ACF＝∠ABD； （2）连接EF，求证：EF•CG＝EG•CB． 【分析】（1）先根据CG2＝GE•GD得出，再由∠CGD＝∠EGC可知△GCD∽△GEC，∠GDC＝∠GCE．根据AB∥CD得出∠ABD＝∠BDC，故可得出结论； （2）先根据∠ABD＝∠ACF，∠BGF＝∠CGE得出△BGF∽△CGE，故．再由∠FGE＝∠BGC得出△FGE∽△BGC，进而可得出结论． 【解答】证明：（1）∵CG2＝GE•GD， ∴． 又∵∠CGD＝∠EGC， ∴△GCD∽△GEC． ∴∠GDC＝∠GCE． ∵AB∥CD， ∴∠ABD＝∠BDC． ∴∠ACF＝∠ABD． （2）∵∠ABD＝∠ACF，∠BGF＝∠CGE， ∴△BGF∽△CGE． ∴． 又∵∠FGE＝∠BGC， ∴△FGE∽△BGC． ∴． ∴FE•CG＝EG•CB． 23．定义：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ， cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ， sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ， cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ； 例如：cos30°＝cos（60°﹣30°）＝cos60°cos30°+sin60°sin30° ＝ （1）cos15°＝　　 ，sin90°＝　1　 ，sin2x＝　2sinxcosx ； （2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AB＝c，AC＝b；求证：； （3）利用（2）中的结论证明：（1﹣tanαtanβ≠0，cosαcosβ≠0）． 【分析】（1）根据题干中提供的信息进行计算即可； （2）根据三角函数的定义进行解答即可； （3）根据解析（2）的结论分别求出，，即可得出结论． 【解答】解：（1）cos15°＝cos（45°﹣30°） ＝cos45°cos30°+sin45°sin30° ＝ ＝； sin90°＝sin（45°+45°） ＝sin45°cos45°+cos45°sin45° ＝ ＝ ＝1； sin2x＝sin（x+x） ＝sinxcosx+cosxsinx ＝2sinxcosx； （2）证明：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AB＝c，AC＝b， ∴，，， ∵， ∴． （3）证明：∵ ＝ ＝ ＝， ∴． 24．如图所示，点D在直角三角形ABC的斜边BC上，连接AD，作DA⊥AE，使得，连接DE交AC与点F，若AC＝6，AB＝8． （1）求证△ABD∽△ACE． （2）若∠EAC＝30°，求BD的长度． （3）当BD＝2时，求的比值． 【分析】（1）根据夹角相等，两边对应成比例的相似判定进行证明即可； （2）作DG⊥AB，垂足为G，容易证出△DBG∽△CBA，用相似三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质求出DG，进一步求出BD； （3）作FH⊥BC，垂足为H，容易证出△HFC∽△ABC，得到△HFC的三边关系．根据△ABD∽△ACE可以证明∠BCE＝90°，从而得到△DFH∽△DEC，利用相似的性质计算出CF，最后求得答案． 【解答】（1）证明：∵直角三角形ABC的斜边为BC，DA⊥AE， ∴∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE＝90°， ∴∠BAD＝∠CAE， 又∵， ∴，， ∴△ABD∽△ACE． （2）解：如图，作DG⊥AB，垂足为G，设BD＝5x， ， 在直角△ABC中，， ∵△ABD∽△ACE，∠EAC＝30°， ∴∠BAD＝∠EAC＝30°， ∵DG⊥AB，∠BAC＝90°， ∴∠BGD＝∠AGD＝90°＝∠BAC， ∵∠DBG＝∠CBA， ∴△DBG∽△CBA， ，即， ∴，， 在直角△ADG 中，∠AGD＝90°，∠GAD＝30°， ∴AD＝2GD＝6x， 由勾股定理得， ， ∵AB＝AG+GB＝8， ∴，解得， ； （3）解：如图，作FH⊥BC，垂足为H，设CF＝5y， ， ∵FH⊥BC， ∴∠CHF＝∠DHF＝90°＝∠BAC， ∵∠FCH＝∠BCA， ∴△HFC∽△ABC， 则，即， ，， ∵BD＝2， ∴DC＝BC﹣BD＝8， ∴DH＝DC﹣HC＝8﹣3y， 由（1）可知，△ABD∽△ACE， ∴∠ABD＝∠ACE，， ∴， ∵∠ABD+∠ACB＝90°， ∴∠ACB+∠ACE＝90°， ∴∠DCE＝90°＝∠DHF， ∵∠FDH＝∠EDC， ∴△DFH∽△DEC， ，即， ∴解得， ∴， ∵AC＝6， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $2026年下期九年级第一次课后服务练习 数学 时间：120分钟分值：120分 (出卷人：唐俊审卷人：胡六妹) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.如图1，在△ABC中，∠C=90°，AB=5,BC=3,下列三角函数表示正确的是() 义 E D E B B 图1 图2 图3 A、tanA= 3 B.tanb= 6 c.sinA号 D.c0s4= 5 2.如图2，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上，添加一个条件仍不能判定△ADE与△ACB相似 的是(） A.∠ADE=∠ACBB.DE∥BC C.A坦-AD D.AD_DE AB AC AB BC 3.如图3，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若DO:AD=2:3,则△ABC与△DEF的 面积之比是（) A.9:1 B.25:4 C.9:4 D.25:9 4.已知a,b,c,d,e,了六条线段满足且-9=旦=5，若b+d4=3,那么a+c+e的值为() b d f 6 A.10 B.5 C. 2 号 5.定向越野拉练活动是学校素质教育的一次生动实践，我区某校每年组织一次定向越野拉练活动，如图4， 点A为出发点，途中设置两个检查点分别为点B和点C,行进路线为A→B一C一A,点B在点A的南 偏东25°方向3V2km处，点C在点A的北偏东80°方向，∠4BC=45°，则检查点B和C之间的距 离为() 801 B 45 图4 图5 A.(3W3)千米 B.(3+3W3)千米 C.(6+W3)千米 D.4.5千米 6.如图5，在由边长为1的小正方形组成的5×5网格中，点A,B,C均在格点上，连接AB,BC,则cosB 第1页（共4页） 的值是() B.8 c:5 D.25 2 5 5 7.如图6，边长为8cm的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH,其中E、F、G分别在AB、BC、FD 上，若BF=2cm,则小正方形的面积等于(） 图6 图7 B. 257 c.3 D.5 8.如图7，在△ABC中，D、F,E、G分别为AB,AC边的三等分点，连接DE,FG,BE交FG于点H.若 6号则阳的长为〈) B. c.5 3 D.2 9.如图8，在R△B4D中，延长斜边BD到点C,使DC号0，连接4C,若8=3。D=,则∠ CAD的值为() y 图8 图9 图10 A. B.⑧ C.I D.3 4 4 10.如图9，在正方形ABCD中，F为DC上一动点，连接F,点C与C'关于直线AF对称，连接AC, C'R,并延长C'F交BC于点E,连接AB,DB,相交于点N,若tan∠BNB=5,则DP的值为() A.6 B.②6 C.5 D. 2W13 12 26 5 二、填空题（每小题3分，共18分） 11,已知△ABC∽△DEF,若△ABC与△DEF的周长比为2：3，则BC:EF= 12.在△4BC中，∠A和∠B均为锐角，且(tanA-1)2+l2sinB√3|=0则∠C=度. 13.如图10，AD与BC相交于点0，∠4=∠B,B=二，AC=6,则BD的长为 0A3 第2页（共4项） 6 D B 图11 图12 14.如图1山，在△ABC中，AB=-V5,BC=3,c0sB=2Y5,则∠C的度数为 5 15,在△ABC中，AB=8,AC=V19,∠B=30°，则BC的长度为 16.如图12，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，AE=3ED,F是DC的中点.亦与BE 相交于点6，则AS的值为 GE 三、解答题（共72分） 17.(6分)计算：2cos60°+2sin30°-3tan45° 18.(6分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4,BC=3,求sinA,cosA,tanB的值. 19.(8分)如图，在△ABC中，点D是AB上一点，且AD=1,AB=3,AC=V3. (1)求证：△ACD∽△ABC: (2)若C①V5,求BC的长 D B 20.（8分)如图，在△ABC中，∠C=60°，AC=2,BC=8,点D是边BC上的中点. (1)求线段AD的长. (2)求tan∠ABC的值. A B D 21,(10分)综合与实践活动中，某数学兴趣小组要利用测角仪测量建筑物的高度，如图，建筑物DC前 有个斜坡AB,已知∠BAH=a,AB=20m,C,A,H在同一条水平直线上、某学习小组在A处测得广 告牌底部D的仰角为45°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部E的仰角为22°，广告牌DE= 2m. （I)求点B到地面距离BH的长： (Ⅱ)求建筑物DC的高度（结果保留整数） (参考数据：sina=0.60,cosa=0.80,tana=0.75,tan22°≈0.40) 第3页（共4页） λ2.B H 22.(I0分)已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,对角线AC、BD交于点E,点F在边AB上，连 接CF交线段BE于点G,CG2=GE+GD. (I)求证：∠ACF=∠ABD; (2)连接EF,求证：EF+CG=EG+CB. A 23.(12分)定义：sin(a+B)=sinacosβ+cosasinB, cos(a+β)=cosacosβ-sinasinB, sin(a-B)=sinacosB-cosasinβ， cos(a-B)=cosacosβ+sinasinβ： 例如：cos30°=cos(60°-30°)=cos60°cos30°+sin60°sin30° -1xV3V3x113 Γ222 、22 (1)cos15°= ，sin90°=_，sin2x= (2)如图，在R△ABC中，∠C=90°，BC=a,AB=,4C=b:求证：tanA-sinA COsA ）3)利用②)中的结论证明：tan(Q+B）】nAa2n3I-tan啡≠0，co大0. a b 24.(12分)如图所示，点D在直角三角形ABC的斜边BC上，连接AD,作DALAE,使得想-AC,连 AD AE 接DE交AC与点F,若AC=6,AB=8. (1)求证△ABD∽△ACE. (2)若∠EAC=30°，求BD的长度. (3)当BD=2时，求A的比值. C℉ 第4页（共4页） 2026年下期九年级第一次课后服务练习 一．选择题（共10小题） 1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，下列三角函数表示正确的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，添加一个条件仍不能判定△ADE与△ACB相似的是（　　） A．∠ADE＝∠ACB B．DE∥BC C． D． 3．如图，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，若DO：AD＝2：3，则△ABC与△DEF的面积之比是（　　） A．9：1 B．25：4 C．9：4 D．25：9 4．已知a，b，c，d，e，f六条线段满足，若b+d+f＝3，那么a+c+e的值为（　　） A．10 B．5 C． D． 5．定向越野拉练活动是学校素质教育的一次生动实践，我区某校每年组织一次定向越野拉练活动．如图，点A为出发点，途中设置两个检查点分别为点B和点C，行进路线为A→B→C→A，点B在点A的南偏东25°方向处，点C在点A的北偏东80°方向，∠ABC＝45°，则检查点B和C之间的距离为（　　） A．千米 B．千米 C．千米 D．4.5千米 6．如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5网格中，点A，B，C均在格点上，连接AB，BC，则cosB的值是（　　） A． B． C． D． 7．如图，边长为8cm的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上，若BF＝2cm，则小正方形的面积等于（　　） A． B． C． D． 8．如图，在△ABC中，D、F，E、G分别为AB，AC边的三等分点，连接DE，FG，BE交FG于点H．若，则FH的长为（　　） A． B． C． D． 9．如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使，连接AC．若AB＝3，AD＝4，则tan∠CAD的值为（　　） A． B． C． D． 10．如图，在正方形ABCD中，F为DC上一动点，连接AF，点C与C′关于直线AF对称，连接AC′，C′F，并延长C′F交BC于点E，连接AE，DB，相交于点N，若tan∠BNE＝5，则的值为（　　） A． B． C．5 D． 二．填空题（共6小题） 11．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的周长比为2：3，则BC：EF＝________ ． 12．在△ABC中，∠A和∠B均为锐角，且，则∠C＝_______ 度． 13．如图，AD与BC相交于点O，∠A＝∠B，，AC＝6，则BD的长为_____ ． 14．如图，在△ABC中，，BC＝3，，则∠C的度数为________ ． 15．在△ABC中，AB＝8，AC＝，∠B＝30°，则BC的长度为____________________ ． 16．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，AE＝3ED，F是DC的中点．AF与BE相交于点G．则的值为__________________ ． 三．解答题（共8小题） 17．计算：2cos60°+2sin30°﹣3tan45°． 18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，求sinA，cosA，tanB的值． 19．如图，在△ABC中，点D是AB上一点，且AD＝1，AB＝3，． （1）求证：△ACD∽△ABC； （2）若，求BC的长． 20．如图，在△ABC中，∠C＝60°，AC＝2，BC＝8，点D是边BC上的中点． （1）求线段AD的长． （2）求tan∠ABC的值． 21．综合与实践活动中，某数学兴趣小组要利用测角仪测量建筑物的高度．如图，建筑物DC前有个斜坡AB，已知∠BAH＝α，AB＝20m，C，A，H在同一条水平直线上．某学习小组在A处测得广告牌底部D的仰角为45°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部E的仰角为22°，广告牌DE＝2m． （Ⅰ）求点B到地面距离BH的长； （Ⅱ）设建筑物DC的高度（结果保留整数． （参考数据：sinα＝0.60，cosα＝0.80，tanα＝0.75，tan22°≈0.40） 22．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD交于点E，点F在边AB上，连接CF交线段BE于点G，CG2＝GE•GD． （1）求证：∠ACF＝∠ABD； （2）连接EF，求证：EF•CG＝EG•CB． 23．定义：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ， cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ， sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ， cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ； 例如：cos30°＝cos（60°﹣30°）＝cos60°cos30°+sin60°sin30° ＝ （1）cos15°＝____________________ ，sin90°＝_____ ，sin2x＝______________ ； （2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AB＝c，AC＝b；求证：； （3）利用（2）中的结论证明：（1﹣tanαtanβ≠0，cosαcosβ≠0）． 24．如图所示，点D在直角三角形ABC的斜边BC上，连接AD，作DA⊥AE，使得，连接DE交AC与点F，若AC＝6，AB＝8． （1）求证△ABD∽△ACE． （2）若∠EAC＝30°，求BD的长度． （3）当BD＝2时，求的比值． 学科网（北京）股份有限公司 $