精品解析：陕西省西安爱知中学等校2026-2027学年上学期期九年级第二次学情检测数学试题

陕西省西安爱知中学等校2026-2027学年上学期期九年级第二次学情检测数学试题 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，一块直角三角板的一个顶点落在直尺的一边上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，中，是边上的中线，平分交于点于点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 设a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2026 B. 2027 C. D. 7. 把直线：向右平移2个单位长度可以得到直线，则下列各点在直线上的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，点在对角线上，过点作于点，且，连接，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 一元二次方程的解为__________． 10. 正六边形与正方形如图放置，则______． 11. 一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不许将球倒出来数的情况下，为了估计白球数，小刚向其中放入了8个黑球，搅匀后从中随意摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复这一过程，共摸球400次，其中80次摸到黑球，你估计盒中大约有白球______个． 12. 某公司今年第一季度缴税40万元，今年第三季度缴税48.4万元．该公司今年第二季度和第三季度缴税的平均增长率是__________． 13. 如图，矩形的对角线相交于点O，平分交于点E，若，则____度． 14. 如图，四边形是正方形，，点是上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转至线段，连接、，交边于点，连接，当取最小值时，线段的长为__________． 三、解答题（共12题，计78分．解答题应写出过程） 15. 计算： （1） （2） 16. 解下列方程： （1） （2） （3） 17. 化简：． 18. 如图，已知，点在边上．请用尺规作图法，在的内部求作一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，在中，，点在的延长线上，于点，若，求证：． 20. 为了弘扬社会主义核心价值观，某学校决定组织“立鸿鹄之志，做有为少年”主题观影活动，建议同学们利用周末时间自主观看．现有A，B，C共3部电影，甲、乙两名同学分别从中任意选择1部电影观看． （1）乙同学选择电影C的概率为_______； （2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位同学选择相同电影的概率． 21. 商洛核桃是本地知名特产，某特产专卖店销售商洛核桃，进价为40元／千克，若按60元／千克出售，平均每天可售出100千克．市场调查发现：核桃售价每降低1元，平均每天销售量可增加20千克．专卖店规定，售价不能低于50元／千克．该专卖店想要平均每天获利2880元，求每千克核桃应降价多少元？ 22. 某气象站开展高空探测实验，在广场同时释放两个探测气球．号气球距离地面的高度（单位：米）与上升时间（单位：分）满足一次函数关系，其图象如图所示．号气球从距离地面米处出发，以米／分的速度匀速上升． （1）求关于的函数解析式； （2）气球上升多长时间时，两个气球位于同一高度，此时它们距离地面多少米？ 23. 某中学进行知识竞赛．从七、八年级各随机抽取了12名学生的竞赛成绩进行整理（满分10分，得分均为整数），所抽取的七、八年级学生成绩如下： 七年级：3，4，6，6，6，6，7，9，9，9，9，10 八年级：5，5，5，6，7，7，7，7，8，9，9，9 小嘉分析数据后列出统计表并画出箱线图． 年级 平均数 中位数 众数 七年级 7 6和9 八年级 7 7 （1）填空：__________，__________； （2）八年级成绩箱线图的下四分位数是__________； （3）该校八年级共240人参加知识竞赛，估计八年级参加竞赛成绩优秀（）的学生人数为多少人？ 24. 如图，在四边形中，，对角线、交于点，平分，过点作交延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求四边形的面积． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线相交于点． （1）求直线的函数表达式； （2）点为直线上一点，若，求点的坐标． 26. 结合图形，解决问题： （1）如图1，为边长为2的等边三角形，是边上一点且平分的面积，则线段的长为__________； （2）如图2，四边形中，是边上一点且平分四边形的面积，求的长； （3）如图3，四边形为某空地的示意图，经测量米，米，米，点在边上满足．为了美化环境，现规划在空地内种植花卉，并从点修一条笔直的观光小路（点在上），请问是否存在，使得平分该空地的面积？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由．（小路的宽度不计）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西省西安爱知中学等校2026-2027学年上学期期九年级第二次学情检测数学试题 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、是有理数，不符合题意； B、 是有理数，不符合题意； C、是无理数，符合题意； D、是有理数，不符合题意． 2. 下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 3. 如图，一块直角三角板的一个顶点落在直尺的一边上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长与直尺一边交于点C，根据平行线的性质可得的度数，再由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：如图所示，延长与直尺一边交于点C， ∵直尺的对边平行， ∴， ∵， ∴． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A． ，原选项计算错误，不符合题意； B． ，计算正确，符合题意； C． ，原选项计算错误，不符合题意； D． ，原选项计算错误，不符合题意． 5. 如图，中，是边上的中线，平分交于点于点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质得出，利用勾股定理求出的长，根据角平分线的性质得出，设，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：中，，，是边上的中线， ，， 在中，， 由勾股定理得：， 平分，，， ， 在和中， ， ， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ． 6. 设a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2026 B. 2027 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先对所求代数式因式分解，再利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵ 是一元二次方程的两个实数根， ∴ 根据一元二次方程根与系数的关系可得： ，， 对所求代数式因式分解得： ， 将，代入得： 原式． 7. 把直线：向右平移2个单位长度可以得到直线，则下列各点在直线上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出：，逐个代入判断即可． 【详解】解：由题意得：， A.当时，，所以不在直线上，故不符合题意； B.当时，，所以不在直线上，故不符合题意； C.当时，，所以在直线上，故符合题意； D.当时，，所以不在直线上，故不符合题意． 8. 如图，在菱形中，点在对角线上，过点作于点，且，连接，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用菱形的性质，证明为等边三角形，得出对角线的值，设，通过的角性质得到，结合的等量关系求出的值，确定和的长度，作构造直角三角形，逐步计算、和，最终在中求得的值． 【详解】解：在菱形中，，， 则， ∴为等边三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 由，得， 解得， 故，， 过P作于点M， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，由勾股定理可得： ， 在中，，由勾股定理可得： ． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 一元二次方程的解为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ， 或， . 10. 正六边形与正方形如图放置，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由正多边形的性质可得，，，即得，，再根据三角形内角和定理解答即可． 【详解】解：∵正六边形与正方形， ∴，，， ∴，， ∴． 11. 一个密闭不透明的盒子里有若干个白球，在不许将球倒出来数的情况下，为了估计白球数，小刚向其中放入了8个黑球，搅匀后从中随意摸出一个球记下颜色，再把它放回盒中，不断重复这一过程，共摸球400次，其中80次摸到黑球，你估计盒中大约有白球______个． 【答案】32 【解析】 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，可根据“黑球数量÷黑白球总数=黑球所占比例”来列等量关系式，其中“黑白球总数=黑球个数+白球个数“，“黑球所占比例=随机摸到的黑球次数÷总共摸球的次数” 【详解】解：设盒子里有白球x个， 根据 得： 解得：． 经检验得是方程的解． 答：盒中大约有白球32个． 故答案为：32． 12. 某公司今年第一季度缴税40万元，今年第三季度缴税48.4万元．该公司今年第二季度和第三季度缴税的平均增长率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】列出方程求解即可． 【详解】解：设该公司今年第二季度和第三季度缴税的平均增长率是，则有 ， 解得，（舍去）， 故该公司今年第二季度和第三季度缴税的平均增长率是． 13. 如图，矩形的对角线相交于点O，平分交于点E，若，则____度． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质以及角平分线的定义得到是等边三角形，是等腰直角三角形，证明，根据进行计算即可． 【详解】解：矩形， ， 平分， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ． 14. 如图，四边形是正方形，，点是上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转至线段，连接、，交边于点，连接，当取最小值时，线段的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】作交的延长线于点，连接，证明，得到，，进而得到为等腰直角三角形，得到点在的角平分线上运动，作点关于的对称点，连接，连接，得到，进而得到当点在线段上时，，值最小，设，证明，列出比例式进行求解即可. 【详解】解：作交的延长线于点，连接，则， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵旋转， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴点在的角平分线上运动， 作点关于的对称点，连接，连接，则，，， ∴四点共线，， ∴当点在线段上时，，值最小，如图 ∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴. 三、解答题（共12题，计78分．解答题应写出过程） 15. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 16. 解下列方程： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【小问1详解】 解： ∴， ； 【小问2详解】 解： ，； 【小问3详解】 解： ． 17. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 18. 如图，已知，点在边上．请用尺规作图法，在的内部求作一点，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，点为所求， 【解析】 【详解】解：作的平分线，作，交于， 图略． 19. 如图，在中，，点在的延长线上，于点，若，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴∠ADE=90°， ∵， ∴∠ACB=∠ADE， 在和中 ， ∴， ∴AE=AB，AC=AD， ∴AE-AC=AB-AD，即EC=BD． 【解析】 【分析】利用AAS证明，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】略 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识． 20. 为了弘扬社会主义核心价值观，某学校决定组织“立鸿鹄之志，做有为少年”主题观影活动，建议同学们利用周末时间自主观看．现有A，B，C共3部电影，甲、乙两名同学分别从中任意选择1部电影观看． （1）乙同学选择电影C的概率为_______； （2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位同学选择相同电影的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）首先根据题意画出树状图或列表格，然后由树状图或列表格求得所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得． 【小问1详解】 解：现有共3部电影， 乙同学选择C部电影的概率是． 故答案为：； 【小问2详解】 解：用树状图或利用表格列出所有等可能的结果： 甲同学选择电影 乙同学选择电影 A B C A B C 那么总结果有9种，甲、乙2位同学选择相同电影的结果有3种， （甲、乙2位同学选择相同电影）． 21. 商洛核桃是本地知名特产，某特产专卖店销售商洛核桃，进价为40元／千克，若按60元／千克出售，平均每天可售出100千克．市场调查发现：核桃售价每降低1元，平均每天销售量可增加20千克．专卖店规定，售价不能低于50元／千克．该专卖店想要平均每天获利2880元，求每千克核桃应降价多少元？ 【答案】每千克核桃降价4元 【解析】 【分析】设每千克核桃应降价元，根据题目进价为元/千克，原售价为元/千克，降价元后，每千克的售价为元，则每千克的利润为元，化简可得元，原本平均每天可售出千克，那么每天的销售量为千克，据此列出方程求解即可． 【详解】解：设每千克核桃应降价元， ， ， ， ， 解得，， 当时，则售价为元/千克，不符合题意，舍去， 当时，则售价为元/千克，符合题意， 符合条件，即每千克核桃应降价元． 22. 某气象站开展高空探测实验，在广场同时释放两个探测气球．号气球距离地面的高度（单位：米）与上升时间（单位：分）满足一次函数关系，其图象如图所示．号气球从距离地面米处出发，以米／分的速度匀速上升． （1）求关于的函数解析式； （2）气球上升多长时间时，两个气球位于同一高度，此时它们距离地面多少米？ 【答案】（1） （2）气球上升分钟时，两个气球位于同一高度，此时它们距离地面米 【解析】 【分析】（1）设关于的函数解析式为，再将点，代入计算即可； （2）先求出号气球上升分时，高度为米，再根据两个气球位于同一高度建立方程，解出方程即可． 【小问1详解】 解：由题意，设关于x的函数解析式为， 根据图象，将点，代入得： 解得：， 关于的函数解析式为． 【小问2详解】 解：由题意可知，号气球上升分时，高度为米， 令， 解得：， 两个气球位于同一高度时，距离地面的高度为． 故气球上升分钟时，两个气球位于同一高度，此时它们距离地面米． 23. 某中学进行知识竞赛．从七、八年级各随机抽取了12名学生的竞赛成绩进行整理（满分10分，得分均为整数），所抽取的七、八年级学生成绩如下： 七年级：3，4，6，6，6，6，7，9，9，9，9，10 八年级：5，5，5，6，7，7，7，7，8，9，9，9 小嘉分析数据后列出统计表并画出箱线图． 年级 平均数 中位数 众数 七年级 7 6和9 八年级 7 7 （1）填空：__________，__________； （2）八年级成绩箱线图的下四分位数是__________； （3）该校八年级共240人参加知识竞赛，估计八年级参加竞赛成绩优秀（）的学生人数为多少人？ 【答案】（1）6.5，7 （2）5.5 （3）估计八年级参加竞赛成绩优秀的学生人数为80人 【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数的定义求解即可； （2）根据下四分位数的定义求解即可； （3）八年级参加竞赛成绩的人数是人，求出所占百分比，即可求解． 【小问1详解】 解：， 八年级7出现次数最多，； 【小问2详解】 解：方法一：八年级成绩箱线图的下四分位数是前半部分数据的中位数，即7，7，8，9，9，9的中位数，； 方法二：∵， ∴八年级成绩箱线图的下四分位数是从小到大排列后的第3和第4个数的平均数，即；； 【小问3详解】 解：（人）， 估计八年级参加竞赛成绩优秀的学生人数为80人． 24. 如图，在四边形中，，对角线、交于点，平分，过点作交延长线于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：， ， 又平分， ， ， ， 又， ， 又， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是菱形． （2）面积为 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的判定及性质，再结合平行线的性质得，由平行四边形的判定方法得四边形是平行四边形，再由菱形的判定方法即可得证； （2）由菱形的性质得，，由勾股定理得，设，在中，再由勾股定理得，求出，即可求解． 【小问1详解】 证明：略． 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ，， 又， ， 在中，， 设，则 在中，由勾股定理得 解得： ∴菱形面积． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线相交于点． （1）求直线的函数表达式； （2）点为直线上一点，若，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（）求出点的坐标，再利用待定系数法解答即可； （）利用三角形的面积公式可得，即得，再分点在轴上方和下方两种情况解答即可． 【小问1详解】 解：∵点在直线上， ， 解得， ， ∵点在直线上， ， 解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：由（）得，直线的解析式为， 设点的坐标为， ∵， ， ， ∵， ， 当点在轴上方时，如图， 则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 当点在轴下方时，如图， 则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ∴综上，点的坐标为或． 26. 结合图形，解决问题： （1）如图1，为边长为2的等边三角形，是边上一点且平分的面积，则线段的长为__________； （2）如图2，四边形中，是边上一点且平分四边形的面积，求的长； （3）如图3，四边形为某空地的示意图，经测量米，米，米，点在边上满足．为了美化环境，现规划在空地内种植花卉，并从点修一条笔直的观光小路（点在上），请问是否存在，使得平分该空地的面积？若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由．（小路的宽度不计）． 【答案】（1） （2） （3）存在，米 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质得是上的中点，由勾股定理即可求解； （2）过点D作交于点，垂足为F，由等边三角形的判定方法得为等边三角形，由勾股定理得，由平分四边形的面积得，求出，即可求解； （3）连接，，过D作于H，设交于点O，由勾股定理求出 ， ，求出，由判定， 设，则，结合勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：如图，是边上一点且平分的面积， 是上的中点， ，， ； 【小问2详解】 解：过点D作交于点，垂足为F， ， ， ， 为等边三角形， ， 四边形为平行四边形， ， ∴， ，，， ∴四边形的面积， 若平分四边形的面积，则， 解得， ， 在中，； 【小问3详解】 解：连接，，过D作于H，设交于点O， 米，米， 米， 米，， ，米， 米， ， ， 平分四边形的面积， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得，即， 米， 米， ， ， 解得米， ， 米， （米）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $