精品解析：陕西省西安市高陵区耿镇中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025～2026学年度第一学期第一次阶段性作业 九年级数学 注意事项： 1.本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2.领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号． 3.请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4.作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5.考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 已知是关于的一元二次方程，则的值为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，掌握需要注意的三点：①只含有一个未知数，②未知数的最高次数是2，③二次项系数不是0，是解题的关键； 根据一元二次方程的一般形式即可得出 ． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴ ， 故选：C． 2. 下列各图形中一定相似的是（ ） A. 两个菱形 B. 两个正方形 C. 两个直角三角形 D. 两个矩形 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似图形的定义，结合选项，用排除法求解． 【详解】A选项，两个菱形对应角不一定相等，故不符合题意； B选项，两个正方形对应边一定成比例，对应角一定相等，故符合题意； C选项，两个直角三角形对应边不一定成比例，对应角不一定相等，故不符合题意； D选项，两个矩形对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查相似图形的定义，熟悉各种图形的性质是解题的关键． 3. 如图，，若， ，则的长为（　　） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握和运用平行线分线段成比例定理是解决本题的关键． 根据平行线分线段成比例定理，列式计算即可求解． 【详解】， ， ， ， ， 解得 ． 故选：D． 4. 一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．搅匀后从口袋中随机摸出一个，记下颜色后放回，重复上述过程，通过多次摸球试验后发现摸到红球的频率稳定在0.2，则估计口袋中白球的个数为（　　） A. 20个 B. 16个 C. 10个 D. 8个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用频率估计概率，概率公式．由摸到红球的频率稳定在0.2附近，可得摸到红球的概率为0.2，设口袋中有x个白球，根据概率公式列方程即可． 【详解】解：设口袋中有x个白球， 则， 解得， 经检验是原方程的解， 故选：B． 5. 如图，已知四边形是平行四边形，对角线与交于点 ，添加下列条件后仍不能判定为矩形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形与菱形的判定，掌握矩形的判定方法是关键． 根据矩形的判定方法进行分析即可． 【详解】A、，由一个角为直角的平行四边形是矩形，可以知道为矩形，故此选项不符合题意； B、∵在中，，又， ， 为矩形，故此选项不符合题意； C、对角线相等的平行四边形为矩形，故此选项不符合题意； D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不能判定它为矩形，故D错误，符合题意． 故选：D． 6. 某校九年级为了落实五育并举，提升学生的综合素养，组织了一次篮球赛，各班都积极参与，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则该校九年级的班级共有（　　） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，得到比赛总数的等量关系是解题关键； 设该校九年级的班级共有个，根据题目中的比赛规则，可得一共进行了场比赛，即可列出方程，求解即可． 【详解】解：设该校九年级的班级共有个， 由题意得， 化简得， 解得（舍去）， ， ∴该校九年级的班级共有6个， 故选：C． 7. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 的顶点 在原点处，顶点在轴上，已知点的坐标为，则点的坐标为（　　）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，勾股定理，设边长，根据勾股定理构建方程是解题的关键． 过作 轴，延长交轴于，设菱形边长为，在 ，根据勾股定理可得，解方程即可． 【详解】如图，过作 轴，延长交轴于， 易知四边形为矩形，设菱形边长为， ， ， 在 中， ，则， 解得， ， ． 故选：A． 8. 如图，在正方形中，，点是边上的动点，连接，以为腰向右侧作等腰直角，若四边形的面积与的面积相等，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，解一元二次方程，由四边形是正方形，则，，设，则，通过勾股定理得，然后求出四边形的面积为，的面积为，再根据题意得，然后解方程并检验即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 设，则， ∴， ∴四边形的面积为，的面积为， ∴，整理得：， 解得：，（舍去）， ∴， ∴， 故选：． 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 若是关于x的方程的一个根，则m的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程的解，已知方程的解时，将方程的解代入方程求出其他参数即可，正确理解方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：将代入方程， 得， 解得 ， 故答案为1． 10. 线段是成比例线段，且，则___________ ． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了比例线段的定义，掌握比例线段的定义是解题的关键； 利用比例线段的定义得到，进而得到，然后代入数值求解即可． 【详解】解：∵线段是成比例线段， ∴根据比例线段的定义得，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6． 11. 1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为_____． 【答案】x（x﹣12）＝864． 【解析】 【分析】由长和宽之间的关系可得出宽为（x-12）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵长为x步，宽比长少12步， ∴宽为（x﹣12）步． 依题意，得：x（x﹣12）＝864． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 12. 如图，在正方形中，连接，延长至点，使得，连接，则 的度数为___________°． 【答案】22.5 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键． 由题知，再由，根据等边对等角，可得，接着求 即可． 【详解】解：在正方形中，平分， ， ， ， ． 故答案为：22.5． 13. 物理课上，同学们做“让小灯泡亮起来”的实验．“智慧小组”的实验电路图如图所示，其中 ，表示电路的开关（同时闭合开关与或与，小灯泡发光），L表示小灯泡．当随机闭合两个开关时，小灯泡L发光的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了概率的计算，熟练掌握概率公式是解题的关键．先列出随机闭合两个开关的所有可能情况，再找出能让小灯泡发光的情况，最后根据概率公式计算概率． 【详解】解：随机闭合两个开关，所有可能的情况有：、、 、、、，共种．同时闭合开关与或与，小灯泡发光，能让小灯泡发光的情况有、，共种． ∴小灯泡发光的概率是． 故答案为：． 14. 如图，在菱形中，，点、分别在边、上（均可与端点重合），连接，若，则的最小值为___________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查两边之和的最值问题，理解两点间线段最短是解题的关键． 以为边作等边三角形，连接，易得四边形为平行四边形，得到，再证，得到，再利用两点间线段最短即可求解． 【详解】如图，以为边作等边三角形，连接， 四边形为菱形，， 四边形为平行四边形， ， 三角形为等边三角形，， ， ， ， ， ， 三点共线，， ， 当在点时，取得最小值12， 又， 所以的最小值为12． 故答案为：12． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题关键．本题利用公式法即可求解． 【详解】解：， ， ∴， ∴ 16. 如图，四边形四边形，求 的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似的性质，四边形内角和定理，熟悉相似则对应角相等，四边形内角和为是解题的关键． 根据题意得，再由 ，四边形内角和为 求解即可． 【详解】解：四边形四边形， ． ， ， ． 17. 对于任意实数、，定义新运算：，例如，求方程的解． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查新定义，解一元二次方程，理解新定义的运算，得出方程是解题的关键； 先利用新定义得到，再把方程化为一般式，用因式分解法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得． 18. 如图，已知直线 ，点A、C分别在直线a、b上，利用尺规作图法在直线a、b上分别作点D、B，连接、，使得四边形是矩形．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图作矩形，熟练掌握矩形的性质是解决本题的关键． 先由点A作直线b，再截取，由此可得矩形． 【详解】解：以点A为圆心，任意长为半径画弧，与直线b交于点M与点N， 再分别以点M与点N为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点P， 连接交直线b于点B， 以点C为圆心，长为半径画弧，交直线a于点D， 即四边形是矩形，如图， 19. 如图，在中， 于点，于点， ，求证：四边形是正方形． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵ ， ∴ ， ∴四边形是矩形． ∵ ， ∴四边形是正方形． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，正方形的判定等知识，先利用平行四边形的性质得到 ，从而证明四边形是矩形，再结合 即可得证． 【详解】略 20. 陕西波浪谷景区是级景区，是摄影爱好者的天堂．如图是该景区停车场一处彼此相邻的四个空闲车位，分别为A，B，C，D．现有甲、乙两车准备到该停车场停车，甲车先从这四个车位中随机选择一个停放，乙车再从剩下的三个车位中随机选择一个停放． A B C D （1）甲停放在C位置的概率为______； （2）请用列表或画树状图的方法求甲、乙两车停放在相邻车位的概率． 【答案】（1） （2）甲、乙两车停放在相邻车位的概率为 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式求概率，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接用概率公式求解即可； （2）用画树状图法得出所有等可能的结果数以及甲和乙两车恰好都停放在相邻车位的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：∵一个有4个空闲的停车位，且每个停车位被选择的概率相同， ∴甲停放在位置的概率为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下所示： 由树状图可以得所有等可能的情况共有12种，其中甲、乙两车停放在相邻车位的有6种， ∴甲、乙两车停放在相邻车位的概率为． 21. 已知关于的一元二次方程（m为常数）． （1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根； （2）若某等腰三角形的两条腰长分别是这个方程的两个根，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：①当，方程有两个不相等的实数根；②当 ，方程有两个相等的实数根；③当，方程没有实数根，也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质； （1）先计算出，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况； （2）根据等腰三角形的性质可知一元二次方程有两个相同的根，即 ，再解方程即可． 【小问1详解】 证明：． ，即， 无论取任何实数，方程总有实数根． 【小问2详解】 解：等腰三角形的两条腰长分别是这个方程的两个根， 方程有两个相等的实数根， ，即， 解得， 当时，方程为， 解得：，满足条件， 的值为3． 22. 如图，在中，点D是边的四等分点（），交于点E，交于点F．，求四边形的周长． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，证明出 与相似是解决本题的关键． 根据两组对边分别平行可证明四边形为平行四边形，再由平行证明，可得边长比例由此可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又点D是边的四等分点， ∴， ∵， ∴ ， ， ∴， ∴四边形的周长为． 23. 如图，在矩形中，，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点D运动，同时点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度沿向终点C运动，当点Q到达终点C时，点P、Q同时停止运动，连接．当的面积为225时，求点P运动的时间． 【答案】点P运动的时间为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系是解决本题的关键． 设点P运动的时间为，根据题意得到和，再根据勾股定理得到，最后根据三角形面积公式进行列式求解即可． 【详解】解：设点P运动的时间为， ∵点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点D运动， ∴， ∵点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度沿向终点C运动， ∴， ∵，且四边形是矩形， ∴， ， ∴在中， ， ∴， ∵的面积为225， ∴ ， ∴ 解得， 当时，，， ∴符合题意， 当 时，，， ∵， ∴ 不符合题意舍去， 综上所述，点P运动的时间为． 24. 如图，在四边形中．，对角线与相交于点平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点作交的延长线于点：若，求 的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，等边对等角，勾股定理知识的综合，掌握菱形的判定和性质是解题的关键. (1）根据平行线的性质可得 ，根据角平分线的定义可得，结合等边对等角可得，由此即可求解； (2）根据菱形的性质可得，继而得到，再利用勾股定理求边长即可． 【小问1详解】 证明：， 四边形是平行四边形， ，则 ． 平分， ， ，则， 四边形是菱形． 【小问2详解】 解：四边形是菱形，， ． ， ， ， ． 25. 中秋节是我国的传统节日，自古便有赏月、吃月饼等习俗．某甜品店在今年中秋节前推出一种新口味的月饼，以80元/盒的价格售出这种月饼，第一周销售50盒，第二、三周该口味月饼十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，第三周的销售量达到72盒 （1）求第二、三周该口味月饼销售量的周平均增长率； （2）经市场预测，在售价不变的情况下．第四周的销售量将与第三周持平，现甜品店为了回馈顾客，采用降价促销方式（售价低于80元/盒），经过调查发现，该口味月饼每盒每降价1元，周销售量就增加3盒已知该口味月饼的成本价为50元/盒，当该口味月饼每盒降价多少元时，该店铺第四周销售这种口味月饼可获利2160元？ 【答案】（1）20% （2）降价6元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意假设未知数，构建方程是解题的关键． （1）周平均增长率为，根据第一周和第三周的销售关系，利用增长后的量=增长前的量，列方程求解即可； （2）设每盒降价元，根据利润=（售价-成本）销售量，结合条件列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设第二、三周该口味月饼销售量的周平均增长率为， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：第二、三周该口味月饼销售量的周平均增长率为20%． 【小问2详解】 设该口味月饼每盒降价元，则每盒的销售利润为元，周销售量为盒， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：当该口味月饼每盒降价6元时，该店铺第四周销售这种口味月饼可获利2160元． 26. 【问题探究】 （1）如图，点是正方形的边上一点，连接，作交的延长线于点，连接．判断与 的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （2）为了引导学生关注科学，培养学生的创新意识，某校修建了校园科创角，如图2，正方形是校园科创角的平面示意图，是该校园科创角内一条长为的小路，现要从向铺设一条地下水管，在与的交点 处修建灌溉水井，要求与小路GH的夹角．已知，求地下水管的长． 【答案】（），见解析；（）． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由四边形是正方形，则， ，再证明，然后通过全等三角形的性质即可求解； （）过点作交于点，可得四边形是平行四边形，所以，作交的延长线于点，得，所以，，再证明，故有，即，设，则，，然后通过勾股定理求出的值即可． 【详解】解：（），理由： ∵四边形是正方形， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （）过点作交于点， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 作交的延长线于点， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵ ，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， 设，则，， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴地下水管的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第一学期第一次阶段性作业 九年级数学 注意事项： 1.本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2.领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号． 3.请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4.作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5.考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 已知是关于的一元二次方程，则的值为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 下列各图形中一定相似的是（ ） A. 两个菱形 B. 两个正方形 C. 两个直角三角形 D. 两个矩形 3. 如图，，若， ，则的长为（　　） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 4. 一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．搅匀后从口袋中随机摸出一个，记下颜色后放回，重复上述过程，通过多次摸球试验后发现摸到红球的频率稳定在0.2，则估计口袋中白球的个数为（　　） A. 20个 B. 16个 C. 10个 D. 8个 5. 如图，已知四边形是平行四边形，对角线 与交于点，添加下列条件后仍不能判定为矩形的是（　　） A. B. C. D. 6. 某校九年级为了落实五育并举，提升学生的综合素养，组织了一次篮球赛，各班都积极参与，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则该校九年级的班级共有（　　） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 7. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 的顶点在原点处，顶点 在轴上，已知点的坐标为，则点的坐标为（　　）． A. B. C. D. 8. 如图，在正方形中，，点 是 边上的动点，连接 ，以 为腰向右侧作等腰直角，若四边形的面积与 的面积相等，则 的长为（　　） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 若是关于x的方程的一个根，则m的值为______． 10. 线段是成比例线段，且，则___________ ． 11. 1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为_____． 12. 如图，在正方形中，连接，延长至点 ，使得，连接 ，则 的度数为___________°． 13. 物理课上，同学们做“让小灯泡亮起来”的实验．“智慧小组”的实验电路图如图所示，其中 ，表示电路的开关（同时闭合开关 与或与，小灯泡发光），L表示小灯泡．当随机闭合两个开关时，小灯泡L发光的概率是______． 14. 如图，在菱形中，，点 、 分别在边 、 上（均可与端点重合），连接，若，则的最小值为___________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 16. 如图，四边形四边形，求 的度数． 17. 对于任意实数 、，定义新运算：，例如，求方程的解． 18. 如图，已知直线 ，点A、C分别在直线a、b上，利用尺规作图法在直线a、b上分别作点D、B，连接、，使得四边形是矩形．（不写作法，保留作图痕迹） 19. 如图，在中， 于点 ， 于点 ， ，求证：四边形是正方形． 20. 陕西波浪谷景区是级景区，是摄影爱好者的天堂．如图是该景区停车场一处彼此相邻的四个空闲车位，分别为A，B，C，D．现有甲、乙两车准备到该停车场停车，甲车先从这四个车位中随机选择一个停放，乙车再从剩下的三个车位中随机选择一个停放． A B C D （1）甲停放在C位置的概率为______； （2）请用列表或画树状图的方法求甲、乙两车停放在相邻车位的概率． 21. 已知关于的一元二次方程（m为常数）． （1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根； （2）若某等腰三角形的两条腰长分别是这个方程的两个根，求的值． 22. 如图，在中，点D是边的四等分点（），交于点E，交于点F．，求四边形的周长． 23. 如图，在矩形中，，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿 向点D运动，同时点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度沿向终点C运动，当点Q到达终点C时，点P、Q同时停止运动，连接 ．当的面积为225时，求点P运动的时间． 24. 如图，在四边形中．，对角线 与相交于点平分 ． （1）求证：四边形是菱形； （2）过点作交 的延长线于点 ：若，求的长． 25. 中秋节是我国的传统节日，自古便有赏月、吃月饼等习俗．某甜品店在今年中秋节前推出一种新口味的月饼，以80元/盒的价格售出这种月饼，第一周销售50盒，第二、三周该口味月饼十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，第三周的销售量达到72盒 （1）求第二、三周该口味月饼销售量的周平均增长率； （2）经市场预测，在售价不变的情况下．第四周的销售量将与第三周持平，现甜品店为了回馈顾客，采用降价促销方式（售价低于80元/盒），经过调查发现，该口味月饼每盒每降价1元，周销售量就增加3盒已知该口味月饼的成本价为50元/盒，当该口味月饼每盒降价多少元时，该店铺第四周销售这种口味月饼可获利2160元？ 26. 【问题探究】 （1）如图 ，点 是正方形的边 上一点，连接 ，作交 的延长线于点 ，连接 ．判断 与 的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （2）为了引导学生关注科学，培养学生的创新意识，某校修建了校园科创角，如图2，正方形是校园科创角的平面示意图， 是该校园科创角内一条长为的小路，现要从向 铺设一条地下水管 ，在 与 的交点处修建灌溉水井，要求 与小路GH的夹角．已知，求地下水管 的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $