精品解析：陕西西安市航天城第一中学2026-2027学年第一学期第一次月评估九年级数学试题

西安市航天城第一中学 2026-2027学年第一学期第一次月评估 九年级数学 （时间120分钟 全卷120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程． 根据一元二次方程的定义，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．不是一元二次方程，不符合题意； B．是一元二次方程，符合题意； C．不是一元二次方程，不符合题意； D．化简后为，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：B． 2. 下列各组线段中，能成比例的是（ ） A. 4，2，5，10 B. 1，2，3，4 C. 2，3，6，8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对选项一一分析即可． 【详解】解：A、∵， ∴该组线段能成比例； B、∵， ∴该组线段不能成比例； C、∵， ∴该组线段不能成比例； D、∵， ∴该组线段不能成比例。 3. 如图，直线，已知（ ） A. 3 B. 12 C. 6 D. 9 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵直线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 4. 若一元二次方程的两个根为，，则代数式的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 2026 D. 2028 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，．也考查了一元二次方程的解． 利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与积，然后代入代数式化简计算即可． 【详解】解：∵ 方程 的两根为 , ， ∴ , ， ∵ ， 代入得：． ∴ 原式的值为 2． 故选：B． 5. 如图，在矩形中，F是的中点，E是上一点，且，，则的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形内角和性质，直角三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据矩形的性质，得，结合，则是直角三角形，因为F是的中点，则，即可作答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即， 则是直角三角形， ∵F是的中点， ∴， 故选：C 6. 随着农业科技的发展，某品牌橙子使用现代农业技术和标准化管理体系进行水果种植，同时也开展优质水果品种繁育、种植技术、精深加工技术和工艺等方面的研究．某果农在两年前采用旧技术种植橙子，每亩产量为吨，现在采用新技术种植之后，每亩产量比旧技术多吨．设每亩产量的年平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两年前每亩产量为吨，年平均增长率为，时间间隔是年，得到两年后产量为吨，继而根据现在每亩产量比旧技术多吨列方程． 【详解】解：设每亩产量的年平均增长率为， ∵两年前每亩产量为吨， ∴一年后产量为吨，两年后产量为吨， ∵现在每亩产量比旧技术多吨，即现在产量为吨， ∴根据题意可列方程． 7. 如图，在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点，也是小正方形的顶点，从点中选取三个点所构成的三角形与相似，那么这个三角形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，由正方形的性质得出，由勾股定理得，证出，得出即可． 【详解】解：与相似的是；理由如下： 连接，如图所示： 则， 、和均找不出的角，不可能与相似， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴． 8. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，的垂直平分线交于点，交于点．若，，则菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】由菱形的性质可得，，，，连接，由线段垂直平分线的性质可得，，，由直角三角形的性质并结合勾股定理求出、的长，再由菱形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为菱形，， ∴，，，， 连接， ∵的垂直平分线交于点，交于点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴菱形的面积为． 9. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C在坐标轴上，点，将沿着折叠，点B恰好落在边的点F处，则点E的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，则，根据题意求得，，在中，由勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，四边形是矩形 ∴，， 设，则， 由折叠可得，，， 在中，， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得，， ∴点E的坐标为． 10. 如图，、、是三个全等的等腰三角形，底边、、在同一直线上，且，连接，分别交、、于点、、．则的长为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点 作 于点 ，如图，根据 是三个全等的等腰三角形，得出，，根据等腰三角形的性质和勾股定理得出，，则，，证明，得出，根据，得出，再证明，得出，即可求解． 【详解】解：过点 作 于点 ，如图， ∵ 是三个全等的等腰三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得： ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】该题考查了勾股定理，平行线分线段成比例，等腰三角形的性质，平行线的判定等知识点，解题的关键是利用平行线分线段成比例解答． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，汉字“十”端庄美观，横竖笔画交接处点恰好是线段的黄金分割点，若长，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】由图可知为较长线段，根据黄金分割点的定义可得，代入数据列一元二次方程求解即可． 【详解】解：由图可知，点是线段的黄金分割点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 12. 如图，，，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】由得到，再由证明，得到，所以，即可求出的面积． 【详解】解：∵ ∴ ∵， ∴， ∴， ∵，且四边形的面积为， ∴， ∴． 13. 已知且．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得，然后问题可求解． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 14. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为_____． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的判别式，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，， 解得：且， 故答案为：且． 15. 如图，在边长为2的正方形中，E是的中点，P、Q分别是边、上的动点，且交于点F，则的最小值为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过点P作于点M，证明四边形是矩形，，得到，证明，得到，求出，将正方形沿翻折得到正方形，连接，过点Q作交于点N，连接，证明，得到，然后由得到当点N，Q，E三点共线时，取得最小值，即的长度，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点P作于点M， ∵四边形是正方形 ∴， ∵ ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵E是的中点 ∴ 将正方形沿翻折得到正方形，连接，过点Q作交于点N，连接 ∴，， 又∵ ∴ ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形 ∴， ∴ ∴当点N，Q，E三点共线时，取得最小值，即的长度 ∴ ∵， ∴ ∴的最小值为． 三、解答题 16. 解方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， 或， ，． 【小问2详解】 解：， ， ，即， ， ，． 17. 已知关于的一元二次方程，若方程的两个实数根为，，且，求k的值． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意可得，，故，又因为，得到，解方程即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根为，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 解得或， ∵，即方称恒有解， ∴的值为或． 18. 尺规作图：已知的中点，在上作出点，使得（保留作图痕迹，不写作法，写出必要的文字说明）； 【答案】解：如图，点E即为所求． 【解析】 【分析】根据作一个角等于已知角的方法，作，结合，可证． 【详解】略 19. 如图，在中，分别是上的点，且，，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】利用得到，求出，，根据得到，由此求出． 【详解】解：∵， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ， ∴． 20. 如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，BD上，且DE＝CF，AF，BE相交于点G，求证：BE⊥AF． 【答案】 证明：∵四边形形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝DC，∠BAD＝∠D＝90°， 又∵DE＝CF， ∴AE＝DF， ∴在△BAE和△ADF中， ， ∴△BAE≌△ADF（SAS）． ∴∠ABE＝∠DAF， ∵∠DAF+∠BAG＝90°， ∴∠ABE+∠BAG＝90°， ∴∠AGB＝90°， ∴BE⊥AF． 【解析】 【分析】先由正方形的性质得出判定△BAE和△ADF全等的条件，再判定△BAE≌△ADF，然后由全等三角形的性质得出∠ABE＝∠DAF，从而可证得∠AGB＝90°，由垂直的定义可得结论． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定和性质，通过正方形的性质寻找条件证明△BAE≌△ADF是解题的关键． 21. 如图，在四边形中，，，点是的中点，且平分．求证：四边形是菱形． 【答案】证明：，点是的中点， ， 又，即， 四边形是平行四边形， 平分， ， ， ， ， ， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】先根据对边平行且相等，证明四边形是平行四边形，再根据，平分，证明，推出，即可证明四边形是菱形． 【详解】略 22. 如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． （1）设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边AD的长为　 　米； （2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的长与宽． 【答案】（1） （2）长为9m，宽为5m 【解析】 【分析】（1）用绳子的总长减去三个的长，然后加上两个门的长即可表示出； （2）根据长方形面积公式列出关于x的一元二次方程求解即可得出答案． 【小问1详解】 解：设花圃的宽AB长为x米，则长米， 故答案为:； 【小问2详解】 解：由题意可得：， 解得：；， ∴当时，，不符合题意舍去， 当时，，满足题意． 答：花圃的长为9m，宽为5m． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，弄清题意、用x表示出是解答本题的关键． 23. 交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”．某商店销售一批头盔，进价为每顶50元，售价为每顶78元，平均每周可售出200顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价高于68元．经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．设每顶头盔降价元． （1）每顶头盔降价元后，每顶头盔的利润是___________元（用含的代数式表示）； （2）若该商店希望平均每周获得7200元的销售利润，则每顶头盔应降价多少元？ 【答案】（1） （2）每顶头盔应降价8元 【解析】 【分析】（1）用原来的售价减去进价，再减去降价即可得到答案； （2）根据总利润每顶头盔的利润销售量建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：每顶头盔降价元后，每顶头盔的利润是元； 【小问2详解】 解：由题意得，， 整理得， 解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意， ∴， 答：每顶头盔应降价8元． 24. 如图，在中，点D为边上的一点，连接，过点A作，连接分别交，于点F，G，． （1）求证：； （2）若，，点D为的中点，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （2） 【解析】 【分析】（1）证明，结合平行线的性质解题； （2）推出，根据面积法计算． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，∵，，点D为的中点， ∴，， ∴， 由（1）知， 而， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 25. 在中，，，．现有动点从点出发，沿向点方向运动，动点从点出发，沿线段也向点方向运动，如果点的速度是/秒，点的速度是/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为秒． 求：（1）当秒时，、两点之间的距离是多少？ （2）当为多少秒时，以点、、为顶点的三角形与相似？ 【答案】（1）当t=3秒时，P、Q两点之间的距离是cm；（2）当秒或秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似． 【解析】 【分析】（1）在Rt△CPQ中，当t=3秒，可知CP、CQ的长，运用勾股定理可将PQ的长求出； （1）应分两种情况：当Rt△CPQ∽Rt△CAB和Rt△CPQ∽Rt△CBA时，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）由题意得AP，CQ，则CP， 当t=3秒时，(cm)，(cm)， 在Rt△CPQ中，由勾股定理得PQ=(cm)， ∴当t=3秒时，P、Q两点之间的距离是cm； （2）由题意得AP，CQ，则CP， ∵AC=20cm，BC=15cm． ∴①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，，即， 解得：秒； ②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，，即， 解得：秒； 因此秒或秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的性质，解本题的关键时用分类讨论的思想和方程思想解决问题． 26. 【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，点在边上，连接，以为边在右侧作等腰直角，，点在边上，且，连接、．则的值为_____； （2）如图2，在矩形中，点在边上，连接，点是矩形外一点，连接、、，若，，求的值； 【问题解决】 （3）在学校的劳动教育实践基地中，该校计划在一块菱形空地（如图3）上规划种植区并搭建遮阳棚．该菱形空地的边长为米，，为了更好地适应不同作物的光照需求，工作人员决定在边上选取一点，并以为边向右侧搭建一个等腰三角形形状的遮阳棚，其中，且遮阳棚的顶角．遮阳棚的边界与边交于点，且．请根据上述劳动实践中的设计要求，求出点到点的距离． 【答案】（1）；（2）；（3）点到点的距离为米 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质可得，，由等腰直角三角形的性质可得，，证明，为等腰直角三角形，即可得解； （2）在上取点，使得，连接，证明，得出，求出，，再由勾股定理得出，进而得出，即可得解； （3）在上截取，连接，证明得出，，由菱形的性质可得，，，求出，过点作，交的延长线于点，则，求出，由直角三角形的性质可得，由勾股定理得，证明得出，过点作于点，则，由直角三角形的性质可得，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：（1）∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）如图，在上取点，使得，连接， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ． （3）如图，在上截取，连接， ， ，， ， ， ， ，， 四边形是菱形， ，，， ，， ， ，， ， ， 如图，过点作，交的延长线于点，则， ， ， ， ， 由勾股定理得：， ， ，， ， ， ， ，即， ， ， 如图，过点作于点，则， ， ， 由勾股定理得：，即， ， 点到点的距离为米． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活与运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安市航天城第一中学 2026-2027学年第一学期第一次月评估 九年级数学 （时间120分钟 全卷120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2 2. 下列各组线段中，能成比例的是（ ） A. 4，2，5，10 B. 1，2，3，4 C. 2，3，6，8 D. 3. 如图，直线，已知（ ） A. 3 B. 12 C. 6 D. 9 4. 若一元二次方程的两个根为，，则代数式的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 2026 D. 2028 5. 如图，在矩形中，F是的中点，E是上一点，且，，则的长为（ ）． A. B. C. D. 6. 随着农业科技的发展，某品牌橙子使用现代农业技术和标准化管理体系进行水果种植，同时也开展优质水果品种繁育、种植技术、精深加工技术和工艺等方面的研究．某果农在两年前采用旧技术种植橙子，每亩产量为吨，现在采用新技术种植之后，每亩产量比旧技术多吨．设每亩产量的年平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点，也是小正方形的顶点，从点中选取三个点所构成的三角形与相似，那么这个三角形是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，的垂直平分线交于点，交于点．若，，则菱形的面积为（ ） A. B. C. D. 24 9. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C在坐标轴上，点，将沿着折叠，点B恰好落在边的点F处，则点E的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，、、是三个全等的等腰三角形，底边、、在同一直线上，且，连接，分别交、、于点、、．则的长为（ ） A. B. 3 C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，汉字“十”端庄美观，横竖笔画交接处点恰好是线段的黄金分割点，若长，则的长为________． 12. 如图，，，，则_______． 13. 已知且．若，则______． 14. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为_____． 15. 如图，在边长为2的正方形中，E是的中点，P、Q分别是边、上的动点，且交于点F，则的最小值为_____________． 三、解答题 16. 解方程 （1） （2） 17. 已知关于的一元二次方程，若方程的两个实数根为，，且，求k的值． 18. 尺规作图：已知的中点，在上作出点，使得（保留作图痕迹，不写作法，写出必要的文字说明）； 19. 如图，在中，分别是上的点，且，，，，求的长． 20. 如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，BD上，且DE＝CF，AF，BE相交于点G，求证：BE⊥AF． 21. 如图，在四边形中，，，点是的中点，且平分．求证：四边形是菱形． 22. 如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． （1）设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边AD的长为　 　米； （2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的长与宽． 23. 交警部门提醒市民：“出门头盔戴，放心平安归”．某商店销售一批头盔，进价为每顶50元，售价为每顶78元，平均每周可售出200顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价高于68元．经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．设每顶头盔降价元． （1）每顶头盔降价元后，每顶头盔的利润是___________元（用含的代数式表示）； （2）若该商店希望平均每周获得7200元的销售利润，则每顶头盔应降价多少元？ 24. 如图，在中，点D为边上的一点，连接，过点A作，连接分别交，于点F，G，． （1）求证：； （2）若，，点D为的中点，求的长． 25. 在中，，，．现有动点从点出发，沿向点方向运动，动点从点出发，沿线段也向点方向运动，如果点的速度是/秒，点的速度是/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为秒． 求：（1）当秒时，、两点之间的距离是多少？ （2）当为多少秒时，以点、、为顶点的三角形与相似？ 26. 【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，点在边上，连接，以为边在右侧作等腰直角，，点在边上，且，连接、．则的值为_____； （2）如图2，在矩形中，点在边上，连接，点是矩形外一点，连接、、，若，，求的值； 【问题解决】 （3）在学校的劳动教育实践基地中，该校计划在一块菱形空地（如图3）上规划种植区并搭建遮阳棚．该菱形空地的边长为米，，为了更好地适应不同作物的光照需求，工作人员决定在边上选取一点，并以为边向右侧搭建一个等腰三角形形状的遮阳棚，其中，且遮阳棚的顶角．遮阳棚的边界与边交于点，且．请根据上述劳动实践中的设计要求，求出点到点的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $