精品解析：湖北武汉市光谷第二初级中学2026-2027学年九年级上学期数学作业

九年级数学作业 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 一元二次方程2x2－1＝4x化成一般形式后，常数项是－1，一次项系数是（　　） A. 2 B. －2 C. 4 D. －4 【答案】D 【解析】 【分析】首先化为一般形式，然后确定一次项系数即可． 【详解】解：一元二次方程2x2-1＝4x化成一般形式为2x2-4x -1＝0， 故一次项系数为-4， 故选D． 【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程ax2+bx+c=0的二次项系数是a，一次项系数是b，常数项是c． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的顶点，理解二次函数的顶点式是解题关键． 题目中已给顶点式，直接读取即可． 【详解】由题可知，顶点坐标为： 故选：B． 3. 用配方法解方程．下列变形正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上4，然后把方程左边写成完全平方式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程—配方法，熟知配方法是解题的关键． 4. 如果b＞0，c＞0，那么二次函数y＝ax2+bx+c的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】观察函数图象，根据二次函数的性质逐项判断即可． 【详解】A、根据图象可知，a＞0，又b＞0，∴＜0，而这与图象矛盾； B、根据图象可知，a＜0，又b＞0，∴＞0，而这与图象矛盾； C、∵c＞0，∴与y轴相交于正半轴，这与图象矛盾； D、根据图象可知，c＞0，a＜0，又b＞0，所以＞0，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数间的关系，解答此题，要将题干和各选项结合起来，根据二次函数的性质推出矛盾，舍去错误结论，选出正确答案． 5. 为丰富职工文化生活，东营区举办职工篮球友谊赛，每两支参赛队伍之间都要进行一场比赛，累计比赛36场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据单循环比赛的规则，计算总比赛场数列方程，用到的是计数去重的思路，即可得到符合题意的方程． 【详解】解：依题意，共有个队参赛，每两支队伍之间赛一场，每支队伍需要和除自身外的支队伍比赛， 又∵ 两队之间进行一场比赛， ∴ 实际总比赛场数为， 已知总比赛为36场， 因此列方程得，符合题意的为选项A. 6. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．主干、支干、小分支的总数是，则每个支干长出（ ）个小分支 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设每个支干长出个小分支，根据主干个、支干个、小分支个，总数之和等于，进而列出一元二次方程求解． 【详解】解：设每个支干长出个小分支， 根据题意，主干有个，支干有个，小分支有个， 可列方程：， 整理得：， 因式分解，得：， 解得：， 分支个数为正整数， 不合题意，舍去， ，即每个支干长出个小分支． 7. 已知点、、都在函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接将三个点的横坐标代入二次函数解析式，求出对应的的值，再比较大小． 【详解】解：点、、都在函数的图象上， 把代入解析式： ． 把代入解析式： ． 把代入解析式： ． ， ． 8. 已知抛物线，当时，y的最大值与最小值的差为3，则a的值（ ） A. 或 B. 1 C. D. 1或 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意对的正负进行讨论，得到的方程，从而求得的值． 【详解】解：二次函数， 该函数的对称轴是直线． 当时，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大． 当时，当时，；当时，． ，解得． 当时，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 当时，当时，；当时，． ，解得． 综上所述，的值为或． 9. 如果关于x的方程有两个实数根，那么k的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】方程有两个实数根，说明这是一元二次方程，首先二次项系数不能为0，再利用一元二次方程根的判别式列不等式，联立求出的取值范围． 【详解】解：方程有两个实数根， ，． ． ， ， 解得． ∴得且． 10. 如果m、n是一元二次方程的两个实数根，那么多项式的值是（　　） A. 2023 B. 2027 C. 2028 D. 2029 【答案】D 【解析】 【分析】先利用一元二次方程解的定义得到，，再用m表示出，则原式化简为，接着利用根与系数的关系得到m+n＝，mn＝，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴，， ∴， ∴ ＝ ＝， ∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ∴m+n＝，mn＝， ∴原式＝ ＝2029． 故选：D． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程（a≠0）的两根，则．也考查了一元二次方程的解． 二、填空题（共6小题，每小题3分．共18分） 11. 关于x的方程x2a﹣1+x＝5是一元二次方程，则a的值为 ___． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义得到2a-1=2，由此求得a的值． 【详解】解：依题意得：2a-1=2． 解得a=． 故答案是：． 【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）． 12. 方程的解是___________． 【答案】0或1 【解析】 【详解】解： 或 ∴，． ∴方程的解是0或1. 13. 将抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为：___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：将抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度后， 所得抛物线的解析式为：． 14. 为抑制高房价，照顾低收入家庭，国家决定加大经济保障房建设力度，若某市2024年完成了500万套，计划2026年完成2000万套，则2024年至2026年经济保障房平均每年的增长率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设2024年至2026年经济保障房平均每年的增长率为，根据题意列出方程，解方程得，，又因为增长率为正数，舍去负值，即可得2024年至2026年经济保障房平均每年的增长率． 【详解】解：设2024年至2026年经济保障房平均每年的增长率为，则 根据题意得： 原方程可变形为 方程两边同时开平方得 解得，（增长率为正数，负值舍去） ∴2024年至2026年经济保障房平均每年的增长率为． 15. 已知，二次函数图像如图所示，则下列结论正确的是___________． ①；②；③；④（其中，m为任意实数）；⑤ 【答案】①②③⑤ 【解析】 【分析】①由图像知，，根据对称轴在抛物线的右侧可得；②根据对称轴即可得；③据图像观察时的函数值，判断其与的大小即可；④比较时和时的函数值大小，注意此时是任意实数，可以等于1；⑤将式子移项，利用平方差公式展开得，观察出将时和时的函数值代入相乘判断正负即可． 【详解】由图像知，， 对称轴在抛物线的右侧， ，，①说法正确； ，，②说法正确； 由图像知，当时，，③说法正确； 当时，，当时，，为任意实数， ，即，④说法错误； 由图像知，当时，，当时，， ，即，⑤说法正确． 【点睛】判断④时，为任意实数，容易漏掉当时，两式相等的情况． 16. 如图（1），在中，，，边上的点从顶点出发，向顶点运动，同时，边上的点从顶点出发，向顶点运动，，两点运动速度的大小相等，设，，关于的函数图象如图（2），图象过点，则图象最低点的横坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据图形可知AE+CD=AB+AC=2，进而求得AB=AC=1、BC=以及图象最低点的函数值即为AE+CD的最小值；再运用勾股定理求得CD、AE，然后根据AE+CD得到+可知其表示点（x，0）到（0,-1）与（，）的距离之和，然后得当三点共线时有函数值.最后求出该直线的解析式，进而求得x的值． 【详解】解：由图可知，当x=0时，AE+CD=AB+AC=2 ∴AB=AC=1，BC=，图象最低点函数值即为AE+CD的最小值 由题意可得：CD=,AE= ∴AE+CD=+，即点（x，0）到（0,-1）与（，）的距离之和 ∴当这三点共线时，AE+CD最小 设该直线的解析式为y=kx+b 解得 ∴ 当y=0时，x=． 故填． 【点睛】本题主要考查了二次函数与方程的意义，从几何图形和函数图象中挖掘隐含条件成为解答本题的关键． 三、解答题（共8题，共72分） 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（１）根据一元二次方程的一般式可找出方程的二次项系数、一次项系数和常数项，再求出，即可根据求根公式求解即可； （２）利用因式分解法将原方程进行变形，然后利用两个因式分别为，即可求解． 【小问1详解】 解： ∵，，， ∴， ∴， 即，； 【小问2详解】 解： 原方程可变形为：， ∴或， ∴，． 18. 解决问题 （1）一元二次方程有两根，，则，，那么 ， ．请在横线上填写你发现的结论，并根据结论解答下面问题： 已知，是方程的两根，不解方程，求下列式子的值． （2）； （3）． 【答案】（1）， （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）将求根公式里的​和​直接相加、相乘化简即可求解； （2）先根据（1）的结论得出，，把原式变形为，再代入即可求解； （3）根据多项式乘以多项式的计算法则将原式变形为，再代入即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴ ， ． 【小问2详解】 解：∵，是方程的两根， ∴，， ∴． 【小问3详解】 解：由（2）的解答过程可知，，， ∴． 19. 如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪；使草坪的面积为．则道路的宽应设计为多少？ 【答案】1 【解析】 【分析】设道路的宽为x米，根据题意，解方程即可． 【详解】解：设道路的宽为x米， 根据题意， 整理，得， 解得． 根据题意，得矩形空地的长为， 故舍去； 故 故道路的宽为1． 20. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．图中A，B，C三点都是格点，点P是上的任意一点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）在图1中：①先画平行四边形，再在上画点E，使得；②再以为邻边画平行四边形． （2）在图2中，在上画一点G，使． 【答案】（1）解：根据题意，画图如下： 则点E，平行四边形即为所求． （2）解：根据题意，画图如下： 则点G即为所求． 【解析】 【分析】（1）①利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形画出即可，连接，交于点N，连接并延长，交于点E，根据平行四边形的性质和三角形全等的判定和性质，即可得到； ②连接，取的中点M，连接并延长，交于点Q，根据相似三角形的判定和性质，得到点Q是的中点，连接并延长，交的延长线于点F，连接，则结合全等三角形的判定和性质可知四边形是平行四边形． （2）取格点R，使得R是以为边正方形的一个顶点，连接，交于点H，则是线段的垂直平分线，连接交于点W，连接，并延长交于点T，根据线段垂直平分线的性质，得，，利用全等三角形的判定和性质得到，，连接交于点G，根据线段垂直平分线的判定，得到是线段的垂直平分线，继而得证． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：略． 21. 如图，已知抛物线的顶点为，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点（左右）． （1）求此抛物线的解析式： （2）为抛物线第一象限内的点，求当面积最大时点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意设抛物线顶点式，利用点，即可求出抛物线表达式． （2）设点，求出抛物线与轴交点坐标，求出直线表达式，表示出点坐标，表示出，根据三角形面积的最大值计算即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点为， 设抛物线的顶点式解析式为， ∵抛物线经过点， ∴， ， ， ∴抛物线的顶点式解析式为， ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：由（1）可知抛物线解析式为 设点， ∵点为抛物线第一象限内的点， ∴， 过点作轴垂线，交于点，如图，     ∵抛物线与轴交于，两点， ∴，即， 解得：，， ∵左右， ∴点坐标为， 设直线表达式为， ， 解得， ∴， ∴点， ∴， 观察图形可知， ，， ∴， 即， 抛物线对称轴为，符合， ∴在当时，面积取得最大值， 此时点， ∴当面积最大时P点坐标为． 22. 某商场销售一种产品，每件产品的成本为元，销售单价定为元．该商场为了促销，规定客户一次购买这种新型产品不超过件时，每件按元销售；若一次购买该种产品超过件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低元，但销售单价均不低于元（当销售单价达到元时，全部按此价格出售）． （1）设一次购买这种产品件，商场所获的利润为元，直接写出（元）与（件）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）客户购买产品的件数尽可能少的前提下，商场所获的利润为元，此时该商场销售了多少件？ 【答案】（1） （2）商场所获的利润为元，此时该商场销售了件 【解析】 【分析】（1）根据“销售单价均不低于元”求得，由利润（销售单价成本单价）件数，列出函数关系式； （2）根据（1）中函数关系式列出方程，解之可得的值，根据题意取舍后可得答案． 【小问1详解】 解：销售单价均不低于元， ， 解得， ， 由题意得，当时，， 当时，， （元）与（件）之间的函数关系式为； 【小问2详解】 由题意得当时，， 解得，， 当时，， 解得， 客户购买产品的件数尽可能少， ， 即商场所获的利润为元，此时该商场销售了件． 23. 问题背景（1）如图1，，，，求证：． 尝试应用（2）如图2，，，若，，，求线段的长． 拓展创新（3）如图3，在中，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作，交的延长线于点，若，直接写出线段的长． 【答案】 （1）证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）； （3） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质； （1）先证明，进而根据证明，即可求解； （2）先根据平行线的性质可得，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作交的延长线于点，同（1）证明，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，在中，勾股定理求得，证明，得出，即可求解； （3）将逆时针旋转，得到，延长与的延长线交于点，连接，得出，是等腰直角三角形，分别表示出，进而建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）略 （2）如图所示，过点作，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作交的延长线于点， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴，则， ∴ ∴ ∵ 在中， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ （3）如图所示，将逆时针旋转，得到，延长与的延长线交于点，连接， ∵， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 又∵， ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形， 设，则， 又∵，则， ∴， 又 ∴ 又 即 解得： ∴ 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）当时，直接写出A，B，C三点的坐标； （2）在（1）的条件下，如图1，连接，点E是第四象限内抛物线上的动点，过点E作于点F，轴交直线BC于点G，求面积的最大值； （3）如图2，当时，在直线l：上是否存在点Q，使得为直角三角形且这样的Q点有且只有3个？若存在，请求出此时k的值，并求出所有的Q点坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3），Q坐标为：，（0，1）或． 【解析】 【分析】（1）把代入，分别令，即可求出A、B、C的坐标； （2）设点E的坐标为：，利用直线的表达式用t表示点G的坐标， 用含t的式子表示，求出最大值，再利用等腰直角三角形面积公式用表示，确定点取最大值时面积最大． （3）以为直径的圆与直线l相切时，直线上存在唯一一点，使得，即可求出满足条件的k，以及此时点Q的坐标，再分别求出满足和时点Q的坐标即可． 【小问1详解】 当， 当时， ， 由得： 或， ； 【小问2详解】 直线的表达式为：， 设点E的坐标为：， 则G的坐标为：， ， 由题意知是以为斜边的等腰直角三角形 ， 当取最大值时，有最大值； 【小问3详解】 以为直径，作， 当直线与相切时， 此时在直线上存在唯一一点，使得，且切点为， 连接，如图 令代入， 解得：或， ， 设直线l与轴交于点C，交x轴于点E， 把代入， ， 令代入 ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 与相切， 由切线长定理可知：， ， 由勾股定理可求得：， ， ． 当直线l与相交时， 若在直线上存在唯一一点，使得， 则直线l必过点B，即E与B重合如图所示： ，， ， （舍去）， 综上可知：， ∴直线l表达式为：， ， 作， 则， ∴ ， ， ，， ， ∴Q的坐标为：， 当时， Q与点C重合，Q坐标为（0，1）， 当时， 把代入，得， Q坐标为：， 综上可知：，Q坐标为：，（0，1）或． 【点睛】本题主要考查了求二次函数表达式，求抛物线与坐标轴的交点坐标，求等腰直角三角形面积的最值，二次函数与直角三角形的几何综合题，切线长定理、圆周角定理，灵活运用转化思想是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学作业 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 一元二次方程2x2－1＝4x化成一般形式后，常数项是－1，一次项系数是（　　） A. 2 B. －2 C. 4 D. －4 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程．下列变形正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 如果b＞0，c＞0，那么二次函数y＝ax2+bx+c的图象大致是（　　） A. B. C. D. 5. 为丰富职工文化生活，东营区举办职工篮球友谊赛，每两支参赛队伍之间都要进行一场比赛，累计比赛36场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ） A. B. C. D. 6. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．主干、支干、小分支的总数是，则每个支干长出（ ）个小分支 A. B. C. D. 7. 已知点、、都在函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线，当时，y的最大值与最小值的差为3，则a的值（ ） A. 或 B. 1 C. D. 1或 9. 如果关于x的方程有两个实数根，那么k的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 10. 如果m、n是一元二次方程的两个实数根，那么多项式的值是（　　） A. 2023 B. 2027 C. 2028 D. 2029 二、填空题（共6小题，每小题3分．共18分） 11. 关于x的方程x2a﹣1+x＝5是一元二次方程，则a的值为 ___． 12. 方程的解是___________． 13. 将抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为：___________． 14. 为抑制高房价，照顾低收入家庭，国家决定加大经济保障房建设力度，若某市2024年完成了500万套，计划2026年完成2000万套，则2024年至2026年经济保障房平均每年的增长率为___________． 15. 已知，二次函数图像如图所示，则下列结论正确的是___________． ①；②；③；④（其中，m为任意实数）；⑤ 16. 如图（1），在中，，，边上的点从顶点出发，向顶点运动，同时，边上的点从顶点出发，向顶点运动，，两点运动速度的大小相等，设，，关于的函数图象如图（2），图象过点，则图象最低点的横坐标是__________． 三、解答题（共8题，共72分） 17. 解方程： （1） （2） 18. 解决问题 （1）一元二次方程有两根，，则，，那么 ， ．请在横线上填写你发现的结论，并根据结论解答下面问题： 已知，是方程的两根，不解方程，求下列式子的值． （2）； （3）． 19. 如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪；使草坪的面积为．则道路的宽应设计为多少？ 20. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．图中A，B，C三点都是格点，点P是上的任意一点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． （1）在图1中：①先画平行四边形，再在上画点E，使得；②再以为邻边画平行四边形． （2）在图2中，在上画一点G，使． 21. 如图，已知抛物线的顶点为，抛物线与轴交于点，与轴交于，两点（左右）． （1）求此抛物线的解析式： （2）为抛物线第一象限内的点，求当面积最大时点坐标． 22. 某商场销售一种产品，每件产品的成本为元，销售单价定为元．该商场为了促销，规定客户一次购买这种新型产品不超过件时，每件按元销售；若一次购买该种产品超过件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低元，但销售单价均不低于元（当销售单价达到元时，全部按此价格出售）． （1）设一次购买这种产品件，商场所获的利润为元，直接写出（元）与（件）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）客户购买产品的件数尽可能少的前提下，商场所获的利润为元，此时该商场销售了多少件？ 23. 问题背景（1）如图1，，，，求证：． 尝试应用（2）如图2，，，若，，，求线段的长． 拓展创新（3）如图3，在中，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作，交的延长线于点，若，直接写出线段的长． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）当时，直接写出A，B，C三点的坐标； （2）在（1）的条件下，如图1，连接，点E是第四象限内抛物线上的动点，过点E作于点F，轴交直线BC于点G，求面积的最大值； （3）如图2，当时，在直线l：上是否存在点Q，使得为直角三角形且这样的Q点有且只有3个？若存在，请求出此时k的值，并求出所有的Q点坐标：若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $