精品解析：湖北黄冈市蕲春县2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026年秋季九年级数学练习（一） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 将方程化为一般形式后，的值分别是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 若将抛物线先向左平移4个单位，再向下平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（　　） A. B. C. D. 5. 已知、和都在抛物线上，那么、和的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，从的图象上可看出当时，函数y的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 我市某校为增强学生的身体素质，特在全校开展足球赛，赛制为单循环形式（各年级自行组队，且每两个队之间赛一场），已知计划安排10场比赛，设应邀参加的足球队有x个，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 9. 已知抛物线，与的部分对应值如表所示，下列说法错误的是（ ）． A. B. 当时，随的增大而减小 C. 顶点坐标为 D. 开口向下 10. 如图，二次函数的部分图象与轴交于点，与轴的交点位于点和点之间，顶点为点，对称轴为直线．下列说法：①；②；③；④设抛物线与轴的另一交点为，当时，．其中正确的是（ ） A. ②③④ B. ②③ C. ②④ D. ①③④ 二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 二次函数的图象开口向___________．（填“上”或“下”） 12. 用配方法解方程时，若将方程变形为，则_____ ． 13. 一个三角形的两边长分别为5和7，第三边长是方程的根，则这个三角形的周长为___________． 14. 若，是方程的两个实数根，则代数式的值为________． 15. 图①是边长为，的矩形纸片，可将其剪拼成图②所示的图形．若，是关于的一元二次方程的两个实数根，则______． 三、解答题（共9题，满分75分） 16. 解下列一元二次方程： （1） （2） 17. 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的解析式． （1）已知抛物线顶点为，且过点； （2）已知抛物线经过点和． 18. 为营造书香校园氛围，某学校举办经典读书文化节，计划在一块长，宽的展示板上，展出4幅形状相同，面积均为的经典名著海报，若展示板外沿与海报之间、相邻海报之间间隔的宽度均相同，间隔的宽度应是多少？ 19. 如图，已知二次函数． （1）在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （2）写出抛物线的顶点坐标：______； （3）当时，直接写出y的取值范围：______． 20. 已知关于x的方程． （1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一根为4，求m的值． 21. 如图，抛物线的顶点为，且与轴交于点． （1）求，两点的坐标； （2）若点为点关于对称轴对称的点，点在抛物线上，且，求点的坐标． 22. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 23. 2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品． （1）某电商平台数据显示，该毛绒小马2月份销量为20万件，4月份销量已增至24.2万件．求该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率． （2）义乌某商铺以每件10元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为30元/件时，日销量为80件．售价每降低1元，日销量可增加10件. ①借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使销售利润达到1800元，则每件应降价多少元？ ②若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付2元快递费，且线上日销量固定为100件．当线下售价为多少元/件时，线上和线下的日利润总和最大？并求出最大利润． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点在此抛物线上，其横坐标分别为，连接． （1）当点与此抛物线的顶点重合时，求的值． （2）当的边与轴平行时，求点与点的纵坐标的差． （3）设此抛物线在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，当时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季九年级数学练习（一） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 将方程化为一般形式后，的值分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将原方程化为一元二次方程的一般形式，再确定的值． 【详解】解：将方程移项，得：， ∴ ，，． 2. 若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将代入即可求得c的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为， ∴将代入可得：， 解得：． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：在中，，， ∴ 顶点坐标为. 4. 若将抛物线先向左平移4个单位，再向下平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用平移规律求新抛物线的解析式． 【详解】解：根据“左加右减，上加下减”规律知：若将抛物线先向左平移4个单位，再向下平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为． 故选：A． 【点睛】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 5. 已知、和都在抛物线上，那么、和的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的特征，准确计算是解题的关键．通过直接计算各点在抛物线上的值，比较大小即可． 【详解】解： ∵、和都在抛物线上， ∴，，， ∴， 故选：A． 6. 已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由一元二次方程根的情况与判别式的关系列方程求解即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 即，解得． 7. 如图所示，从的图象上可看出当时，函数y的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质，即可解答． 【详解】解：由图知顶点坐标为，开口向下， ∴当时，可取最大值为， 当时，， 当时，， ∴当时，结合图象知函数y的取值范围是． 8. 我市某校为增强学生的身体素质，特在全校开展足球赛，赛制为单循环形式（各年级自行组队，且每两个队之间赛一场），已知计划安排10场比赛，设应邀参加的足球队有x个，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据单循环每两队只赛一场的规则，推导总场次的数量关系即可得到方程. 【详解】解：设应邀参加比赛的足球队有个， ∵每个队需要与除自身外的个队各赛一场，且每场比赛由两个队参加，计算总场次时会重复计算一次， ∴总比赛场次为， 已知计划安排10场比赛，因此列方程得：， 两边同乘2整理得. 9. 已知抛物线，与的部分对应值如表所示，下列说法错误的是（ ）． A. B. 当时，随的增大而减小 C. 顶点坐标为 D. 开口向下 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质逐一分析各选项即可． 【详解】解：由表可知，点和的纵坐标相同， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵当时，最大， ∴抛物线开口向下，当时，随的增大而增大， 当与时，到对称轴的距离相等， ∴值相等， ∵时，， ∴时，． 故选：． 10. 如图，二次函数的部分图象与轴交于点，与轴的交点位于点和点之间，顶点为点，对称轴为直线．下列说法：①；②；③；④设抛物线与轴的另一交点为，当时，．其中正确的是（ ） A. ②③④ B. ②③ C. ②④ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】①由函数图象的开口方向、对称轴、与轴的交点分别判断、、的正负，进而判断的正负；②用对称轴公式变形推导等式；③把、代入解析式得，结合的范围解不等式；④利用二次函数图象的对称性得点坐标，据得点坐标，将，，代入得出点的坐标，根据勾股定理列方程求出． 【详解】解：二次函数图象开口向下， ， 对称轴为， ， 二次函数的图象与轴的交点位于和之间， ， ，①错； 对称轴为， ， ，②正确； 二次函数的图象与轴交于点， ， ， ， ， 二次函数图象与轴的交点位于和之间， 可得， ，③正确； 二次函数的图象与轴交于点，对称轴为， 点的坐标为， ， 点的坐标为， 当，可得， 将，代入，可得， 点的坐标为， ，，， ， ， 可得， 解得或， ， ，④正确． 综上，正确的说法为②③④． 二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 二次函数的图象开口向___________．（填“上”或“下”） 【答案】下 【解析】 【分析】根据二次函数的性质即可得到二次函数图象的开口方向； 【详解】解：∵二次函数中，， ∴二次函数的图象开口向下； 12. 用配方法解方程时，若将方程变形为，则_____ ． 【答案】 【解析】 【分析】利用完全平方公式配方即可求解． 【详解】解：， ， ， ∴． 13. 一个三角形的两边长分别为5和7，第三边长是方程的根，则这个三角形的周长为___________． 【答案】16 【解析】 【分析】先解一元二次方程得到方程的两个根，再根据三角形三边关系判断符合题意的第三边长度，最后计算三角形周长即可． 【详解】解：解方程，得． 设第三边长为， 根据三角形三边关系可得，即， 所以第三边长为． 所以三角形的周长为． 14. 若，是方程的两个实数根，则代数式的值为________． 【答案】11 【解析】 【分析】先利用一元二次方程根的定义，将用含的一次式表示，再利用根与系数的关系得到的值，最后代入代数式化简求值． 【详解】解：是方程的实数根， ， ， ，是方程的两个实数根， ， ． 15. 图①是边长为，的矩形纸片，可将其剪拼成图②所示的图形．若，是关于的一元二次方程的两个实数根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据图①和图②的面积相等建立等式，得出  与  的数量关系，结合一元二次方程根与系数的关系求解． 【详解】解：由图①可知，矩形的面积为 ， 由图②可知，该图形的面积为 ， ∵剪拼前后面积不变， ∴， ∵ 为矩形的边长， ∴， ∴， ∵， 是关于  的一元二次方程  的两个实数根， ∴，， 将  代入，得  ， 整理得 ， 解得  ，（舍去） 当  时，， ∴ ， ∴  ，即 ． 三、解答题（共9题，满分75分） 16. 解下列一元二次方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 或 解得：； 【小问2详解】 解： ∵， ∴， ∴， 解得：． 17. 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的解析式． （1）已知抛物线顶点为，且过点； （2）已知抛物线经过点和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了用待定系数法求解二次函数的解析式，根据所给条件求出对应的函数表达式是正确解答此题的关键． （1）设为顶点式，代入所给点的坐标即可求解； （2）直接代入题中两点坐标，建立方程组求解即可． 【小问1详解】 解：设抛物线解析式为， 由抛物线顶点为，得， 由抛物线过点，得， 解得， ； 【小问2详解】 解：将点和代入抛物线， 得， 解得， ． 18. 为营造书香校园氛围，某学校举办经典读书文化节，计划在一块长，宽的展示板上，展出4幅形状相同，面积均为的经典名著海报，若展示板外沿与海报之间、相邻海报之间间隔的宽度均相同，间隔的宽度应是多少？ 【答案】 【解析】 【详解】解：设海报长为，海报宽为，间隔的宽度为，则由题意可列方程组， 用，得， 即， 代入，得， （舍去负值）， 再代入中，可求得， 答：间隔的宽度应是． 19. 如图，已知二次函数． （1）在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； （2）写出抛物线的顶点坐标：______； （3）当时，直接写出y的取值范围：______． 【答案】（1） 画出函数图象如图所示： （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了画二次函数的图象，将二次函数的解析式化为顶点式，二次函数的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）求出当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；再描点、连线即可得解； （2）将抛物线的解析式化为顶点式，即可得解； （3）求出当时，，再结合函数图象即可得解． 【小问1详解】 解：当时，；当时，；当时，；当时，；当时，； 【小问2详解】 解：， 故抛物线的顶点坐标为； 【小问3详解】 解：当时，， 由图象可得，当时， y的取值范围为． 20. 已知关于x的方程． （1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一根为4，求m的值． 【答案】（1） 证明：由题意得， ， ∴不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）或 【解析】 【分析】（1）证明即可； （2）把代入原方程得到关于m的方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程有一根为4， ∴把代入得， 解得或． 21. 如图，抛物线的顶点为，且与轴交于点． （1）求，两点的坐标； （2）若点为点关于对称轴对称的点，点在抛物线上，且，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的性质解答即可； （2）设点的坐标为，根据抛物线的对称性可求出点的坐标，再由求得，最后代入求得即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点为， ∴点， 当时，， ∴点． 【小问2详解】 解：设点的坐标为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点为点关于对称轴对称的点，点， ∴点， ∴， ∵， ∴，即，解得： ， ∵点在抛物线上， ∴将代入抛物线得， ，解得：， ∴点的坐标为或． 22. 已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式列不等式求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系得到，，继而得到，解方程即可． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有两个实数根， ， ； 【小问2详解】 解：，是方程的两个根， ， ， ， 整理得， 解得或， 由（1）得， ． 23. 2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品． （1）某电商平台数据显示，该毛绒小马2月份销量为20万件，4月份销量已增至24.2万件．求该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率． （2）义乌某商铺以每件10元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为30元/件时，日销量为80件．售价每降低1元，日销量可增加10件. ①借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使销售利润达到1800元，则每件应降价多少元？ ②若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付2元快递费，且线上日销量固定为100件．当线下售价为多少元/件时，线上和线下的日利润总和最大？并求出最大利润． 【答案】（1） （2）每件应降价10元；当售价为29元/件时，线上和线下的日利润总和达到最大，最大利润为3410元 【解析】 【分析】（1）设该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）①设每件应降价y元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，根据每件利润乘以日销售量等于总利润建立方程求解； ②设线上和线下的日利润总和为w元，售价为a元/件，列出关于的二次函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：①设每件应降价y元，则每件的销售利润为元，日销售量为件， 根据题意得：， 整理得： 解得：， 又∵要尽快减少库存， ∴， 答：每件应降价10元． ②设线上和线下的日利润总和为w元，售价为a元/件 则 ， ， ∴当时，w有最大值，最大值为3410， ∴当售价为29元/件时，线上和线下的日利润总和达到最大，最大利润为3410元． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点在此抛物线上，其横坐标分别为，连接． （1）当点与此抛物线的顶点重合时，求的值． （2）当的边与轴平行时，求点与点的纵坐标的差． （3）设此抛物线在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，当时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）或 （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，顶点式，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）待定系数法求解析式并化为顶点式，求得顶点坐标，进而根据点的横坐标为，即可求解； （2）分轴时，轴时分别根据抛物线的对称性求得的横坐标与的横坐标，进而代入抛物线解析式，求得纵坐标，即可求解； （4）根据m的取值范围分四种情况讨论，分别求得，根据建立方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点． ∴ ∴抛物线解析式为； ∵， ∴顶点坐标为，对称轴为直线 ∵点与此抛物线的顶点重合，点的横坐标为 ∴， 解得：； 【小问2详解】 ①轴时，点关于对称轴对称， ， ∴， ∴点P的横坐标为1，点Q的横坐标为2， 当时，， 当时，， ∴， ∴点与点的纵坐标的差为； ②当轴时，则关于直线对称， ∴， ∴点P的横坐标为2，点Q的横坐标为4， 当时，， 当时，， ∴， ∴点与点的纵坐标的差为； 综上所述，点与点的纵坐标的差为或； 【小问3详解】 ①如图所示，当都在对称轴的左侧时， 则 ∴ ∵，即 ∴； ∴ 解得：或（舍去）； ②当在对称轴两侧或其中一点在对称轴上时， 则，即， 则， ∴， 解得：（舍去）或（舍去）； ③当点在的右侧且在直线下方时，即， ， ∴ 解得：或（舍去）； ④当在直线上或上方时，即， ， ， 解得：（舍去）或（舍去） 综上所述，或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，顶点式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $