精品解析：广东广州天省实验学校2026-2027学年九年级上学期数学10月练习

2024级九（上）数学 数学 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列方程中，关于的一元二次方程是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意依据一元二次方程必须满足的四个条件：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．根据这四个条件对四个选项进行验证即可． 【详解】解：A、由可得即，不是一元二次方程，选项错误； B、形式是一元二次方程，但二次项系数a没有标注不等于0，选项错误； C、符合一元二次方程定义．正确． D、含有两个未知数，选项错误． 故选C． 【点睛】本题考查一元二次方程的识别，注意掌握判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为． 3. 关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断根的情况 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．通过计算一元二次方程根的判别式，即可判断方程根的情况． 【详解】解：方程 中，，，， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 4. 如图，线段上的一点把分割为两条线段，，当满足时，则称点是线段的黄金分割点．主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好，若舞台长米，主持人从舞台一侧进入，设她至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上（的长为米），则满足的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，掌握相关知识是解决问题的关键．的长为米，则长为米，根据列方程即可． 【详解】解：的长为米，则长为米， 根据得： ， ∴． 故选：A． 5. 已知抛物线的图象如图所示，对称轴是直线，且经过点，，当时，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由二次函数图象与性质求解即可． 【详解】解：由图可知，抛物线开口向上，对称轴是直线，则当时，随的增大而减小， 抛物线图象经过点，， 当时，；当时，， 则当时，则的取值范围是． 6. 某商场销售额3月份为16万元，5月份为25万元，则这两个月销售额的月平均增长率为（　　） A. 20% B. 25% C. 30% D. 35% 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知原来的数量为16，平均每次增长百分率为x的话，则4月份的销售额是16（1+x），5月份的销售额是16（1+x）（1+x）即16（1+x）2，据此即可列出方程求解． 【详解】解：设这两个月销售额的平均增长率是x，则可以得到方程 16（1+x）2=25， 解得：x1=0.25；x2=-2.25（不合理舍去）． 即商场这两个月销售额的平均增长率是25%. 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的增长率问题，解题的关键是正确列出一元二次方程．增长用“+”，下降用“-”． 7. 菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程的一个根，则菱形ABCD的周长为　　 A. 10 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】解： 得x=3或x=4， 根据菱形的特征可得x=3不成立，所以菱形边长为4， 周长为16， 故选C． 8. 二次函数的图象及局部细节如图中所示，则关于x的方程的较大的根的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的对称轴性质、二次函数与一元二次方程的关系及不等式的变形，熟练掌握二次函数对称轴与方程两根的对称关系是解题的关键．先求出二次函数的对称轴，利用对称轴的性质得到两个根的对称关系．根据局部细节图确定较小根的取值范围．利用对称关系推导出较大根的取值范围，从而选出正确选项． 【详解】解：∵二次函数为， ∴对称轴为， 设方程的两根为（）， ∵对称轴为， ∴， ∴， ∴， 由局部图知， ∴， 即， 故选：C． 9. 如图,函数和(是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可． 【详解】A．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下．故选项错误； B．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0．故选项正确； C．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，和x轴的正半轴相交．故选项错误； D．由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上．故选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y=ax﹣a在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 10. 已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据方程有两个实数根，利用判别式求出参数的取值范围；再通过韦达定理得到两根之和与两根之积，将所求式子展开并转化为关于的代数式并配方，最后在的取值范围内求出最小值． 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，解得， 且． ∴． ∵，， ∴， ∴的最小值是，故选D． 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 若函数是二次函数，则m的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据形如的函数称为二次函数进行求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， ∴． 12. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则c的值是______． 【答案】0 【解析】 【分析】把代入得，即可求出c的值． 【详解】解：把代入， 则， 解得． 13. 将抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据“上加下减，左加右减”的规律即可得出新的解析式． 【详解】解：将抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线的解析式为． 14. 若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，若二次函数的图象与轴有交点，则一元二次方程有实数根，利用根的判别式求解即可． 【详解】解：二次函数的图象与轴有交点， 一元二次方程有实数根， ，， 且． 故答案为：且． 15. 某商场销售一款恤，进价为每件元，当售价为每件元时，平均每周可卖出件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件恤每降价元，平均每周可多卖出件，若要使每周销售该款恤获利元，设每件降低元，则可列方程为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据利润售价进价，由每降价元，每星期可多卖出件，可知每件售价降低元，每星期可多卖出件，从而列出方程即可． 【详解】解：原来售价为每件元，进价为每件元，利润为每件元，又每件售价降价元后，利润为每件元，每降价元，每星期可多卖出件，所以每件售价降低元，每星期可多卖出件，现在的销量为， 根据题意得：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 16. 已知二次函数图象的一部分如图所示，对称轴为，下列结论： ①； ②多项式可因式分解为； ③若点，在函数图象上，且，则； ④当时，； ⑤不等式的解集为． 其中正确的结论有______． 【答案】①③##③① 【解析】 【分析】由二次函数图象与性质逐项验证即可． 【详解】解：由图可知，抛物线开口向上，则；对称轴直线，结合，则；抛物线与轴交于正半轴，则； ，故①正确； 由图可知，抛物线与轴的一个交点为，对称轴为直线，则另一个交点为， ， 即多项式可因式分解为，故②错误； 由图可知，抛物线开口向上、对称轴为直线，则抛物线上的点到对称轴的距离越大值越大， ， ，解得，故③正确； 由前面分析可知，抛物线与轴的交点为、，抛物线开口向上，则当或时，，故④错误； 将不等式转化为， 令，作出函数图象，如图所示： 由图可知，当或时，二次函数的图象在一次函数图象的上方， 不等式的解集为或，故⑤错误； 综上所述，题中正确的结论是①③． 三、解答题（共有9小题，共86分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 移项得，， 配方得，， 即， 开方得，， ； 【小问2详解】 解： ， ， 或， ． 18. 已知二次函数的图象经过点．求这个二次函数的表达式． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． 把点代入得到二元一次方程组，解方程组得、，即可得结论． 【详解】解：把点代入得，， 解得， ∴二次函数表达式为． 19. 已知：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）当k取最大整数值时，求该方程的解． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】（1）根据条件可得可得答案； （2）根据题意k取最大整数值，且可得到k的值，代入求职即可； 【详解】解：（1）∵有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴． （2）∵k取最大整数值，且， ∴， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式应用，根据条件准确判断和求解是解题的关键． 20. 如图，二次函数经过点，，，点D是抛物线的顶点，过D作x轴垂线交直线于E． （1）则点D的坐标为______； （2）连接，求三角形的面积． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）把解析式化为顶点式即可得到答案； （2）求出直线的解析式，进而求出点E的坐标，再根据列式求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴顶点D的坐标为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， ∵，， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∵轴， ∴点E的横坐标为2， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴． 21. 某学习小组在学习了函数及函数图象的知识后，想利用此知识来探究周长一定的矩形，其边长分别为多少时面积最大，请将他们的探究过程补充完整． （1）若矩形的周长为8，设矩形的一边长为x，面积为y，列出y与x的函数表达式； （2）求上述函数表达式中，自变量x的取值范围； （3）列表： x … 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 … y … 1.75 3 3.75 4 3.75 3 m … 求m的值； （4）画图：在平面直角坐标系中已描出了上表中部分各对应值为坐标的点，请你画出该函数的图象； （5）结合图象可得，当________时，矩形的面积最大． 【答案】（1） （2）自变量x的取值范围是 （3） （4） 函数图象如图所示： ； （5）2 【解析】 【分析】（1）根据矩形的周长（长宽），矩形的面积长宽，即可列出函数表达式； （2）根据矩形的边长为正数，列出不等式，即可得出答案； （3）把代入解析式计算即可； （4）根据表格中的坐标描点画图即可； （5）结合图象可得时，y有最大值． 【小问1详解】 解：∵矩形的周长为8，面积为y，矩形的一边长为x， ∴； 【小问2详解】 解：根据题意，且， ∴且， ∴自变量x的取值范围是； 【小问3详解】 解：把代入得： ， ∴； 【小问4详解】 略 【小问5详解】 解：根据函数图象，当时，y有最大值，即时，矩形的面积最大． 22. 电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害。“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段，阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的铁栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），铁栅栏的形状如“山”字形． （1）若车棚占地面积，试求出电动车车棚的长； （2）若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，保持“山”字形不变，请问能围成占地面积为的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）电动车车棚的长为 （2） 解：不能围成占地面积为的电动车车棚，理由如下： 设电动车车棚的宽 为，则车棚的长， 根据题意可得 ， 化简可得， ， 故方程无解， 则不能围成占地面积为的电动车车棚． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根的判别式，根据题意列出方程是解题的关键． （1）设电动车车棚的宽为，则车棚的长，根据车棚占地面积为，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设电动车车棚的宽为，则车棚的长，根据车棚占地面积为，列出一元二次方程，再由根的判别式即可得出结论． 【小问1详解】 解：设电动车车棚的宽为，则车棚的长， 根据题意可得， 解得，， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 故电动车车棚的长为； 【小问2详解】 略 23. 阅读下列材料：在苏科版九年级数学上册第页，我们把就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即．如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例如：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为， 不都为整数；方程的两根，都为整数，此时，的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“全整根方程”，其“关爱码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． （1）关于x的一元二次方程是一个“全整根方程”． ①当时，该全整根方程的“关爱码”是 ． ②若该全整根方程的“关爱码”是，则m的值为 ． （2）关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“全整根方程”，请求出该方程的“关爱码”． （3）若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值（直接写出答案）． 【答案】（1）①②或3 （2）该方程的“关爱码”为或 （3）2 【解析】 【分析】本题考查了“全整根方程”、“全整根方程”的“关爱码”、“全整根伴侣方程” ．正确理解“全整根方程”、“全整根方程”的“关爱码”、“全整根伴侣方程”的定义是解题的关键． （1）①根据全整根方程的“关爱码”定义列出方程并求解即可；②根据全整根方程的“关爱码”定义列出方程求出即可； （2）根据“全整根方程”以及“关爱码”的定义计算即可； （3）根据“全整根伴侣方程”列出方程并求解即可． 【小问1详解】 解：①当时，方程为， 则， ∴该全整根方程的“关爱码”是， 故答案为：； ② 由题意得， 解得， 则当或3时，若该全整根方程的“关爱码”是， 故答案为：或3； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 其中完全平方数有、和， 当时，， 当时， （不合题意）， 当时，， 当时，原方程为， 则， 当时，原方程为， 则， 综上所述：该方程的“关爱码”为或； 【小问3详解】 解：方程的“关爱码” 方程的“关爱码， 由题意得：， ∴， ∴或， ∵m，n均为正整数， ∴不合题意， ∴． 24. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上的点． （1）求的值； （2）连接，过点作轴于点，交于点，若，求点的坐标； （3）如图，点是直线上方的抛物线上一动点，当时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（）利用待定系数法求出值，进而即可求解； （）由二次函数解析式可得，进而得到，即得，再利用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，可得，即得到，求出的值即可求解； （）设直线交轴于，可证，得到，得到，即得直线解析式为，联立一次函数和二次函数解析式，求出方程组的解即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：由（）得抛物线的解析式为， 把代入，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：如图，设直线交轴于， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得直线的解析式为， 由，解得或， ∵点是直线上方的抛物线上一动点， ∴． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，若点在抛物线上（异于顶点），且满足，则称点为该抛物线的“点”，为该抛物线的“系数”． （1）写出抛物线的顶点坐标，判断是否为该抛物线的“点”，并说明理由； （2）已知抛物线：过原点． ①当时，求该抛物线的“系数”； ②若抛物线的“系数”为，当时，求的取值范围． 【答案】（1）顶点坐标为，是该抛物线的“点” （2）①6；②或 【解析】 【分析】（1）因为抛物线的顶点式为，所以直接得出顶点坐标．判断是否为“点”，则需先验证该点是否在抛物线上，再验证是否成立即可． （2）将代入抛物线表达式，可先求出与的关系． ①当时，代入求出的值，得到抛物线表达式，然后结合和点在抛物线上的条件，求出，进而计算“系数”． ②已知“系数”为，即，可先求出，再结合和抛物线表达式，求出和的值，得到抛物线的顶点式，然后根据确定自变量的取值范围，最后结合二次函数的图像和性质求的取值范围． 【小问1详解】 解：抛物线的顶点坐标为，是该抛物线的“点”，理由如下， 抛物线的顶点式为， 抛物线的顶点坐标为， 当时，， 点在抛物线上，且异于顶点， ，， ，， 满足， 点是抛物线的“点”； 【小问2详解】 解：抛物线过原点， 将代入，得：， 抛物线表达式为：， ， 顶点坐标为， ①当时， 顶点坐标为，，解得：， 抛物线表达式为：， 点为该抛物线的“点”， ，解得：，或， 点异于顶点， 该抛物线的“点”为， “系数”为：； ②当“系数”为时，即， ，即或，即或， 情况一：当时，， ， ，化简得：， ，即， 代入上式得：，解得：， ，，此种情况无解； 情况二：当时，， ， ，化简得：， 将代入上式得：，解得：， ，解得或， 的范围为， 分情况讨论， 当，时，，抛物线表达式为， 抛物线开口向下，对称轴在的取值范围的右侧，y随x增大而增大， 当时，，当时，​， 的取值范围为， 当，时，，抛物线表达式为， 抛物线开口向下，对称轴在的取值范围内，最大值为顶点值，最小值在端点处为​， 的取值范围为， 综上所述，的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级九（上）数学 数学 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列方程中，关于的一元二次方程是（ ）． A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断根的情况 4. 如图，线段上的一点把分割为两条线段，，当满足时，则称点是线段的黄金分割点．主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好，若舞台长米，主持人从舞台一侧进入，设她至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上（的长为米），则满足的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线的图象如图所示，对称轴是直线，且经过点，，当时，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 某商场销售额3月份为16万元，5月份为25万元，则这两个月销售额的月平均增长率为（　　） A. 20% B. 25% C. 30% D. 35% 7. 菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程的一个根，则菱形ABCD的周长为　　 A. 10 B. 12 C. 16 D. 20 8. 二次函数的图象及局部细节如图中所示，则关于x的方程的较大的根的取值范围是（　　） A. B. C. D. 9. 如图,函数和(是常数,且)在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是(　　) A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 若函数是二次函数，则m的值为______． 12. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则c的值是______． 13. 将抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线的解析式为______． 14. 若二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是__________． 15. 某商场销售一款恤，进价为每件元，当售价为每件元时，平均每周可卖出件，为扩大销售，增加利润，商场准备降价销售．经市场调查发现，每件恤每降价元，平均每周可多卖出件，若要使每周销售该款恤获利元，设每件降低元，则可列方程为____． 16. 已知二次函数图象的一部分如图所示，对称轴为，下列结论： ①； ②多项式可因式分解为； ③若点，在函数图象上，且，则； ④当时，； ⑤不等式的解集为． 其中正确的结论有______． 三、解答题（共有9小题，共86分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 已知二次函数的图象经过点．求这个二次函数的表达式． 19. 已知：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）当k取最大整数值时，求该方程的解． 20. 如图，二次函数经过点，，，点D是抛物线的顶点，过D作x轴垂线交直线于E． （1）则点D的坐标为______； （2）连接，求三角形的面积． 21. 某学习小组在学习了函数及函数图象的知识后，想利用此知识来探究周长一定的矩形，其边长分别为多少时面积最大，请将他们的探究过程补充完整． （1）若矩形的周长为8，设矩形的一边长为x，面积为y，列出y与x的函数表达式； （2）求上述函数表达式中，自变量x的取值范围； （3）列表： x … 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 … y … 1.75 3 3.75 4 3.75 3 m … 求m的值； （4）画图：在平面直角坐标系中已描出了上表中部分各对应值为坐标的点，请你画出该函数的图象； （5）结合图象可得，当________时，矩形的面积最大． 22. 电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害。“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段，阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的铁栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），铁栅栏的形状如“山”字形． （1）若车棚占地面积，试求出电动车车棚的长； （2）若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，保持“山”字形不变，请问能围成占地面积为的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 23. 阅读下列材料：在苏科版九年级数学上册第页，我们把就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即．如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 例如：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为， 不都为整数；方程的两根，都为整数，此时，的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“全整根方程”，其“关爱码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． （1）关于x的一元二次方程是一个“全整根方程”． ①当时，该全整根方程的“关爱码”是 ． ②若该全整根方程的“关爱码”是，则m的值为 ． （2）关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“全整根方程”，请求出该方程的“关爱码”． （3）若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值（直接写出答案）． 24. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上的点． （1）求的值； （2）连接，过点作轴于点，交于点，若，求点的坐标； （3）如图，点是直线上方的抛物线上一动点，当时，求点的坐标． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，若点在抛物线上（异于顶点），且满足，则称点为该抛物线的“点”，为该抛物线的“系数”． （1）写出抛物线的顶点坐标，判断是否为该抛物线的“点”，并说明理由； （2）已知抛物线：过原点． ①当时，求该抛物线的“系数”； ②若抛物线的“系数”为，当时，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $