精品解析：广东省广州市第八十九中学2024-2025学年九年级上学期国庆作业检测数学试题

2024学年第一学期初三国庆作业检测 数学试卷 本试卷分第I卷和第II卷两部分，共120分．考试时间90分钟． 第I卷（选择题 共32分） 注意事项： 1、 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等信息填写在答题纸上． 2、 答案必须填写在答题纸的相应位置上，答案写在试题卷上无效． 一、单选题（共8个小题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程中，关于的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 2. 方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A. 1，−2，8 B. −1，2，8 C. 1，2，−8 D. 1，2，8 3. 二次函数的最小值是（    ） A. B. C. D. 2 4. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 6. 一元二次方程的根是（    ） A. B. 5 C. 2或–5 D. 或5 7. 设一元二次方程两个实根为和，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 某厂1月份生产原料a吨，以后每个月比前一个月增产x%，3月份生产原料的吨数是（ ） A. a（1+x）2 B. a（1+x%）2 C. a+a•x% D. a+a•（x%）2 二、多选题（共2个小题，每小题4分，共8分，每小题有多项符合题目要求，全部选对得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.） 9. 以为根的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 10. 关于x的一元二次方程：①，②，其中，下列结论正确的是（ ） A. 若方程①有实数根，则方程②必有实数根 B. 若两个方程有一个相同的实数根，则此根为1 C. 若方程①有一正根一负根，则方程②有一正根一负根 D. 若是方程①的实数根，则是方程②的实数根 第Ⅱ卷（非选择题 共88分） 三、填空题（共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 方程的根为_______． 12. 一元二次方程化为一般形式为 _________． 13. 正方形边长为4，若边长增加x，面积增加y，则y与x的函数关系式为________． 14. 已知是关于的一元二次方程，则的值为______． 15. 若a是方程的一个根，则代数式的值为__________． 16. 已知，则 _________． 四、解答题（共9小题，共70分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤.） 17. 解方程： 18. 解方程: . 19. 已知关于x的一元二次方程（m为实数）的一个根是，求m的值及方程的另一个根． 20. 设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： （1）； （2）． 21. 丹东市开展创文明城活动，振兴区某街道有一块矩形空地准备进行绿化．如图，已知该矩形空地长为，宽为，按照规划将预留总面积为的四个小矩形区域（阴影部分）种植花草，并在花草周围修建三条横向通道和三条纵向通道，各通道的宽度相等．求各通道的宽度； 22. 已知二次函数的图象经过点． （1）求二次函数的解析式； （2）在直角坐标系中画出该函数图象； （3）写出此函数的开口方向、对称轴及顶点坐标； （4）已知点，，都在此函数图象上，试比较，，的大小． 23. 已知：关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）求证：无论m为何值（），方程总有一个固定的根． 24. 如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果P、Q分别从点A、B同时出发，运动时间为t（s）； （1）经过几秒的面积等于？ （2）的面积能否为面积的一半？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． （3）经过几秒，的长度等于？ 25. 大运会期间，某网店直接从工厂购进A，B两款纪念币，进货价和销售价如表所示：（注：利润=销售价-进货价） 类别 价格 A款纪念币 B款纪念币 进货价（元/枚） 15 20 销售价（元/枚） 25 32 （1）网店第一次用580元购进A，B两款纪念币共32枚，求两款纪念币分别购进的枚数； （2）第一次购进的A，B两款纪念币售完后，该网店计划再次购进这两款纪念币共80枚（进货价和销售价都不变）；且进货总价不高于1350元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ （3）大运会临近结束时，网店打算把A款纪念币调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售出6枚，经调查发现，每枚A款纪念币每降价1元，平均每天可多售出2枚，将销售价定为每枚多少元时，才能使A款纪念币平均每天销售利润为84元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期初三国庆作业检测 数学试卷 本试卷分第I卷和第II卷两部分，共120分．考试时间90分钟． 第I卷（选择题 共32分） 注意事项： 1、 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等信息填写在答题纸上． 2、 答案必须填写在答题纸的相应位置上，答案写在试题卷上无效． 一、单选题（共8个小题，每小题3分，共24分） 1. 下列方程中，关于的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义逐项判断即可，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程，一般形式为：． 【详解】、是一元一次方程，不是一元二次方程，此选项不符合题意； 、等号左边是分式，不是整式，不是一元二次方程，此选项不符合题意； 、中有个未知数，不是一元二次方程，此选项不符合题意； 、是一元二次方程，此选项符合题意； 故选：． 2. 方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A. 1，−2，8 B. −1，2，8 C. 1，2，−8 D. 1，2，8 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中 叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：化成一元二次方程一般形式是， 它的二次项系数是1，一次项系数是2，常数项是−8． 故选C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，确定二次项系数、一次项系数和常数项，把方程化成一般形式是解题的关键． 3. 二次函数的最小值是（    ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 利用二次函数的性质判断即可． 【详解】解：∵二次函数中， ∴开口向上， ∴顶点为 ∴当，有最小值为， 故选：A． 4. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法，使用配方法将方程转化为完全平方形式，通过添加一次项系数一半的平方完成配方即可． 【详解】解：， ， ； 故选B． 5. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的情况之间的关系是解题的关键：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 先求出，然后根据一元二次方程根的判别式与根的情况之间的关系进行判断即可． 【详解】解：， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：． 6. 一元二次方程的根是（    ） A. B. 5 C. 2或–5 D. 或5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ∴或， ∴； 故选D． 7. 设一元二次方程两个实根为和，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求得，设，是关于x的一元二次方程（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则=-，=． 【详解】解：∵a=1，b=﹣2，c=﹣4， ∴ =﹣=2， ==﹣4， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 8. 某厂1月份生产原料a吨，以后每个月比前一个月增产x%，3月份生产原料的吨数是（ ） A. a（1+x）2 B. a（1+x%）2 C. a+a•x% D. a+a•（x%）2 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】解：增产指的是增产前一个月的， 故2月份产量为吨， 3月份产量为吨. 故选 二、多选题（共2个小题，每小题4分，共8分，每小题有多项符合题目要求，全部选对得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.） 9. 以为根的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】把代入方程计算即可求解． 【详解】解：A、把代入方程得左边右边，故符合题意； B、把代入方程得左边，故不符合题意； C、把代入方程得左边，故不符合题意； D、把代入方程得左边右边，故符合题意． 故选：AD． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 10. 关于x的一元二次方程：①，②，其中，下列结论正确的是（ ） A. 若方程①有实数根，则方程②必有实数根 B. 若两个方程有一个相同的实数根，则此根为1 C. 若方程①有一正根一负根，则方程②有一正根一负根 D. 若是方程①的实数根，则是方程②的实数根 【答案】ACD 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、根的判别式和根与系数的关系，A．求出①②两根方程根的判别式，然后判断即可； B．根据两个方程有一个相同的实数根，得到，求出就能判断； C．利用一元二次方程根与系数的关系求出①的两根之积，判断其正负，然后求出②的两根之积进行判断即可； D．把代入①得到，此等式两边同时除以得，然后再把代入②，把所得结果与①的结果进行比较判断即可． 【详解】解：A．若关于的方程：①有实数根，则△， ②的判别式为△， ②也必有实数根， 此选项的说法正确，故选项A符合题意； B．若两个方程有一个相同的实数根， ， ， ， ， ， 故选项B说法错误，不符合题意； C．方程①②的根的判别式都是， ①的求根公式为，，方程②的求根公式为：，， 若方程①有一正根一负根，则，异号， ， ， 方程②有一正根一负根， 故选项C说法正确，符合题意； D．把代入①得：，此等式两边同时除以得：； 把得入②得：， ， 故选项说法D正确，符合题意； 故选：ACD． 第Ⅱ卷（非选择题 共88分） 三、填空题（共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 方程的根为_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：x（x－3）=0 ， 解得：x1=0，x2=3． 故答案为：x1=0，x2=3． 12. 一元二次方程化为一般形式为 _________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式为是解题关键．依次去括号、移项、合并同类项，把右边化为0，变为一般式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 13. 正方形边长为4，若边长增加x，面积增加y，则y与x的函数关系式为________． 【答案】 【解析】 【分析】增加的面积等于增加后的正方形的面积减去原来正方形的面积，即可求解． 【详解】解：根据题意得： ， 即y与x的函数关系式为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了列函数关系式，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 14. 已知是关于的一元二次方程，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次幂是2次的整式方程，特别注意二次项系数不为0，正确把握定义是解题关键． 直接利用一元二次方程的定义知道二次项系数不为0同时x的最高次幂为2，得出m的值进而得出答案． 【详解】解：由题意知：且， 解得， 故答案为：． 15. 若a是方程的一个根，则代数式的值为__________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、求代数式的值，由题意得出，推出，整体代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 已知，则 _________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，掌握运用换元法解一元二次方程是解题关键． 根据换元法可得一元二次方程，然后运用因式分解法解一元二次方程即可解答． 【详解】解：设， 则， ∴， 则或， ∴或（舍去）； ∴． 故答案为：5． 四、解答题（共9小题，共70分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤.） 17. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，配方法，因式分解法和公式法是解题的关键．本题直接利用开平方法求解即可． 【详解】解：， ， ∴． 18. 解方程: . 【答案】-1； 【解析】 【详解】试题分析：运用公式法求解即可. 试题解析：∵2x2-x-3=0 在这里,a=2，b=-1，c=-3 b2-4ac=(-1)2-4×2×(-3)=25>0 ∴x= 即：x1=-1；x2=. 19. 已知关于x的一元二次方程（m为实数）的一个根是，求m的值及方程的另一个根． 【答案】，5 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根与系数的关系等知识点，把代入方程，求出的值，再设方程的另一个根为，根据根与系数的关系求出的值即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， 设方程的另一个根为， ∵， ∴， ∴，方程的另一个根为5． 20. 设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系： （1）根据根与系数的关系，得到，整体代入法进行计算即可； （2）利用根与系数的关系结合整体代入法进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵是方程的两个根， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 ∵， ∴ ． 21. 丹东市开展创文明城活动，振兴区某街道有一块矩形空地准备进行绿化．如图，已知该矩形空地长为，宽为，按照规划将预留总面积为的四个小矩形区域（阴影部分）种植花草，并在花草周围修建三条横向通道和三条纵向通道，各通道的宽度相等．求各通道的宽度； 【答案】各通道的宽度为2米； 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程解决图形面积问题，先平移道路使阴影部分拼在一起，再根据预留总面积列方程求解即可得到答案； 【详解】解：设路宽为，由题意可得， ， 解得：，（不符合题意舍去）， 答：各通道的宽度为． 22. 已知二次函数的图象经过点． （1）求二次函数的解析式； （2）在直角坐标系中画出该函数图象； （3）写出此函数的开口方向、对称轴及顶点坐标； （4）已知点，，都在此函数图象上，试比较，，的大小． 【答案】（1） （2） 该函数图象如下： （3）此函数的开口方向向下、对称轴为直线，顶点坐标为； （4） 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数解析式，画二次函数图象，二次函数的图象和性质，比较二次函数值的大小，掌握二次函数的图象和性质是解题关键． （1）将点代入二次函数解析式，求出的值即可； （2）分别求出二次函数与轴和轴的交点，即可画出函数图象； （3）根据（2）函数图象即可作答； （4）将的值代入二次函数解析式，分别求出、、的值，再比较大小即可． 【小问1详解】 解：二次函数的图象经过点， ， 解得：， 二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：， 令，则，解得：， 二次函数与轴的交点为和， 令，则， 二次函数与轴的交点为，且为顶点； 【小问3详解】 解：由（2）函数图象可知，此函数的开口方向向下、对称轴为直线，顶点坐标为； 【小问4详解】 解：当时，； 当时，； 当时，； ， ． 23. 已知：关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）求证：无论m为何值（），方程总有一个固定的根． 【答案】（1）且 （2） 证明：∵， ∴由求根公式得 ， ∴， ， ∴无论为何值，方程总有一个固定的根是1 ． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握相关知识并运用分类讨论的思想是解题的关键． （1）由方程有两个不相等的根，可得，由一元二次方程的定义可得，由此即可求得m的取值范围； （2）利用求根公式表示出方程的两个根，即可得证． 【小问1详解】 解：， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴且， ∴的取值范围是且； 【小问2详解】 略 24. 如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果P、Q分别从点A、B同时出发，运动时间为t（s）； （1）经过几秒的面积等于？ （2）的面积能否为面积的一半？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． （3）经过几秒，的长度等于？ 【答案】（1）经过2秒或4秒的面积等于； （2） 解：的面积不能为面积的一半，理由如下： 在中，，，， ， 若的面积为面积的一半，则， ， 整理得：， ， 该方程没有实数根， 的面积不能为面积的一半； （3）经过秒，的长度等于． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理。利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）由题意可知，，，，，根据三角形面积公式列方程求解即可； （2）先求出的面积，再根据的面积为面积的一半列方程，利用一元二次方程根的判别式求解即可； （3）由勾股定理，得到，再根据的长度等于列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设运动时间为t（s） 由题意可知，，，， ， 的面积等于， ， ， 解得：，， 即经过2秒或4秒的面积等于； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在中，，， ， 的长度等于， ， 方程两边平方后，整理得：， 解得：，（舍）， 即经过秒，的长度等于． 25. 大运会期间，某网店直接从工厂购进A，B两款纪念币，进货价和销售价如表所示：（注：利润=销售价-进货价） 类别 价格 A款纪念币 B款纪念币 进货价（元/枚） 15 20 销售价（元/枚） 25 32 （1）网店第一次用580元购进A，B两款纪念币共32枚，求两款纪念币分别购进的枚数； （2）第一次购进的A，B两款纪念币售完后，该网店计划再次购进这两款纪念币共80枚（进货价和销售价都不变）；且进货总价不高于1350元．应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ （3）大运会临近结束时，网店打算把A款纪念币调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售出6枚，经调查发现，每枚A款纪念币每降价1元，平均每天可多售出2枚，将销售价定为每枚多少元时，才能使A款纪念币平均每天销售利润为84元？ 【答案】（1）购进款纪念币12个，款纪念币20个； （2）购买50个款，30个款，网店可获得的最大利润是860元； （3）将销售价定为每件21元或22元时，才能使款纪念币平均每天销售利润为84元． 【解析】 【分析】（1）设购进款纪念币个，款纪念币个，由题意：网店第一次用580元购进、两款纪念币共32枚，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进个款纪念币，则购进个款纪念币，由题意：进货总价不高于1350元，列出一元一次不等式，解答即可．设再次购进的、款纪念币全部售出后获得的总利润为元，则，然后由一次函数的性质即可求解； （3）设款纪念币的售价定为元，则每个的销售利润为元，平均每天可售出个，使款纪念币平均每天销售利润为84元，列出一元二次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设购进款纪念币个，款纪念币个， ， 解得， 答：购进款纪念币12个，款纪念币20个； 【小问2详解】 解：设购进个款纪念币，则购进个款纪念币， 依题意得：， 解得：． 设再次购进的、两款保温杯全部售出后获得的总利润为元， 则． ， 随的增大而增小， 当时，取得最大值，最大值（元， 此时（个． 即购买50个款，30个款，网店可获得的最大利润是860元； 【小问3详解】 解：设款纪念币的售价定为元，则每个的销售利润为元，平均每天可售出个， 依题意得：， 解得：，． 答：将销售价定为每件21元或22元时，才能使款纪念币平均每天销售利润为84元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $