广西南宁市邕宁高级中学2026-2027学年高一上学期10月月考数学试卷

26级高一10月月考数学试卷 数学 满分：150分 用时：120分钟 注意事项： 1．答题前，请将自己的学校、姓名等填写在答题卡上； 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑； 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1、设集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．命题“，”的否定是（ ） A．， B．， C．， D．， 3．若，，则，的大小关系是（ ） A． B． C． D．与的值有关 4．古希腊数学家欧几里得在研究线段比例与面积最值问题时，提出了一类“正实数约束下的分式最值”模型．这类问题不仅是平面几何的重要延伸，也为后世代数最值求解提供了思想基础．现已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A．2 B．3 C． D． 5．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 6．下列四个命题中，正确的是（ ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，则 7．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．已知集合，，定义叫做集合的长度，若集合的长度为2，则的长度为（ ） A．3 B．4 C．5 D．10 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分；有选错的得0分） 9．已知，，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 10．已知关于的不等式解集为或，则下列结论正确的有（ ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 11．已知正实数，满足，则（ ） A．的最小值为6 B．的最小值为20 C．的最小值为 D．的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．对，恒成立，则实数的取值范围是                        ． 13．2021年广西进入“”新高考模式，其“3”为全国统考科目语文，数学和外语；“1”为考生在物理和历史中选择一门；“2”为考生在政治、地理、化学和生物四门中再选择两门．某中学调查了高一某班学生的选科倾向，据统计有36名同学选择了化学、生物和政治，已知选择化学、生物和政治科目的人数分别为26，15，13，同时选择化学和生物的有6人，同时选择生物和政治的有4人，则同时选择化学和政治的有                        人． 14．若关于的不等式有且仅有两个整数解，则实数的取值范围是                        ． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知集合 ，或． （1）求，； （2）若集合，且．求的取值范围． 16．（15分）（1）比较和的大小； （2）若，，，求证：． 17．（15分）提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．在一般情况下，隧道内的车流速度v（单位：千米/小时）和车流密度x（单位：辆/千米）满足关系式： （1）若车流速度v不小于40千米/小时，求车流密度x的取值范围； （2）隧道内的车流量y（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）（）． 18．（17分）已知关于x的不等式，其中a，b，c， （1）若不等式的解集为，求关于x的不等式的解集； （2）若，时，不等式的解集为，求a的取值范围． （3）若，求该不等式的解集（解集用a表示） 19．（本小题满分17分）已知正整数集的一个非空子集，其中且，． 若对任意的x，y∈A（），都有，则称集合A具有性质“跨度k”，其中． （1）若，，，集合A具有性质“跨度4”，求集合A中元素的最小值； （2）若集合A具有性质“跨度36”，求证： （i）； （ii）． （3）若集合A具有性质“跨度36”，求集合A中元素个数的最大值，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 26级高一10月月考数学试卷 数学 参考答案 1．C 2．D 3．B 4．C 5．A 6．D 7．D 8．C 9．AC 10．AD 11．ACD 12． 13．8 14．或 15．（1）由或，得，． （2）由，而，， 则当时，，即，； 当时，由，得或，解得， 所以的取值范围为或． 16．（1） （2）证明：因为，所以， 又因为，所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得， 所以，所以，因为，， 所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得．又，所以， 所以，由不等式的同号可乘性可得． 17．【详解】（1）由题意，， 当时，，符合题意； 当时，令，解得，．综上，． 故车流速度不小于40千米/小时，车流密度的取值范围为 ； （2）由题意得，， 当时，， ，等号当且仅当时成立； 当时， 当且仅当，即时成立， 综上，的最大值约为2424，此时约为75． 故隧道内车流量的最大值为2424辆/小时，车流量最大时的车流密度75辆/千米． 18．（1）因为不等式的解集为，所以，且的两根为和2， 由韦达定理知，，，所以，， 所以不等式可化为，，即， 又，所以，解得或．故不等式的解集为． （2）当，时，不等式可化为． 当时，不等式可化为，此时解集为，满足题意； 当时，不等式的解集为，则，解得．综上，． 故的取值范围为． （3）当时，不等式可化为，即． 当时，不等式变为，解得； 当时，的两根为和，且， 此时不等式的解集为； 当时，的两根为和，当，即时，此时不等式的解集为； 当，即时，不等式可化为，即，此时解集为； 当，即时，此时不等式的解集为； 综上，若，该不等式的解集为： 当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当，解集为． 19．（1）解：根据性质“跨度4”的定义可得且，………………………………2分 解得，所以集合中元素的最小值为12．………………………………………………………3分 （2）证明：（i）根据性质“跨度36”的定义可得． 因为，均为正整数，不等式两边同除，得，得证．……………………………5分 （ii）根据性质“跨度36”的定义可得，， 因为，均为正整数，所以不等式两边同除，得，……………………………7分 所以，，，，， 累加得，得证．………………………………………………………………………………9分 （3）解：由（2）可知所以，解得，………………………………………11分 同（2）证明可得，所以，………………………………13分 又由定义可知，所以， 所以在，，；，上恒成立，………………………………………………14分 当时，取，则，解得，矛盾；…………………………………………15分 当时，则，所以，………………………………………16分 所以集合中元素个数的最大值为11．……………………………………………………………………17分 学科网（北京）股份有限公司 $