精品解析：辽宁葫芦岛市第一高级中学2026-2027学年高三上学期10月限时训练（一）数学试题

市一高中2026-2027学年度上学期10月限时训练（一） 数学试题 考试范围：集合、逻辑、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量、复数 一 、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用集合补集运算即可. 【详解】，， . 故选：A. 2. 已知（为虚数单位），则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数代数形式的运算性质、共轭复数模的定义等即可解出. 【详解】依题意，， 所以． 故选：A． 3. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角和的正切公式求得，再根据二倍角的余弦公式和同角公式将化为正切的形式，代入正切值即可求解. 【详解】由，可得，即，解得， 所以. 故选：A. 4. 设为的重心，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设为的中点，将分别用表示，再根据数量积的运算律即可得解. 【详解】如图，设为的中点，连接，则点在上，且， 故， 所以. 故选：A. 5. 已知函数，若正实数，满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性及单调性，结合题设可得，然后利用基本不等式“1”的代换求解最值即可. 【详解】由，， 则，故是定义在上的奇函数， 由，得， 由为增函数，知是增函数， 所以，即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值是. 6. 若函数在上有最大值没有最小值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出的范围，根据题意得到不等式，求出答案 【详解】时，， 因为在上有最大值没有最小值， 所以，解得 7. 青花瓷（blue and white porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑．图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为1，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意知，动点，关于圆心对称，圆半径为， 则，. 所以 . 又正六边形边长为1，则圆心到六边形各顶点距离为， 圆心到正六边形各边的垂直距离为， 因为点在正六边形上，所以， 所以， 故只有B选项符合题意. 8. 已知，，若在上恒成立，则实数的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，不等式可化为，通过求导证明在上单调递增，从而得到，令，求出的最小值即可求出答案. 【详解】因为在上恒成立， 即在上恒成立，即， 令，不等式可化为， 又因为，所以在上单调递增， 所以，即在恒成立， 令，即， 又因为， 由可得在上单调递减， 由可得在上单调递增， 所以最小值为，即， 所以实数的最大值为． 二 、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 已知复数z满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于第四象限 C. 将复数z对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数为 D. 若复数z是关于x的方程（其中a，）的一个根，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数的除法运算得到，据此逐项判断即可． 【详解】解：由复数z满足，得， 所以，故A正确； 复数的共轭复数是，在复平面内对应的点为，位于第四象限，故B正确； 复数对应的点为，绕原点按顺时针方向旋转，得到的点为， 所以所得向量对应的复数应为，故C错误； 由是关于x的方程的一个根，得另一个根为， 所以，解得，所以，故D正确． 10. 在中，角的对边分别是，若，，则（ ） A. B. C. D. 的面积为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据及余弦定理可判断A；根据及正弦定理可判断B；由的值及同角三角函数的基本关系可求，，根据正弦定理求出，代入求出可判断C；根据三角形面积公式可判断D. 【详解】由余弦定理可得，解得，故A正确； 由及正弦定理，可得, 化简可得. 因为，所以，所以，即. 因为，所以，故B错误； 因为，所以且，代入， 可得，解得，. 因为，，， 所以由正弦定理可得， 由，可得， 化简可得，解得或（舍），故C正确； . 故选:AC. 11. 已知函数的定义域为，且满足为奇函数，为偶函数，且，则下列说法正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 2是的一个周期 C. 图象关于对称 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，由与，得，是偶函数，A正确.选项B，由，推出，周期为，不是，B错误.选项C，有对称中心，周期为，半个周期平移后得到对称中心，C 正确.选项D，每项函数值之和为，前项和为，剩余两项得；除以余，故，D正确. 【详解】令， 因为为奇函数，所以， 即， 令，解得，即， 得到，即， 所以关于点中心对称. 因为为偶函数，所以， 即，关于直线轴对称. 由轴对称得， 由中心对称得， 联立得， 把换成得到， 则，所以的周期，故B错误. 因为的对称中心为，所以， 又周期， ，， 由， 令得到，即， 即， 所以图象关于对称，C正确. 由，则， 又，则， 则，对比， 得到 ，即， 所以是偶函数，A正确. 周期，先看一个周期内， 由， 令得到， 由为奇函数，令得到， 又都是对称中心，故， 一个周期：， 中，有项，包含个完整周期加上， 个周期的和为， 又，，故， 所以每项之和为，前项和为， 余下两项， 因为，所以，解得， 则，D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数是偶函数，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】利用偶函数的定义可求参数的值. 【详解】因为，故， 因为为偶函数，故， 时，整理得到， 故， 故答案为：1 13. 如图，在中，，，，为与的交点，则向量在上的投影向量的模长最小时，的长为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用共线向量定理，结合数量积的运算律及投影向量的定义求解. 【详解】在中，，，为与的交点， 设，即，即， 则， 因为、、三点共线，设，即， 所以， 因为、不共线，所以， 于是，解得，因此， 又，则向量在上的投影向量的模长 ， 当且仅当时取等号，故此时. 14. 已知函数，若函数恰有6个零点，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求出在上的单调性与极大值，即可画出函数的图象，依题意可得关于的方程恰有个不相等的实数根，令，则关于的有两个不相等的实数根，且，，令，则，即可求出参数的取值范围. 【详解】当时，则，所以当时， 当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则在处取得极大值，，且时，当时， 当时，函数在上单调递增， 所以的图象如下所示： 对于函数，令，即， 令，则， 要使恰有个不相等的实数根， 即关于的有两个不相等的实数根，且，， 令，则有两个不相等的零点均位于之间， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题解答的关键是利用导数说明函数的单调性，得到函数的大致图象，将函数的零点问题转化为一元二次方程根的分布问题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 15. 已知函数 （1）求在处的切线方程； （2）求在区间上的最值． 【答案】（1）. （2）最大值为 ，最小值为 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线斜率，进一步利用点斜式表示切线方程； （2）先通过导数判断函数在的单调性，再根据单调性求最值. 【小问1详解】 ，所以， 因此在处的切线方程为，即； 【小问2详解】 定义域为，令，解得（舍负）， 当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 所以最小值为； 又因为， 所以最大值为. 16. 在中，角，，的对边分别为，，.已知，. （1）证明: 为钝角三角形; （2）若的面积为，求的值. 【答案】（1）， ∴由正弦定理可得，； ，即. ，； ； . ∴由正弦定理可得，， ，. ； ，，即为钝角. 为钝角三角形． （2）4 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，，，. 的面积为， ，解得. ，，解得． 17. 已知锐角中，角，，所对的边分别为，，，且. （1）若角，求角； （2）若，求的最大值 【答案】（1） （2）最大值为 【解析】 【分析】（1）运用两角和差的正余弦公式进行化简即可； （2）根据（1）中结论运用正弦定理得到，然后把表示为的函数，再利用降次公式化简，结合内角取值范围及求解. 【小问1详解】 由题意知. 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 所以，因为，所以， 由角，所以. 【小问2详解】 由（1）知，所以，， 因为，所以， 由正弦定理得：，所以， 因为，所以， 所以， 因为为锐角三角形，且，则有，得，所以， 由二次函数的性质可得，当时，取得最大值， 所以的最大值为. 18. 已知向量，，函数，其中. （1）若恒成立，，求函数的对称中心； （2）若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（且），上恰好有个零点，求的取值范围； （3）已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把函数化成的形式，再根据函数的周期确定函数的解析式，再求函数的对称中心. （2）先确定的解析式，结合的图象，可求的取值范围. （3）把问题转化为两个函数的值域的包含关系，根据集合的包含关系求参数的取值范围. 【小问1详解】 因为. 由恒成立，可知：函数的周期满足：， 所以，由. 所以. 由，，，所以函数的对称中心为，. 【小问2详解】 因为. 由 所以或，. 所以或，. 又，所以. 所以.所以. 函数的草图如下： 由函数在（且），上恰好有个零点， 所以. 即的取值范围为：. 【小问3详解】 问题转化为，当时，函数的值域是的值域的子集. 对：因为，所以，所以，又，所以； 对：因为，所以，所以，所以. 由，. 即的取值范围是： 【点睛】方法点睛：任意，存在，使得成立，转化为函数的值域是的值域的子集. 19. 已知函数，其中为自然对数的底数. （1）当时，若过点与函数相切的直线有两条，求的取值范围； （2）若，当时，证明：. 【答案】（1） （2） 要证明，即证明， ，则，，， 原问题可转化为证明即可， ①若时，， 在时成立， ②时，令， 则，， ， 在上单调递增， ， 在上单调递增， ， 当时，成立，即， 综上，当，当时，， 时，成立. 【解析】 【分析】（1）设切点为，利用导数的几何意义将问题转化为直线与的图象有两个交点，利用导数研究的大致图象，从而数形结合即可得解； （2）根据题意，可将原问题转化为证明，再分类讨论和两种情况，结合不等式性质与导数研究函数的性质，从而得证. 【小问1详解】 当时，， 设过点与函数相切于点， 则， 化简为，易知，化为， 令， 当时，；当时， 则函数在区间上均单调递减，在区间上单调递增，， 又时，时，， 过点与函数相切的直线有两条， 直线与的图象有两个交点， 可得，即的取值范围是. 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2，利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3，适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论； 4，构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 市一高中2026-2027学年度上学期10月限时训练（一） 数学试题 考试范围：集合、逻辑、不等式、函数与导数、三角函数与解三角形、平面向量、复数 一 、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知（为虚数单位），则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 3. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 设为的重心，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，若正实数，满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在上有最大值没有最小值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 青花瓷（blue and white porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑．图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为1，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值可以是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，若在上恒成立，则实数的最大值为（ ） A. B. C. D. 二 、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 已知复数z满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于第四象限 C. 将复数z对应的向量绕原点按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数为 D. 若复数z是关于x的方程（其中a，）的一个根，则 10. 在中，角的对边分别是，若，，则（ ） A. B. C. D. 的面积为 11. 已知函数的定义域为，且满足为奇函数，为偶函数，且，则下列说法正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 2是的一个周期 C. 图象关于对称 D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数是偶函数，则______. 13. 如图，在中，，，，为与的交点，则向量在上的投影向量的模长最小时，的长为__________． 14. 已知函数，若函数恰有6个零点，则实数的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 15. 已知函数 （1）求在处的切线方程； （2）求在区间上的最值． 16. 在中，角，，的对边分别为，，.已知，. （1）证明: 为钝角三角形; （2）若的面积为，求的值. 17. 已知锐角中，角，，所对的边分别为，，，且. （1）若角，求角； （2）若，求的最大值 18. 已知向量，，函数，其中. （1）若恒成立，，求函数的对称中心； （2）若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（且），上恰好有个零点，求的取值范围； （3）已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数，其中为自然对数的底数. （1）当时，若过点与函数相切的直线有两条，求的取值范围； （2）若，当时，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $