精品解析：辽宁省葫芦岛市协作校2026届高三上学期第一次考试数学试卷

2025-2026学年度上学期协作校高三第一次考试 数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，不等式，函数与导数，三角函数与解三角形. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则的子集个数为（ ） A. 8 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先求，再根据中元素的个数即可得到其子集的个数. 【详解】因为，所以的子集个数为. 故选：B. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据存在量词命题的否定概念进行求解即可. 【详解】由存在量词命题的否定是全称量词命题， 可知：命题“，”的否定为“，”. 故选：C 3. 在中，已知，，则外接圆的半径为（ ） A. 6 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由题设求出，再由正弦定理即可求解. 【详解】因为，，所以. 设外接圆的半径为，则， 所以外接圆的半径为. 故选：D 4. 已知且，函数，若在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数、二次函数以及分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为且，函数在上单调递增， 函数在上单调递增； 函数在上单调递增，则； 由题意可得，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 5. 若，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用表示，根据不等式性质运算求范围. 【详解】令，则，解得. 因为，， 所以，即的取值范围是. 故选：B. 6. 已知向量，满足，，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助模长与数量积的关系计算及数量积公式计算即可得. 【详解】由，得，即， 又，所以， 即，则，所以. 故选：D. 7. 定义在上的函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用导数工具研究其单调性得到即可分析求解. 【详解】设，则， 因为，所以， 所以在上单调递减. 因为，所以， 所以，即， 所以，但不一定成立；，但不一定成立； ，但不一定成立. 故选：A 8. 1471年米勒向诺德尔教授提出了一个有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根竖直的悬杆呈现最长？我们把地球表面视为平面，悬杆视为直线l上两点A，B间的连线，则上述问题可以转化为以下的数学问题：如图1所示，直线l垂直于平面，直线l上有两点A，B位于平面的同侧，求平面上一点C，使得最大．建立如图2所示的平面直角坐标系．若A，B两点的坐标分别为，，点C的坐标为，则当最大时，c的值为（ ） A. 64 B. 32 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两角差的正切公式，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】由题意得知是锐角，且，而， ， 所以， 而， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，，此时最大， 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若“”是“”充分不必要条件，则的取值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】CD 【解析】 【分析】根据充分不必要条件与集合之间包含关系即可解出． 【详解】因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 分析选项，的取值不可以是1,2,的取值可以是3,4. 故选：CD 10. 对于函数和，下列说法正确的是（ ） A. 与有相同的零点 B. 与有相同的最小正周期 C. 与的图象有相同的对称中心 D. 与的图象有相同的对称轴 【答案】BD 【解析】 【分析】分别求出，的零点，最小值周期，对称中心，对称轴方程逐一对照每个选项即可. 【详解】令，解得，，令，解得，，显然，的零点不同，A错误； 根据周期公式，，的最小正周期均为，B正确； 的图象无对称中心，C错误； 图象的对称轴方程满足，， 图象的对称轴方程满足，， 显然与的图象有相同的对称轴，D正确. 故选：BD. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，只有一个零点 B. 若有极值点，则的取值范围为 C. 存在负数，使得在上单调递增 D. 过点且与曲线相切的直线只有一条 【答案】AD 【解析】 【分析】对于选项A，设，当时，得到，即在上单调递增，，，从而得解； 对于选项B，若有极值点，有两个不等实数根，通过求出的范围即可； 对于选项C，当时，，设，为的两根，得到在上单调递减； 对于选项D，不妨设切点为，则，求出切线方程，代入 ，解得，从而得解. 【详解】对于选项A，，令，， 当时，，则，在上单调递增，，，故A正确； 对于选项B，若有极值点，有两个不等实数根，，解得，B错误； 对于选项C，当时，由，可得， 设，为的两根，则，， 所以，故在上单调递减，C错误； 对于选项D，不妨设切点为，则， 切线方程为， 整理得，又切线过点， 所以，即，解得， 所以过点且与曲线相切的直线只有一条，D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，则的最小值为______ 【答案】## 【解析】 【分析】先由题设得，再由基本不等式“1”的常数代换即可计算求解. 【详解】因为，，，所以， 所以. 因为，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 13. 已知函数是周期为2的偶函数，且当时，，则______ 【答案】 【解析】 【分析】由函数的周期性和偶函数的性质，可将求转化成求上的自变量对应的函数值问题. 【详解】由题可知. 因为，所以. 所以. 故答案为：. 14. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且，.若，则______；若，则______ 【答案】 ①. ②. 1 【解析】 【分析】利用正弦定理边化角，结合和差公式可得，然后利用同角三角函数的平方关系和正弦定理可得空一；利用余弦定理，结合已知和可得空二. 【详解】由及正弦定理得， 又，所以， 因为，所以. 若，则， 因为，所以，， 由正弦定理可得. 由余弦定理知，即，即， 所以，所以. 故答案为：；1. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数图象的一条对称轴方程为. （1）求的值和的最小正周期； （2）当时，求函数的最小值及此时的值. 【答案】（1），最小正周期 （2），此时 【解析】 【分析】（1）利用代入检验的方式，根据正弦型函数的对称轴和的范围可确定的取值；由正弦型函数最小正周期的求法可求得结果； （2）利用两角和差正弦公式可化简得到，根据正弦型函数值域的求法可确定最小值，并确定的取值. 【小问1详解】 是的一条对称轴，，解得：， 又，； ，的最小正周期. 【小问2详解】 由（1）得：， 当时，， 则当，即时，取得最小值，即取得最小值， 此时. 16. 已知函数. （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若，求函数在上的值域； （3）若方程有三个不同的根，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数几何意义求解即可； （2）利用导数确定函数在区间上的单调性，再根据单调性求解即可； （3）将问题转化为的图象与直线有三个交点，利用导数确定函数的单调性、求出极值，作出图象，结合图象求解即可. 【小问1详解】 若，则， 所以 因为， 所以， 所以曲线在处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 若，则， 所以. 令，则. 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 因为，所以，即. 因为在上单调递增， 所以，， 故函数在上的值域为. 【小问3详解】 方程有三个不同的根， 等价于的图象与直线有三个交点. 因为， 易知在，上单调递减，在上单调递增. 因为，，且当时，， 当趋于时，趋于时，当趋于时，趋于时， 所以当时，的图象与直线有三个交点， 故的取值范围是. 17. 已知是定义在上的奇函数，当时，. （1）求的解析式； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由奇函数定义和性质即可求解； （2）由函数奇偶性和单调性将原不等式等价转换成即可求解. 【小问1详解】 因为为上的奇函数，所以. 当时，，则. 所以的解析式为. 【小问2详解】 因为和均为减函数， 所以当时，，则在上单调递减. 因为是上的奇函数，所以在上单调递减. 由，可得， 所以，解得，故实数的取值范围是. 18. 在中，角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）如图，，是线段上的两个点，且，，，求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，再根据三角恒等变换的相关公式化简即可求解； （2）设，在和中运用正弦定理，建立关于的方程即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 则. 因为，所以，即，所以. 【小问2详解】 设，则，，. 在中，，在中，， 两式相除可得 因为，均为锐角，所以， 则，所以，即. 19. 已知函数. （1）求的单调递增区间. （2）证明：曲线是中心对称图形. （3）若，且，证明： 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域及导函数，令，求解即可； （2）根据函数关于中心对称定义，只需证明，并求出的值即可； （3）根据函数的单调性、对称性及已知条件，可得，令，利用导数可证得；令，利用导数可证得；令，利用导数可证得单调递增，从而得，即可得证. 【小问1详解】 因为，， 所以的定义域为. ， 令，得， 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 因为， ， 所以的图象关于点中心对称， 即曲线是中心对称图形. 【小问3详解】 的单调递增区间为， 且的图象关于点中心对称， 由，可得，故. 令，则. 令，则，即单调递减， 所以，则，所以单调递增， 则， 于是. 令， 则，单调递增， 则. 令，则， 令，则， 所以单调递增，即单调递增， 则， 于是，单调递增，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期协作校高三第一次考试 数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，不等式，函数与导数，三角函数与解三角形. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则的子集个数为（ ） A. 8 B. 4 C. 3 D. 2 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 在中，已知，，则外接圆的半径为（ ） A. 6 B. 3 C. D. 4. 已知且，函数，若在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 若，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，满足，，则（ ） A 2 B. C. D. 7. 定义在上的函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 1471年米勒向诺德尔教授提出了一个有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根竖直的悬杆呈现最长？我们把地球表面视为平面，悬杆视为直线l上两点A，B间的连线，则上述问题可以转化为以下的数学问题：如图1所示，直线l垂直于平面，直线l上有两点A，B位于平面的同侧，求平面上一点C，使得最大．建立如图2所示的平面直角坐标系．若A，B两点的坐标分别为，，点C的坐标为，则当最大时，c的值为（ ） A. 64 B. 32 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若“”是“”的充分不必要条件，则的取值可以是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 对于函数和，下列说法正确是（ ） A. 与有相同的零点 B. 与有相同的最小正周期 C. 与的图象有相同的对称中心 D. 与的图象有相同的对称轴 11. 已知函数，则下列说法正确是（ ） A. 当时，只有一个零点 B. 若有极值点，则取值范围为 C. 存在负数，使得在上单调递增 D. 过点且与曲线相切的直线只有一条 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，则的最小值为______ 13. 已知函数是周期为2的偶函数，且当时，，则______ 14. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且，.若，则______；若，则______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数图象的一条对称轴方程为. （1）求的值和的最小正周期； （2）当时，求函数的最小值及此时的值. 16. 已知函数. （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若，求函数在上的值域； （3）若方程有三个不同的根，求的取值范围. 17. 已知是定义在上的奇函数，当时，. （1）求解析式； （2）若，求实数的取值范围. 18. 在中，角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）如图，，是线段上的两个点，且，，，求的值. 19. 已知函数. （1）求的单调递增区间. （2）证明：曲线是中心对称图形. （3）若，且，证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $