第06讲：直线的方程【十大题型+知识归纳+高分演练】讲义-2026-2027学年高二上学期数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版选择性必修第一册）

第06讲：直线的方程 题型一：直线方程的点斜式 3 题型二：直线的两点式方程 4 题型三：直线的截距式方程 5 题型四、直线的一般式方程 6 题型五：用合适的方法求直线方程 7 题型六：一般式下直线的平行的问题 9 题型七：一般式下直线的垂直的问题 10 题型八：直线过定点问题 11 题型九：直线和坐标轴围成的面积问题 12 题型十：直线方程的综合问题 14 知识点1：直线的点斜式方程和斜截式方程 类别 点斜式 斜截式 适用范围 斜率存在 已知条件 点P(x0，y0)和斜率k 斜率k和在y轴上的截距b 图示 方程 y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b 截距 直线l与y轴交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距 知识点2：直线的两点式方程和截距式方程 名称 两点式 截距式 条件 两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1≠x2，y1≠y2) 在x，y轴上的截距分别为a，b ( a≠0，b≠0) 示意图 方程 ＝ ＋＝1 适用范围 斜率存在且不为0 斜率存在且不为0，不过原点 知识点3　直线的一般式方程 关于x和y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 知识点4　直线的五种形式的方程 形式 方程 局限 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不能表示斜率不存在的直线 斜截式 y＝kx＋b 不能表示斜率不存在的直线 两点式 ＝ x1≠x2，y1≠y2 截距式 ＋＝1 不能表示与坐标轴平行及过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 无 知识点5　直线各种形式方程的互化 知识点6一般式下直线的平行与垂直 设直线l1与l2的方程分别为A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)， 则l1∥l2⇔l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 题型一：直线方程的点斜式 【例1】．（26-27高二上·福建三明·阶段检测）直线过点且倾斜角为，则其点斜式方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为直线的倾斜角为，则其斜率， 且直线过点，所以其点斜式方程为. 【变式1】．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知平面直角坐标系中两点，则线段的垂直平分线方程为________． 【答案】 【详解】依题意，， 线段中点坐标为， 直线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即. 故答案为： 【变式2】．（25-26高二上·福建·期中）已知直线经过点，是它的一个方向向量，则直线的方程为_____. 【答案】 【详解】由直线的一个方向向量是，可知直线斜率为， 所以直线的方程为：， 故答案为： 题型二：直线的两点式方程 【例2】．（25-26高二上·河北沧州·阶段检测）过点和的直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据直线的两点式方程公式可得，化简可得， 故选：D. 【变式1】．（2026高三·全国·专题练习）在中，已知，，且的中点在轴上，的中点在轴上，则直线的方程为________． 【答案】 【详解】设，由，，的中点，的中点， 则，． 因为点在轴上，所以，所以． 因为点在轴上，所以， 所以，即， 所以，， 所以直线的方程为，即． 【变式2】．（23-24高二上·四川绵阳·阶段检测）一条光线从点射出，经直线y轴反射后过点，则反射光线所在的直线方程为_________________． 【答案】 【详解】关于y轴的对称点为， 根据光线反射的性质知，反射光线所在的直线即为经过的直线， 由两点式得直线的方程为：，即. 故答案为： 题型三：直线的截距式方程 【例3】．（25-26高二上·福建宁德·期末）直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为 （    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】当截距都为零，则经过坐标原点，设直线方程为，则，所以直线方程为， 当截距都不为零，设直线方程为，则， 所以直线方程为，即. 综上直线方程为：或. 故选：C 【变式1】．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）已知直线经过点但不经过原点，且在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，设直线的方程为，将点代入，求得，即可求解. 【详解】因为直线经过点但不经过原点，且在轴上的截距是在轴上的截距的3倍， 所以，设直线的方程为，可得，解得， 所以，即. 故选：C. 【变式2】．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）经过点，且在轴和轴上截距相等的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】当直线在轴和轴上截距都为0时，设直线方程为，将点代入解得，此时直线方程为，当直线在轴和轴上截距相等且不为0时，设直线方程为，将点代入解得， 此时直线方程为，所以满足题意的直线方程为或，故选：B 题型四、直线的一般式方程 【例4】．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）过点，且方向向量为的直线的一般式方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为方向向量为，所以直线斜率为， 由点斜式可知所求直线方程为， 化为一般式可得. 【变式1】．（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）已知直线l经过点，且倾斜角等于直线的倾斜角的一半，则直线l的一般式方程为______． 【答案】 【详解】直线的斜率，其倾斜角为，，，故， 已知直线的倾斜角，故，故直线的斜率，过点的直线方程为， 故一般方程为． 【变式2】．（26-27高二上·广东广州·阶段检测）经过点且在轴、轴上的截距相等的直线方程是______． 【答案】，或 【详解】当直线过原点时，斜率为，直线方程为，即． 当直线不过原点时，设直线方程为，把点代入可得， ，∴所求直线的方程为， 综上，所求直线的方程为，或. 题型五：用合适的方法求直线方程 【例5】．（26-27高二上·湖南永州·阶段检测）三角形的顶点是， 求： (1)边所在直线的方程． (2)边上的高所在直线的方程； (3)边的垂直平分线的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1），是轴截距点，，斜率， 故直线的方程为：，即． （2），由得：，解得，直线过点，则直线的方程为：，即． （3）取中点，则，，设其垂直平分线斜率为，则，解得， 故直线的方程为：，即． 【变式1】．（26-27高二上·河北沧州·阶段检测）已知的三个顶点是，，． (1)求边上的中线所在直线的点斜式方程； (2)求边上的高所在直线的斜截式方程； (3)求边的垂直平分线的一般式方程． 【答案】(1)点斜式方程为 . (2)斜截式方程为 . (3)一般式方程为 . 【详解】（1）设的中点为，由中点坐标公式求出点坐标为，， 边上的中线所在直线的点斜式方程（用点）为. （2）设边上的高所在直线的方程为，， 过点，直线在轴上的截距为1，直线的斜截式方程为. （3）设的中点为，由中点坐标公式求出点坐标为，设边的垂直平分线的方程为， ，用点斜式求出直线的方程为，整理为一般式得. 【变式2】．（26-27高二上·河北·阶段检测）中，已知，，点为边的中点． (1)求边上的高所在直线的一般式方程； (2)求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）因为，点为边的中点，所以有可得，又因为，所以，因为是边上的高，所以有，即，解得， 所以高所在直线的方程为，即． （2）由（1）知， ①当所求直线过坐标原点时，设其方程为， 因为该直线过点，所以有，解得，则所求直线方程为； ②当所求直线不过坐标原点时，设其方程为， 因为该直线过点，所以有，解得，则所求直线方程为． 综上，过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或． 题型六：一般式下直线的平行的问题 【例6】．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知直线，过点且与直线平行的直线一般式方程为______． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率，再利用点斜式求解作答. 【详解】直线的斜率为，则所求直线的斜率为， 又直线经过点，所以所求直线的方程是，即. 故答案为：. 【变式1】．（24-25高二下·上海·期中）已知直线，，若 ，则 _____ 【答案】 【分析】根据一般式直线方程的形式，根据平行关系，列式求解. 【详解】由条件可知，， ，得，或， 当时，两直线重合，不满足条件，当时，满足上面不等式，成立. 故答案为： 【变式2】．（23-24高二上·四川成都·期末）已知直线的方程为，的方程为，直线l与平行且与在y轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为______. 【答案】 【详解】由，且直线的方程为，则直线斜率为， 由直线l与在y轴上的截距互为相反数，而在y轴上的截距为， 所以直线在y轴上的截距为，即过点， 综上，直线方程为，即. 故答案为： 题型七：一般式下直线的垂直的问题 【例7】．（2025·上海金山·一模）已知的三个顶点，则边上的高所在的直线方程为___________． 【答案】 【详解】由题意直线AC的斜率， 所以边上的高的斜率， 所以边上的高所在的直线方程为，即. 故答案为： 【变式1】．（24-25高二上·浙江湖州·阶段检测）已知直线：与直线：垂直，则经过点且与直线垂直的直线方程为______. 【答案】 【详解】解：因为直线：与直线：垂直， 所以，所以. 所以直线：， 设所求直线的方程为， 因为直线过， 所以，即， 所以所求直线的方程为. 故答案为： 【变式2】．（25-26高二上·北京顺义·期中）已知的三个顶点为，，，则边所在的直线方程为________________.边的垂直平分线所在直线的方程为____________________. 【答案】 【详解】由题设，则直线，可得， 由的中点为且，故其垂直平分线的斜率为， 所以直线的垂直平分线为，即. 故答案为：， 题型八：直线过定点问题 【例8】．（26-27高二上·天津河西·阶段检测）已知直线，直线过定点__________；过点作直线使直线与两负半轴围成的的面积等于，直线的方程为__________． 【答案】 【详解】由直线，可化为， 联立方程组，解得，所以直线恒过定点， 设过点的直线方程为，可得，即， 因为围成的的面积等于，可得，所以，则， 联立方程组，解得， 所以直线的方程为，即. 【变式1】．（26-27高二上·全国·课堂例题）已知直线：.则直线经过定点______ 【答案】 【详解】因为， 所以， 所以，解得， 所以直线恒过定点. 故答案为： 【变式2】．（25-26高二上·天津南开·阶段检测）已知，，若曲线和线段有公共点，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【详解】因为曲线，表示的是两条直线， 直线和直线. 直线化简为，该直线过定点，斜率为， 要使得该直线与线段有公共点，则. 因为，所以. 此时的取值范围为； 直线化简为，该直线过定点，斜率为， 要使得该直线与线段有公共点，则. 因为，所以. 此时的取值范围为，则的取值范围为； 当时，直线为直线，此时该直线与线段无公共点； 综上，的取值范围为. 故答案为：. 题型九：直线和坐标轴围成的面积问题 【例9】．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知直线过点． （1）若在两坐标轴上截距相等，则的方程为___________ （2）设与两坐标轴的正半轴交点分别为，则为坐标原点）面积的最小值为___________． 【答案】 或． 4 【详解】当直线经过原点时，直线的斜率为，所以直线的方程为，即； 当直线不过原点时，设直线的方程为，代入点可得， 所以所求直线方程为，即． 综上可得，所求直线方程为：或． （2）依题意，设点，（，），直线的方程为， 又点在直线上，于是有， 利用基本不等式，即，当且仅当，时等号成立， ，即的面积的最小值为4． 故答案为：或；4. 【变式1】．（25-26高二上·江西赣州·开学考试）已知直线的斜率小于，且经过点，并与坐标轴交于两点，，当的面积取得最小值时，直线的斜率为__________. 【答案】 【详解】设直线l的方程为，令，得，令，得. 则和坐标轴的交点为，. 所以， 可得的面积为，当且仅当，即等号成立； 故答案为：. 【变式2】．（2.2.3直线的一般式方程（基础知识 基本题型）--【一堂好课】2021-2022学年高二数学上学期同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册））已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别为交于A、B两点，O为坐标原点，则面积的最小值为__________，此时的直线方程为__________． 【答案】 4 【详解】由题可知直线AB斜率为负，故设直线AB的方程为， 令x＝0，则y＝1－2k；令y＝0，则x＝2－， ∴ ，当且仅当，即时取等号. 故当时，有最小值4． 此时，直线方程为即． 故答案为：4；. 题型十：直线方程的综合问题 【例10】．（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）已知直线过点，且分别与轴的正半轴、轴的正半轴交于，两点，为原点． (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； (2)当取得最小值时，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设直线与轴正半轴交于，与轴正半轴交于，其中， 由截距式，直线的方程为： 因为直线过点，所以 若直线在两坐标轴上的截距相等，则， 即 故，直线方程为， （2）由（1）知，则 展开得： 由基本不等式可得： 所以当且仅当，即时取等号， 即 于是 因此直线的截距式方程为： 化简得： 整理得： 故当取得最小值时，直线的方程为. 【变式1】．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知直线：与直线：，. (1)若，求的值； (2)若点在直线上，直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）因为，所以，解得或， 当时，：，：，即， 此时，满足题意； 当时，：，即，：， 此时重合，不满足题意. 综上所述，. （2）因为点在直线上， 所以，得，则点的坐标为， 而直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0， 当两截距均为0时，直线的斜率为，则直线的方程为，即； 当两截距不为0时，设直线的方程为， 代入点，得，解得， 则直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 【变式2】．（26-27高二上·山西太原·阶段检测）直线过点且与轴、轴正半轴分别交于两点. (1)若直线与垂直，写出直线的方程； (2)求面积的最小值； (3)如图，若，过点作平行于轴的直线交轴于点，动点分别在线段和上，若直线平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点坐标. 【详解】（1）设直线， 代入点得：，解得：， 直线方程为：. （2）当直线斜率不存在时，不存在点，不合题意； 当直线斜率时，不存在点，不合题意； 当直线斜率时，设， 令，解得：，即； 令，解得：，即； 分别位于轴正半轴，，解得：； ， ，，， （当且仅当时取等号）， 面积的最小值为. (3)设，，则，， ，，解得：，； 轴，且在轴上，， 直角梯形的面积； 设，， 直线平分直角梯形的面积，四边形的面积为， 即，，则， 直线的方程为：， 整理可得：， 由得：，直线必过定点，定点坐标为. 一、单选题 1．（26-27高二上·福建厦门·阶段检测）若直线的斜率为，且经过点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知直线的斜率为，且经过点， 则根据直线的点斜式可知直线方程为， 即. 2．（26-27高二上·浙江·阶段检测）直线经过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于含参数的直线恒过定点问题，我们可以将原式按参数合并整理：把直线方程展开， 将含的项和常数项分离得： ，该等式对任意都成立， 等价于两个括号内的项同时为，得到方程组： 解得即定点为. 3．（26-27高二上·福建厦门·阶段检测）直线，若，则实数的值为 （ ） A．0 B．2 C．0或 D．0或 【答案】D 【详解】由题意可得，解得或. 4．（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）若直线：经过点，则与两坐标轴围成的三角形面积的最小值为（     ） A．144 B．240 C．288 D．576 【答案】C 【分析】将点代入截距式得到等式，写出三角形面积表达式，用基本不等式求面积最小值. 【详解】依题意可得，当且仅当时，等号成立， 则，则所求三角形面积，其最小值为288. 5．（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）一条光线从点射出，与轴交于点，经轴反射，则反射光线经过的点的坐标可以为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 如图所示，点关于轴对称的点为， 因为反射光线同时经过点和点，且，所以反射光线所在直线的方程为，即， 所以反射光线经过的点的坐标为，故反射光线经过的点的坐标可以为，故A正确. 6．（26-27高二上·广东广州·阶段检测）过点的直线可表示为，若直线与两坐标轴围成三角形的面积为4，则这样的直线有（ ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【详解】可化为①， 要使与两坐标轴能围成三角形，则且， 由①令得；令得， 依题意，， 所以或， 所以或， 设，则或，则或， 解得或， 即或， 所以这样的直线有条. 7．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）“直线，相互垂直”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】已知直线，相互垂直， 则，解得或， 若，则直线互相垂直，满足必要性； 两直线垂直时，或，不一定是，不满足充分性， 故“直线，相互垂直”是“”的必要不充分条件． 8．（26-27高二上·全国·课后作业）两条不重合的直线、都经过点，且其中任意一条直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积都是，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设直线与两坐标轴交于，，，，所以设直线为， 因为直线过点，所以， ，所以，， 所以. 当且仅当时，面积取得最小值12，又、是两条不重合的直线， 所以. 二、多选题 9．（26-27高二上·山东济南·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．点斜式可以表示过的任何直线 B．经过两点的直线方程为 C．“”是“直线与直线互相垂直”的充分条件 D．直线的倾斜角的取值范围是 【答案】BCD 【详解】选项A，点斜式要求斜率存在，即不能表示垂直于轴的直线，A错误； 选项B，∵，∴直线斜率存在，代入点斜式， 即，B正确； 选项C，∵两直线垂直，∴，解得或， 即“”可以推出“或”，但“或”推不出“”， 所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分条件，C正确； 选项D，∵直线的斜率，即， 又倾斜角，解得，D正确. 10．（26-27高二上·河北邢台·阶段检测）下列说法中，表述错误的是（     ） A．表示向量的有向线段在直线上，则直线的倾斜角为 B．若将直线沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向上平移个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 C．若直线与轴交于点，其倾斜角为，直线绕点顺时针旋转后得直线，则直线的倾斜角为 D．若直线、的倾斜角分别为、，则“”是“”的充要条件 【答案】BCD 【详解】对于A选项，设直线的倾斜角为，则， 因为表示向量的有向线段在直线上，则该直线的斜率为， 故，A对； 对于B选项，由题意可知直线的斜率存在，设该直线的方程为， 将直线沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向上平移个单位长度后， 所得到的直线的方程为， 因为直线与直线重合，所以，解得， 故直线的斜率为，B错； 对于C选项，当时，，， 直线绕点顺时针旋转后得直线， 此时直线的倾斜角为，C错； 对于D选项，直线、的倾斜角分别为、，且、， 所以， 若，则，即，此时， 故“”“”， 若，不妨取，，此时，则， 但， 故“”“”， 综上所述，“”是“”的充分不必要条件，D错. 11．（26-27高二上·云南曲靖·阶段检测）已知：，：，则下列说法正确的是（   ） A．的必要不充分条件是或 B．若，则 C．若直线不经过第四象限，则 D．若将直线关于原点对称后得到的直线纵截距为1，则 【答案】BD 【详解】对于A，若，则，即，解得，或， 当时，，，则，符合题意； 当时，，，则，符合题意， 所以或时的充要条件，不是必要不充分条件，故A错误； 对于B，若，则，解得，故B正确； 对于C，将化为斜截式，得， 又不经过第四象限，则，解得，故C错误； 对于D，由直线：关于原点对称后得到的直线为， 则纵截距为，解得，故D正确． 12．（24-25高二上·福建厦门·阶段检测）已知直线： ，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．过与直线平行的直线方程是 C．直线的两个截距相等 D．若直线：，则 【答案】BD 【详解】由，得，所以直线的斜率为，所以直线的倾斜角是，故A错误； 过与直线平行的直线方程是，即，故B正确； 直线，令，得；令，得， 即直线在轴上的截距为，在轴上的截距为1，故C错误； 由，得，所以直线的斜率为，直线的斜率为， ，所以，故D正确. 三、填空题 13．（26-27高二上·福建厦门·阶段检测）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为_______． 【答案】或 【详解】当直线经过原点时，斜率，所以， 当直线不经过原点时，设横纵截距分别为，则，则， 所以， 所以或. 14．（26-27高二上·天津南开·阶段检测）已知直线，，则下列说法中：①恒过点；②若，则；③若，则或；④若不经过第三象限，则正确的有___________．（把正确结论的序号填在横线上） 【答案】①③ 【详解】①可化为，令，解得， 所以直线过定点，故①正确； ②若，则，解得， 当时，：，：，两直线重合，舍去； 当时，：，：，两直线平行，符合题意. 所以，故②错误； ③选项：若，则，解得或者，故③正确； ④：当时，直线：不过第三象限，满足题意； 当时，直线：不过第三象限， 则，解得，综上，故④错误． 15．（26-27高二上·全国·期中）直线与轴、轴分别交于，两点，则（为坐标原点）的平分线所在直线的一般式方程为_____． 【答案】 【详解】如图所示，设的角平分线与轴负半轴的夹角为， 令代入直线方程，可得，所以， 令代入直线方程，可得，所以， 在中，的正切值为， 也即， 解得（负值已舍去）， 设角平分线的斜率为， 则， 所以由点斜式方程可得角平分线方程为， 整理为一般式为． 16．（26-27高二上·河北唐山·阶段检测）已知点，直线，光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程为________． 【答案】 【详解】设点关于直线对称点为则点在反射光线的延长线上，所在直线与垂直， 反射光线所在直线方程为即 四、解答题 17．（26-27高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知直线 与直线 . (1)当 时，求实数 的值； (2)当 时，求实数 的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）直线 与直线 . 当 时，， 所以. （2）当 时，， 即，即， 解得或. 若，，即； ，所以. 若，；. 所以与重合. 综上所述，. 18．（26-27高二上·天津南开·阶段检测）已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)求边上的中线所在直线的斜率； (2)求边上的高所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，，得的中点. 则边上的中线的斜率为； （2）由，，可得直线的斜率为， 则边上的高所在直线的斜率为， 所以边上的高所在直线方程为，即． 19．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知的顶点分别为． (1)设的中点为，求中线所在直线的方程； (2)若直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，求直线的方程． 【答案】(1)； (2)或． 【详解】（1）由点得线段的中点为，故，        所以中线所在直线的方程为，即． （2）若直线过坐标原点，则其斜率为， 此时直线的方程为，即，符合题意；                    若直线不过坐标原点，由题意设直线的方程为， 由直线过点，得，解得， 即直线的方程为． 综上所述，直线的方程为或． 20．（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）已知直线． (1)证明：直线过定点； (2)若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程； (3)若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1)因为直线， 即，由，得， 所以直线恒过定点． （2）由， 当时，，即，显然不满足题意； 当时，令，得；令，得， 由于直线在两坐标轴上的截距互为相反数，则，解得或， 则直线的方程为或. 综上所述，直线的方程为或. （3）由（2）及题意知，， 且直线在轴上的截距为，在轴上的截距为， 由，解得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为16，此时直线的方程为，即. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲：直线的方程 题型一：直线方程的点斜式 3 题型二：直线的两点式方程 3 题型三：直线的截距式方程 3 题型四、直线的一般式方程 4 题型五：用合适的方法求直线方程 4 题型六：一般式下直线的平行的问题 5 题型七：一般式下直线的垂直的问题 5 题型八：直线过定点问题 5 题型九：直线和坐标轴围成的面积问题 6 题型十：直线方程的综合问题 6 知识点1：直线的点斜式方程和斜截式方程 类别 点斜式 斜截式 适用范围 斜率存在 已知条件 点P(x0，y0)和斜率k 斜率k和在y轴上的截距b 图示 方程 y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b 截距 直线l与y轴交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距 知识点2：直线的两点式方程和截距式方程 名称 两点式 截距式 条件 两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1≠x2，y1≠y2) 在x，y轴上的截距分别为a，b ( a≠0，b≠0) 示意图 方程 ＝ ＋＝1 适用范围 斜率存在且不为0 斜率存在且不为0，不过原点 知识点3　直线的一般式方程 关于x和y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 知识点4　直线的五种形式的方程 形式 方程 局限 点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不能表示斜率不存在的直线 斜截式 y＝kx＋b 不能表示斜率不存在的直线 两点式 ＝ x1≠x2，y1≠y2 截距式 ＋＝1 不能表示与坐标轴平行及过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 无 知识点5　直线各种形式方程的互化 知识点6一般式下直线的平行与垂直 设直线l1与l2的方程分别为A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)， 则l1∥l2⇔l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 题型一：直线方程的点斜式 【例1】．（26-27高二上·福建三明·阶段检测）直线过点且倾斜角为，则其点斜式方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）已知平面直角坐标系中两点，则线段的垂直平分线方程为________． 【变式2】．（25-26高二上·福建·期中）已知直线经过点，是它的一个方向向量，则直线的方程为_____. 题型二：直线的两点式方程 【例2】．（25-26高二上·河北沧州·阶段检测）过点和的直线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（2026高三·全国·专题练习）在中，已知，，且的中点在轴上，的中点在轴上，则直线的方程为________． 【变式2】．（23-24高二上·四川绵阳·阶段检测）一条光线从点射出，经直线y轴反射后过点，则反射光线所在的直线方程为_________________． 题型三：直线的截距式方程 【例3】．（25-26高二上·福建宁德·期末）直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则的方程为 （    ） A． B． C．或 D．或 【变式1】．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）已知直线经过点但不经过原点，且在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高二上·河南南阳·阶段检测）经过点，且在轴和轴上截距相等的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 题型四、直线的一般式方程 【例4】．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）过点，且方向向量为的直线的一般式方程为（     ） A． B． C． D． 【变式1】．（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）已知直线l经过点，且倾斜角等于直线的倾斜角的一半，则直线l的一般式方程为______． 【变式2】．（26-27高二上·广东广州·阶段检测）经过点且在轴、轴上的截距相等的直线方程是______． 题型五：用合适的方法求直线方程 【例5】．（26-27高二上·湖南永州·阶段检测）三角形的顶点是， 求： (1)边所在直线的方程． (2)边上的高所在直线的方程； (3)边的垂直平分线的方程． 【变式1】．（26-27高二上·河北沧州·阶段检测）已知的三个顶点是，，． (1)求边上的中线所在直线的点斜式方程； (2)求边上的高所在直线的斜截式方程； (3)求边的垂直平分线的一般式方程． 【变式2】．（26-27高二上·河北·阶段检测）中，已知，，点为边的中点． (1)求边上的高所在直线的一般式方程； (2)求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程． 题型六：一般式下直线的平行的问题 【例6】．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知直线，过点且与直线平行的直线一般式方程为______． 【变式1】．（24-25高二下·上海·期中）已知直线，，若 ，则 _____ 【变式2】．（23-24高二上·四川成都·期末）已知直线的方程为，的方程为，直线l与平行且与在y轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为______. 题型七：一般式下直线的垂直的问题 【例7】．（2025·上海金山·一模）已知的三个顶点，则边上的高所在的直线方程为___________． 【变式1】．（24-25高二上·浙江湖州·阶段检测）已知直线：与直线：垂直，则经过点且与直线垂直的直线方程为______. 【变式2】．（25-26高二上·北京顺义·期中）已知的三个顶点为，，，则边所在的直线方程为________________.边的垂直平分线所在直线的方程为____________________. 题型八：直线过定点问题 【例8】．（26-27高二上·天津河西·阶段检测）已知直线，直线过定点__________；过点作直线使直线与两负半轴围成的的面积等于，直线的方程为__________． 【变式1】．（26-27高二上·全国·课堂例题）已知直线：.则直线经过定点______ 【变式2】．（25-26高二上·天津南开·阶段检测）已知，，若曲线和线段有公共点，则实数的取值范围是_____. 题型九：直线和坐标轴围成的面积问题 【例9】．（25-26高二上·北京·阶段检测）已知直线过点． （1）若在两坐标轴上截距相等，则的方程为___________ （2）设与两坐标轴的正半轴交点分别为，则为坐标原点）面积的最小值为___________． 【变式1】．（25-26高二上·江西赣州·开学考试）已知直线的斜率小于，且经过点，并与坐标轴交于两点，，当的面积取得最小值时，直线的斜率为__________. 【变式2】．（2.2.3直线的一般式方程（基础知识 基本题型）--【一堂好课】2021-2022学年高二数学上学期同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册））已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别为交于A、B两点，O为坐标原点，则面积的最小值为__________，此时的直线方程为__________． 题型十：直线方程的综合问题 【例10】．（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）已知直线过点，且分别与轴的正半轴、轴的正半轴交于，两点，为原点． (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； (2)当取得最小值时，求直线的方程． 【变式1】．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知直线：与直线：，. (1)若，求的值； (2)若点在直线上，直线过点P，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程. 【变式2】．（26-27高二上·山西太原·阶段检测）直线过点且与轴、轴正半轴分别交于两点. (1)若直线与垂直，写出直线的方程； (2)求面积的最小值； (3)如图，若，过点作平行于轴的直线交轴于点，动点分别在线段和上，若直线平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点坐标. 一、单选题 1．（26-27高二上·福建厦门·阶段检测）若直线的斜率为，且经过点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·浙江·阶段检测）直线经过的定点为（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高二上·福建厦门·阶段检测）直线，若，则实数的值为 （ ） A．0 B．2 C．0或 D．0或 4．（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）若直线：经过点，则与两坐标轴围成的三角形面积的最小值为（     ） A．144 B．240 C．288 D．576 5．（26-27高二上·江西南昌·阶段检测）一条光线从点射出，与轴交于点，经轴反射，则反射光线经过的点的坐标可以为（     ） A． B． C． D． 6．（26-27高二上·广东广州·阶段检测）过点的直线可表示为，若直线与两坐标轴围成三角形的面积为4，则这样的直线有（ ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 7．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）“直线，相互垂直”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（26-27高二上·全国·课后作业）两条不重合的直线、都经过点，且其中任意一条直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积都是，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（26-27高二上·山东济南·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．点斜式可以表示过的任何直线 B．经过两点的直线方程为 C．“”是“直线与直线互相垂直”的充分条件 D．直线的倾斜角的取值范围是 10．（26-27高二上·河北邢台·阶段检测）下列说法中，表述错误的是（     ） A．表示向量的有向线段在直线上，则直线的倾斜角为 B．若将直线沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向上平移个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 C．若直线与轴交于点，其倾斜角为，直线绕点顺时针旋转后得直线，则直线的倾斜角为 D．若直线、的倾斜角分别为、，则“”是“”的充要条件 11．（26-27高二上·云南曲靖·阶段检测）已知：，：，则下列说法正确的是（   ） A．的必要不充分条件是或 B．若，则 C．若直线不经过第四象限，则 D．若将直线关于原点对称后得到的直线纵截距为1，则 12．（24-25高二上·福建厦门·阶段检测）已知直线： ，则下列结论正确的是（    ） A．直线的倾斜角是 B．过与直线平行的直线方程是 C．直线的两个截距相等 D．若直线：，则 三、填空题 13．（26-27高二上·福建厦门·阶段检测）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为_______． 14．（26-27高二上·天津南开·阶段检测）已知直线，，则下列说法中：①恒过点；②若，则；③若，则或；④若不经过第三象限，则正确的有___________．（把正确结论的序号填在横线上） 15．（26-27高二上·全国·期中）直线与轴、轴分别交于，两点，则（为坐标原点）的平分线所在直线的一般式方程为_____． 16．（26-27高二上·河北唐山·阶段检测）已知点，直线，光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程为________． 四、解答题 17．（26-27高二上·重庆沙坪坝·阶段检测）已知直线 与直线 . (1)当 时，求实数 的值； (2)当 时，求实数 的值. 18．（26-27高二上·天津南开·阶段检测）已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)求边上的中线所在直线的斜率； (2)求边上的高所在直线的方程． 19．（26-27高二上·河南·阶段检测）已知的顶点分别为． (1)设的中点为，求中线所在直线的方程； (2)若直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，求直线的方程． 20．（26-27高二上·江苏南京·阶段检测）已知直线． (1)证明：直线过定点； (2)若直线在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程； (3)若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $