第09讲 直线的方程（二）（七大题型+思维导图+知识归纳+课后提升练）（秋季讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

本高中数学讲义聚焦直线方程的求法、两条直线的位置关系及直线过定点问题，系统梳理直接法与待定系数法的应用，明确斜截式和一般式下两直线相交、垂直、平行、重合的判定条件，构建从基础求法到综合应用的学习支架。 资料通过例题与变式题结合的分层设计，如三角形中高、中线方程的求解，培养学生数学思维的推理能力和数学语言的表达能力。课中辅助教师高效授课，课后提升练覆盖多种题型，助力学生查漏补缺，强化知识应用。

第09讲 直线的方程（二） 【人教A版】 模块二 直线方程的求法 【知识点1 直线方程的求法】 1．求直线方程的一般方法 (1)直接法 直线方程形式的选择方法： ①已知一点常选择点斜式； ②已知斜率选择斜截式或点斜式； ③已知在两坐标轴上的截距用截距式； ④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况. (2)待定系数法 先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程. 利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程. 若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、 截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况). 【题型1 直线方程的求解】 【例1】（25-26高二上·四川雅安·阶段检测）已知直线l经过点，点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求出直线的斜率，根据点斜式方程求出直线方程. 【解答过程】解：因为直线l经过点，点， 所以， 所以：， 整理得，， 故直线：， 故选：A. 【变式1-1】（25-26高二上·内蒙古包头·期中）经过点，且在轴和轴上截距相等的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【解题思路】分别讨论截距为0和不为0两种情况，设出直线方程，将点代入求解即可. 【解答过程】当直线在轴和轴上截距都为0时，设直线方程为， 将点代入解得，此时直线方程为，即； 当直线在轴和轴上截距相等且不为0时，设直线方程为， 将点代入解得，此时直线方程为，即 所以满足题意的直线方程为或. 故选：B. 【变式1-2】（25-26高二上·宁夏吴忠·阶段检测）根据下列条件，分别求出直线的一般式方程： (1)经过点，平行于直线； (2)倾斜角是，在轴上的截距是4； (3)经过点，点； 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）由直线平行可知斜率相等，结合点坐标写出直线点斜式方程，化为一般式； （2）根据截距求出直线过点的坐标，结合点坐标写出直线点斜式方程，化为一般式； （3）写出直线的两点式方程，化为一般式. 【解答过程】（1）由题可知，所求直线斜率为3， 故方程为，整理得. （2）直线在轴上的截距是4，即该直线过点， 由倾斜角是可得斜率为， 故方程为，整理得. （3）由条件得直线的两点式方程为， 整理得. 【变式1-3】（25-26高二上·吉林延边·阶段检测）求满足下列条件的直线方程：（结果写成一般式）. (1)直线过点，且斜率为； (2)斜率为，且与两坐标轴围成的面积为6； (3)直线过点，且横截距为纵截距的两倍. 【答案】(1) (2) (3)或 【解题思路】（1）代入点斜式方程，可得直线方程，整理即可得答案. （2）直线方程为，分别令和，结合面积公式，求得b值，整理即可得答案. （3）分别讨论截距为0和不为0两种情况，求出直线方程，整理即可得答案. 【解答过程】（1）代入点斜式方程可得，整理得 （2）设直线方程为，令，解得， 令，解得， 所以，解得， 所以直线方程为，整理得 （3）当截距为0时，设直线方程为，代入点，解得， 所以方程为，整理得； 当截距不为0时，设直线方程为，代入点，解得， 所以方程为，整理得， 综上，直线方程为或. 模块三 两条直线的位置关系 【知识点2 两条直线的位置关系】 1．两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 l1:y=k1x+b1 l2 :y=k2x+b2 相交 k1≠k2 （当时，记为） 垂直 k1·k2=-1 （当时，记为） 平行 k1=k2且b1≠b2 或 （当时，记为） 重合 k1=k2且b1=b2 A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0) （当时，记为） 2．平行的直线的设法 平行：与直线Ax+By+n=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0. 3．垂直的直线的设法 垂直：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0. 【题型2 求与已知直线垂直的直线方程】 【例2】（25-26高二上·江苏南京·期末）过点且垂直于直线的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据两直线垂直的条件求解即可. 【解答过程】设垂直于直线的直线方程为， 因为直线过，所以，解得， 所以垂直于直线的直线方程为. 故选：Ａ. 【变式2-1】（25-26高二上·江苏南京·期末）过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据直线垂直求出待求直线的斜率，又因为过点，采用点斜式即可求出待求直线方程． 【解答过程】直线化为斜截式为，即斜率为， 设所求直线斜率为，则可得：， 所求直线过点，所以方程为， 化简可得． 故选：A． 【变式2-2】（25-26高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知.求： (1)过点且与BC垂直的直线方程； (2)过点且倾斜角为直线AB倾斜角的的直线方程. 【答案】(1)； (2) 【解题思路】（1）求出直线BC的斜率，从而设过点且与BC垂直的直线方程，将代入，求出答案； （2）求出直线AB的斜率和倾斜角，从而得到所求直线的倾斜角和斜率，利用点斜式求出直线方程. 【解答过程】（1），故与垂直的直线的斜率为1，故设过点且与BC垂直的直线方程为， 将代入可得，解得， 所以过点且与BC垂直的直线方程为； （2），故直线AB的倾斜角为， 故所求直线的倾斜角为，所求直线的斜率为， 故过点且倾斜角为直线AB倾斜角的的直线方程为，即. 【变式2-3】（25-26高二上·河南濮阳·阶段检测）三角形的三个顶点是 (1)求BC边上的高所在直线的方程； (2)求BC边上的中线所在直线的方程； (3)求BC边的垂直平分线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）利用两直线垂直求得边上的高所在直线的斜率，结合高线经过点，由点斜式方程即得； （2）先求出的中点坐标，进而可得BC边上的中线所在直线的斜率，再由点斜式方程即得； （3）利用两直线垂直求得边垂直平分线的斜率，结合的中点，由点斜式方程即得. 【解答过程】（1）由题意，边所在的直线的斜率， 则边上的高所在直线的斜率为， 又边上的高经过点， 所以边上的高所在的直线方程为，即. （2）由题意，BC的中点坐标为， 则BC边上的中线所在直线的斜率为， 所以BC边上的中线所在直线的方程为，即. （3）由（1）（2）得，，BC的中点坐标为， 所以边垂直平分线的斜率为， 则边的垂直平分线方程，即. 【题型3 求与已知直线平行的直线方程】 【例3】（25-26高二上·福建厦门·期中）过点且与直线平行的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先根据已知直线方程设出与已知直线平行的直线，再代入坐标求出方程. 【解答过程】直线的斜率为，所求直线与其平行，故其斜率为， 又直线过点，则所求直线的方程为，即. 故选：C. 【变式3-1】（25-26高二上·山西朔州·期末）过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意设与平行的直线方程为，代入点后即可求得，进而得到直线方程. 【解答过程】设与直线平行的直线方程为， 代入，可得，解得， 故所求直线方程为. 故选：A. 【变式3-2】（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）已知平面内两点，. (1)求过点且与直线平行的直线的方程; (2)求过点且与直线垂直的直线的方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）求出直线的斜率，由平行关系得到，由点斜式求出直线方程； （2）在（1）的基础上，由垂直关系得到，由点斜式求出直线方程. 【解答过程】（1）因为，， 所以， 因为直线与直线平行， 所以， 又直线过点， 所以直线的方程为，即. （2）由(1)知. 因为直线与直线垂直，所以， 又直线过点， 所以直线的方程为，即. 【变式3-3】（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知直角的直角顶点，且，在轴上． (1)求点的坐标； (2)求斜边中线的方程； (3)若直线过点，且与直线平行，求直线的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）设顶点的坐标为，利用两直线垂直，直线斜率的乘积等于建立关于的方程，解方程即可得解； （2）先用中点坐标公式求出的中点坐标，然后利用两点坐标求出中线的斜率，再写出中线的点斜式方程，最后化为一般式方程即可得解. （3）根据两直线平行，斜率相等，结合点斜式方程，最后化为一般式即可. 【解答过程】（1）设顶点的坐标为，由题可得， 解得，故点的坐标为； （2）由（1）可知斜边的中点为， 则斜边的中线的斜率为， 代入点斜式方程得，即． （3）因为直线过点，且与直线平行，所以， 直线方程为，即. 【题型4 根据两直线平行求参数】 【例4】（25-26高二上·贵州六盘水·阶段检测）若直线与直线互相平行，则（   ） A．1 B． C．或1 D．或 【答案】C 【解题思路】由两直线平行的充要条件可得，即可求参数，并代入验证是否含重合情况. 【解答过程】因为直线与直线平行， 根据两直线平行的充要条件可得， 解得或， 当时，代入可得与验证两条直线不重合， 当时，代入可得与验证两条直线不重合. 故选：C. 【变式4-1】（25-26高二上·江苏无锡·期末）直线，，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【解题思路】假设，结合平行的性质计算可得，再利用充分条件与必要条件定义即可得解. 【解答过程】若，则，即， 解得或， 当时，，，此时两直线重合，不符合； 当时，，，符合要求； 综上，可得，故“”是“”的充要条件. 故选：C. 【变式4-2】（25-26高二上·安徽合肥·期中）若直线与平行，则实数的值为（    ） A．3 B． C．或3 D．0 【答案】B 【解题思路】根据直线一般方程平行的关系得，进而解方程并检验即可. 【解答过程】直线与平行， 则，解得或， 经检验，当时，，，重合，舍去， 当，，，满足题意. 所以实数的值为 故选：B. 【变式4-3】（25-26高二上·广东东莞·期中）已知直线，则“”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】根据两直线平行得到方程，再验证并结合充要条件的判定即可得到答案. 【解答过程】若，则，解得或， 当时，，两直线平行， 当时，，两直线重合， 则当时，， 故“”是“”的充分必要条件. 故选：A. 【题型5 根据两直线垂直求参数】 【例5】（25-26高二上·甘肃天水·期末）已知直线与直线垂直，则实数（ ） A．或0 B． C．0 D．1 【答案】A 【解题思路】根据两直线垂直列出方程，求解即可. 【解答过程】若直线与直线垂直， 则，即，解得或0． 故选：A． 【变式5-1】（25-26高二上·山西阳泉·期末）“”是“直线和直线垂直”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】先判断时两直线是否垂直确定充分性，再由两直线垂直求出的值判断必要性. 【解答过程】当时，两直线分别为和， 根据两直线垂直的判定条件可得：， 所以两直线垂直，充分性成立， 若两直线垂直，则，即， 求解可得或，所以必要性不成立. 所以“”是“直线和直线垂直”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式5-2】（25-26高二上·广西·开学考试）已知直线：，直线：. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2)或. 【解题思路】（1）根据两条直线平行公式计算即可求参，再检验是否重合； （2）根据两条直线垂直公式计算即可求参. 【解答过程】（1）因为 ，所以， 整理得 解得或. 当时，重合； 当时，，符合题意. 故. （2）因为，所以 解得或. 【变式5-3】（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线，，分别求满足下列条件的的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用一般式方程两条直线平行的条件可得答案； （2）利用一般式方程两条直线垂直的条件可得答案． 【解答过程】（1）因为，所以，解得， 所以当时，； （2）因为，所以， 解得， 所以当时，． 模块四 直线过定点问题 【知识点3 直线过定点问题】 1．直线过定点问题 对于直线过定点问题，一般可以通过分离参数法来解决： 第一步：对含参数的直线方程进行变形：将参数与变量分离到等式两边； 第二步：确定定点条件：使得等式成立的条件是参数的系数为0，同时与参数无关的式子也为0，解方程组确定定点坐标. 【题型6 直线过定点问题】 【例6】（25-26高二上·辽宁·阶段检测）直线（其中）必经过的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意列方程组计算即可求解. 【解答过程】由题意，令，解得， 所以直线必经过的点是. 故选：C. 【变式6-1】（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）不论为何实数，直线过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】法一：直线方程可化为，解方程组即可求解； 法二：直线方程可化为，解方程组即可求解. 【解答过程】法一：直线方程可化为， 令，解得，即定点坐标为. 法二：直线方程可化为， 则，解得，即定点坐标为. 故选：B. 【变式6-2】（25-26高二上·湖南邵阳·期末）直线过定点__________. 【答案】 【解题思路】将直线方程整理成关于的方程，根据题意列方程组求解即得定点. 【解答过程】由整理得：， 因，则，解得，即直线经过定点. 故答案为：. 【变式6-3】（25-26高二上·天津武清·阶段检测）已知直线，当变化时，直线总是经过定点，则定点坐标为___________． 【答案】. 【解题思路】将直线方程化为：，令，据此可得定点坐标. 【解答过程】， 则，即定点坐标为. 故答案为：. 【题型7 直线方程的综合应用】 【例7】（25-26高二上·上海·期末）已知直线的方程为（）： (1)求证：直线必过定点，并写出此定点的坐标； (2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； (3)若直线不经过平面直角坐标系的第二象限，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析，； (2)或； (3). 【解题思路】（1）求出直线所过定点即可. （2）求出直线的横纵截距，再列式求解. （3）求出直线的斜率及纵截距，结合题意列式求解. 【解答过程】（1）证明：直线：，即， 由，得， 所以直线必过定点，此定点坐标为. （2）依题意，，在直线：中，令，得；令，得， 由直线在两坐标轴上的截距相等，得，解得或， 所以或. （3）直线：的斜率为，纵截距为， 由直线不经过平面直角坐标系的第二象限，得，解得， 所以的取值范围是. 【变式7-1】（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）已知直线. (1)证明：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (3)若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程. 【答案】(1)证明见解析； (2) (3)最小值为4，直线方程为. 【解题思路】（1）整理直线方程，即可求得定点； （2）通过直线方程得到纵截距，由纵截距和斜率列出方程，即可求得的取值范围； （3）通过直线方程得到交点的坐标，然后得到三角形面积，利用基本不等式即可求得最小值，同时求出此时的直线方程. 【解答过程】（1）证明：∵， ∴直线过定点. （2）∵，直线的纵截距为， 要使得直线不经过第四象限，则， 即. （3）由题意可知：， 由直线方程可得，，， ∴，即， ， 当且仅当时，取等号. 即当直线方程时，面积取最小值4. 【变式7-2】（25-26高二上·河南南阳·期中）已知直线，． (1)证明直线l过定点A，并求出点A的坐标； (2)在（1）的条件下，若直线过点A，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的12倍，求直线的方程； (3)若直线l不经过第四象限，求a的取值范围． 【答案】(1)证明见解析，； (2)或； (3) 【解题思路】（1）化简方程为直线系方程的形式，组成方程组解出直线过的点； （2）根据题意分直线过原点、不过原点讨论，分析解决即可； （3）分和两种情况进行讨论即得． 【解答过程】（1）证明：直线的方程为， 则直线过直线与的交点， 由，解得， 所以直线过定点，其坐标为； （2）当直线的截距为时，其方程为，即； 当直线的截距不为时，设其方程为， 则，解得， 直线的方程为，即， 所以直线的方程为或. （3）当时，直线l的方程为，符合题意； 当时，， 则，即，解得或， 综上，当直线l不经过第四象限时，a的取值范围是. 【变式7-3】（25-26高二上·甘肃兰州·期中）设直线的方程为. (1)若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； (2)若不经过第二象限，求实数的取值范围； (3)若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，O为坐标原点，记的面积为S，求S的最小值及S最小时直线的方程. 【答案】(1)或. (2) (3)最小值是6， 【解题思路】（1）根据截距的定义分类讨论计算即可； （2）利用直线的性质列出参数a的范围计算即可； （3）直接计算A、B的坐标，含参表示三角形面积，根据基本不等式计算最值即可. 【解答过程】（1）当直线l过原点时满足条件，此时，即，则直线l的方程为； 当直线l不过原点时，由直线l在两坐标轴上的截距相等可知其斜率为， 故，即，可得直线l的方程为. 综上所述，直线l的方程为或； （2）∵l不经过第二象限，∴. 解得. ∴实数a的取值范围是. （3）对于方程， 令，解得，由题知，解得； 令，解得，由题知，解得或. 综上可得. ∴ ， 当且仅当，即时取等号, ∴的面积S的最小值是6，此时直线l的方程为. 模块五 课后提升练（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·云南昆明·期末）经过点且与直线平行的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设与直线平行的直线方程为，代入点的坐标，即可求解. 【解答过程】设经过点且与直线平行的直线方程为， 所以，解得，所以直线方程为. 故选：B. 2．（25-26高二上·江苏南通·期末）已知直线垂直于直线，则实数（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解题思路】利用两直线垂直可得出，解该方程即可. 【解答过程】因为直线垂直于直线， 所以，解得. 故选：A. 3．（25-26高二上·江苏泰州·期末）已知，，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】应用两点式求斜率，再由点斜式写出直线方程. 【解答过程】由题设，则，可得. 故选：A. 4．（25-26高二上·河南洛阳·期末）过点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，设所求直线的方程为，将点的坐标代入所求直线的方程，求出的值，即可得出答案. 【解答过程】因为所求直线与直线垂直，设所求直线的方程为， 将的坐标代入所求直线的方程，得，解得， 故过点且与直线垂直的直线方程为. 故选：A. 5．（25-26高二上·广东河源·期末）若直线与直线互相平行，则（   ） A． B．3 C．或3 D．1或 【答案】A 【解题思路】根据两直线平行的条件求，代入排除直线重合即可求解. 【解答过程】由题意知,即,解得或. 当时，两直线方程都是，两直线重合，不合题意； 当时，直线即与直线平行，符合题意. 故选：A. 6．（25-26高二上·广东梅州·期末）无论取何值，直线总经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将直线化为即可求解． 【解答过程】由， 当，即时，，解得， 所以无论取何值，直线总经过点． 故选：C． 7．（25-26高二上·湖北十堰·阶段检测）过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解题思路】根据条件分截距为零和截距不为零两种情况，分别设出相应的直线方程，再结合条件，即可求解. 【解答过程】当在轴，轴上的截距为零时，此时直线过原点，设直线方程为， 又直线过点，所以，所以直线方程为， 当在轴，轴上的截距不为零时，设直线方程为， 又直线过点，所以，解得，所以直线方程为， 所以过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程是或， 故选：D. 8．（25-26高二上·山东临沂·阶段检测）数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出重心坐标，求出AB边上的高和AC边上的高所在直线方程，联立两直线可得垂心坐标，即可求出欧拉线方程. 【解答过程】由题可知，的重心为， 可得直线AB的斜率为，则AB边上的高所在的直线斜率为， 则方程为，即， 直线AC的斜率为，则AC边上的高所在的直线斜率为， 则方程为，即， 联立方程，解得，即的垂心为， 则直线斜率为，则可得直线方程为， 故的欧拉线方程为. 故选：D. 二、多选题 9．（25-26高二上·青海西宁·阶段检测）以下四个命题是错误的是（   ） A．直线恒过定点 B．若直线与互相垂直，则 C．已知直线与平行，则 D．过点的直线在两坐标轴上的截距互为相反数，则该直线方程为 【答案】ACD 【解题思路】求出直线过定点，判断A；根据直线的垂直关系可求出m的值，判断B；根据直线的平行关系可求出a的值，判断C；讨论直线的截距是否为0，求出直线方程，判断D. 【解答过程】对于A, 直线，即， 由于，故，即直线恒过定点，A错误； 对于B，直线与互相垂直， 则，解得，B正确； 对于C，直线与平行， 则，解得或， 当时，直线与平行，符合题意； 当时，直线与平行，符合题意，C错误； 对于D，过点的直线在两坐标轴上的截距互为相反数， 当直线在两坐标轴上的截距均为0时，该直线方程为，即， 当直线在两坐标轴上的截距均不为0时，设方程为， 将点代入，即得，解得，此时直线方程为， 即，综合可知直线方程为或，D错误， 故选：ACD. 10．（25-26高二上·贵州遵义·期末）已知直线，，则下列说法正确的是（    ） A．过定点 B．若，则 C．若，则 D．若与的纵截距相等，则 【答案】ABC 【解题思路】对于A，由即可求解判断；对于B，通过即可判断；对于C，由，并验证是否重合即可判断；对于D，由截距概念列出等式求解即可判断. 【解答过程】对于A，由直线，得， 由解得，，即过定点，正确； 对于B，当时，直线，， 则，故，则，正确； 对于C，若，可得，解得或， 又当时，直线，重合，舍去， 当时，直线，，平行， 综上，正确； 对于D，若与的纵截距相等，则， 对于直线，令得， 对于直线，令得， 由，解得，错误； 故选：ABC. 11．（25-26高二上·广东·阶段检测）的三个顶点坐标分别为，，，下列说法中正确的是（   ） A．边与直线平行 B．边上的高所在的直线的方程为 C．过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 D．过点A且平行于的直线方程为 【答案】BD 【解题思路】由直线斜率判断A，求出相应的直线方程判断BCD． 【解答过程】直线的斜率为， 而直线的斜率为，两直线不平行，A错； 边上高所在直线斜率为， 直线方程为，即，B正确； 过且在两坐标轴上的截距相等的直线过原点时方程为，C错； 因为，直线的斜率为， 所以过点A且平行于的直线方程为, 即，D正确. 故选：BD． 三、填空题 12．（25-26高二上·重庆铜梁·阶段检测）已知直线：，则直线恒过定点___________. 【答案】 【解题思路】把直线方程变形为关于的方程，令解出即可； 【解答过程】由题意可得，令，解得， 所以直线恒过定点， 故答案为：. 13．（25-26高二上·天津·期中）过点，且平行于直线的直线方程为___________. 【答案】 【解题思路】由平行得直线斜率，再由点斜式得直线方程并整理为一般式即可. 【解答过程】由直线可得直线斜率为， 由于所求直线经过点，且与直线平行， 可得直线方程为，整理得. 故答案为：. 14．（25-26高二上·山东淄博·期中）直线l过点，且其横截距为纵截距的3倍，则l的方程为___________. 【答案】或 【解题思路】讨论截距是否为0，设相应的直线方程，代入点坐标求参数值，即可得直线方程. 【解答过程】当截距为0时，设直线为，则，即，此时， 当截距不为0时，设直线为，则，此时， 综上，直线为或. 故答案为：或. 四、解答题 15．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）求出满足下列条件的直线方程： (1)经过点，且与直线平行； (2)经过点，且与直线垂直； 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）根据直线方程得出已知直线的斜率，由平行关系求得所求直线的斜率，然后利用点斜式写出所求直线方程化简即可； （2）根据直线方程得出已知直线的斜率，由垂直关系求得所求直线的斜率，然后利用点斜式写出所求直线方程化简即可； 【解答过程】（1）由直线的斜率为， 设所求直线的斜率为， 因为所求直线与直线平行， 所以， 又所求直线经过，根据点斜式方程可得：， 即所求直线方程为. （2）由直线的斜率， 由题知两条直线垂直且，所以所求直线斜率存在， 设所求直线的斜率为， 由，解得：， 又所求直线经过点，根据点斜式方程可得：， 即所求直线方程为. 16．（25-26高二上·湖南永州·期中）已知点.求： (1)过点P且在y轴上截距的直线的方程； (2)已知直线，直线经过两点，若，求实数m的值. 【答案】(1) (2)或. 【解题思路】（1）设该直线的方程为，将点代入，求得，即可求解； （2）求得的方程，根据，列出方程，即可求解. 【解答过程】（1）解：因为直线在y轴上截距，设该直线的方程为， 将点代入直线方程，可得，解得， 所以的方程为. （2）解：易知存在，由，可得， 又由直线，且，可得， 即，解得， 所以实数的值为或. 17．（25-26高二上·北京平谷·阶段检测）已知的三个顶点分别为，求： (1)所在直线的方程； (2)过点与边平行的直线方程； (3)边的垂直平分线的方程． 【答案】(1)； (2)； (3). 【解题思路】（1）根据的坐标即可求得直线的斜率，利用点斜式可得所求方程； （2）根据平行可设所求方程，再将点的坐标代入可得所求方程； （3）根据垂直可求得斜率，再求得线段的中点坐标，根据点斜式可得所求方程. 【解答过程】（1）如图，因为，所以直线的斜率为， 由点斜式可得直线的方程为，即. （2）因为所求直线与直线平行， 由（1）知可设所求直线方程为， 又直线过点， 所以将的坐标代入可得，解得， 所以所求直线方程为. （3）因为，且其斜率都存在， 所以，解得. 又直线过线段的中点， 由点斜式可得直线的方程为，即. 18．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）已知直线均过点． (1)若直线过点，且，求直线的方程； (2)若直线在轴和轴上的截距互为相反数，求直线的方程； (3)若直线与两坐标轴的正半轴能够围成三角形，求该三角形面积最小时直线的方程． 【答案】(1) (2)或 (3) 【解题思路】（1）根据题意，求得，由，得到，进而求得直线的方程； （2）根据题意，分直线过坐标原点和线不过坐标原点，两种情况讨论，即可求解； （3）设直线的方程为，则满足，结合基本不等式，求得面积最小值，进而求得直线的方程. 【解答过程】（1）解：由点和，可得，即 因为，可得，所以直线的方程为，即. （2）解：由直线在轴和轴上的截距互为相反数， 当直线过坐标原点时，可得，此时直线的方程为，即； 当直线不过坐标原点时，可设直线的方程为， 将点代入直线方程，可得，解得， 所以直线的方程为， 综上可得，直线的方程为或. （3）解：设直线的方程为，则满足， 由，即，解得， 当且仅当时，即时，取等号， 则，即围成三角形的面积的最小值为，此时直线的方程为. 19．（2026高二上·江苏南京·专题练习）已知直线． (1)证明：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (3)若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3), ． 【解题思路】（1）根据直线的点斜式方程判断定点即可； （2）根据斜截式方程的意义得即可求得答案； （3）根据题意，进而求得直线在坐标轴上的截距，最后计算面积，并结合基本不等式求最值即可. 【解答过程】（1）证明：直线的方程可化为， 根据直线的点斜式方程，可知无论取何值，直线总过定点． （2）解：由题意，直线，即， 因为直线不经过第四象限，所以，解得． 所以的取值范围为 （3）解：由题意知，，当时，，即点， 当时，，即点， 所以，， 所以的面积 因为，所以，当且仅当，即时等号成立， 所以，此时，直线． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 直线的方程（二） 【人教A版】 模块二 直线方程的求法 【知识点1 直线方程的求法】 1．求直线方程的一般方法 (1)直接法 直线方程形式的选择方法： ①已知一点常选择点斜式； ②已知斜率选择斜截式或点斜式； ③已知在两坐标轴上的截距用截距式； ④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况. (2)待定系数法 先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程. 利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程. 若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、 截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况). 【题型1 直线方程的求解】 【例1】（25-26高二上·四川雅安·阶段检测）已知直线l经过点，点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·内蒙古包头·期中）经过点，且在轴和轴上截距相等的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【变式1-2】（25-26高二上·宁夏吴忠·阶段检测）根据下列条件，分别求出直线的一般式方程： (1)经过点，平行于直线； (2)倾斜角是，在轴上的截距是4； (3)经过点，点； 【变式1-3】（25-26高二上·吉林延边·阶段检测）求满足下列条件的直线方程：（结果写成一般式）. (1)直线过点，且斜率为； (2)斜率为，且与两坐标轴围成的面积为6； (3)直线过点，且横截距为纵截距的两倍. 模块三 两条直线的位置关系 【知识点2 两条直线的位置关系】 1．两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 l1:y=k1x+b1 l2 :y=k2x+b2 相交 k1≠k2 （当时，记为） 垂直 k1·k2=-1 （当时，记为） 平行 k1=k2且b1≠b2 或 （当时，记为） 重合 k1=k2且b1=b2 A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0) （当时，记为） 2．平行的直线的设法 平行：与直线Ax+By+n=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0. 3．垂直的直线的设法 垂直：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0. 【题型2 求与已知直线垂直的直线方程】 【例2】（25-26高二上·江苏南京·期末）过点且垂直于直线的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二上·江苏南京·期末）过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知.求： (1)过点且与BC垂直的直线方程； (2)过点且倾斜角为直线AB倾斜角的的直线方程. 【变式2-3】（25-26高二上·河南濮阳·阶段检测）三角形的三个顶点是 (1)求BC边上的高所在直线的方程； (2)求BC边上的中线所在直线的方程； (3)求BC边的垂直平分线的方程. 【题型3 求与已知直线平行的直线方程】 【例3】（25-26高二上·福建厦门·期中）过点且与直线平行的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高二上·山西朔州·期末）过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）已知平面内两点，. (1)求过点且与直线平行的直线的方程; (2)求过点且与直线垂直的直线的方程. 【变式3-3】（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）已知直角的直角顶点，且，在轴上． (1)求点的坐标； (2)求斜边中线的方程； (3)若直线过点，且与直线平行，求直线的方程． 【题型4 根据两直线平行求参数】 【例4】（25-26高二上·贵州六盘水·阶段检测）若直线与直线互相平行，则（   ） A．1 B． C．或1 D．或 【变式4-1】（25-26高二上·江苏无锡·期末）直线，，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【变式4-2】（25-26高二上·安徽合肥·期中）若直线与平行，则实数的值为（    ） A．3 B． C．或3 D．0 【变式4-3】（25-26高二上·广东东莞·期中）已知直线，则“”是“”的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【题型5 根据两直线垂直求参数】 【例5】（25-26高二上·甘肃天水·期末）已知直线与直线垂直，则实数（ ） A．或0 B． C．0 D．1 【变式5-1】（25-26高二上·山西阳泉·期末）“”是“直线和直线垂直”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5-2】（25-26高二上·广西·开学考试）已知直线：，直线：. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 【变式5-3】（25-26高二上·全国·课后作业）已知直线，，分别求满足下列条件的的值： (1)； (2)． 模块四 直线过定点问题 【知识点3 直线过定点问题】 1．直线过定点问题 对于直线过定点问题，一般可以通过分离参数法来解决： 第一步：对含参数的直线方程进行变形：将参数与变量分离到等式两边； 第二步：确定定点条件：使得等式成立的条件是参数的系数为0，同时与参数无关的式子也为0，解方程组确定定点坐标. 【题型6 直线过定点问题】 【例6】（25-26高二上·辽宁·阶段检测）直线（其中）必经过的点是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26高二上·辽宁沈阳·阶段检测）不论为何实数，直线过定点（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高二上·湖南邵阳·期末）直线过定点__________. 【变式6-3】（25-26高二上·天津武清·阶段检测）已知直线，当变化时，直线总是经过定点，则定点坐标为___________． 【题型7 直线方程的综合应用】 【例7】（25-26高二上·上海·期末）已知直线的方程为（）： (1)求证：直线必过定点，并写出此定点的坐标； (2)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的值； (3)若直线不经过平面直角坐标系的第二象限，求的取值范围． 【变式7-1】（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）已知直线. (1)证明：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (3)若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于，的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程. 【变式7-2】（25-26高二上·河南南阳·期中）已知直线，． (1)证明直线l过定点A，并求出点A的坐标； (2)在（1）的条件下，若直线过点A，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的12倍，求直线的方程； (3)若直线l不经过第四象限，求a的取值范围． 【变式7-3】（25-26高二上·甘肃兰州·期中）设直线的方程为. (1)若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； (2)若不经过第二象限，求实数的取值范围； (3)若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，O为坐标原点，记的面积为S，求S的最小值及S最小时直线的方程. 模块五 课后提升练（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·云南昆明·期末）经过点且与直线平行的直线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏南通·期末）已知直线垂直于直线，则实数（   ） A． B．2 C． D． 3．（25-26高二上·江苏泰州·期末）已知，，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·河南洛阳·期末）过点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·广东河源·期末）若直线与直线互相平行，则（   ） A． B．3 C．或3 D．1或 6．（25-26高二上·广东梅州·期末）无论取何值，直线总经过点（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·湖北十堰·阶段检测）过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 8．（25-26高二上·山东临沂·阶段检测）数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·青海西宁·阶段检测）以下四个命题是错误的是（   ） A．直线恒过定点 B．若直线与互相垂直，则 C．已知直线与平行，则 D．过点的直线在两坐标轴上的截距互为相反数，则该直线方程为 10．（25-26高二上·贵州遵义·期末）已知直线，，则下列说法正确的是（    ） A．过定点 B．若，则 C．若，则 D．若与的纵截距相等，则 11．（25-26高二上·广东·阶段检测）的三个顶点坐标分别为，，，下列说法中正确的是（   ） A．边与直线平行 B．边上的高所在的直线的方程为 C．过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 D．过点A且平行于的直线方程为 三、填空题 12．（25-26高二上·重庆铜梁·阶段检测）已知直线：，则直线恒过定点___________. 13．（25-26高二上·天津·期中）过点，且平行于直线的直线方程为___________. 14．（25-26高二上·山东淄博·期中）直线l过点，且其横截距为纵截距的3倍，则l的方程为___________. 四、解答题 15．（25-26高二上·内蒙古赤峰·期中）求出满足下列条件的直线方程： (1)经过点，且与直线平行； (2)经过点，且与直线垂直； 16．（25-26高二上·湖南永州·期中）已知点.求： (1)过点P且在y轴上截距的直线的方程； (2)已知直线，直线经过两点，若，求实数m的值. 17．（25-26高二上·北京平谷·阶段检测）已知的三个顶点分别为，求： (1)所在直线的方程； (2)过点与边平行的直线方程； (3)边的垂直平分线的方程． 18．（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）已知直线均过点． (1)若直线过点，且，求直线的方程； (2)若直线在轴和轴上的截距互为相反数，求直线的方程； (3)若直线与两坐标轴的正半轴能够围成三角形，求该三角形面积最小时直线的方程． 19．（2026高二上·江苏南京·专题练习）已知直线． (1)证明：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (3)若直线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $