精品解析：安徽六安市裕安中学2026-2027学年上学期九年级数学学习能力诊断一

裕安中学2026年秋学期学习能力诊断一 九年级数学学科 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 已知，下列比例式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得函数表达式为（ ） A. B. C. D. 3. 已知a，b，c，d，e，f六条线段满足，若，那么的值为（ ） A. 10 B. 5 C. D. 4. 如图，在中，，，则的长为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 鹦鹉螺的贝壳呈现出等角螺线，其相邻半径之比是一个常数，展现了自然界精妙的数学规律．如图，已知点是线段的黄金分割点（），若的长为8，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 若点，，（）在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的图象及局部细节如图中所示，则关于x的方程的较大的根的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 已知抛物线（为常数，且）的对称轴为直线，其与轴的一个交点为，与轴的交点在点，之间（不含端点），有下列结论：①；②；③；④若方程的两根分别为，（），则．⑤抛物线上有，，当时则的取值范围是，其中，正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知矩形中，，点是对角线上一个动点（不与，重合），于点，于点，连接，，点是的中点，连接，给出下列结论中，其中正确的是（ ） A. 四边形的周长是定值 B. 的最小值为 C. 当时， D. 当时， 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知反比例函数的图象分布在第二、第四象限，则的取值范围是__________． 12. 若二次函数的顶点在轴上，那么_____． 13. 如图，，，延长交于，且，则的长____． 14. 在中，，，，翻折，使得点落在斜边上某一点处，折痕为（分别在边上）． （1）若四边形为正方形，则___________． （2）当的长为___________时，与相似． 三、解答题（15-18题每题8分，19、20题每题10分，21、22题每题12分，23题14分，共90分） 15. 已知，，为的三边长，且，，求三边的长． 16. 已知二次函数的图象交轴于，且经过点，求这个二次函数的表达式． 17. 如图，在的方格纸中，每个方格边长为，和都是格点三角形． （1）填空：______，______ （2）判断与是否相似，并说明你的结论． 18. 如图，点在一条直线上，交于点，，且．求证：． 19. 如图，游乐园计划在点O处安装一个高的喷水头，使得喷出的水柱正好落到距离O点处的B点，且在距离O点处达到最高．已知水柱的形状是抛物线的一部分，现以点O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求此抛物线的解析式； （2）求出水柱的最高点的高度． 20. 如图，在矩形中，点为的中点，连接，过点作，垂足为． （1）求证：； （2）若，求的长． 21. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点、点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量的取值范围． 22. 如图，四边形中，平分，，，为的中点． （1）求证：； （2）与有怎样的位置关系？试说明理由； （3）若，，求的值． 23. 已知抛物线：与轴的一个交点的坐标为，与轴的交点的坐标为，将抛物线向右平移2个单位得到抛物线． （1）求抛物线的表达式，并直接写出抛物线的表达式； （2）点在抛物线上，点在抛物线上，且，，连接，轴． （ⅰ）是否是定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由； （ⅱ）若，求出关于的函数关系式，并求当时，点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 裕安中学2026年秋学期学习能力诊断一 九年级数学学科 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 已知，下列比例式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，解题关键是掌握比例的性质并能熟练运用求解． 由已知等式直接利用比例的基本性质推导． 【详解】解：∵， ∴， ∴选项A正确， 故选：A． 2. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”进行求解即可． 【详解】解：∵将的图象向左平移2个单位， ∴得， ∵再向下平移2个单位， ∴得． 3. 已知a，b，c，d，e，f六条线段满足，若，那么的值为（ ） A. 10 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴，，． ∵， ∴． 4. 如图，在中，，，则的长为（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查平行线分线段成比例，理解题意，结合图形求解是解题关键 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 解得：， 故选：C． 5. 如图，已知，添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：， ， A、 ，故本选项不符合题意； B、，与的大小无法判定， 无法判定，故本选项符合题意； C、， ，故本选项不符合题意； D、， ，故本选项不符合题意． 6. 鹦鹉螺的贝壳呈现出等角螺线，其相邻半径之比是一个常数，展现了自然界精妙的数学规律．如图，已知点是线段的黄金分割点（），若的长为8，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割比例，熟知黄金分割比例是解题的关键． 根据黄金分割的定义可得据此求解即可． 【详解】解：∵P是的黄金分割点，， ∴； 故选D． 7. 若点，，（）在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：将点A，B，C的横坐标分别代入，得，，． ∵， ∴，， ∴． 8. 二次函数的图象及局部细节如图中所示，则关于x的方程的较大的根的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数对称轴公式求出对称轴，结合图象读出较小根的范围，利用两根关于对称轴对称的性质求出较大根的范围． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， 设的两个根分别为，，且， 根据函数图象有：， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∴． 9. 已知抛物线（为常数，且）的对称轴为直线，其与轴的一个交点为，与轴的交点在点，之间（不含端点），有下列结论：①；②；③；④若方程的两根分别为，（），则．⑤抛物线上有，，当时则的取值范围是，其中，正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，利用对称轴和交点坐标得到的关系，结合的取值范围得到的范围，再利用二次函数的性质逐一判断每个结论即可. 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，与轴一个交点为 ， ∴由抛物线对称性得，抛物线与轴另一个交点为，且，即； 将代入抛物线解析式得，把代入得， ∵抛物线与轴交点在之间， ∴，且抛物线开口向上，， ∵，∴，①错误； ∵，，∴，②正确； ∵，不等式两边同除以得：，③正确； ∵方程变形为，根为抛物线与直线交点的横坐标， ∵时抛物线直线，时抛物线直线，抛物线开口向上， ∴，④正确； ∵开口向上，， ∴点离对称轴比离对称轴更远， 即， 化简得：， 平方整理得：，与结论不符，⑤错误； 综上，正确结论共个， 故选：B. 10. 如图，已知矩形中，，点是对角线上一个动点（不与，重合），于点，于点，连接，，点是的中点，连接，给出下列结论中，其中正确的是（ ） A. 四边形的周长是定值 B. 的最小值为 C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题是矩形对角线动点多结论题，统一设某边为参数，利用平行线出相似的特点用参数表示所有相关线段，再逐个验证结论：选项A：证四边形是矩形，代入周长公式发现其随动点变化非定值；选项B：利用矩形对角线相等将转化为，由垂线段最短和等积法求最小值；选项C：计算对应线段比，结合直角用两边成比例且夹角相等证相似；选项D：由垂直加对顶角得相似，转化为对应角正切相等列方程求． 【详解】解：已知矩形中，，则，，对角线，， 选项A：设，则， ∵，，， ∴四边形是矩形，周长， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长，随变化而变化，不是定值， ∴A错误； 选项B：∵四边形是矩形， ∴， 根据垂线段最短，当时，最小，如图， ∵， ∴， 解得， ∴的最小值为， ∴B错误； 选项C：当时，由得， 即，解得， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，且，， ∴， ∴， ∴C正确； 选项D：若，设垂足为，如图，的延长线交于点， 在和中， ， ∴， 设，则：，，，， ∵是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在中，， 在中，​， ∵， ∴， ∴， ∵（若，则与重合）， ∴两边同时除以，得： ​， 解得， ∴​​， ∴选项D错误； 综上，正确答案为C． 【点睛】解题时需注意三个易错点，切勿凭直觉认为动点题中周长或面积一定是定值，必须通过代数推导验证；相似三角形的对应边切勿写反，两边成比例时需严格对应夹角；解方程时必须验证公因式是否为零，避免增根导致结果错误． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知反比例函数的图象分布在第二、第四象限，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数图象所在象限可得比例系数小于0，列不等式求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第二、第四象限， ∴， 解得． 12. 若二次函数的顶点在轴上，那么_____． 【答案】 【解析】 【分析】二次函数顶点在轴上，说明抛物线与轴只有一个交点，对应一元二次方程的判别式等于，列方程即可求解． 【详解】解：∵二次函数的顶点在轴上， ∴抛物线与轴只有一个交点， ∴一元二次方程有两个相等的实数根， ∴判别式，化简得， 解得． 13. 如图，，，延长交于，且，则的长____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，作出辅助线是解题关键．过D作的平行线交于G，利用平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解：过D作的平行线交于G， ∵，， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 在中，，，，翻折，使得点落在斜边上某一点处，折痕为（分别在边上）． （1）若四边形为正方形，则___________． （2）当的长为___________时，与相似． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先根据正方形性质得到四条边相等，对应边平行，根据两组平行线得到两组同位角相等，从而证明，根据三角形相似得到对应边成比例，设未知数列比例式，求解边长即可． （2）由翻折性质可知，，要使与相似，则必须等于或，所以需要分两种情况讨论，分析出所有可能的值． 【小问1详解】 解：如图， ∵四边形为正方形， ∴，，， ∴，， ∴． 设，则，， ∵， ∴，即， 解得． ∴． 【小问2详解】 在中，，，， ∴， ∴． 分两种情况讨论： 情况一：如图，，即 ∵为公共角， ∴． 由折叠性质可知，因此，即为边上的高． 在中，，即， 解得； 情况二：如图，，即， 由相似性质得， 由折叠性质可知，所以， 又，因此， ∴． 同理，由相似性质得， 由折叠性质可知，所以， 又，因此， ∴， ∴ ∴D为中点， ∴； 综上，的长为或5． 三、解答题（15-18题每题8分，19、20题每题10分，21、22题每题12分，23题14分，共90分） 15. 已知，，为的三边长，且，，求三边的长． 【答案】、、 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，三角形的周长，通过设比例系数，将各量转化为含的表达式是解题关键． 采用等比设法，设（），将三边表示为，，，结合三角形周长列方程，求出，进而得到三边长度． 【详解】解：设（），则，，， ， ，即， 解得， ，，， 故三边的长分别为、、． 答：、、． 16. 已知二次函数的图象交轴于，且经过点，求这个二次函数的表达式． 【答案】这个二次函数的表达式为 【解析】 【分析】利用已知的点的坐标，代入二次函数的一般式，通过解方程组得到b、c的值，从而求出函数表达式． 【详解】解：已知二次函数的图象交轴于，且经过点， 将点和分别代入中，得： 解得，． 所以二次函数的表达式为． 17. 如图，在的方格纸中，每个方格边长为，和都是格点三角形． （1）填空：______，______ （2）判断与是否相似，并说明你的结论． 【答案】（1）， （2） ，理由如下： ∵， ∴， ∴ ，， ∴ ． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、勾股定理等知识点，掌握相似三角形的判定方法成为解题的关键． （1）根据图形求出，根据勾股定理求出即可； （2）求出的值，求出和的值，再根据相似三角形的判定定理即可解答． 【小问1详解】 解：由图可知：， 根据勾股定理∶． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：略． 18. 如图，点在一条直线上，交于点，，且．求证：． 【答案】证明：， ，即， 又， ． 【解析】 【分析】根据可得，结合可证． 【详解】略 19. 如图，游乐园计划在点O处安装一个高的喷水头，使得喷出的水柱正好落到距离O点处的B点，且在距离O点处达到最高．已知水柱的形状是抛物线的一部分，现以点O为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求此抛物线的解析式； （2）求出水柱的最高点的高度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，利用待定系数法求得抛物线解析式是解决问题的关键． （1）由题意得，，抛物线的对称轴为直线，因此设抛物线的解析式为，将点A，B坐标代入，求解即可； （2）由（1）的抛物线解析式得到顶点坐标，即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴，． ∵喷出水柱在距离O点处达到最高， ∴抛物线的对称轴为直线， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线过点，， ∴，解得． ∴抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：由（1）有抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴水柱的最高点的高度为． 20. 如图，在矩形中，点为的中点，连接，过点作，垂足为． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形为矩形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）结合垂直的定义和矩形的性质，证明，，即可证明； （2）根据题意，设，则，利用勾股定理解得；根据相似三角形的性质以及，可求得的值，进而获得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴可设， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 解得， ∴． 21. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点、点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量的取值范围． 【答案】（1），；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数解析式求出A的坐标，把A的坐标代入一次函数解析式求出即可； （2）求出直线AB与x轴的交点C的坐标，分别求出△ACO和△BOC的面积，然后相加即可； （3）根据A、B的坐标结合图象即可得出答案． 【详解】解：把点分别代入反比例函数，一次函数， 得，， 解得，， 所以反比例函数的解析式是，一次函数解析式是； 如图，设直线与轴的交点为， 当时，， ， 当时，， ， ； ，， 根据图象可知：当或时，一次函数值大于反比例函数值． 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，一次函数的图象等知识点，解题关键是熟练运用待定系数法求出函数解析式，能够利用数形结合思想求不等式的解集． 22. 如图，四边形中，平分，，，为的中点． （1）求证：； （2）与有怎样的位置关系？试说明理由； （3）若，，求的值． 【答案】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． （2），理由如下： ∵，且， ∴，即为直角三角形，为斜边， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）根据“若两三角形有两组对应边的比例相等，且它们所夹的内角相等，则这两个三角形相似”，证明结论即可； （2）结合相似三角形的性质易得，即为直角三角形，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，进而可得，即可证明结论； （3）首先根据题意可得，再证明，进而证明，设，，则，然后计算的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，，则， ∴． 23. 已知抛物线：与轴的一个交点的坐标为，与轴的交点的坐标为，将抛物线向右平移2个单位得到抛物线． （1）求抛物线的表达式，并直接写出抛物线的表达式； （2）点在抛物线上，点在抛物线上，且，，连接，轴． （ⅰ）是否是定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由； （ⅱ）若，求出关于的函数关系式，并求当时，点的坐标． 【答案】（1）抛物线的表达式为，抛物线的表达式为 （2）（ⅰ）是定值；（ⅱ），点的坐标是或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的表达式，然后利用平移规律求出抛物线的表达式； （2）（ⅰ）方法一：将，分别代入抛物线和的表达式表示出，，然后根据轴得到，然后列式求解即可； 方法二：首先求出点关于直线的对称点为，然后根据平移的性质得到，然后求解即可； （ⅱ）将代入得到；然后令求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线：与轴的一个交点的坐标为，与轴的交点的坐标为， ∴， 解得，， ∴抛物线的表达式为， ∵将抛物线向右平移2个单位得到抛物线 ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：（ⅰ）是定值． 如图， ∵点在抛物线上，点在抛物线上， ∴，， ∵轴， ∴， ， 整理得， ，， ， ， ； （ⅱ）由得， ，即； 当时，， 解得，， ∴点的坐标是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $