2.3二次函数与一元二次方程、不等式同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.3二次函数与一元二次方程、不等式同步练习题 一、单选题 1．不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 2．已知一元二次方程的两根之和是3，两根之积是，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 3．已知，关于x的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．1 D．2 4．如果关于x的一元二次方程有一正根一负根，那么m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．若关于的不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 二、多选题 7．关于一元二次不等式与恒成立问题，下列说法正确的是（    ） A． B． C．不等式解集不为空，则或 D．在上恒成立，则或 8．不等式的解集可能是（     ） A． B． C． D． 三、填空题 9．若关于的不等式的解集为，则实数的值为______． 10．若关于的方程在上有两个不同的实根，则的取值范围为________． 四、解答题 11．求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．以贯彻“节能减排，绿色生态”为目的，某科研单位进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本（百元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为. (1)该单位每月处理成本的最小值和最大值分别是多少百元？ (2)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（提示：平均处理成本为） 13．解关于的不等式. 参考答案 1．A 【详解】，， 即不等式的解集为. 2．C 【详解】设是一元二次方程的两根， 则，令，则， 所以该方程为. 3．A 【分析】把一元二次不等式的解集转化为一元二次方程的根，再利用韦达定理构造方程求出，进而求解． 【详解】已知关于x的不等式的解集为，则或是方程的两个根， 由韦达定理得，解得， ． 4．D 【详解】设两根为，，方程有一正根一负根，则，解得； 5．B 【详解】若，则不等式可化为，恒成立，所以符合条件; 若，因为恒成立， 所以，解得， 综上所述，的取值范围为 6．B 【详解】由函数的图象可知。可得， 故即为，即， 解得，即的解集为. 7．AC 【详解】A.恒成立，则，解得，正确； B.，只需，即或，B错误； C.不等式解集不是空集，则，即或，正确； D.在恒成立，则，即，D错误. 8．ACD 【分析】对的取值进行分类讨论，结合二次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【详解】（1）当时，原不等式即为，此时原不等式的解集为； （2）当时，，解原不等式可得， 取，此时原不等式的解集为； （3）当时，原不等式可化为，， ①当时，即当时，原不等式的解集为； ②当时，即当时，原不等式即为，即， 此时原不等式的解集为； ③当时，即当时，解原不等式可得或， 此时原不等式的解集为. 综上所述，原不等式的解集不可能为. 9． 【详解】对不等式左侧因式分解：，由于，因此， 二次函数开口向上，小于0的解集为两根之间的区间，即解集为. 题目给出解集为，该区间的长度为；我们求出的解集区间长度为右端点减左端点：. 令区间长度相等可得：，结合条件，解得. 10． 【详解】由方程在上有两个不同的实根，可得： 解得， 即的取值范围为. 11．(1)或 (2) (3) (4) 【详解】（1）由，得，即， 所以或， 故不等式的解集为或 （2）由，得，所以， 故不等式的解集为． （3）由，得，所以， 故不等式的解集为． （4）因为， 所以无解，即不等式的解集为． 12．(1)该单位每月处理成本的最小值百元，最大值百元. (2)每月处理量为吨时，才能使每吨的平均处理成本最低. 【分析】（1）利用二次函数单调性求解最值. （2）求出平均处理成本的函数解析式，利用基本不等式求出最值. 【详解】（1）对称轴. 函数在单调递增. 当时，. 当时，. 所以该单位每月处理成本的最小值百元，最大值百元. （2）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为，显然. 由基本不等式得：， 当且仅当，即时，等号成立. 故每月处理量为吨时，才能使每吨的平均处理成本最低. 13．当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【分析】根据含参一元二次不等式的解法，分类讨论最高项系数以及根的大小即可得答案. 【详解】①当时，原不等式即为，解得； ②当时，原不等式化为，解得； ③当时，原不等式化为， 若，即，解得； 若，即时，解得或； 若，即时，解得或. 综上可知，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $